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TEMA : MATRICES

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Laureate International Universities*

TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112MA112

EPE-SISTEMASEPE-SISTEMAS

UPC

Habilidades:

Define el concepto de matriz. Define las operaciones con matrices

y sus propiedades: Utiliza adecuadamente las

operaciones de suma, producto por un escalar, transposición y producto de matrices.

Identifica diferentes tipos de matrices.

20-Mar-06 21-Mar-06 22-Mar-06 23-Mar-06 24-Mar-0609:00 553.1 554.1 551.1 551.7 554.210:00 551.4 548.2 550.1 549.8 556.411:00 554.2 549.7 550.3 547.9 560.212:00 555.0 550.3 550.7 547.6 559.7

Cotización del Oro(Londres, US$/oz.)

Sector de origen 1.- Agricultores2.- Molinos y productores de insumos para agricultura 3.- Panaderías

1.- Agricultores 10 100 02.- Molinos y productores de insumos para agricultura 20 0 1503.- Panaderías 0 0 0

Sector de destino

Matriz Insumo - ProductoTabla de transacciones intersectoriales

INTRODUCCIÓN

Definición: Una matriz de orden m x n es un

arreglo rectangular de números colocados en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).

a a ... an

a a ... ammmn

a a ... an

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ijaNotas:

El número que aparece en el reglón i-ésimo y la columna j-ésima de A se llama componente ij-esima.

A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas.

Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz.

Notación: A= (aij)=Amxn

Ejemplo: Encontrar las componentes de la matriz A = (aij) si A es de 3x2 y aij=2i+j

IGUALDAD DE MATRICES

Se dice que dos matrices A=(aij) y B=(bij) son iguales si son del mismo tamaño (esto es, ambas mxn) y sus componentes correspondientes son iguales ( esto es, aij=bij para cada elección de i y j)

5431

521yx

23 yx

Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias medidas en

toneladas en los dos últimos años:

AÑO 2003

TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ

FFINCA1 FINCA2 FINCA3

- 1 /2 - 3 4

10 2/3 - 2

3 0 - 1

7 12 15

2 - 1 13

AÑO 2004

TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ

FINCA1 FINCA2 FINCA3

3 8/5 8

2 1 - 3

-4 -2

4

3 0 7

5 4 10

Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe realizar y ¿cómo?

OPERACIONES CON MATRICES1.SUMA DE MATRICES Sean A= (aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn. La suma A+B de las dos matrices es la matriz mxn.A+B = (aij) + (bij) = (aij+bij)

Propiedades de la suma

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Entonces:

1. A+B=B+A2. A+O=A

3. (A+B)+C=A+(B+C)

2. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea A= (aij) una matriz de mxn, y c cualquier número real. Entonces cA es la matriz de mxn dada por

cA = c(aij) = (caij)

Propiedades

Sean A y B dos matrices del mismo orden y

, dos escalares. Entonces:1. (A+B)= A+ B2. (+)A=A+A3. ( ) A= ( A)4. 1A=A5. 0A=O

3. TRANSPUESTA

Sea A=(aij) una matriz de orden mxn, entonces la transpuesta de A, denotada por At , es una matriz nxm

303352

431A

334053321

tA

Propiedades

1. (At)t=A2. (A+B)t = At +Bt 3. (cA)t =cAt

4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Definición 1: Sea un vector fila n- dimensional y

un vector columna n- dimensional.

Entonces el producto AB, de A y B está dado por :

1

2

...

n

bb

B

b

1 2 ... nA a a a

1

2

1 2 1 1 2 2

.... ...

.

.

n n n

n

bb

AB a a a a b a b a b

b

Definición 2:Sean Amxp y Bpxn. El producto AB es la matriz mxn cuya componente ij-ésima es el producto de la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B.

1

21 2

1

[ ... ]. .

mxp pxn mxn

j

pj

i j i i ip i k k jk

p j

A B C

bb

c a a a a b

b

Ejercicios:

Encontrar el elemento de la tercera fila y la segunda columna del producto

2 40 6 1

1 31 7 11

5 8AB

Obtener el producto AB donde

4 10 5

A

1 8 06 2 3

B

Observaciones: Notar que para que el producto AB se pueda

realizar se requiere que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene:El mismo número de filas que la matriz A.

El mismo número de columnas de B. El producto AB puede existir y sin embargo no

existir BA.• Si existe AB y BA, el producto matricial entre A

y B no es conmutativo.

mxnpxnmxp CBA

434223 xxx CBA

2342 xx AB

Algunos tipos de matrices

270469

172M

2 0 0 00 4 0 00 0 0 00 0 0 5

B

5000300051140

8932

A

2 0 0 03 8 0 0

12 4 1 00 7 5 2

C

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

N

Sea A una matriz de orden n, si existe una matriz B tal AB=BA=I, la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1.

DEFINICIÓN:DEFINICIÓN:

Si : AB = BA = I

Entonces: B = A-1

MATRIZ INVERSA

OBSERVACIONES

Si A-1 existe se tiene: A A-1= A-1A=I

Si la inversa de A existe se dice que A es inversible.

Si A no es inversible se dice que es singular.