GUÍA 3 DE MATEMÁTICAS – SEGUNDO PERIODO – GRADO OCTAVO

DOCENTE: Sofia Africano 8A – 8D

TELEFONO:3143015138

EMAIL:http://llanolindo.q10academico.com/

FECHA DE ENTREGA: 10/06/2021

FECHA DE RECEPCIÓN: Viernes 18/06/2021 mediodía

GUÍA 3 DE MATEMÁTICAS –SEGUNDO – GRADO OCTAVO

TEMA: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS (Trinomios cuadrados perfectos, Trinomios de la forma

, Trinomios de la forma )

OBJETIVO DE LA GUÍA: Descomponer expresiones algebraicas por medio de los procesos de factorización a la

hora de resolver problemas comunes. EXPLICACIÓN DE LA TEMÁTICA

En esta lección, aprenderás a factorizar un polinomio de la forma como un producto de

dos binomios.

Repaso: multiplicar binomios Consideremos la expresión

Podemos encontrar le producto al aplicar la propiedad distributiva varias veces.

=

=

Así que tenemos

De aquí, vemos que son factores de +6x+8, ¿pero cómo encontramos estos factores si no

comenzamos con ellos?

Factorizar trinomios

Podemos hacer el proceso inverso de la multiplicación binomial mostrado anteriormente para factorizar un

trinomio (lo cual es un polinomio con 3 términos).

En otras palabras, si comenzamos con el polinomio +6x+8, podemos usar la factorización para escribirlo como

un producto de dos binomios, (x+2) (x+4).

Ejemplo 1: factorizar

Para factorizar +5x+6, primero necesitamos encontrar dos números que multiplicados den 6 (el número

constante) y sumados den 5 (el coeficiente ).

Estos dos números son 2 y 3 porque 2⋅3=6 y 2+3=5

Luego podemos sumarle a cada uno de estos números para formar los dos factores binomiales: (x+2) y (x+3).

En conclusión, factorizamos el trinomio como sigue:

+5x+6=(x+2)(x+3)

Ejemplo 2: factorizar

Para −5x + 6, primero encontremos dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5.

Estos dos números son −2 y −3 porque (−2)⋅(−3)=6 y (−2)+(−3)= −5

Luego podemos sumarle a cada uno de estos números para formar los factores binomiales: ( + (−2)) ⋅ ( +

(−3)).

La factorización se da a continuación:

= ( + (−2)) ⋅ ( + (−3)).

= (x-2) ⋅ (x-3).

Tener en cuenta para la factorización: observa que los números necesarios para factorizar

Son ambos negativos (-2 y -3). esto es porque su producto necesita ser positivo (6) y su suma

negativa (-5).

En general, cuando se factoriza , si c es positivo y b es negativo, ¡entonces ambos factores serán

negativos!

Ejemplo 3: factorizar

Podemos escribir Como

Para factorizar −1x−6, primero encontremos dos números que multiplicados den −6 y sumados den −1.

Estos dos números son 2 y −3 porque (2)⋅(−3)=−6 y 2+(−3)=− 1

Luego podemos sumar cada uno de estos números a para formar los dos factores binomiales: ( + 2) y ( +

(−3)).

La factorización se da a continuación:

( + 2) ⋅ ( + (−3)).

= ( + 2) ( −3).

Tener en cuenta para la factorización: observa que para factorizar

Necesitamos un número positivo (2) y u número negativo (-3). Esto es porque su producto necesita ser negativo (-

6).

En general, cuando se factoriza , sí es negativo, entonces un factor será positivo y un factor será

negativo.

Conclusión: En general, para factorizar un trinomio de la forma +bx + c, necesitamos encontrar factores de c

que sumados den b.

Supón que estos dos números son m y n, de tal forma que y

, entonces

TRINOMIO DE LA FORMA

A continuación analizaremos algunos ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c

1. 6x2 – 5x – 4

2. 2x2 + 5x – 3

3. 3x2 – x - 2

Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y su diferencia con los

trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del término cuadrático tienen un valor

distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización es diferente.

Ejemplo

Factorizar el trinomio 2x2 + 3x - 2

1. Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término constante.

Así: (2)(-2) = -4

2. El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma de éstos sea igual al

coeficiente del término de primer grado. Así:

(+4)(-1) = -4

(+4)+ (-1) = + 3

3. Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la suma de los

factores y le aplicamos la propiedad distributiva.

Así: 2x2 + 3x – 2 = 2x

2 + [(+4)+ (-1)x - 2]=

4. Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización por agrupación de

términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.

= 2x2 + [(+4) + (-1)]x – 2

= 2x2 + 4x – x – 2

= (2x2 + 4x) – (x + 2)

Así: 2x2 + 3x – 2

= 2x(x + 2) – 1(x + 2)

= (x + 2)(2x - 1)

1. Multiplicamos el coeficiente del término del segundo grado por el término constante.

Así: (6)(-4) = -24

2. El producto obtenido lo descomponemos en factores, de tal manera que la suma de los factores sea

igual al coeficiente del término de primer grado.

(-8)(+3) = -24

Así: (-8) + (+3) = -5

3. Sustituimos en el trinomio dado el coeficiente del término de primer grado por la suma de los factores

y le aplicamos la propiedad distributiva.

Así: 6x2 – 5x – 4 = 6x

2 + [(-8) + (+3)]x - 4

4. Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de agrupación de términos, con lo cual se

concluye la factorización del polinomio.

Así: 6x2 – 5x – 4

= 6x2 + [(-8) + (+3)]x – 4

= 6x2 – 8x + 3x – 4

= (6x2 – 8x) + (3x - 4)

= 2x(3x - 4) + 1(3x - 4)

= (3x - 4)(2x + 1)

Para mejor entendimiento de cómo se factoriza un trinomio de la forma ax2 + bx + c daremos dos

ejemplos más en los cuales no se mencionarán los pasos como en los ejemplos anteriores, pero es

necesario observar que en cada ejercicio se efectúan dichos pasos.

Ejemplo. Factorizar el trinomio 6x2 + 7x + 2

(+6)(+2) = +12

(+4)(+3) = +12

(+4)+(+3)= +7

6x2 + 7x + 2 = 6x

2 + [(+4)+(+3)]x + 2

= 6x2 + 4x + 3x + 2

= (6x2 + 4x) + (3x + 2)

= 2x (3x + 2) + 1(3x + 2)

= (3x + 2)(2x + 1)

Ejemplo. Factorizar el trinomio 5x2 + 13x – 6

(5)(-6) = -30

(+15)(-2) = - 30

(+15)+(-2)= +13

5x2 + 13x – 6 = 5x

2 + [(+15)+(-2)]x – 6

= 5x2 + 15x – 2x – 6

= 5x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(5x - 2)

En los dos últimos ejemplos escribe en cada renglón los pasos que se realizaron para factorizar.

Ahora ya sabes factorizar los trinomios de las formas x2 + bx + c y ax

2 + bx + c recuerda que su única

diferencia es el coeficiente del término de segundo grado.

Es importante que, dado un trinomio a factorizar, identifiques qué forma tiene a fin de que puedas

emplear el procedimiento adecuado

METODOLOGÍA

Queridos estudiantes tener en cuenta que para entrega de talleres hay dos opciones: Por plataforma Q10: http://llanolindo.q10academico.com/ para los estudiantes de 8A – 8D Casos especiales difícil acceso: portafolio WhatsApp: 314 3015138 Docente Sofia Africano

Fecha de entrega máxima taller : Viernes 18/06/2021 mediodía

ACTIVIDADES

1. Un carpintero divide una bodega cuadrangular en cuatro departamentos, la cual conserva dos regiones

cuadradas y dos regiones de igual área de la bodega está dada por la expresión , ¿cuáles

son las dimensiones que tiene cada región?

2. Muestra las expresiones por medio de una flecha que son equivalentes

3. Factoriza cada trinomio

4. Si el área de un rectángulo , ¿cuál es su perímetro?

5. ¿Cuáles son expresiones algebraicas que representan el largo y ancho del rectángulo?

6. Expresa en forma factorizada el área sombreada.

7. En un partido de futbol, Valentina logró la mayor cantidad de goles y Diego metió goles. El producto del número

de goles que metió Valentina por el número de goles que hizo Diego es . ¿Cuántos goles más que

Diego consiguió Valentina?

8. Factorización. Realiza la descomposición en factores de los siguientes polinomios. Luego, organiza término a

término cada binomio en el lugar adecuado para que se cumpla la igualdad. Desarrolle el procedimiento

correspondiente.

9. Une con una line los factores de cada trinomio

RUBRICA ESPECIFICA DE GUÍA

CRITERIOS O INDICADORES NIVELES DE DESEMPEÑO

SUPERIOR ALTO BÁSICO BAJO

SABER 25%: Establece generalizaciones

entre polinomios que permiten realizar

agrupaciones determinadas

SIEMPRE MAYORIA DE

VECES

ALGUNAS

VECES

POCAS

VECES

HACER 25%: Utiliza el método más adecuado para factorizar un polinomio

SIEMPRE MAYORIA DE

VECES

ALGUNAS

VECES

POCAS

VECES

SER 50%: Es ordenado(a) y conciso a la hora

de entregar sus talleres y actividades. - Aprovecha las asesorías y otros espacios académicos para solucionar dudas e inquietudes de manera respetuosa.

SIEMPRE MAYORIA DE

VECES

ALGUNAS

VECES

POCAS

VECES