tema matrices y sistema de ecuaciones lineales. pprimera parte

Pg. 1

TEMA 2

MATRICES Y SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES

(PRIMERA PARTE)

Pg. 2

1.- Matrices. Definicin y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de nmeros reales dispuestos en filas y

columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ).

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Cada elemento de la matriz lleva dos subndices:

- El primero de ellos i, indica la fila en la que se encuentra el elemento,

- y el segundo, j, la columna.

As el elemento a23 est en la fila 2 y columna 3.

Las matrices siempre se representarn con letras maysculas (A, B, C, ).

Pg. 3

Son ejemplos de matrices los siguientes:

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que

su dimensin 2 x 2.

Qu elemento es a21?

43

12A

121

046B

001

251

042

013

C

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que

su tamao es 2 x 3.

Qu elemento es b23?

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que

su dimensin 4 x 3.

Qu elemento es c32?

EJEMPLOS


Pg. 4

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamao o dimensin es m x n (se lee m por n), siempre en primer lugar el

n de filas y en segundo lugar el de columnas.

Igualdad

Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:

A = B aij = bij i, j

Lgicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan

la misma dimensin.


Pg. 5

2.- Tipos de matrices

Se llama matriz fila a la que slo tiene una fila, es decir su dimensin es 1 x n.

es una matriz fila de dimensin 1 x 4.

Se llama matriz columna a la que slo consta de una columna, es decir su

dimensin ser m x 1.

es una matriz columna de dimensin 3 x 1.

9401 B

8

0

1

C

Por ejemplo,

Segn su dimensin:

Por ejemplo,

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo nmero de filas que de

columnas, es decir su dimensin es n x n.

matriz

cuadrada de

orden 3.

043

456

321

D

43

12 es una matriz cuadrada de dimensin 2 x 2 o

simplemente de orden 2.

Pg. 6

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada

por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

En la matriz D, la diagonal principal est formada por 1, 5, 0.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Diagonal principal

La diagonal secundaria es la formada por los

elementos a1n, a2,n1, a3,n2, . . ., an1.

En la matriz D est formada por 3, 5, -3.

043

456

321

D


Pg. 7

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.

Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la

diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los

elementos situados por encima de dicha diagonal.

Si una matriz es a la vez triangular superior e

inferior, slo tiene elementos en la diagonal

principal.

Una matriz de este tipo se denomina matriz

diagonal.

Un ejemplo de matriz diagonal es:

0000

0300

00450

0001

G

781631

0543

0040

0001

E

Triangular inferior

Triangular superior

300

590

341

F

Segn sus elementos:


Pg. 8

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal slo unos, se denomina

matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamao de la matriz. Algunas matrices identidad son:

1000

0100

0010

0001

4I

100

010

001

3I

10

012I

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

es una matriz nula de tamao 2x5.

00000

00000APor ejemplo,


Pg. 9

Matrices escalonadas

Fjate en las siguientes matrices:

De ellas se dice que son matrices escalonadas.

En ellas se cumple que:

Si hay filas nulas, estn situadas en la parte inferior de la matriz.

En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila

est situado ms a la derecha que el primer elemento diferente de cero

de la fila inmediatamente superior.

620

113A

200

230

051

B

00

00

00

64

C

000

230

051

D


Pg. 10

3.-Transformaciones elementales

Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una

matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las

transformaciones elementales.

En general, si llamamos Fi a la fila i-sima y Fj a la fila j-sima, las transformaciones elementales son:

Intercambiar dos filas. Fi Fj.

Sumar a una fila los elementos

correspondientes de otra fila

multiplicada por un n real k.

Fi Fi + kFj

Multiplicar todos los elementos

de una fila por un nmero real no

nulo.

Fi kFi

351

124

202

124

351

202F2 F3

351

124

202

351

124

8100F1 F1 + 2F3

351

124

202 F2 2F2

351

248

202

Ejemplo

Pg. 11

Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices

de igual dimensin.

Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de

la otra mediante transformaciones elementales.

EJEMPLO

1341

2211

1312

A

1341

2211

1312

1341

1312

2211

1550

3110

2211

14000

3110

2211

F1 F2

F2 F2 2F1

F3 F3 + F1

F3 F3 + 5F2

Reducir a forma escalonada la matriz

Para facilitar los clculos posteriores,

hacemos que el elemento a11 sea 1:

Hacemos que los elementos que estn

debajo de a22 sean 0:

:

Hacemos que los elementos que

estn debajo de a11 sean 0:

Que est en

forma

escalonada


Pg. 12

TALLER 5. PROBLEMA 1


Reduce a forma escalonada las matrices:

0213

1014

9432

B)b

13111031

54321

81512

D)d

2880

4621

5131

C)c

1063

752

321

A)a

Pg. 13

4.- Operaciones con matrices

Dadas dos matrices A y B de la misma dimensin m n, la matriz suma,

A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posicin.

Si las matrices tienen diferente tamao, no se pueden sumar o restar entre s.

323232

641

714

523

402

124

312

EJEMPLO

De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmnmm

nn

mnm

n

mnm

n

baba

baba

bb

bb

aa

aa

BA

...

.........

...

...

.........

...

...

.........

...

11

111111

1

111

1

111

4. 1. Suma y diferencia

Pg. 14

Propiedades de la suma de matrices:

323232

407

110

523

402

124

312

EJEMPLO

La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia

(resta), A B. Es la que se obtiene al sumar A con B:

A B = A + ( B)

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamao correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz A, que resulta de cambiar de signo a

los elementos de A.

A + 0 = 0 + A

A + ( A) = ( A) + A = 0

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia

Pg. 15

Si

porque:

232323

00

00

00

93

24

10

93

24

10

EJEMPLO


93

24

10

A

3 2

93

24

10

A

3 2

Opuesta de una matriz

Pg. 16

a. Calcula x, y, z en la suma:

b. Calcula a, b, c para que se cumpla

la igualdad:

602

21

021

42

614

23 a

c

ba

c

ba

142

440

311

32

32

0

20

1

21

x

z

zy

z

xy

yx



Pg. 17

Dada una matriz cualquiera A de dimensin m n y un nmero real k, el

producto kA se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensin. (Evidentemente la misma regla

sirve para dividir una matriz por un nmero real).

Propiedades:

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k(A + B) = kA + kB

b) Distributiva respecto de la suma de nmeros: (k + d)A= kA + dA

c) Asociativa: k(dA)=(kd)A

d) Elemento neutro, el nmero 1: 1A=A

3232

51020

15510

124

3125

EJEMPLO

mnm

n

mnm

n

akak

akak

aa

aa

kAk

...

.........

...

...

.........

...

1

111

1

111

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un n real

Pg. 18

a. Si

halla una matriz X que verifique la ecuacin: 2X 4A = B

b. Determina las matrices X e Y sabiendo que:

20

01y

10

11BA

18

2153 YX

03

423YX

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un n real


Pg. 19

Producto de una matriz fila por una matriz columna.

Sea A una matriz fila y B una matriz columna:

132 A

5

2

1

B

Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):

5

2

1

132BA 21 + (3)2 + 15 = 2 6 + 5 = 1

1 x 3 3 x 1

Observa que el resultado es un nmero

1 x 3 3 x 1

Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el nmero de estos elementos (n de columnas de A y n de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

Pg. 20

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden

multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la

siguiente condicin:

Una vez comprobado que el producto AB se puede realizar, si A es una

matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el n de columnas de A = n

= n de filas de B), entonces el producto AB da como resultado una matriz

C de tamao m x p del siguiente modo:

El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = AB,

se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados

Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, AB , es condicin

indispensable que el nmero de columnas de A sea igual al nmero de filas

de B

Si no se cumple esta condicin, el producto AB no puede realizarse, de modo que esta es una condicin que debemos comprobar previamente a la

propia multiplicacin.


Pg. 21

A B = AB m n n p m p

Es posible el producto

Columnas

Filas

La matriz producto, AB, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:

El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-sima y la columna j-sima es

el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj.

nmm

n

knk

n

mkm

k

CFCF

CFCF

bb

bb

aa

aa

BA

...

.........

...

...

.........

...

...

.........

...

1

111

1

111

1

111F1

C1


Pg. 22

1.- Comprobamos que se puede realizar el producto AB, pues el n de

columnas de A es 4 y el n de filas de B tambin es 4.

3.- Slo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello,

seguimos la regla anterior:

2352

4123A

123

202

121

140

B

EJEMPLO Para multiplicar las matrices:

2.- El resultado, segn lo dicho ser una matriz de dimensin 2 x 3, tiene 2

filas y 3 columnas:

2 4

4 3

123

202

121

140

2 4 4 3 2 3


2352

4123=

Pg. 23


=

123

202

121

140

2 4 4 3 2 3

El elemento de la fila 1 y columna 1 de AB proviene de multiplicar elemento a

elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

F1 C1 = (3 2 1 4)

0

1

2

3

= (3)0 + 21 + 12 + 43 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

16 F1

C1

2352

4123

Pg. 24


=

123

202

121

140

2 4 4 3 2 3

F1C2 = (3 2 1 4)

4

2

0

2

16 F1

C2


elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

16

= (3)(4) + 2(2) + 10 + 42 = 12 4 + 0 + 8 = 16

2352

4123

Pg. 25

123

202

121

140

2 4 4 3 2 3

F1C3 = (3 2 1 4)

1

1

2

1

16 F1

C3

16

= (3)1 + 21 + 12 + 41 = 3 + 2 + 2 + 4 = 5


elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

5


2352

4123=

Pg. 26

As sucesivamente se obtienen los dems elementos de la matriz producto:

123

202

121

140

2 4 2 3

16 16 5

F2

C1

5

4 3


2352

4123=

Pg. 27


123

202

121

140

2 4 2 3

16 16 5

F2

C2

5 22

4 3


2352

4123=

Pg. 28

11225

51616BA


123

202

121

140

2 4 2 3

16 16

11 F2

C3

5

5 22

As la matriz producto es:

B A 4 3 2 4

Observa que el producto BA no se puede hacer:

4 3


2352

4123=

Pg. 29

Propiedades del producto de matrices

c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:

d) En general el producto de matrices no es conmutativo

Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

Se dice que el conjunto de las matrices con la operacin producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

CABACBA )(

ACABACB )(

AIA n

AAIm

ABBA

1213

32

0

0

4

2

5

120

312

a) Asociativa: A(BC) = (AB)C

b) Distributiva respecto de la suma:


Pg. 30

a. Si calcula, si es posible, AB y BA. Coinciden?

b. Si

511

203B,

14

20

11

A

543

012C

1

2

1

B

120

111

321

A


,62

31A

12

53B

c. Calcula si es posible A2 , B2 , C2 , A3 , B3 y C3


d. Determina los valores de a y b de la matriz

para que A2 = A.

baA

12

calcula, si es posible, AB y BA. Coinciden?

Pg. 31

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa

por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Si

entonces la matriz traspuesta de A es:

Si A es una matriz de dimensin m x n, su traspuesta At tendr dimensin n x m, pues el nmero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Propiedades:

a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

b) (A + B)t = At + Bt

c) (k A)t = k At

d) (A B)t = Bt At

1243

7012A

17

20

41

32

tA

EJEMPLO

2 4

4 2

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendr la misma dimensin.

4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposicin de matrices

Pg. 32

En base a esta nueva operacin, podemos definir otras dos clases de matrices:

Matriz simtrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir,

una matriz cuadrada es simtrica si se cumple que At = A.

En una matriz simtrica, los elementos son simtricos respecto a la diagonal

principal.

Matriz antisimtrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta;

es decir, si cumple que At = A. Por ejemplo:

En una matriz antisimtrica, los elementos de la diagonal principal son siempre

nulos y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

723

201

312

A

023

201

310

B

es simtrica

es antisimtrica porque


023

201

310

B t

023

201

310

B

BB t

Pg. 33

a. Dadas las matrices

calcula 3At Bt .

b. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:

431

341

331

A

016

102

211

B

24

5132 YX

63

01YX

a)

03

12YX

10

26YX

b)

20

132 YX

42

012YX

c)



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