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TEMA I: ESPACIOS TOPOLOGICOS

FRANCISCO J. LOPEZ

1. INTRODUCCION

La Topologıa (etimologicamente, ”estudio del lugar”), es la parte de la matematica dedicada ala comprension de aquellas propiedades de los cuerpos geometricos inalterables por deforma-ciones no traumaticas (sin ruptura o desgarro). Desde el punto de vista topologico, un objeto esequivalente a cualquiera otro generado tras doblarlo, estirarlo, encogerlo, retorcerlo, etc., siem-pre que estos procesos se realicen sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo queestaba separado. Por ejemplo, el balon de futbol es topologicamente equivalente al de rugby,una taza a un neumatico, o una circunferencia a un cuadrado, pero estos dos ultimos objetos noson equivalentes a un segmento porque habrıa que cortarlos en algun punto. Objetos equiv-alentes en topologıa deben tener el mismo numero de trozos, huecos, intersecciones, etc. LaTopologıa es pues la Geometrıa de los objetos elasticos, en clara contraposicion a la Geometrıa eu-clidiana donde las transformaciones naturales o isometrıas preservan angulos, longitudes, areas,volumenes, etc.

La idea de transformacion topologica o deformacion entre espacios topologicos, los objetos deestudio en esta ciencia, se materializa a traves del concepto de aplicacion continua (o mas es-pecıficamente de homeomorfismo) entre espacios topologicos. A un nivel elemental, la Topologıase interesa por conceptos como proximidad, interior, exterior, frontera, numero de trozos o deagujeros, etc. La comparacion y clasificacion de objetos es quiza su objetivo principal, y paraello se introducen los llamados invariantes topologicos o atributos (como conexion, compacidad,metrizabilidad, etc) que resultan inalterados tras una transformacion topologica o deformacion.

Aunque originariamente la Topologıa nace con la Geometrıa, en su formulacion moderna esmas un pilar de la misma que una consecuencia. Ciencias como la Geometrıa o el Analisis nece-sitan de rudimentos topologicos para su correcto desarrollo logico, de forma que en la actualidadla Topologıa debe ubicarse en los fundamentos del edificio matematico. De hecho, muchos con-ceptos topologicos no son visualizables ni interpretables desde un punto de vista geometrico. LaTopologıa tiene su propio lenguaje, en ocasiones bastante abstracto e intimamente conectado conla teorıa de conjuntos o logica matematica. Para su correcta asimilacion, el estudiante necesitararealizar un importante esfuerzo de adaptacion y comprension.

Desde el punto de vista historico, el nacimiento de la Topologıa es indistinguible del de lapropia Geometrıa. Sus orıgenes hay que buscarlos en las ideas de lımite y continuidad que sub-yacıan tanto a la cosmovision pitagorica como a las aportaciones posteriores de Arquımedes deSiracusa, varios siglos antes del nacimiento de Cristo. No obstante, se suele fechar el origen de laTopologıa en la resolucion por parte de Euler del problema de los puentes de Konigsberg, en 1735.La razon para ello hay que buscarla en que fue aquı donde, por primera vez y de forma consciente,los argumentos puramente topologicos adquirieron carta de identidad. Otros matematicos comoMobius, Listing, Peano, Uryson, Menger, Frechet,... contribuyeron de forma relevante al desar-rollo de esta ciencia. Se atribuye a Hausdorff la primera definicion formal de espacio topologicoa partir del concepto de entorno, aunque el desarrollo moderno de esta ciencia tuvo que esperara las aportaciones de Poincare y la escuela bourbakista francesa ya en el siglo XX.

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2. ESPACIO TOPOLOGICO: DEFINICION Y EJEMPLOS

Comenzamos con la definicion del objeto fundamental de nuestro estudio.

Definicion 2.1. [Espacio Topologico] Un espacio topologico es un par (X, τ), donde

• X es un conjunto no vacıo y• τ ⊆ P(X) (esto es, τ es una familia de subconjuntos de X),

satisfaciendo:

(i)a ∅, X ∈ τ.(ii)a Si O1, O2 ∈ τ =⇒ O1 ∩O2 ∈ τ.

(iii)a Si {Oλ, λ ∈ Λ} ⊆ τ =⇒ ∪λ∈ΛOλ ∈ τ.

En este caso, la familia τ se dice ser una topologia en X, y los subconjuntos O ∈ τ abiertos de latopologıa τ en X.

Observese que la propiedad (ii)a es equivalente a

(ii)′a Si n ∈N y O1, . . . , On ∈ τ =⇒ ∩nj=1Oj ∈ τ.

Veamos algunos ejemplos basicos de espacios topologicos:

1.- Topologıa trivial: X 6= ∅, τt := {∅, X}.2.- Topologıa cofinita: X 6= ∅, τCF := {O ⊆ X : X−O finito} ∪ {∅}.3.- Topologıa conumerable: X 6= ∅, τCN := {O ⊆ X : X−O numerable} ∪ {∅}.4.- Topologıa fuerte: X 6= ∅, p0 ∈ X punto fijado, τf := {O ⊆ X : p0 /∈ O o X−O finito}.5.- Topologıa discreta: X 6= ∅, τd := P(X).6.- Topologıa de Sierpinski: X = {a, b}, τ := {∅, {a}, X}.7.- Topologıa de Sorgenfrey: (R, τS), donde O ∈ τS si y solo sı

∀x ∈ O, ∃ε > 0 : [x, x + ε[⊆ O.

2.1. La Topologıa Euclidiana o usual. La topologıa mas relevante para el analisis y la geometrıaes la topologıa Euclidiana o usual de Rn. Para su correcta descripcion necesitamos fijar las sigu-ientes notaciones.

A lo largo de este curso ‖ · ‖2 denotara la norma usual en Rn, esto es:

‖(x1, . . . , xn)‖2 :=

√√√√ n

∑j=1

x2j .

Dados p ∈ Rn y ε > 0, denotaremos por

B2(p, ε) = {q ∈ Rn : ‖q− p‖2 < ε},y referiremos B2(p, ε) como la bola abierta redonda de centro p y radio ε en Rn.

Definicion 2.2 (Abierto Euclidiano). Un subconjunto O ⊆ Rn se dice ser un abierto euclidiano si

∀p ∈ O, ∃ε > 0 : B2(p, ε) ⊆ O.

La familia de todos los abiertos euclidianos de Rn se denotara por τnu , y si no hay ambiguedad

simplemente τu.

Las bolas abiertas B2(p, ε), p ∈ Rn, ε > 0, son los ejemplos mas basicos de abiertos euclidianosen Rn. En efecto, dado q ∈ B2(p, ε) un punto arbitrario, claramente B2(q, ε−‖q− p‖2) ⊂ B2(p, ε)y por tanto B2(p, ε) ∈ τu. No obsante y en general, los abiertos euclidianos son de muy variadanaturaleza y de incontrolable geometrıa.

ESPACIOS TOPOLOGICOS 3

Proposicion 2.3. (Rn, τu) es un espacio topologico, en lo que sigue referido como el espacio topologicoeuclidiano n-dimensional.

Dem: Claramente ∅, Rn ∈ τu, lo que prueba (i)a en la Definicion 2.1.

Para comprobar (ii)a, tomemos O1, O2 ∈ τu y p ∈ O1 ∩O2. Por definicion de abierto, existeεj > 0 tal que B2(p, εj) ⊆ Oj, j = 1, 2. Es suficiente con observar que B2(p, min{ε1, ε2}) ⊆ O1∩O2.

Finalmente si {Oλ, λ ∈ Λ} ⊆ τu y p ∈ ∪λ∈ΛOλ, debe existir λ0 ∈ Λ tal que p ∈ Oλ0 , y enconsecuencia podemos encontrar ε > 0 tal que B2(p, ε) ⊆ Oλ0 ⊆ ∪λ∈ΛOλ. Esto probarıa (iii)a enla Definicion 2.1 y por tanto nuestra proposicion. �

3. SUBCONJUNTOS CERRADOS DE UN ESPACIO TOPOLOGICO

Definicion 3.1 (Subconjunto cerrado). Dado un espacio topologico (X, τ), un subconjunto F ⊆ X sedice cerrado en (X, τ) si X− F ∈ τ. Llamaremos

F := {F ⊆ X : F cerrado en (X, τ)}

a la familia de los subconjuntos cerrados de (X, τ).

La familia de cerrados F de (X, τ) satisface las siguientes propiedades:

(i)c ∅, X ∈ F .(ii)c Si F1, F2 ∈ F =⇒ F1 ∪ F2 ∈ F .

(iii)c Si {Fλ, λ ∈ Λ} ⊆ F =⇒ ∩λ∈ΛFλ ∈ F .

De hecho, una familia F ⊆ P(X) satisfaciendo formalmente las propiedades (i)c, (ii)c y (iii)c de-fine, tras paso al complementario, una unica topologıa τ en X con familia de cerrados F . En otraspalabras, es posible introducir una topologıa describiendo sus cerrados en vez de sus abiertos.

Veamos algunos ejemplos:

1.- Topologıa trivial: (X, τt), F = {∅, X}.2.- Topologıa cofinita: (X, τCF), F = {F ⊆ X : F finito} ∪ {X}.3.- Topologıa conumerable: (X, τCN), F = {F ⊆ X : F numerable} ∪ {X}.4.- Topologıa fuerte: (X, τf ), p0 ∈ X punto base, F := {F ⊆ X : p0 ∈ F o F finito}.5.- Topologıa discreta: (X, τd), F = P(X).6.- Topologıa de Sierpinski: X = {a, b}, τ = {∅, {a}, X}, F = {∅, {b}, X}.

No es posible hacer una descripcion explıcita de los cerrados para las topologıas de Sorgenfrey yeuclidiana mas alla de la propia definicion. No obstante, y en especial para la topologıa euclid-iana, ofreceremos algunas caracterizaciones mas operativas (ver el ejercicio 18 de la relacion deproblemas de este tema).

4. BASES DE UNA TOPOLOGIA

En general, la familia de abiertos de una topologıa suele ser vasta y difıcil de manejar, por loque es interesante plantearse si esta se puede describir de una forma mas simple. Esto es posible,por ejemplo, si podemos encontrar subfamilias de abiertos mas sencillos (que llamaremos basesde la topologıa) con la capacidad de poder regenerar mediante operaciones conjuntısticas basicastodos los abiertos del espacio. Este es el objeto de la siguiente definicion.

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Definicion 4.1 (Base de topologıa). Sea (X, τ) un espacio topologico. Una familia B ⊆ τ se diceser una base de la topologıa τ si

∀O ∈ τ, ∃{Bi : i ∈ I} ⊆ B tal que O = ∪i∈I Bi.

Obviamente si B es base de τ y B′ ⊆ τ entonces B ∪ B′ es tambien base de τ. En este sentido,las bases mas interesantes de una topologıa son aquellas con la menor cantidad de abiertos.

Proposicion 4.2. Sea (X, τ) un espacio topologico. Una familia B ⊆ τ es base de τ si y solo si

∀O ∈ τ, ∀x ∈ O, ∃B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ O.

Dem: Supongamos que B es base de τ, y sean O ∈ τ y x ∈ O. Por ser B una base de τ, existe{Bi : i ∈ I} ⊆ B tal que O = ∪i∈I Bi. Como x ∈ O, debe existir i0 ∈ I tal que x ∈ Bi0 , y or tantobasta con elegir B := Bi0 .

Recıprocamente, si suponemos que para todo O ∈ τ y x ∈ O existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ O,uno deduce que O = ∪x∈OBx, y por tanto B es base de τ de acuerdo con la Definicion 4.1. �

Veamos algunos ejemplos sencillos de bases de topologıa:

• B := {{(x} : x ∈ X} es base de (X, τd).• B := {{(x} : x ∈ X− {p0}} ∪ τCF es base de (X, τf ) con base p0.• B := {B2(p, ε) : p ∈ Rn, ε > 0} es base de (Rn, τu).• B := {[x, x + ε[ : x ∈ R, ε > 0} es base de (R, τS).

Cualquier base B de (X, τ) satisface las siguientes dos propiedades fundamentales:

(a) X = ∪B∈BB.(b) Si B1, B2 ∈ B y x ∈ B1 ∩ B2 entonces ∃ B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2.

De hecho, estas dos propiedades son la clave para la construccion de nuevos espacios topologicoscomo demuestra el siguiente

Teorema 4.3. Sea X un conjunto no vacıo arbitrario, y sea B ⊆ P(X) una familia de subconjuntos de X.Supongamos que las siguientes propiedades son ciertas:

(a) X = ∪B∈BB.(b) Si B1, B2 ∈ B y x ∈ B1 ∩ B2 =⇒ ∃ B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2.

Entonces, existe una unica topologıa τ(B) en X tal que B es una base de τ(B).

Dem: Definamos

τ(B) := {O ⊆ X : ∃ {Bi : i ∈ I} ⊆ B tal que O = ∪i∈I Bi}.Probemos que τ(B) es una topologıa.

Obviamente ∅ ∈ τ(B) (el vacıo es la union de una familia vacıa de elementos de B). Lapropiedad (a) nos dice que X ∈ τ(B), por lo que (i)a en Definicion 2.1 es cierto.

Sean O1 = ∪i∈I1 Bi y O2 = ∪i∈I2 Bi ∈ τ(B), donde {Bi : i ∈ Ij} ⊆ B, j = 1, 2, y veamosque O1 ∩O2 ∈ τ(B). En efecto, sea x ∈ O1 ∩O2, y tomemos indices i1 ∈ I1 e i2 ∈ I2 tales quex ∈ Bi1 ∩ Bi2 . Por (b), existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ Bi1 ∩ Bi2 ⊆ O1 ∩O2. Esto prueba queO1 ∩O2 = ∪x∈O1∩O2 Bx ∈ τ(B), probando (ii)a en Definicion 2.1.

Finalmente, si Oλ = ∪i∈IλBi con {Bi : i ∈ Iλ} ⊆ B, λ ∈ Λ, se deduce que ∪λ∈ΛOλ =

∪i∈∪λ∈Λ IλBi ∈ B, y en consecuencia (iii)a en Definicion 2.1. Esto concluye la prueba de que τ(B)

es una topologıa.


Obviamente B ⊆ τ(B), y de acuerdo a la Definicion 4.1, B es una base de τ(B).Para comprobar la unicidad en el teorema, consideremos una topologıa τ′ sobre X admitiendo

a B como base. Como consecuencia de la Definicion 4.1, todo abierto de τ′ es union de elementosde B, y por tanto τ′ ⊆ τ(B) por la definicion de τ(B). La inclusion τ(B) ⊆ τ′ es consecuencia deque B ⊆ τ′ por ser B una base de τ′, y del hecho de que la union de abiertos de τ′ es abierto de τ′

( (iii)a de espacio topologico en la Definicion 2.1). �

El principal interes de este teorema es que es una herramienta muy util para la construccion deespacios topologicos, bastara con presentar una familia basica satisfaciendo las propiedades (a) y(b) anteriores.

La construccion del (hiper)plano de Moore ilustrara este comentario.

Llamemos Rn+ := {(x, y) ∈ Rn−1 ×R ≡ Rn : y ≥ 0}, y denotemos por

BM := {B2((x, y), ε

)⊆ Rn

+ : y > 0, ε ∈]0, y[} ∪ {B2((x, y), y

)∪ {(x, 0)} ⊆ Rn

+ : y > 0}.La familia BM satisface las propiedades (a) y (b) en el Teorema 4.3, e induce por tanto una unicatopologıa τM ≡ τ(BM) en Rn

+ conocida como la topologıa de Moore. El par (Rn+, τM) es conocido

como el (hiper)plano de Moore igualmente.

4.1. Comparacion de topologıas. La idea de comparacion de topologıas es elemental desde elpunto de vista meramente conjustıstico.

Definicion 4.4. Sean τ1 y τ2 dos topologıas en un conjunto X. Se dice que τ2 es mas fina que τ1 siτ1 ⊆ τ2.

En la familia de todas las topologıas sobre X, la relacion ”ser mas fina”’ es de orden (en generalparcial).

Veamos algunos ejemplos.

La topologıa discreta τd es mas fina que cualquier topologıa en X, mientras que cualquieratopologıa en X es mas fina que la topologıa trivial τt. Obviamente,

τt ⊆ τCF ⊆ τCN ⊆ τd.

La interseccion τ1 ∩ τ2 de dos topologıas τ1 y τ2 es una topologıa, y τj es mas fina que τ1 ∩ τ2, j =1, 2.

Sin embargo, la union de dos topologıas no es en general una topologıa. Considerese el sigu-iente caso:

X = {a, b, c}, τ1 = {∅, X, {a}}, τ1 = {∅, X, {b}}.Es claro que τ1 ∪ τ2 no es una topologıa pues {a}, {b} ∈ τ1 ∪ τ2 y {a, b} /∈ τ1 ∪ τ2.

El principal criterio de comparacion de topologıas es debido a Hausdorff:

Proposicion 4.5. Sea X un conjunto no vacıo, sean τ1 y τ2 dos topologıas en X, y consideremos bases B1y B2 de τ1 y τ2, respectivamente. Se tiene que

τ1 ⊆ τ2 ⇐⇒ ∀B1 ∈ B1 y x ∈ B1, ∃B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1.

Dem: Consideremos O1 ∈ τ1 y x ∈ O1. Como B1 es base de τ1, existe Bx1 ∈ B1 tal que x ∈ Bx

1 ⊂ O1.Por hipotesis, existe Bx

2 ∈ B2 tal que x ∈ Bx2 ⊆ Bx

1 ⊂ O1.

Como esto es cierto para todo x ∈ O1, uno deduce que O1 = ∪x∈O1 Bx2 ∈ τ2. Para la ultima

afirmacion tengase en cuenta que B2 es base de τ2. �

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Veamos una aplicacion sencilla de este criterio.

Consideremos en R las topologıas τu y τS con bases

B1 = {]a, b[ : a < b} y B2 = {[a, b[ : a < b},respectivamente. Si x ∈]a, b[ es claro que x ∈ [x, b[⊂]a, b[, de donde τu ⊆ τS por la Proposicion4.5.

Corolario 4.6. Sean X, τ1, τ2, B1 y B2 como en la Proposicion 4.5.

Entonces, τ1 = τ2 si y solo si son ciertas las siguientes dos condiciones

• ∀B1 ∈ B1 y x ∈ B1, ∃B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1.• ∀B2 ∈ B2 y x ∈ B2, ∃B1 ∈ B2 tal que x ∈ B1 ⊆ B2.

4.2. Sub-base de una topologıa. El concepto de sub-base supone la mayor simplificacion a lahora de presentar una topologıa.

Proposicion 4.7. Sea X un conjunto no vacıo, y sea S = {Si : i ∈ I} ⊆ P(X) un subconjunto no vacıo(esto es, una familia no vacıa de subconjuntos de X).

Entonces la familia B(S) := {∩j∈JSj : J ⊆ I finito} es base de una (unica) topologıa en X, a saberτ(B(S)). En lo que sigue, y por simplicidad, escribiremos τ(S) en vez de τ(B(S)).

Dem: Para la demostracion tendremos en cuenta el Teorema 4.3.

Primero, observese que X = ∩j∈∅Sj ∈ B(S), de donde Teorema 4.3-(a) se satisface trivial-mente.

Para comprobar Teorema 4.3-(b), consideremos B1 = ∩j∈J1 Sj, B2 = ∩j∈J2 Sj ∈ B(S), y x ∈B1 ∩ B2. Como B3 := B1 ∩ B2 = ∩j∈J1∪J2 Sj ∈ B(S) y x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2, la prueba se completa. �

Definicion 4.8 (Sub-base de topologıa). Sea (X, τ) un espacio topologico, y sea S ⊆ P(X) unsubconjunto no vacıo. Se dice que S es una sub-base de τ si τ = τ(S). Tambien se dice que τ es latopologıa de sub-base S , obviamente unıvocamente definida.

Veamos algunos ejemplos sencillos.

• X arbitrario y S = {X} ⊂ P(X). En este caso B(S) = S y τ(S) = τt.• X = R y S = {]−∞, a[, a ∈ R} ∪ {]b,+∞[ : b ∈ R}. En este caso B(S) = {]a, b[ : a <

b} ∪ S ∪ {∅} y τ(S) = τu.• X = Rn, S = {rectas afines de Rn}, B(S) = {∅} ∪ S ∪ {{p} : p ∈ Rn} y τ(S) = τd

topologıa discreta.

5. SISTEMA DE ENTORNOS

Uno de los conceptos basicos de la topologıa es el de entorno o vecindad de un punto. Intuiti-vamente, un entorno de un punto es un subconjunto del espacio que encierra toda la informaciontopologica alrededor del punto en un sentido fuerte. La materializacion de este concepto la podemosencontrar en la siguiente definicion.

Definicion 5.1 (Entorno). Sea (X, τ) un espacio topologico, y sea x ∈ X un punto arbitrario.

Un subconjunto U ⊆ X se dice que es un entorno de x si existe O ∈ τ tal que x ∈ O ⊂ U.

Denotaremos por Ux, o U τx si queremos ser mas precisos enfatizando la topologıa subyacente,

a la familia de entornos de x en el espacio topologico (X, τ). Referiremos al conjunto Ux como el


sistema de entornos del punto x en (X, τ), y a la familia U := {Ux}x∈X el sistema global de entornosen (X, τ).

Es fundamental comprender que los entornos determinan la topologıa, esto es, caracterizan alos abiertos.

Proposicion 5.2. Sea (X, τ) un espacio topologico, y sea O ⊂ X un subconjunto no vacıo. Entonces,

O ∈ τ ⇐⇒ O ∈ Ux ∀ x ∈ O.

Dem: =⇒) Trivial.

⇐=) Supongamos que O ∈ Ux para todo x ∈ O. Esto quiere decir que existe Ox ∈ τ tal quex ∈ Ox ⊂ O para todo x ∈ O, y en consecuencia O = ∪x∈OOx ∈ τ. �

Veamos algunos ejemplos sencillos:

• (X, τt), x ∈ X, Ux = {X}.• (X, τCF), x ∈ X, Ux = {U ⊆ X : x ∈ U y X−U finito}.• (X, τCN), x ∈ X, Ux = {U ⊆ X : x ∈ U y X−U numerable}.• (X, τd), x ∈ X, Ux = {U ⊆ X : x ∈ U}.• (Rn, τu), x ∈ Rn, Ux = {U ⊆ Rn : ∃ ε > 0 tal que B2(x, ε) ⊆ U}.• (R, τS), x ∈ R, Ux = {U ⊆ R : ∃ ε > 0 tal que [x, x + ε[⊆ U}.

Obviamente, el sistema de entornos Ux de un punto x ∈ X es no vacıo, simplemente notese queX ∈ Ux.

5.1. Propiedades de los entornos. Las propiedades basicas de los entornos, o de forma mas gen-eral del sistema global de entornos {Ux}x∈X en (X, τ), son las siguientes:

(i) x ∈ U, ∀U ∈ Ux.(ii) Si U1, U2 ∈ Ux =⇒ U1 ∩U2 ∈ Ux.

(iii) Si U ∈ Ux y U ⊆ V =⇒ V ∈ Ux.(iv) ∀ U ∈ Ux, W := {y ∈ U : U ∈ Uy} ∈ Ux.

La demostracion de estas propiedades es trivial excepto la de (iv). Para probar (iv), tomemosU ∈ Ux y consideremos cualquier abierto O ∈ τ con x ∈ O ⊆ U; tal abierto existe por la definicionde entorno. A continuacion observemos que U ∈ Uy para todo y ∈ O por esta misma definicion,y por tanto O ⊆W, de donde por (iii) inferimos que W ∈ Ux.

Hausdorff introdujo el concepto de espacio topologico a partir de entornos, usando estas propiedadescomo axiomas fundamentales. Para ser mas precisos, introduzcamos la siguiente definicion.

Definicion 5.3 (Sistema global de entornos). Dado un conjunto X no vacıo, un sistema global deentornos en X es una familia U = {Ux}x∈X , donde ∅ 6= Ux ⊆ P(X) para todo x ∈ X, satisfaciendolas siguientes propiedades:

(i)s x ∈ U, ∀U ∈ Ux.(ii)s Si U1, U2 ∈ Ux =⇒ U1 ∩U2 ∈ Ux.

(iii)s Si U ∈ Ux y U ⊆ V =⇒ V ∈ Ux.(iv)s ∀ U ∈ Ux, W := {y ∈ U : U ∈ Uy} ∈ Ux.

Un espacio topologico en el sentido de Hausdorff es un par (X,U = {Ux}x∈X), donde U es un sistemaglobal de entornos en X.

El siguiente teorema nos ensena que la nocion de espacio topologico en sentido Hausdorffconecta con la nuestra original (ver Definicion 2.1) de forma natural.

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Teorema 5.4. Sea (X,U = {Ux}x∈X) un espacio topologico en el sentido de Hausdorff.

Entonces existe una unica topologıa τU en X tal que U τUx = Ux para todo x ∈ X.

Dem: Definimos

(5.1) τU := {O ⊆ X : O ∈ Ux ∀x ∈ O}.

Comprobemos los axiomas (i)a, (ii)a, y (iii)a en la Definicion 2.1.

Para comprobar Definicion 2.1-(i)a, tomemos cualquier x ∈ X y cualquier U ∈ Ux 6= ∅. ComoU ⊆ X, (iii)s implica que X ∈ Ux para todo x ∈ X, esto es, X ∈ τU . Por argumentos logicos ∅ ∈τU .

Para comprobar Definicion 2.1-(ii)a, tomemos O1 O2 ∈ τU . Por definicion, Oj ∈ Ux para todox ∈ Oj, j = 1, 2, de donde por (ii)s inferimos que O1 ∩O2 ∈ Ux para todo x ∈ O1 ∩O2 y por tantoO1 ∩O2 ∈ τU .

Por ultimo, tomemos una familia {Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τU . Como Oλ0 ∈ Ux para todo x ∈ Oλ0y Oλ0 ⊆ ∪λ∈ΛOλ para todo λ0 ∈ Λ, item (iii)s garantiza que ∪λ∈ΛOλ ∈ Ux para todo x ∈ Oλ0

y para todo λ0 ∈ Λ. En otras palabras, ∪λ∈ΛOλ ∈ Ux para todo x ∈ ∪λ∈ΛOλ y ∪λ∈ΛOλ ∈ τU ,probando Definicion 2.1-(iii)a. Esto concluye la prueba de que τU es una topologıa en X.

Para concluir, comprobemos que U τUx = Ux para todo x ∈ X.

En efecto, fijemos x ∈ X y tomemos U ∈ U τUx . Por definicion de entorno para τU , existe O ⊆ τU

tal que x ∈ O ⊆ U. La definicion de los abiertos de τU implica que O ∈ Ux, de donde por (iii)s

deducimos que U ∈ Ux. Esto demuestra que U τUx ⊆ Ux.

Para la otra inclusion, tomemos ahora U ∈ Ux. Por la propiedad (iv)s, W := {y ∈ U : U ∈Uy} ∈ Ux, y en consecuencia W ∈ Uy para todo y ∈ W ya que W no depende del punto y ∈ Uconsiderado para el que U ∈ Uy. Por nuestra definicion de τU , W ∈ τU , y como x ∈ W ⊆ U,U ∈ U τU

x como querıamos demostrar. �

Recapitulando, a partir de una topologıa τ sabemos generar el sistema global de entornosU τ := {U τ

x }x∈X , y el teorema anterior nos muestra justo el camino inverso, esto es, como generaruna topologıa τU a partir de un sistema global de entornos U . Simbolicamente,

τ U τ , U τU .

Lo interesante es que estos procesos son canonicos en el sentido que expresa el siguiente:

Corolario 5.5. Dado un conjunto X, los siguientes enunciados son ciertos:

(a) Si U = {Ux}x∈X es un sistema global de entornos en X entonces U τU = U .(b) Si τ es una topologıa en X entonces τU

τ= τ.

Dem: Item (a) se sigue del Teorema 5.4.

Probemos (b). Sea O ∈ τ. Obviamente O ∈ U τx para todo x ∈ O (ver Definicion 5.1 y

Proposicion 5.2), y por tanto O ∈ τUτ

por la definicion de τUτ, ver (5.1). Esto prueba que τ ⊆ τU

τ.

Para probar la otra inclusion, tomemos ahora O ∈ τUτ. Por la definicion de τU

τdada en (5.1),

O ∈ U τX para todo x ∈ O, de donde por nuestra definicion de entorno (ver Definicion 5.1) existe

Ox ∈ τ tal que x ∈ Ox ⊆ O para todo x ∈ O. Como O = ∪x∈OOx y ∪x∈OOx ∈ τ por ser τ unatopologıa, deducimos que O ∈ τ. Por tanto τU

τ ⊆ τ, lo que concluye la prueba. �


Hausdorff incluyo un axioma mas en su definicion de sistema de entornos que no sobreviviocon el desarrollo de la teorıa, para anadirse como propiedad del espacio topologico.

Definicion 5.6. Un espacio topologico (Xτ) se dice Hausdorff, o que satisface el axioma de sepa-racion T2, si para cualesquiera dos puntos x, y ∈ X, x 6= y, existen entornos U ∈ Ux y V ∈ Uy talesque U ∩V = ∅.

Es facil comprobar que (Rn, τu), (Rn+, τM) y (R, τS) son espacios T2, al igual que (X, τd) para

cualquier conjunto X. El espacio (X, τt) no es T2 siempre que ]X ≥ 2, y lo mismo ocurre con(X, τCF) y (X, τCN) cuando X no es finito. La topologıa de Sierpinsky no es T2.

Una de las propiedades fundamentales de los espacios T2 se enuncia en la siguiente proposicion:

Proposicion 5.7. si (X, τ) es T2 entonces {x} es cerrado para todo x ∈ τ.

Dem: Tomemos x ∈ X y comprobemos que X − {x} es abierto. En efecto, dado y ∈ X − {x} pornuestras hipotesis podemos econtrar Uy ∈ Uy con Uy ⊆ X − {x}, y por tanto X − {x} ∈ Uy. Estoprueba que X− {x} es entorno de todos sus puntos y en consecuencia abierto. �

5.2. Bases de entornos. Al igual que ocurrıa con los abiertos de una topologıa en relacion con elconcepto de base, es interesante poder describir los entornos utilizando una familia mas reducidade estos. La siguiente definicion recoge esta idea:

Definicion 5.8 (Base de entornos). Sea (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X un punto arbitrario.Denotemos por Ux el sistema de entornos de x en (X, τ).

Una familia βx ⊆ Ux se dice que es una base de entornos de x en (X, τ) si

∀U ∈ Ux, ∃V ∈ βx tal que V ⊆ U.

Una base global de entornos en (X, τ) es una coleccion β = {βx}x∈X donde βx es base de entornosde x en (X, τ) para todo x ∈ X.

Algunos ejemplos sencillos se indican a continuacion:

• (X, τt), x ∈ X, βx = {X}.• (X, τd), x ∈ X, βx = {{x}}.• (Rn, τu), x ∈ Rn, βx = {B2(x, ε) : ε > 0}.• (R, τS), x ∈ R, βx = {[x, x + ε[ : ε > 0}.

Las propiedades de las bases globales de entornos en (X, τ), heredadas de las correspondientesdel sistema global de entornos, son las siguientes:

(i)b x ∈ V, ∀V ∈ βx.(ii)b Si V1, V2 ∈ βx =⇒ ∃V3 ∈ βx : V3 ⊆ V1 ∩V2.

(iii)b ∀ V ∈ βx, ∃V0 ∈ βx tal que ∀y ∈ V0 ∃Vy ∈ βy con Vy ⊆ V.

Al igual a como se hizo en el caso de entornos, uno puede regenerar una topologıa a partir de unabase global de entornos. El procedimiento esquematizado es el siguiente:

Dado un conjunto X no vacıo, se define una base global de entornos en X como una familia β ={βx}x∈X , donde ∅ 6= βx ⊆ P(X) para todo x ∈ X, satisfaciendo las propiedades (i)b, (ii)b y (iii)b

10 F.J. LOPEZ

anteriores. Si β = {βx}x∈X es una base global de entornos, no es difıcil probar que la familia U ={Ux}x∈X , donde para cada x ∈ X

Ux := {U ⊂ X : ∃V ∈ βx tal que V ⊆ U},

es un sistema global de entornos en X de acuerdo con la Definicion 5.3. Siguiendo el Teorema 5.4,U determina una unica topolgıa en X que denotaremos τβ; para ser mas preciso, τβ := τU , ver elTeorema 5.4. Se deja como ejercicio el completar los detalles de esta construccion.

La siguiente proposicion es conocida como el criterio de Hausdorff de comparacion de topologıas.

Proposicion 5.9. Sean (X, τj) y βj = {βjx}x∈X un espacio topologico y una base global de entornos suya,

respectivamente, j = 1, 2. Se tiene que

τ1 ⊆ τ2 ⇐⇒ ∀x ∈ X, ∀V1 ∈ β1x, ∃V2 ∈ β2

x tal queV2 ⊆ V1.

Dem: =⇒) Supongamos τ1 ⊆ τ2 y tomemos x ∈ X y V1 ∈ β1x. Como V1 ∈ U τ1

x , existe O1 ∈ τ1 ⊆ τ2tal que x ∈ O1 ⊆ V1. En particular V1 ∈ U τ2

x , de donde como β2x es base de entornos de x en (X, τ2)

podemos encontrar V2 ∈ β2x tal que V2 ⊂ V1.

⇐=) Para el recıproco, tomemos O1 ∈ τ1. Por la Proposicion 5.2, O1 ∈ U τ1x para todo x ∈ O1.

En consecuencia, por nuestras hipoteisis para cada x ∈ O1 existe Vx ∈ β2x tal que Vx ⊂ O1. Como

Vx ∈ U τ2x , de la propiedad (iii) de los sistemas de entornos deducimos que O1 ∈ U τ2

x , esto es, O1es entorno de todos sus puntos en el espacio topologico (X, τ2). Por la Proposicion 5.2 de nuevoO1 ∈ τ2, lo que concluye la prueba. �

Corolario 5.10. Dados (X, τj) y βj = {βjx}x∈X , j = 1, 2, como en la Proposicion 5.9.

Se tiene que τ1 = τ2 si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

• ∀x ∈ X, ∀V1 ∈ β1x, ∃V2 ∈ β2

x tal queV2 ⊆ V1.• ∀x ∈ X, ∀V2 ∈ β2

x, ∃V1 ∈ β1x tal queV1 ⊆ V2.

El siguiente resultado se muestra en ocasiones muy util:

Proposicion 5.11. Sea (X, τ) un espacio topologico.

(i) Si {βx}x∈X es un base global de entornos en (X, τ) y O ⊆ X,

O ∈ τ ⇐⇒ ∀x ∈ O, ∃V ∈ βx tal que V ⊆ O.

(ii) Si B es base de τ y x ∈ X, entonces βx := {B ∈ B : x ∈ B} es base de entornos de x en (X, τ).

Dem: Probemos (i).

=⇒) Como O es abierto, O ∈ Ux para todo x ∈ O, ver Proposicion 5.2. La condicion a compro-bar se sigue de la definicion de base de entornos.

⇐=) Como O contiene un entorno (basico) de x para cada x ∈ O, deducimos que O ∈ Ux paratodo x ∈ O. Por la Proposicion 5.2 se sigue que O ∈ τ.

Probemos ahora (ii). Tomemos x ∈ X arbitrario, y probemos que βx es base de entornos de xen (X, τ). En efecto, observese primero que βx ⊆ Ux ya que los B ∈ B son abiertos, y por tantoentornos de todos sus puntos (en particular, de x). Para concluir, tomemos U ∈ Ux y un abiertoO ∈ Ux tal que x ∈ O ⊆ U. Como B es base de τ, la Proposicion 4.2 garantiza la existencia deB ∈ B con x ∈ B ⊆ O ⊆ U. Por definicion, B ∈ βx, lo que probarıa que βx es base de entornos dex en (X, τ) y la proposicion. �


Por ultimo, es interesente destacar que el axioma T2 tiene una facil reescritura en terminosde bases de entornos. En efecto, si {βx}x∈X es una base global de entornos de (X, τ), es facilcomprobar que (X, τ) es T2 si y solo si

∀x1, x2 ∈ X x 6= y, ∃V1 ∈ βx1 , V2 ∈ βx2 / V1 ∩V2 = ∅.

6. SUBESPACIOS TOPOLOGICOS: TOPOLOGIA INDUCIDA

El procedimiento por el que una topologıa se induce sobre subconjuntos es muy natural, y rep-resenta una de las herramientas mas utiles para la construccion de nuevos espacios topologicos.

Proposicion 6.1. Si (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X un subconjunto no vacıo, la familia

τA. = {O ∩ A : O ∈ τ}es una topologıa en A.

Dem: Para probar que (A, τA) satisface (i)a en la Definicion 2.1, simplemente observerse que ∅ =∅ ∩ A, A = X ∩ A ∈ τA.

La propiedad (ii)a en la Definicion 2.1 se sigue de observar que (O1 ∩ A) ∩ (O2 ∩ A) = (O1 ∩O2) ∩ A ∈ τA, para cualesquiera O1,O2 ∈ τ.

Por ultimo, para la propiedad (iii)a en la Definicion 2.1 tengase en cuenta que ∪λ∈Λ(Oλ ∩ A) =(∪λ∈Λ Oλ

)∩ A ∈ τA, para cualquiera familia {Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τ. �

Definicion 6.2. Dados un espacio topologico (X, τ) y un subconjunto A ⊆ X, diremos que τAes la topologıa inducida por τ en A. Igualmente, diremos que el espacio topologico (A, τA) es unsubsespacio topologico de (X, τ).

Si B ⊆ A ⊆ X, entonces es facil observar que τB = (τA)B. En efecto, los abiertos de τB obedecengenericamente a la formula O ∩ B, donde O ∈ τ. Igualmente, los abiertos de (τA)B se escribengenericamente de la forma (O ∩ A) ∩ B = O ∩ B, donde O ∈ τ, y por tanto son los mismos.

Es conveniente tener en cuenta que:

(a) Si O ∈ τ y O ⊂ A entonces O ⊂ τA.(b) A ∈ τ ⇐⇒ τA ⊆ τ, y en este caso τA = τ ∩ P(A).

Por otra parte:

Proposicion 6.3. La familia de cerrados FA de (A, τA) obedece a la formula

FA = {F ∩ A : F ∈ F},donde F es la familia de cerrados de (X, τ).

Dem: Veamos que FA ⊆ {F ∩ A : F ∈ F}. En efecto, dado F′ ∈ FA, tenemos que F′ = A− (A ∩O) donde O ∈ τ, y por tanto F′ = F ∩ A con F = X−O ∈ F .

Para la otra inclusion, tomemos F ∈ F y pongamos F = X −O donde O ∈ τ. Se tiene queF ∩ A = A−O = A− (A ∩O) ∈ FA, lo que concluye la prueba. �

Las propiedades (a) y (b) anteriores tienen su conveniente version para cerrados:

12 F.J. LOPEZ

(a)’ Si F ∈ F y F ⊂ A entonces F ⊂ FA.(b)’ A ∈ F ⇐⇒ FA ⊆ F , y en este caso FA = F ∩ P(A).

Todos los conceptos y construcciones estudiados anteriormente para un espacio topologico seinducen de forma natural a subespacios topologicos. De forma sistematica los relacionamos acontinuacion:

(I) Si B es una base de la topologıa τ, entonces

BA := {B ∩ A : B ∈ B}

es base de τA. Para comprobarlo, primero observese que trivialmente BA ⊂ τA. En segundolugar, recordemos que un abierto generico O de τ se puede escribir de la forma O = ∪i∈I Bi,donde {Bi : i ∈ I} ⊆ B, y por tanto el abierto generico O ∩ A de τA obedece a la formulaO ∩ A = ∪i∈I(Bi ∩ A), donde claramente {Bi ∩ A : i ∈ I} ⊆ BA.

(II) Dado a ∈ A, el sistema de entornos U τAa , que si no hay ambiguedad respecto de la topologıa

τ y por sencillez se escribira simplemente UAx , obedece a la formula

UAa = {U ∩ A : U ∈ Ua}.

En efecto, si U ∈ Ua entonces existe O ∈ τ tal que a ∈ O ⊆ U y en consecuencia la expresiona ∈ O ∩ A ⊂ U ∩ A garantiza que U ∩ A ∈ UA

a . Recıprocamente, si V ∈ UAa entonces existe

O ∩ A ∈ τA, donde O ∈ τ, tal que a ∈ O ∩ A ⊂ V. Para acabar basta con observar queU = O ∪V ∈ Ua y U ∩ A = V.

(III) Dado a ∈ A, si βa es base de entornos de a en (X, τ) entonces βAa := {V ∩ A : V ∈ βa} es

base de entornos de a en (A, τa). En efecto, primero observese que βAa ⊆ UA

a . Si W ∈ UAa ,

sabemos que W = U ∩ A con U ∈ Ua, y como βa es base de entornos de a en (X, τ) existeV ∈ βa tal que V ⊆ U. En consecuencia V ∩ A ∈ βA

a y V ∩ A ⊆ U ∩ A = W, lo que pruebaque βA

a es base de entornos de a en (A, τA).

Veamos algunos ejemplos sencillos de topologıas inducidas:

• X, τ = τd, A ⊆ X =⇒ τA = τd.• X, τ = τt, A ⊆ X =⇒ τA = τt.• X, τ = τCF, A ⊆ X =⇒ τA = τCF.• X, τ = τCN , A ⊆ X =⇒ τA = τCN .• (Rn

+, τM) semiespacio de Moore, A = {(x, 0) : x ∈ R} eje de abcisas, τA = τd topologıadiscreta.• (R, τu), A = [a, b[, a < b. Si c ∈]a, b[=⇒ [a, c[, ]c, b[⊆ (τu)A.• (R2, τu), A = {(x, y) : y ≥ 0} =⇒ B2((x, 0), ε) ∩ A ∈ (τu)A. Igualmente B2((x, y), ε) ∈

(τu)A siempre que 0 < ε ≤ y.

Nota 6.4. En lo que sigue, y si de ello no se desprende ambiguedad, escribiremos τu en vez de(τu)A para referir a la topologıa euclidiana inducida en A para todo A ⊆ Rn.

• Elipsiode: (E, τu), E := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x21/a2 + x2

2/b2 + x23/c2 = 1}, a, b, c > 0.

• Cilindro: (C, τu), C = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x2

2 = 1}.• Cono: (C0, τu), C0 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 = x2

3}.• Hiperboloide de una hoja: (H1, τu), H1 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 = x2

3 + 1}.• Hiperboloide de dos hojas: (H2, τu), H2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 = x2

3 − 1}.• Paraboloide: (P, τu), P = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 = x3}.

• Esfera n-dimensional: (Sn, τu), Sn := {x ∈ Rn+1 : ‖x‖2 = 1}, n ≥ 1.


7. ESPACIOS METRICOS: TOPOLOGIA DE LA DISTANCIA O METRICA

En las secciones anteriores nos hemos preocupado de dar herramientas para la construccion denuevos espacios topologicos: bases de topologıa, bases y sistemas globales de entornos, topologıasinducidas... Una de las fuentes mas provechosa de nuevos ejemplos proviene del analisis, masprecisamente, de la teorıa de espacios metricos. Explicamos con mas detalle este procedimiento.

Comenzaremos recordando la nocion de espacio metrico, y repasaremos tambien algunas es-tructuras geometrico-analıticas vinculadas a este concepto.

Definicion 7.1. Un espacio metrico es un par (X, d), donde X es un conjunto y d : X× X → R esuna distancia, esto es, una aplicacion satisfaciendo las siguientes propiedades:

(i) d(x, y) = 0⇐⇒ x = y.(ii) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X.

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X (desigualdad triangular).

Del hecho 0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y) se deduce que d ≥ 0.

Es bien conocido que todo espacio normado es un espacio metrico de forma canonica, de hechoalgunos de los espacios metricos mas relevantes para esta asignatura provendran de la categorıade los espacios normados.

Definicion 7.2. Un espacio normado es un par (V, ‖ · ‖), donde V es un espacio vectorial real (conoperaciones suma y producto por escalares denotadas por + y ·, respectivamente) y ‖ · ‖ : V → R

es una norma en V, esto es, una aplicacion satisfaciendo las siguientes propiedades:

(i) ‖v‖ ≥ 0 ∀v ∈ V, ” = ”⇐⇒ v =~0.(ii) ‖λv‖ = |λ|‖v‖ ∀λ ∈ R, v ∈ V.

(iii) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V (desigualdad de Minkowski).

La distancia en V dada por

d : V ×V → R, d(u, v) = ‖v− u‖es conocida como la distancia inducida por la norma ‖ · ‖.

Por ultimo, ascendiendo en la riqueza de la estructura, recordaremos tambien que todo espaciovectorial euclidiano es normado de forma canonica, y por tanto metrico:

Definicion 7.3. Sea (V, 〈·, ·〉) un espacio vectorial metrico euclidiano, esto es, un espacio espa-cio vectorial real (con operaciones suma y producto por escalares + y ·) y una metrica euclidiana〈·, ·〉 : V ×V → R.

La aplicacion ‖ · ‖ : V → R dada por

‖ · ‖ : V → R, ·‖v‖ := +√〈v, v〉

es una norma, que referiremos como la norma inducida por la metrica euclidiana 〈·, ·〉. Por tantola aplicacion

d : V ×V → R, d(u, v) = +√〈v− u, v− u〉

es una distancia, que llamaremos la distancia inducida por la metrica euclidiana 〈·, ·〉.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖,que se satisface en cualquier espacio vectorial metrico euclidiano (V, 〈·, ·〉), es la clave para probarque la desigualdad de Minkowski es valida para ‖ · ‖ = +

√〈·, ·〉, y por tanto, que ‖ · ‖ es una

norma en V.

14 F.J. LOPEZ

A modo de resumen y de forma esquematica:

ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO ESPACIO NORMADO ESPACIO METRICO.

〈u, v〉 ‖v‖ := +√〈v, v〉 d(u, v) := ‖v− u‖.

Veamos algunos ejemplos significativos:

• Distancia euclidiana o usual: (Rn, d2), d2((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)

)=√

∑ni=1(yi − xi)2.

Esta distancia es la asociada a la metrica euclidiana en Rn

〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 =n

∑i=1

xiyi,

y por tanto, a la norma euclidiana

‖ · ‖2 : Rn → R, ‖(x1, . . . , xn)‖2 =

√n

∑i=1

x2i .

• Distancia del maximo: (Rn, d∞), d∞((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)

)= max{|yi − xi|, i =

1, . . . , n}. Esta distancia es la asociada a la norma del maximo

‖ · ‖∞ : Rn → R, ‖(x1, . . . , xn)‖∞ = max{|xi| : i = 1, . . . , n}.• Distancia modular o del taxi: (Rn, d1), d1

((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)

)= ∑n

i=1 |yi − xi|. Estadistancia es la asociada a la norma

‖ · ‖1 : Rn → R, ‖(x1, . . . , xn)‖1 =n

∑i=1|xi|.

• X = C0([a, b], R), d( f , g) :=√∫ b

a(

f (x)− g(x))2dx. Esta distancia es la asociada a la

metrica euclidiana

〈·, ·〉 : C0([a, b], R)× C0([a, b], R)→ R, 〈 f , g〉 =∫ b

af (x)g(x)dx,

y por tanto a la norma

‖ · ‖ : C0([a, b], R)→ R, ‖ f ‖ = +

√∫ b

af (x)2dx.

• Distancia trivial: X conjunto arbitrario, dt(x, y) =

1 si x 6= y

0 si x = y

7.1. La topologıa asociada a una distancia. Existe una conexion natural entre los espacios metricosy los espacios topologicos. A continuacion vamos a explicar con detalle como asociar una topologıaa una distancia en un conjunto. Esta idea es fundamental porque la mayorıa de los espaciostopologicos relevantes en Analisis y Geometrıa obedecen a esta construccion.

Para desarrollar este programa, necesitamos introducir el concepto de bola en un espaciometrico.

Definicion 7.4. Sea (X, d) un espacio metrico, y consideremos un punto x ∈ X y un numero realε > 0. Por definicion, llamamos

• bola abierta de centro x y radio ε en (X, d) al conjunto B(x, ε) := {y ∈ X : d(x, y) < ε},• bola cerrada de centro x y radio ε en (X, d) al conjunto B(x, ε) := {y ∈ X : d(x, y) ≤ ε} y• esfera de centro x y radio ε en (X, d) al conjunto S(x, ε) := {y ∈ X : d(x, y) = ε}.


Proposicion 7.5. Dado un espacio metrico (X, d), la familia B[d] := {B(x, ε) : x ∈ X, ε > 0} es basede una unica topologıa en X, que por sencillez denotaremos τ[d].

Ademas, la topologıa τ[d] es T2 o Hausdorff.

Dem: Para la primera parte de la proposicion, tengamos en cuenta el Teorema 4.3.

Para probar Teorema 4.3-(a), observese que x ∈ B(x, 1) para todo x ∈ X, y en consecuenciaX ⊆ ∪x∈XB(x, 1) ⊆ ∪B∈B[d]B ⊆ X.

Para comprobar Teorema 4.3-(b), tomemos B(x1, ε1), B(x2, ε2) ∈ B[d] y un punto x ∈ B(x1, ε1)∩B(x2, ε2). Si llamamos ε := min{ε1 − d(x, x1), ε2 − d(x, x2)} > 0, de la desigualdad triangularB(x, ε) ⊂ B(x1, ε1) ∩ B(x2, ε2), lo que por el Teorema 4.3 prueba la existencia y unicidad de τ[d].

Por ultimo, comprobemos que τ[d] es Hausdorff. En efecto, sean x, y ∈ X puntos distintos, ytomemos ε := d(x, y)/2 > 0. Claramente B(x, ε) y B(y, ε) son entornos de x e y, respectivamente,en el espacio topologico (X, τ[d]) (de hecho son abiertos en (X, τ[d]) que contienen a esos puntos).Para concluir basta con observar que B(x, ε) ∩ B(y, ε) = ∅. �

Definicion 7.6. Dado un espacio metrico (X, d), la topologıa τ[d] construida en la Proposicion 7.5es conocida como la topologıa de la distancia en X asociada a (X, d).

Dos distancias d1 y d2 en X se dicen equivalentes si τ[d1] = τ[d2].

Una topologıa τ en X se dice metrizable si existe una distancia d en X de forma que τ = τ[d].

Proposicion 7.7. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces

O ∈ τ[d]⇐⇒ ∀p ∈ O, ∃ε > 0 : B(p, ε) ⊆ O.

Dem: =⇒) Sea O ∈ τ[d] y p ∈ O. Por definicion de τ[d], existe una bola abierta B(q, δ), δ > 0, talque p ∈ B(q, δ) ⊆ O. Por tanto, para todo ε ∈]0, δ− d(p, q)[ tenemos que B(p, ε) ⊆ B(q, δ) ⊆ O.

⇐=) Por nuestras hipoteisis para cada p ∈ O existe una bola B(p, εp) ⊆ O, de donde O =∪p∈OB(p, εp) ∈ τ[d]. �

Comentemos algunos ejemplos basicos.

• El ejemplo mas relevante es la topologıa usual τu, que por definicion se corresponde conτ[d2] y por tanto es metrizable.

• La topologıa discreta tambien es metrizable. En efecto, dado un conjunto X arbitrario,la topologıa τ[dt] asociada a la distancia trivial dt es la topologıa discreta τd en X. Paracomprobarlo, observese que B(x, ε) = {x} para todo ε ∈]0, 1[ y x ∈ X, y por tanto lospuntos de X son abiertos en τ[dt], esto es, τ[dt] = τd.

El siguiente criterio de tipo Hausdorff es especialmente util:

Proposicion 7.8. Dadas dos distancias d1 y d2 en un conjunto X,

τ[d1] ⊆ τ[d2]⇐⇒ ∀x ∈ X y ε > 0, ∃δ > 0 tal que B2(x, δ) ⊆ B1(x, ε),

donde Bj(·, ·) significa bola en (X, dj), j = 1, 2.

En particular,

d1 y d2 son distancias equivalentes⇐⇒

∀x ∈ X y ε > 0 ∃δ > 0 / B2(x, δ) ⊆ B1(x, ε)

∀x ∈ X y ε > 0 ∃δ > 0 / B1(x, δ) ⊆ B2(x, ε)

16 F.J. LOPEZ

Dem: Por definicion de τ[dj], la familia βjx := {Bj(x, ε) : ε > 0} es base de entornos de x en

(X, τ[dj]) para todo x ∈ X, j = 1, 2. La proposicion se sigue del criterio de Hausdorff dado en laProposicion 5.9. �

En Rn todas las distancias provenientes de una norma son equivalentes. No obstante, paranuestros propositos sera suficiente con la siguiente:

Proposicion 7.9. Sean d1 y d2 dos distancias en un conjunto X, y supongamos que existe k > 1 tal que1k d2 ≤ d1 ≤ kd2. Entonces d1 y d2 son equivalentes y su topologıa asociada es la topologıa usual τu.

Como consecuencia, las distancias d1, d2 y d∞ en Rn son equivalentes.

Dem: Basta con observar que

B1(x, ε) ⊆ B2(x, kε) y B2(x, ε) ⊆ B1(x, kε)

para cualesquiera x ∈ X y ε > 0, donde como arriba Bj(·, ·) significa bola en (X, dj), j = 1, 2, yaplicar el criterio de Hausdorff de la Proposicion 7.8.

Para la segunda partede la proposicion, basta con tener en cuenta las desigualdades

‖ · ‖∞ ≤ ‖ · ‖2 ≤√

n‖ · ‖∞,1√n‖ · ‖1 ≤ ‖ · ‖2 ≤ ‖ · ‖1

y aplicar lo demostrado en la primera parte.

La unica no trivial es ‖x‖1 ≤√

n‖x‖2 para todo x ∈ Rn. Para obtenerla, aplicar la desigualdadde Cauchy-Schwarz a la dupla x = (x1, . . . , xn), x′ = (|x1|/x1, . . . , |xn|/xn) (en el caso de quexj = 0 pondremos |xj|/xj = 0). �

Es interesante observar que la topologıa de la distancia es hereditaria. En efecto, tomemos unespacio metrico (X, d), y consideremos un subconjunto A ⊆ X. Definamos entonces la siguientedistancia inducida en A:

dA : A× A→ R, dA(x, y) := d(x, y).En otras palabras, dA = d|A×A.

Proposicion 7.10. La aplicacion dA es una distancia en A y τ[dA] = τA.

Dem: La comprobacion de que dA es una distancia es rutinaria.

Para lo segundo, observese que BA(x, ε) = B(x, ε) ∩ A para todo x ∈ A, ε > 0, donde BA(·, ·)y B(·, ·) significan bolas en (A, dA) y (X, d) respectivamente. Como los abiertos en la topologıade la distancia son union de bolas abiertas, la identidad τ[dA] = τA se sigue trivialmente. �

8. OPERACIONES TOPOLOGICAS CON SUBCONJUNTOS

En esta seccion vamos a hablar de algunos de los conceptos fundamentales de la topologıa.Por ejemplo, extudiaremos como la idea de proximidad topologica nos lleva de forma natural alconcepto de punto de acumulacion, y de forma mas general, al de cierre o clausura de un sub-conjunto de un espacio topologico. El cierre se correspondera con el mas pequeno cerrado que locontiene. Ası mismo, el concepto de abierto, o mas generalmente de entorno, nos aproximara ala idea de interior topologico de un subconjunto, que se correspondera con el mas grande abiertocontenido en el subconjunto. El exterior de un subconjunto no sera otra cosa que el interior de


su complementario. La frontera topologica se asociara a los puntos que separan el interior delexterior del subconjunto.

Haremos un recorrido muy detallado de todos estos conceptos, cruciales para el desarrolloposterior del curso.

En lo que sigue, (X, τ) sera un espacio topologico y A ⊆ un subconjunto de X.

8.1. Acumulacion, puntos aislados y cierre. Comenzamos con algunas definiciones.

Definicion 8.1. Un punto x ∈ X se dice es un punto de acumulacion de A en (X, τ) si

∀U ∈ Ux, (U − {x}) ∩ A 6= ∅.

Denotaremos por A′ al conjunto formado por todos los puntos de acumulacion de A en (X, τ).

Intuitivamente, x ∈ X es de acumulacion de A en (X, τ) si alrededor suya podemos encontrarpuntos de A tan proximos en sentido topologico como queramos a x y distintos del propio x.

Definicion 8.2. Diremos que un punto x ∈ A es un punto aislado de A en (X, τ) si

∃U ∈ Ux tal que U ∩ A = {x},

o equivalentemente, si x ∈ A− A′.

Denotaremos por Ais(A) := A− A′ al conjunto de los puntos aislados de A en (X, τ).

La notacion es bastante sugerente, ser punto aislado de A en (X, τ) expresa la imposibilidadde encontrar puntos de A en un entorno topologico de ese punto distintos del propio punto.

Nota 8.3. Observese que el conjunto A′ no ha de estar necesariamente contenido en A, esto es,sus puntos pueden pertenecer o no al conjunto A.

Sin embargo, por definicion Ais(A) ⊂ A.

La union de los conjuntos A′ y Ais(A) contiene todos los puntos del espacio ıntimamenteproximos a A en sentido topologico. Este conjunto jugara un papel relevante en lo que sigue ymerece un estudio pormenorizado.

Definicion 8.4. Llamaremos al conjunto A := A′ ∪Ais(A) = A∪ A′ la clausura, adherencia o cierretopologico de A en (X, τ). A los puntos de A les llamaremos puntos adherentes a A en (X, τ), otambien puntos de la clausura o del cierre de A en (X, τ).

Veamos algunos ejemplos sencillos.

• (X, τd), A ⊂ X: A′ = ∅, Ais(A) = A, A = A.• (X, τCF), A ⊂ X finito: A′ = ∅, Ais(A) = A, A = A.• (X, τCN), A ⊂ X numerable: A′ = ∅, Ais(A) = A, A = A.• (X, τt), A ⊂ X con ]A > 1: A′ = X, Ais(A) = ∅, A = A.• (R, τu), A =]0, 1], A′ = [0, 1], Ais(A) = ∅, A = [0, 1].• (R, τS), A =]0, 1], A′ = [0, 1[, Ais(A) = {1}, A = [0, 1].• (X, τ) metrizable (τ = τ[d], d distancia en X), A = {xn : n ∈ N} sucesion convergente

con x0 = limn→∞ xn, A = A ∪ {x0}.

Nuestro objetivo es dar una interpretacion topologica mas operativa del conjunto A. Con estameta probaremos la siguiente

Proposicion 8.5. Si O ∈ τ y O ⊆ X− A entonces O ∩ A′ = ∅.

18 F.J. LOPEZ

Dem: Por la Proposicion 5.2, O es entorno de todos sus puntos, esto es, O ∈ Ux para todo x ∈ O.La identidad O ∩ A = ∅ implica en particular que (O− {x}) ∩ A = ∅, y por tanto que x /∈ A′

para todo x ∈ O. �

La siguiente proposicion nos presenta una caracterizacion util de los puntos adherentes de Aen (X, τ).

Proposicion 8.6. x ∈ A⇐⇒ U ∩ A 6= ∅ ∀U ∈ Ux.

Dem: =⇒) Supongamos que x ∈ A = A′ ∪Ais(A). Si x ∈ Ais(A), obviamente x ∈ U ∩ A 6= ∅para todo U ∈ Ux y habrıamos acabado. En el caso de que x ∈ A′, tenemos que (U − {x}) ∩ A 6=∅ para todo U ∈ Ux, de donde U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ Ux y concluimos igualmente.

⇐=) Supongamos ahora que U ∩ A 6= ∅ ∀U ∈ Ux. Si existe U ∈ Ux tal que U ∩ A = {x},claramente x ∈ Ais(A) ⊂ A. En otro caso U ∩ A 6= {x} para todo U ∈ Ux, y como por hipotesisU ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ Ux, deducimos que (U − {x}) ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ Ux, esto es,x ∈ A′ ⊆ A. �

El siguiente teorema identifica la adherencia o cierre de un conjunto con el mas pequeno cer-rado que lo contiene.

Teorema 8.7. Los siguientes enunciados son ciertos:(a) A ∈ F , esto es, A es un subconjunto cerrado de (X, τ).(b) Si F ⊆ X es un subconjunto cerrado de (X, τ) tal que A ⊆ F, entonces A ⊆ F.

En particular,

(8.1) A := ∩A⊆F∈F F,

esto es, A es el menor cerrado en (X, τ) conteniendo al conjunto A.

Dem: Probemos (a). Para ello, hemos de justificar que X − A ∈ τ. En efecto, sea x ∈ X − A unpunto arbitrario. Por la Proposicion 8.6, existe Ux ∈ Ux tal que Ux ∩ A = ∅. Sea O ∈ τ un abiertotal que x ∈ O ⊆ U, y observemos que igualmente O∩ A = ∅. De la Proposicion 8.5 inferimos queO ∩ A′ = ∅, y en consecuencia, O ∩ (A ∪ A′) = O ∩ A = ∅, esto es, O ⊆ X − A. Como O ∈ Ux(de hecho O es entorno de todos sus puntos), la propiedad (iii) de los sistemas de entornos nosgarantiza que X − A ∈ Ux igualmente. Como x ∈ X − A es un punto arbitrario, concluimos queX− A es entornos de todos sus puntos. Por la Proposicion 5.2 X− A ∈ τ, lo que prueba (a).

Demostremos (b). Sea F ⊆ X es un subconjunto cerrado de (X, τ) conteniendo a A. Obvia-mente A∩ (X− F) = ∅, y como X− F ∈ τ la Proposicion 8.5 nos garantiza que (X− F)∩ A′ = ∅,o lo que es lo mismo, A′ ⊆ F. Como por hipotesis A ⊆ F, A = A ∪ A′ ⊆ F, probando (b).

Por ultimo, para comprobar que A := ∩A⊆F∈F F tengase en cuenta que ∩A⊆F∈F F ⊆ A por (a)ya que A ⊆ A ∈ F , y que A ⊆ ∩A⊆F∈F F por (b). �

Corolario 8.8. A es cerrado en (X, τ)⇐⇒ A = A.

Definicion 8.9. El subconjunto A ⊆ X se dice denso en (X, τ) si A = X.

La siguiente caracterizacion de la densidad de un conjunto se muestra en ocasiones muy util:

Proposicion 8.10. A ⊆ X es denso en (X, τ)⇐⇒ A ∩O 6= ∅ ∀O ∈ τ − {∅}.


Dem: =⇒) Si O ∈ τ − {∅} entonces O ∈ Ux for all x ∈ O (ver Proposicion 5.2). Como porhipotesis x ∈ A = X para todo x ∈ X, la Proposicion 8.6 implica que O ∩ A 6= ∅.

⇐=) Tomemos x ∈ X y U ∈ Ux arbitrarios. Por la definicion de entorno existe O ∈ τ tal quex ∈ O ⊆ U, y por nuestras hipotesis O ∩ A 6= ∅. En consecuencia, U ∩ A 6= ∅, y como U ∈ Uxes arbitrario x ∈ A; tengase en cuenta la Proposicion 8.6. As ser x un punto arbitrario de X con-cluimos que A = X. �

Teorema 8.11. Los racionales Q y los irracionales R−Q son densos en (R, τ).

Dem: La prueba de que Q = R y R−Q = R se sigue del siguiente resultado de analisis real, queenunciaremos sin demostracion:

”‘Si a < b entonces ]a, b[∩Q y ]a, b[∩(R−Q) son conjuntos no vacios.”’

Para comprobar que Q = R, tomemos x ∈ R y cualquier entorno U ∈ Ux. Como existe ε > 0tal que ]x− ε, x + ε[⊆ U y sabemos que ]x− ε, x + ε[∩Q 6= ∅, deducimos que x ∈ Q y por tantoel resultado. La prueba de que R−Q = R es analoga. �

La siguiente proposicion recoge las propiedades basicas de la operacion clausura.

Proposicion 8.12. Dado un espacio topologico (X, τ), se tiene que

(i) ∅ = ∅, X = X.(ii) A ⊂ A para todo A ⊆ X.

(iii) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B para cualesquiera A, B ⊆ X.(iv) A ∪ B = A ∪ B para cualesquiera A, B ⊆ X.(v) A ∩ B ⊆ A ∩ B para cualesquiera A, B ⊆ X.

(vi) A = A para todo A ⊆ X.(vii) Si B ⊆ A ⊆ X, BA

= B ∩ A, donde BA representa la clausura de B en (A, τA).

Dem: (i) y (vi) se siguen del Corolario 8.8 y del hecho de que ∅ y X son cerrados.

(ii) es trivial (ver la Definicion 8.4).

(iii) es consecuencia sencilla, por ejemplo, de la equacion (8.1).

Probemos (iv) por doble inclusion. Como A y B son subconjuntos cerrados (ver Teorema 8.7-(a)), lo mismo ocurre para el conjunto A ∪ B. De las inclusiones A ⊆ A y B ⊆ B se sigue queA ∪ B ⊆ A ∪ B, y por el Teorema 8.7-(b) que A ∪ B ⊆ A ∪ B. Para la otra inclusion, tengamos encuenta que A ∪ B es un cerrado que contiene tanto a A como a B, y por tanto a sus cierres (ver denuevo el Teorema 8.7-(b)). De aquı que A ∪ B ⊆ A ∪ B.

Para probar (v), tengamos en cuenta que A ∩ B es un cerrado que contiene a A ∩ B (tengase encuenta que A ⊆ A y B ⊆ B). Por el Teorema 8.7-(b) deducimos que A ∩ B ⊆ A ∩ B.

Para acabar probemos (vii). Recordemos que la familia de cerrados en (A, τA) responde a laformula FA = {F ∩ A : F ∈ F}. Por tanto

{F′ ∈ FA : B ⊆ F′} = {F ∩ A : B ⊆ F},de donde por la ecuacion (8.1) deducimos que BA = B ∩ A. �

20 F.J. LOPEZ

8.1.1. Puntos adherentes en topologıas metrizables. El cierre de un subconjunto en un espacio topologicometrizable admite una caracterizacion por sucesiones que en ocasiones se muestra muy util.

Proposicion 8.13. Dado un espacio metrico (X, d) y la subsiguiente topologıa τ[d], un subconjuntoA ⊆ X y un punto x ∈ X, son equivalentes:

(i) x ∈ A.(ii) dist(x, A) := inf{d(a, x) : a ∈ A} = 0.

(iii) ∃{xn}n∈N ⊆ A tal que {xn}n∈N → x.

Dem: (i)=⇒(ii) Como x ∈ A, A ∩ B(x, 1/n) 6= ∅ for all n ∈ N. Elijamos xn ∈ A ∩ B(x, 1/n) paracada n ∈N y observemos que {d(xn, a)}n∈N. Esto prueba que dist(x, A) = 0.

(ii)=⇒(iii) Como dist(x, A) = 0 podemos encontrar {xn}n∈N ⊆ A tal que {d(xn, x)}n∈N → 0,de donde por definicion {xn}n∈N → x en (X, τ[d]).

(iii)=⇒(i) Supongamos existe {xn}n∈N ⊆ A tal que {xn}n∈N → x. Si U ∈ U τ[d]x es un entorno

arbitrario, por definicion de convergencia existe N ∈ N tal que xn ∈ U para todo n ≥ N. Enparticular, xN ∈ U ∩ A 6= ∅ y x ∈ A. �

En el mismo contexto de la Proposicion 8.13, y como consecuencia inmediata de las ideas ensu prueba,

x ∈ A′ ⇐⇒ ∃{xn}n∈N ⊆ A− {x} tal que {xn}n∈N → x.Completense los detalles como ejercicio.

8.2. Interior. Otro de los conceptos fundamentales que vamos a tratar es el de interior de un sub-conjunto en un espacio topologico, que como aclararemos mas adelante se correspondera con elmas grande abierto del espacio contenido en el mismo.

Al igual que en el apartado anterior, (X, τ) sera un espacio topologico y A ⊆ X un subconjunto.Comenzaremos definiendo la nocion de punto interior.

Definicion 8.14. Un punto x ∈ A se dice interior a A en (X, τ) si existe U ∈ Ux tal que U ⊂ A, oequivalentememte, si A ∈ Ux. Denotaremos por A◦ al conjunto de todos los puntos interiores aA en (X, τ) (obviamente contenido en A), y referiremos al conjunto A◦ como el interior topologicode A en (X, τ).

El siguiente teorema caracteriza el interior de un conjunto como el mas grande abierto con-tenido en el conjunto.

Teorema 8.15. El interior de un conjunto obedece a la siguiente formula:

A◦ = ∪τ3O⊆AO.

En particular:

• A◦ es abierto.• Si O ∈ τ y O ⊆ A =⇒ O ⊆ A◦.

Dem: Si x ∈ A◦ entonces existe U ∈ Ux con U ⊆ A, y por tanto de la definicion de entorno, existeOx ∈ τ tal que x ∈ Ox ⊆ U ⊆ A. En particular, x ∈ ∪

τ3O⊆AO, y como x ∈ A◦ es un puntoarbitrario, A◦ ⊆ ∪

τ3O⊆AO.

Para la otra inclusion, tomemos un abierto arbitrario O ∈ τ tal que O ⊆ A. Como O ∈ Ux paratodo x ∈ O (ver la Proposicion 5.2), de la Definicion 8.14 deducimos que x ∈ A◦ para todo x ∈ O,esto es O ⊆ A◦. Esto prueba que ∪

τ3O⊆AO ⊂ A◦ y el teorema. �


Corolario 8.16. A ∈ τ ⇐⇒ A = A◦.

Las propiedades basicas de la operacion ”interior” se recogen en la siguiente proposicion.

Proposicion 8.17. Dado un espacio topologico (X, τ) y subconjuntos A, B ⊆ X, se tiene que

(i) ∅◦ = ∅, X◦ = X.(ii) A◦ ⊆ A.

(iii) A ⊆ B =⇒ A◦ ⊆ B◦.(iv) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦.(v) A◦ ∪ B◦ ⊆ (A ∪ B)◦.

(vi) Si B ⊆ A, B◦ ∩ A ⊆ B◦A , donde B◦A representa el interior de B en (A, τA).

Dem: Item (i) es trivial bien porque ∅ y X son abiertos (ver Corolario 8.16) o simplemente de laDefinicion 8.14. Item (ii) es trivial por definicion. Analogamente, (iii) se sigue del Teorema 8.15.

Probemos (iv) por doble inclusion. De las inclusiones A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B se deduce que(A∩ B)◦ ⊆ A◦ y (A∩ B)◦ ⊆ B◦ sin mas que usar (iii), y por tanto (A∩ B)◦ ⊆ A◦ ∩ B◦. Para la otrainclusion, tengase en cuenta que A◦ ∩ B◦ es un abierto al ser interseccion de abiertos (ver Teorema8.15) y que A◦ ∩ B◦ ⊆ A ∩ B (usar que A◦ ⊆ A y B◦ ⊆ B), para concluir que A◦ ∩ B◦ ⊆ (A ∩ B)◦

por (iii).

Finalmente, para demostrar (vi) tengamos en cuenta que B◦ ∩ A es un abierto de τA contenidoen B, y por tanto B◦ ∩ A ⊆ B◦A por el Teorema 8.15.

�

Veamos algunos ejemplos sencillos de interior topologico.

• (X, τd), A ⊆ X, A◦ = A = A.• (X, τCF), A ⊆ X; si X− A infinito =⇒ A◦ = ∅; si X− A finito =⇒ A◦ = A.• (Rn, τu), B2(x, ε)◦ = B2(x, ε).• (R2, τu), A = {(x, y) : y ≥ 0}, A◦ = {(x, y) : y > 0}.• (R, τu), Q◦ = (R−Q)◦ = ∅.

La siguiente proposicion nos muestra la dualidad existente entre las operaciones cierre e interior.

Proposicion 8.18. Las siguientes formulas son ciertas:

(a) X− A◦ = X− A.(b) (X− A)◦ = X− A.

Dem: Probemos (a) por doble inclusion.

Como A◦ ⊆ A entonces X − A ⊆ X − A◦, de donde al ser X − A◦ es cerrado (recordar queA◦ es abierto) deducimos que X− A ⊆ X − A◦; para lo ultimo tener en cuenta Teorema 8.7-(b).Para la otra inclusion tomemos x ∈ X − A◦ un punto arbitrario. Como x /∈ A◦, de la definicionde punto interior se deduce que A no contiene ningun entorno de x, o en otras palabras, queU ∩ (X − A) 6= ∅ para todo U ∈ Ux. De la Proposicion 8.6 concluimos que x ∈ X− A, lo queprueba que X− A◦ ⊆ X− A.

Para probar (b), apliquemos lo probado en (a) all conjunto X − A para deducir que X − (X −A)◦ = X− (X− A) = A, de donde pasando al complementario (X− A)◦ = X− A. �

Definicion 8.19. El cojunto (X − A)◦ = X − A es conocido como el exterior topologico de A en(X, τ). Usualmente sera escrito como Ae.

22 F.J. LOPEZ

8.3. Frontera topologica. Para concluir esta seccion definiremos el concepto de frontera topologica,que intuitivamente representa los puntos que no pertenecen ni al interior ni al exterior del con-junto. Como arriba, (X, τ) sera un espacio topologico y A ⊆ X un subconjunto suyo.

Definicion 8.20. Un punto x ∈ X se dice punto frontera del conjunto A en (X, τ) si

U ∩ A, U − A 6= ∅ ∀U ∈ Ux.

La frontera topologica de A, normalmente denotada por Fr(A), es el conjunto formado por todoslos puntos frontera de A.

La frontera topologica obedece a cualquiera de las siguientes expresiones, todas equivalentescomo consecuencia de la Proposicion 8.18:

Fr(A) := A− A◦ = A ∩ (X− A) = (X− Ae) ∩ (X− A◦).

Las propiedades basicas de la frontera se recogen en la siguiente proposicion.

Proposicion 8.21. Dados un espacio topologico (X, τ) y subconjuntos A, B ⊆ X, los siguientes enunci-ados son ciertos:

(i) Fr(∅) = Fr(X) = ∅.(ii) Fr(A) es cerrado en (X, τ).

(iii) A = A◦∪Fr(A), donde el sımbolo ”∪” significa union disjunta.(iv) A◦ = A− Fr(A).(v) X = A◦∪Fr(A)∪Ae.

(vi) Fr(A ∪ B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B).

Dem: Item (i) es trivial por definicion. Item (ii) se sigue de que Fr(A) = A∩ X− A es interseccionde dos cerrados. Items (iii) y (iv) son triviales por definicion.

Para probar item (v), tengamos en cuenta que X = A∪(X − A) = A∪(X − A)◦ = A∪Ae,donde hemos usado la Proposicion 8.18. Usando item (iii), concluimos que X = A◦∪Fr(A)∪Ae.

Por ultimo probemos (vi). Sea x ∈ Fr(A ∪ B) = A ∪ B− (A ∪ B)◦ = (A ∪ B)− (A ∪ B)◦. Six ∈ A, como x /∈ A◦ ⊆ (A ∪ B)◦ concluimos que x ∈ A− A◦ = Fr(A). En el caso de que x ∈ Brazonamos de igual manera para probar que x ∈ Fr(B). En consecuencia x ∈ Fr(A) ∪ Fr(B), loque acaba la prueba. �

Veamos algunos ejemplos sencillos de frontera de un conjunto:

• (R, τu), Fr(Q) = Fr(R−Q) = R.• (R, τu), Fr([0, 1[∪[1, 2]) = {0, 2} ( {0, 1, 2} = Fr([0, 1[) ∪ Fr([1, 2]).• (R2, τu), Fr(B2(x, ε)) = Fr(B2(x, ε)) = S2(x, ε) para todo x ∈ R2 y ε > 0, donde S2(x, ε) ={y ∈ R2 : ‖y− x‖2 = ε}. Este enunciado se extiende de forma natural a (Rn, τu), n ≥ 2.

8.4. Operaciones topologicas y bases de entornos. Los conceptos de punto de acumulacion, ais-lado, adherente, interior y frontera admiten una re-escritura simple en terminos de bases de en-tornos, lo que en general supone una simplificacion importante a la hora del calculo.

Sea (X, τ) sera un espacio topologico, A ⊆ X un subconjunto, x ∈ X un punto y βx ⊆ Ux unabase de entornos de x en (X, τ).

Dejaremos como ejercicio la comprobacion de los siguientes enunciados:

• x ∈ A′ ⇐⇒ (V − {x}) ∩ A 6= ∅ ∀V ∈ βx.• x ∈ Ais(A)⇐⇒ ∃V ∈ βx tal que V ∩ A = {x}.• x ∈ A⇐⇒ V ∩ A 6= ∅ ∀V ∈ βx.• x ∈ A◦ ⇐⇒ ∃V ∈ βx tal que V ⊆ A.


• x ∈ Fr(A)⇐⇒ V ∩ A, V − A 6= ∅ ∀V ∈ βx.

9. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD

Los espacios mas simples son aquellos que la topologıa admite una descripcion en terminosde una cantidad numerable de objetos. En este ambiente muchos conceptos topologicos admitenuna reformulacion mas sencilla. Comenzemos por fijar algunas notaciones.

Definicion 9.1. Sea (X, τ) un espacio topologico.

• Se dice que (X, τ) satisface el I Axioma de Numerabilidad (de forma simplificada, I-AN) si ysolo si todo punto x ∈ X admite una base de entornos βx numerable en (X, τ).• Se dice que (X, τ) satisface el II Axioma de Numerabilidad (de forma simplificada, II-AN) si

y solo si existe una base B de τ numerable.

Obviamente todo espacio (X, τ) II-AN es I-AN: en efecto, si B es una base numerable de τ yx ∈ X es un punto arbitrario, la familia βx := {B ∈ B : x ∈ B} ⊆ B es una base de entornosnumerable de x en (X, τ).

Veamos algunos ejemplos:

• El ejemplo mas relevante de espacio II-AN (y por tanto I-AN) es (Rn, τu). En efecto, no esdifıcil ver que la familia B = {B2(q, r) : q ∈ Qn, r ∈ Q, r > 0} es una base numerable deτu.

• Si (X, τ) es I-AN (respectivamente, II-AN) y A ⊆ X entonces (A, τA) es I-AN (respec-tivamente, II-AN). Demostremos el enunciado para el caso de II-AN: si B es una basenumerable de τ entonces BA := {B∩ A : B ∈ B} es una base numerable de τA, y de aquıque (A, τA) es II-AN. La prueba es similar para el caso de I-AN.• Cualquier subespacio topologico de Rn es II-AN. Consecuencia inmediata de los dos items

anteriores.• Si X es no numerable entonces (X, τd) no satisface el II-AN. En efecto, si B es una base

de τd necesariamente {x} ∈ B para todo x ∈ X, ya que {x} es union de abiertos basicos.Como {{x} : x ∈ X} es no numerable lo mismo ocurre con B.

Proposicion 9.2. Todo espacio topologico metrizable es I-AN.

Dem: En efecto, tomemos un conjunto X, una distancia d en X y un punto arbitrario x ∈ X. Con-sideremos la familia numerable de entornos βx := {B(x, r) : r ∈ Q, r > 0} de x en (X, τ[d]).Basta con comprobar que βx es una base de entornos de x en (X, τ[d]).

Para ello, tomemos U ∈ U τ[d]x un entorno arbitrario. Como U es entorno de x, existe un abierto

O ∈ τ[d] con x ∈ O ⊆ U. Por otra parte, por la definicion de τ[d] podemos encontrar una bolaB(x, ε) ⊆ O, ε > 0. Para acabar, tomemos cualquier numero racional r ∈]0, ε] (para garantizarla existencia de r utilıcese la densidad de Q en (R, τu)), tengamos en cuenta que B(x, R) ⊆ U, yobservemos que B(x, r) ∈ βx. �

9.1. Sucesiones en espacios topologicos. El concepto de convergencia es de naturaleza topologica,aunque pedagogicamente sea a veces aconsejable presentarlo como como una generalizacion nat-ural del propio de espacios metricos. Expliquemos los detalles.

Definicion 9.3. Sea (X, d) un espacio metrico, y sea {xn}n∈N ⊆ X una sucesion en X. Diremosque {xn}n∈N converge a un punto x0 ∈ X en (X, d) si limn→∞ d(xn, x0) = 0. En ese caso escribire-mos

{xn}n∈N → x0 en (X, d).

24 F.J. LOPEZ

Si analizamos esta definicion, el enunciado {xn}n∈N → x0 en (X, d) es equivalente cualquierade estos otros:

(I) ∀ε > 0 ∃N ∈N : d(xn, x0) < ε ∀n ≥ N.(II) ∀ε > 0 ∃N ∈N : xn ∈ B(x0, ε) ∀n ≥ N.

(III) ∀U ∈ U τ[d]x ∃N ∈N : xn ∈ U ∀n ≥ N.

Para comprobar la equivalencia con el enunciado (III), tengase en cuenta que βx := {B(x, ε) :ε > 0} es una base de entornos de x en (X, τ[d]).

La ventaja del enunciado (III) es que es de naturaleza topologica y nos libera por tanto de ladistancia a la hora de enunciar la convergencia, motivando la siguiente definicion:

Definicion 9.4. Sea (X, τ) un espacio topologico, y sea {xn}n∈N ⊆ X una sucesion en X. Diremosque {xn}n∈N converge a un punto x0 ∈ X en (X, τ), y escribiremos {xn}n∈N → x en (X, τ), si

∀U ∈ Ux ∃N ∈N : xn ∈ U ∀n ≥ N.

En este caso, la sucesion {xn}n∈N se dira convergente en (X, τ). Tambien diremos que x0 es unlımite de {xn}n∈N en (X, τ).

Una de las propiedades del lımite de una sucesion en un espacio metrico es su unicidad. Eseresultado no es cierto con generalidad en la categorıa de espacio topologicos, pero sı en ambienteT2.

Teorema 9.5. Sea (X, τ) un espacio topologico T2, y consideremos una sucesion {xn}n∈N convergente en(X, τ). Entonces {xn}n∈N tiene un unico lımite en (X, τ).

Dem: Razonemos por reduccion al absurdo y supongamos que {xn}n∈N tiene dos lımites y1 e y2en (X, τ), y1 6= y2. Como (X, τ) es T2, existen dos entornos U1 ∈ Uy1 y U2 ∈ Uy2 tales queU1 ∩U2 = ∅.

Como {xn}n∈N → yj en (X, τ), podemos encontrar Nj ∈ N tal que xn ∈ Uj para todo n ≥ Nj,j = 1, 2. Por tanto, para cualquier n ≥ max{N1, N2} se tendra que xn ∈ U1 ∩U2, lo que es unacontradiccion. �

Como hemos indicado arriba, el lımite no es necesariamente unico en ambiente no T2. Pon-dremos dos ejemplos sencillos de esta circunstancia:

• Si {xn}n∈N es una sucesion arbitraria en un conjunto X, entonces {xn}n∈N → x en (X, τt)para todo punto x ∈ X.• En (R, τCF), {1/n}n∈N → r para todo r ∈ R.

La clausura se puede caracterizar por sucesiones en ambiente I-AN.

Proposicion 9.6. Sean (X, τ) un espacio topologico I-AN y A ⊆ X un subconjunto suyo. Entonces,

x ∈ A⇐⇒ ∃{xn}n∈N ⊆ A tal que {xn}n∈N → x.

Dem: =⇒) Para probar esta implicacion, previamente necesitaremos probar la existencia de unabase de entornos numerable de x en (X, τ), llamemosla β0

x = {Un : n ∈N}, con la propiedad deque Un+1 ⊆ Un para todo n ∈N. En efecto, como (X, τ) es I-AN existe una base de entornos nu-merable βx de x en (X, τ). Si escribimos βx = {Vn, n ∈N}, basta con definir Un := ∩n

j=1Vn ∈ U τ1x

para cada n ∈ N. Como Vn ⊆ Un para todo n, no es difıcil comprobar que β0x = {Un : n ∈ N}

es una base de entornos de x en (X, τ). La condicion Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ N se satisfacetrivialmente.


Procedemos como sigue. Como x ∈ A entonces Un ∩ A 6= ∅ y podemos elegir xn ∈ Un ∩ A.La sucesion {xn}n∈N converge claramente a x. En efecto, si U ∈ Ux basta elegir N ∈ N tal queUN ⊆ U, y observar que xn ∈ UN ⊆ U para todo n ≥ N por la monotonıa Un+1 ⊆ Un, n ∈N.

⇐=) Este enunciado tiene validez general incluso en ambiente no I-AN. En efecto, tomemosU ∈ Ux un entorno arbitrario. Como {xn}n∈N → x podemos encontrar N ∈ N tal que xn ∈ Upara todo n ∈ N. Al ser {xn}n∈N ⊆ A, inferimos que {xn : n ≥ N} ⊆ A ∩U 6= ∅, y por tantoque x ∈ A. �

10. TEMA I: RELACION DE PROBLEMAS

(1) Razonar si (X, τ) es un espacio topologico en los siguientes casos:(a) τ = {B ⊆ X : B ⊆ A} ∪ {X}, donde A es un subconjunto de X arbitrario pero fijo.(b) X = N y τ = {N, ∅} ∪ {An : n ∈N}, donde An = {1, . . . , n} para cada n ∈N.(c) X = { f : [0, 1]→ R funcion}, τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : ∃ f ∈ A continua}.

(2) Encontrar todas las topologıas en un conjunto de tres elementos.(3) Probar con un ejemplo que la union de topologıas no es una topologıa. Demostrar que la

interseccion de topologıas es una topologıa.(4) Probar que en general la interseccion de una familia infinita de abiertos de un espacio topologico

no es necesariamente un subconjunto abierto.(5) Dado X conjunto infinito y p ∈ X, probar que τ = {E ⊆ X : p /∈ E o X − E finito} es una

topologıa (topologıa fuerte).(6) En R consideramos τ = {O ⊆ R : O = U − B donde U ∈ τu y B ⊆]0, 1]}. Demostrar que τ

es una topologıa en R, y calcular el interior y la clausura de los conjuntos ]1/2, 3/4], [−1, 1/2[y ]0, 1].

(7) En R se considera la familia τ = {O ⊂ R : 0 /∈ O} ∪ {O ⊂ R : ]− 1, 1[⊂ O}. Probar que τ esuna topologıa, y encontrar una base de la misma con la menor cantidad de abiertos posible.Hacer lo mismo para la base de entornos de un punto arbitrario de R.

(8) Probar que τ = {]a,+∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R} es una topologıa en R, pero no la familia{[a,+∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R}.

(9) Sea X un conjunto, y fijemos A ⊂ X, A 6= ∅. Probar que B = {{x} ∪ A : x ∈ X} es base de

una topologıa τ en X. Calcular A y◦A en (X, τ).

(10) En R consideramos la siguiente familia de subconjuntos τ = {U ∪V : U ∈ τu y V ⊂ R−Q}.Probar que τ es una topologıa sobre R (recta diseminada). Calcular el interior, la clausura (ocierre) y la frontera de [0, 1] y [0,

√2) en (R, τ).

(11) En R se considera la familia de subconjuntos B := {[x, y[; : y > x}. Probar que B es base deuna unica topologıa τS en R (topologıa de Sorgenfrey). Comparar esta topologıa con la usual, ycalcular la clausura en (R, τS) de N, Z, Q, {1/n : n ∈N} y {−1/n : n ∈N}.

(12) Se consideran en N las topologıas τ1 = {∅, N} ∪ {[n,+∞) ∩N : n ∈ N} y τ2 = {∅, N} ∪{[1, n] ∩N : n ∈N}. Calcula el interior, el cierre y la frontera de {1, 5} en ambas topologıas.

(13) En N definimos la siguiente familia de subconjuntos

τ = {∅} ∪ {U ⊂N tales que si n ∈ U y p divide a n⇒ p ∈ U}.

Probar que τ es una topologıa. Si Un es el conjunto de los divisores de n para cada n ∈ N,probar que B = {Un : n ∈N} es una base de τ.

(14) En R2 se considera la familia τ = {∅, R2} ∪ {Gk : k ∈ N} con Gk = {(x, y) ∈ R2 : x− y >k}. Probar que τ es una topologıa y compararla con la usual.

(15) Escribamos H+ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn ≥ 0} y H0+ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn > 0}, y

consideremos la familia

26 F.J. LOPEZ

B := {Bp(r) : p = (p1, . . . , pn) ∈ H0+, r ∈]0, pn[}∪

∪{Bp(pn) ∪ {(p1, . . . , pn−1, 0))} : p = (p1, . . . , pn) ∈ H0+}.

Probar que existe una unica topologıa τM en H+ con base B (topologıa de Moore).(16) Determinar los abiertos de la topologıa en X con sub-base S en cada uno de los siguientes

casos:• X = R, S = {(a,+∞) : a ∈ R},• X = R, S = {(a,+∞) : a ∈ R} ∪ {(−∞, b) : b ∈ R},• X = R2, S = {rectas de R2}.

(17) Estudiar si los siguientes subconjuntos de R2 son abiertos, cerrados o ninguna de las doscosas:

(i) {(x, y) : xy = 0}.(ii) Q×R.

(iii) (0, 1)× (0, 1) ∪ {(0, 0)}.(iv) {(x, y) : |x| = 1}.

(18) Se considera el subconjunto de la recta real A = [0, 1[∪]1, 3[∪{5} con la topologıa inducidapor la topologıa usual de R.

(i) Razonar si los conjuntos {5} y ]1, 3[ son abiertos o cerrados en (A, (τu)|A).(ii) Calcular la adherencia de [0, 1[ en dicha topologıa.

(iii) Comprobar si [0, 1/2] es entorno de 0 en la topologıa anterior.(19) Sea (X, d) un espacio metrico, y consideremos en X la topologıa τ[d] de la metrica. Probar

que:(i) Si A ⊂ X, x ∈ A sı y solo sı ∃ {xn}n∈N ⊂ A tal que {xn}n∈N → x.

(ii) ∀x ∈ X y A ⊂ X, dist(x, A) = 0 sı y solo sı x ∈ A.(iii) Si x ∈ X y ε > 0, B(x, ε) ⊂ B(x, ε), y la igualdad en general no es cierta.

(20) Sea (V, ‖ ‖) un espacio normado, y consideremos en V la topologıa asociada a la distanciad(x, y) = ‖y− x‖. Consideremos x ∈ X y ε > 0. Demostrar que:

(i) B(x, ε) = B(x, ε).(ii) B(x, ε)◦ = B(x, ε).

(iii) Fr(B(x, ε)) = {y ∈ V : d(x, y) = ε}.(21) Probar que en un espacio topologico Hausdorff los conjuntos formados por un unico punto

son cerrados, y lo mismo para los conjuntos con una cantidad finita de puntos. Probar quetodo espacio metrico es Hausdorff.

(22) Sea (X, τ) un espacio topologico, sea B una base de τ y sea x ∈ X. Probar que para cada x ∈X, el conjunto βx = {B ∈ B : x ∈ B} es una base de entornos de x.

(23) Probar que las bolas cerradas de radio positivo centradas en un punto son una base de en-tornos de cada punto en la topologıa de un espacio metrico.

(24) Sea (X, τ) un espacio topologico. Se dice que A ⊂ X es denso en (X, τ) si A = X. ¿Para queespacios topologicos el unico subconjunto denso es el total?

(25) Se define B = {]x − 1/n, x + 1/n[∪]n,+∞[ : x ∈ R, n ∈ N}. Probar que B es base de unatopologıa en R. Calcular el interior y la adherencia de los conjuntos [2,+∞[ y ]−∞, 2].

(26) En R2 se considera la familia B = {{p} ∪ Ap(r) : p ∈ R2, r > 0}, donde Ap(r) es un discoabierto de centro p y radio r del que se han quitado un numero finito de radios (segmentos conpunto inicial p y final en la circunferencia borde). Demostrar que B es base de una topologıaτ en R2 (plano agrietado). Comparar el plano agrietado con el plano usual.

Depto. de Geometrıa y Topologıa, Universidad de Granada, E-18071 Granada, (Spain), email: [email protected]

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