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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones

Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y Mecánica

Capitulo IVCapitulo IVCapitulo IVCapitulo IV

IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones

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CapCapCapCapíííítulo IVtulo IVtulo IVtulo IVSSSSííííntesis dimensional de mecanismosntesis dimensional de mecanismosntesis dimensional de mecanismosntesis dimensional de mecanismosIV.1IV.1IV.1IV.1 SSSSííííntesis dimensional de mecanismos. Generacintesis dimensional de mecanismos. Generacintesis dimensional de mecanismos. Generacintesis dimensional de mecanismos. Generacióóóón de n de n de n de

funciones.funciones.funciones.funciones.1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón a la sn a la sn a la sn a la sííííntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.2.2.2.2. SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones.n de funciones.n de funciones.n de funciones.3.3.3.3. EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....4.4.4.4. SSSSííííntesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisióóóón.n.n.n.5.5.5.5. Aumento del nAumento del nAumento del nAumento del núúúúmero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisióóóón.n.n.n.6.6.6.6. Derivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisióóóón.n.n.n.7.7.7.7. GeneralizaciGeneralizaciGeneralizaciGeneralizacióóóón de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....

IV.2IV.2IV.2IV.2 GeneraciGeneraciGeneraciGeneracióóóón de trayectorias.n de trayectorias.n de trayectorias.n de trayectorias.IV.3IV.3IV.3IV.3 Guiado de sGuiado de sGuiado de sGuiado de sóóóólido rlido rlido rlido ríííígido.gido.gido.gido.

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Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y MecánicaCapCapCapCapíííítulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1

SSSSííííntesis dimensional de ntesis dimensional de ntesis dimensional de ntesis dimensional de mecanismos. Generacimecanismos. Generacimecanismos. Generacimecanismos. Generacióóóón de n de n de n de

funciones.funciones.funciones.funciones.1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón a la sn a la sn a la sn a la sííííntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.2.2.2.2. SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones.n de funciones.n de funciones.n de funciones.3.3.3.3. EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....4.4.4.4. SSSSííííntesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisióóóón.n.n.n.5.5.5.5. Aumento del nAumento del nAumento del nAumento del núúúúmero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisióóóón.n.n.n.6.6.6.6. Derivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisióóóón.n.n.n.7.7.7.7. GeneralizaciGeneralizaciGeneralizaciGeneralizacióóóón de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....

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funciones.funciones.funciones.funciones.

1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón a la sn a la sn a la sn a la sííííntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.ntesis dimensional.

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IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón a la sn a la sn a la sn a la sííííntesis dimensionalntesis dimensionalntesis dimensionalntesis dimensional

SSSSííííntesis cinemntesis cinemntesis cinemntesis cinemáááática:tica:tica:tica: Es el proceso de encontrar la mejor geometría y dimensiones del mecanismo que producirá el movimiento deseado.

AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemááááticoticoticotico

Datos:Datos:Datos:Datos:Datos:Datos:Datos:Datos: geometría y dimensiones del mecanismo y posición de los elementos de entrada

Resultado:Resultado:Resultado:Resultado: Posición inicial, desplazamientos finitos, velocidades y aceleraciones.

SSSSííííntesis cinemntesis cinemntesis cinemntesis cinemááááticaticaticatica

Datos:Datos:Datos:Datos: Posición inicial, desplazamientos finitos, velocidades y aceleraciones.

Resultados:Resultados:Resultados:Resultados: geometría y dimensiones del mecanismo y posición de los elementos de entrada

vsvsvsvs.

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SSSSííííntesis de tipo o ntesis de tipo o ntesis de tipo o ntesis de tipo o ReuleauxReuleauxReuleauxReuleaux:::: Consiste en encontrar el tipo y número de elementos y pares cinemáticos para formar un mecanismo que cumpla con las condiciones de movimiento impuestas.

SSSSííííntesis dimensional:ntesis dimensional:ntesis dimensional:ntesis dimensional: Para un mecanismo estructuralmente definido (elementos y pares cinemáticos), consiste en encontrar las dimensiones de los elementos que proporcionen las características de movimiento que cumplan con la condiciones impuestas.


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Dentro de la síntesis dimensional de mecanismos existen tres tipos de problemas que dan lugar a dos clases de síntesis:

•SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones.n de funciones.n de funciones.n de funciones.

•SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de trayectorias.n de trayectorias.n de trayectorias.n de trayectorias.

•SSSSííííntesis de guiado de sntesis de guiado de sntesis de guiado de sntesis de guiado de sóóóólido rlido rlido rlido ríííígido.gido.gido.gido.

En este primer tema se estudiará la síntesis de generación de funciones, para posteriormente estudiar la generación de trayectorias.


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•SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones:n de funciones:n de funciones:n de funciones: se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de unmecanismo que genere una coordinación deseada de las posiciones de las barras de entrada y de salida.

ab

c

ψ

ϕϕ

ψf(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ

ψf(ϕ,ψ,a2,b2,c2) = 0

f(ϕ,ψ,a1,b1,c1) = 0

f(ϕ,ψ,a3,b3,c3) = 0


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•SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de trayectorias:n de trayectorias:n de trayectorias:n de trayectorias: Se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de unmecanismo en el que uno de sus genere una trayectoria deseada.

ed

b

c

a

Trayectoria deseada

P(x,y)

Trayectoria generada


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•SSSSííííntesis de guiado de sntesis de guiado de sntesis de guiado de sntesis de guiado de sóóóólido rlido rlido rlido ríííígido:gido:gido:gido: Se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia situar un elemento de un mecanismo en diversas posicione especificadas.


x

y

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2.2.2.2. SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones.n de funciones.n de funciones.n de funciones.

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SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funcionesn de funcionesn de funcionesn de funciones

ϕ

ψ

f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ0 ϕ1

ψ0

ψ1

ϕ

ψf(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ1 ϕ2

ψ1

ψ3

ϕ3 ϕ4 ϕ5

ψ2

ψ5

ψ4

……ψ4ϕ4

ψ3ϕ3

ψ2ϕ2

ψ1ϕ1

ψϕ

ab

c

ψ

ϕ

13




ϕ

ψ

f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ0 ϕ1

ψ0

ψ1

ϕ

ψ

f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ1 ϕ2

ψ1

ψ3

ϕ3 ϕ4 ϕ5

ψ2

ψ5

ψ4

ψ5ϕ5

ψ4ϕ4

ψ3ϕ3

ψ2ϕ2

ψ1ϕ1

ψϕ

ψd

ψg

ψd ψg

Ψg: función generada

Ψd: función deseada

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FunciFunciFunciFuncióóóón de Error Estructuraln de Error Estructuraln de Error Estructuraln de Error Estructural

ϕ

E = ψd - ψg

ϕ1 ϕ5ϕ4ϕ3ϕ2

Error Estructural máximo

En mecanismos con 2 gdl esta función será una superficie y con más de 2 gdluna hipersuperficie.

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3.3.3.3. EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....

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EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudensteinLa ecuación de Freudenstein ofrece la relación entre los ángulos de los elementos en un cuadrilátero articulado. Para obtener esta expresión empezamos escribiendo la ecuación de cierre del mecanismo considerando como sistema de referencia el indicado en la figura de la siguiente forma,

ab

d

c

θ2

θ3

θ4

A

BC

D

Im

Re

432 θθθ iiibedceae +=+

=+

+=+

432

432

sensensen

coscoscos

θθθ

θθθ

bca

bdca

−=

−+=

243

243

sensensen

coscoscos

θθθ

θθθ

abc

abdc

)cos(2cos2cos2 24242222 θθθθ −−−+++= abadbdbadc

ac

dcbaK

c

dK

a

dK

2;;

2222

321

++−===

)cos(coscos 4232241 θθθθ −=+− KKK

Expresión que se conoce con el nombre de “Ecuación de Freudenstein” y que resulta muy útil en síntesis de mecanismos.

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EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudensteinEsta ecuación presenta una serie de características que deben ser tenidas en cuenta. Estas son las siguientes:

• Si la ecuación se verifica para las coordenadas θ2 y θ4 y unos valores cualesquiera de las constantes K también se verifica para su imagen espejo respecto de la barra fija correspondiente a sustituir las coordenadas (θ2-2π) y (θ4-2π).

θ2

θ2

θ4

θ4

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EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein

• Para un determinado valor de las constantes K y de θ2, existen dos valores de θ4 que cumplen con la ecuación de Freudenstein. Estos valores se corresponden con las configuraciones abierta y cerrada del cuadrilátero articulado.

ab

d

c

θ2

θ3

θ4

A

BC

D

c'

b’

Solución abierta (ABCDA)

Solución cruzada (ABC’DA)

C’

Im

Re

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• Si para un determinado valor de los ángulos θ2 y θ4 los valores resultantes de K son negativos debe de modificarse la ecuación ya que dichos valores negativos carecen de sentido físico (son módulos). Esta modificación puede consistir en sumar π radianes a los ángulos. Como están afectados por la función coseno, cambiará su signo pero no su valor absoluto.

)cos(Kcos)K(cos)K( 4232241 θθθθ −=+−−−

)cos(KcosKcosK 4232241 θθθθ −=++−

)cos(K)cos(K)cos(K 4232241 πθπθπθπθ −−+=++−+

)''cos(K'cosK'cosK 4232241 θθθθ −=+−

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La ecuación de Freudenstein obtenida ofrece la coordinación existente entre los ángulos θ2 y θ4 del mecanismo. Se puede obtener una relación similar entre los ángulos θ2 y θ3 ó θ3 y θ4. Las ecuaciones en este caso son las siguientes:

)cos(coscos 3233221 θθθθ −=−+ PPP )cos(coscos 3433241 θθθθ −=+− RRR

ac

bdcaP

a

dP

c

dP

2;;

2222

321

−++=== cb

acbdR

b

dR

c

dR

2;;

2222

321

−++===

21




a c

s

bA

O

B

θ4

θ3

θ2

rrrrs

La ecuación de Freudenstein se puede obtener para otros mecanismos distintos al cuadrilátero articulado como por ejemplo el mecanismo biela-manivela. Así, la ecuación de cierre generada por este mecanismo puede expresarse como sigue,

432 θθθ iiicedbeae +=+

=+

=+

cba

sba

32

32

sensen

coscos

θθ

θθ

−=

−=

23

23

sensen

coscos

θθ

θθ

acb

asb

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas posteriormente, se obtiene,

222

222 sen2cos2 sacascab =++−− θθ

Agrupando los términos constantes se obtiene,2

32221 cos sKsenKsK =−+ θθ

;;2;2 222321 bcaKacKaK −+===

22





4.4.4.4. SSSSííííntesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisintesis con tres puntos de precisióóóón.n.n.n.

23



SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones con 3 n de funciones con 3 n de funciones con 3 n de funciones con 3 puntos de precisipuntos de precisipuntos de precisipuntos de precisióóóónnnn

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

DefiniciDefiniciDefiniciDefinicióóóón del problema:n del problema:n del problema:n del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y d de un cuadrilátero articulado para tres posiciones dadas:

ψ3

ϕ3

ψ2

ϕ2

ψ1

ϕ1

ψ

ϕ

SoluciSoluciSoluciSolucióóóón:n:n:n: Sustituyendo en la ecuación de Freudenstein los 6 valores conocidos se plantea el siguientes sistema de ecuaciones:

−=+−

−=+−

−=+−

)cos(KcosKcosK

)cos(KcosKcosK

)cos(KcosKcosK

3333231

2232221

2131211

ψφφψ

ψφφψ

ψφφψ

24



SSSSííííntesis de generacintesis de generacintesis de generacintesis de generacióóóón de funciones n de funciones n de funciones n de funciones con 3 puntos de precisicon 3 puntos de precisicon 3 puntos de precisicon 3 puntos de precisióóóónnnn

−

−

−

=

−

−

−

)cos(

)cos(

)cos(

K

K

K

1coscos

1coscos

1coscos

33

22

11

3

2

1

33

22

11

ψφ

ψφ

ψφ

φψ

φψ

φψ

[ ]{ } { }iii cos(KS ψφ −=

{ } [ ] { }ii1

i cos(SK ψφ −=−

25




++−=

=

=

ac2

dcbaK

c

dK

a

dK

2222

3

2

1

Sistema con tres ecuaciones y cuatro incógnitas

Para resolver este último sistema es necesario dar un valor arbitrario a una de las dimensiones. Esto significa que el problema puede tener infinitas soluciones. Evidentemente, el tamaño del mecanismo dependerá del valor arbitrario dado a uno de los elementos.

Se pueden especificar como máximo 3 puntos de precisión. Si se desea 2 puntos de precisión se fija uno arbitrariamente.

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a

c

b

ef

ϕ ψ

y1

y2

y3

x3 x2

x1

d

xKea

xφφ =

+=

ea

1K

+=φ

yKfb

yψψ =

+= fb

1K

+=ψ

)yKxKcos(KxKcosKyKcos(K 321 ψφφψ −=+−

φ∆∆ Rx =

ψ∆∆ Ry =

xKea

x∆

∆φ∆ φ=

+=

yKfb

y∆

∆ψ∆ ψ=

+=

xK

∆

φ∆φ =

yK

∆

ψ∆ψ =

a

c

b

e

f

ϕi ψi

yi

yfxfxi

d

ϕf

Δϕ

Δψ

ψf

Δψ

Factores de escala

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Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:DefiniciDefiniciDefiniciDefinicióóóón del problema:n del problema:n del problema:n del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y d de un cuadrilátero articulado para cumplir con la función:

y = fd(x)

SoluciSoluciSoluciSolucióóóón:n:n:n:1. Se establecen 3 puntos de precisión:

y3

x3

y2

x2

y1

x1

y

x

2. Se establecen los valores de los factores de escala. Esto puede hacerse de dos formas:

• Fijando arbitrariamente las longitudes de las barras.• En función del rango de movimiento.

ea

1

xK

+==

∆

φ∆φ fb

1

yK

+==

∆

ψ∆ψ

28




−=+−

−=+−

−=+−

)yKxKcos(K)xKcos(K)yKcos(K



3333231

2232221

1131211

ψφφψ

ψφφψ

ψφφψ

3. Se plantean las ecuaciones (sistema de 3 incógnitas con 3 ecuaciones) y se resuelve:

4. Se obtienen las dimensiones: a, b, c y d, exactamente igual que en el procedimiento anterior.

5. Finalmente se obtienen los valores de e y f.

aK

1e −=

φ

bK

1f −=

ψ

29





5.5.5.5. Aumento del nAumento del nAumento del nAumento del núúúúmero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisióóóón.n.n.n.

30



Aumento del nAumento del nAumento del nAumento del núúúúmero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisimero de puntos de precisióóóónnnn

El número de puntos de precisión puede aumentarse incluyendo más incógnitas en las ecuaciones planteadas. Sin embargo, el aumento del número de incógnitas aumenta también la dificultad del sistema de ecuaciones, conduciendo a sistemas fuertemente no lineales, difíciles de resolver incluso con la ayuda de un ordenador.

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo puede aumentarse el número de incógnitas (puntos de precisión), aunque los ejemplos presentados aquí no son los únicos procedimientos.

31




a

c

bϕ ψ

y1

y2

y3

x3 x2

x1

d

x4y4

)b

y

a

xcos(

ac2

dcba)a

xcos(b

d)b

ycos(a

d 2222

−=++−

+−

4 puntos de precisi4 puntos de precisi4 puntos de precisi4 puntos de precisióóóónnnnSe eliminan las barras e y f.

bc

ϕa

ϕ0

0

ψ

Ψ0

5 puntos de precisi5 puntos de precisi5 puntos de precisi5 puntos de precisióóóónnnn

Incógnitas: a, b, c y d.

fe

)cos(

K)cos(K)cos(K

00

30201

φφψψ

φφψψ

−−+

=++−+

Incógnitas: K1, K2, K3, ϕ0, ψ0.

32




6 puntos de precisi6 puntos de precisi6 puntos de precisi6 puntos de precisióóóónnnnSe eliminan las barras e y f.

Incógnitas: a, b, c, d, x0 y y0.

)b

y

b

y

a

x

a

xcos(

ac2

dcba)

a

x

a

xcos(b

d)

b

y

b

ycos(a

d 002222

00 −−−=++−

++−+

33





6.6.6.6. Derivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisióóóón.n.n.n.

34



Derivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisióóóónnnn

Si se desea obtener mayor precisión en el problema de síntesis de generación de funciones se puede añadir como condición el tener en uno o varios puntos derivadas de precisión. A este criterio se le denomina síntesis de derivadas de precisión.

Cada imposición de derivada de precisión supone el planteamiento de una nueva ecuación. Como el número de parámetros de diseño (longitudes de las barras) permanece inalterado se debe reducir el número de puntos de precisión por cada una de las derivadas que se añadan al problema.

ϕ

ψ f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0

ϕ1 ϕ2

ψ1

ψ2

ϕ3

ψ3

ϕ

E = ψd - ψg

ϕ1 ϕ3ϕ2

35




)(φψψ =

)cos(KcosKcosK 321 φψφψ −=+−

)(sen1d

dsenKsen

d

dK 21 φψ

φ

ψφψ

φ

ψ−

−=−

)cos(1d

d)(sen

d

dcosKcos

d

dKsen

d

dK

2

2

2

2

2

12

2

1 φψφ

ψφψ

φ

ψφψ

φ

ψψ

φ

ψ−

−+−=−

+

)cos(1d

d)(sen

d

dcosKcos

d

dsen

d

dK

2

2

2

2

2

2

2

1 φψφ

ψφψ

φ

ψφψ

φ

ψψ

φ

ψ−

−+−=−

+

Puntos de precisión

Derivadas 1ª de precisión

Reordenando

Derivadas 2ª de precisión

36



Derivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisiDerivadas de precisióóóónnnnLas derivadas presentes en la formulación se pueden relacionar fácilmente con las magnitudes cinemáticas que intervienen en el problema. A continuación se expresan estas magnitudes en un mecanismo cuadrilátero articulado.

dt

d1

φω =

2

2

1dt

d φα =

dt

d2

ψω =

2

2

2dt

d ψα =

A

dt

ddt

d

d

dt

dt

d

d

d

1

2 ====ω

ω

φ

ψ

φ

ψ

φ

ψ

BA

d1

dAd

dt

dt

dA

d

dA

d

d21

1231

1212

1

1

2

12

2

=−

=−

=

====ω

αα

ω

αωωα

ω

ω

ω

ωφφφ

ψ

ω1

ω2

α1

α2

37




)cos(KcosKcosK 321 φψφψ −=+−

)(sen1d

dsenKsen

d

dK 21 φψ

φ

ψφψ

φ

ψ−

−=−

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

Se desean obtener:

• n puntos de precisión.

• m puntos de derivadas 1ª de precisión.

• p puntos de derivadas 2ª de precisión.

• etc.

1. Se plantean:

)cos(1d

d)(sen

d

dcosKcos

d

dsen

d

dK

2

2

2

2

2

2

2

1 φψφ

ψφψ

φ

ψφψ

φ

ψψ

φ

ψ−

−+−=−

+

n ecuaciones:

m ecuaciones:

p ecuaciones:

…

38




2. Se resuelve el sistema de ecuaciones teniendo en cuenta que el número de incógnitas (parámetros de diseño) debe ser igual al número de ecuaciones planteadas en el sistema anterior. Esto es: n + m + p +…

Ejemplo: 2 puntos de precisión y 1 derivada 1ª de precisión en el punto 1:

)(sen1d

dsenKsen

d

dK

)cos(KcosKcosK

)cos(KcosKcosK

111211

2232221

2131211

11

φψφ

ψφψ

φ

ψ

ψφφψ

ψφφψ

φφ

−

−=−

−=+−

−=+−

ϕ

ψ

ϕ1 ϕ2

ψ1

ψ2

ψd

ψg

39



CapCapCapCapíííítulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1tulo IV: Tema 1SSSSííííntesis dimensional de ntesis dimensional de ntesis dimensional de ntesis dimensional de

mecanismos. Generacimecanismos. Generacimecanismos. Generacimecanismos. Generacióóóón de n de n de n de funciones.funciones.funciones.funciones.

7.7.7.7. GeneralizaciGeneralizaciGeneralizaciGeneralizacióóóón de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein....

40



GeneralizaciGeneralizaciGeneralizaciGeneralizacióóóón de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein

GeneralizaciGeneralizaciGeneralizaciGeneralizacióóóón de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacin de la ecuacióóóón de n de n de n de FreudensteinFreudensteinFreudensteinFreudenstein

La ecuación de Freudenstein no puede considerarse exclusiva de un determinado tipo de mecanismo, si no que puede aplicarse a cualquier tipo de mecanismo que cumpla una serie de requisitos. En general, si en un mecanismo cualquiera la relación entre la entrada y la salida puede expresarse linealmente en función de n parámetros de diseño, Ki (i=1,2,…,n), se puede plantear la siguiente expresión,

Siendo aplicables, pues, todos los conceptos relativos a la ecuación de Freudenstein vistos anteriormente y desarrollados en los apartados siguientes.

),(),(...),(),( 12211 babannbaba GfKfKfK θθθθθθθθ =+++

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