tema 8: las funciones lineales. -...

Ejercicio 1. Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:

a) )3,1(−P , )13,4(Q Solución.

Pendiente 25

10)1(4

313==

−−−

=

b) )4,7(A , )5,2( −B

Solución.

Pendiente 59

59

7245

=−−

=−−−

=

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para calcular la pendiente debemos realizar una operación sencilla. Las restas las haremos

utilizando el guión como signo de restar mientras que la fracción la insertaremos pinchando en

el icono ‘Fracción’ dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después pinchamos en ‘=’ para obtener

nuestro resultado.

Figura 1

Tema 8: Las funciones lineales.

4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]

2

2. Con esta otra pendiente repetiremos los pasos del apartado anterior insertando la fracción,

rellenando con nuestros datos y pinchando en ‘=’ para obtener nuestro resultado.

Figura 2

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2. Hallar las pendientes de:

a) xy 3= b) 12 +−= xy c) 0732 =−+ yx

Solución. En a) y en b) la pendiente es evidente, pues la y está despejada:

a) 3=m

b) 2−=m

c) Despejamos la y : 32

32

37273 −=→−=→−= mxyxy

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para conocer la pendiente de una función con Wiris, escribimos ‘pendiente’ y a

continuación, entre paréntesis, la función tal cual la tengamos. Después sólo nos quedará

pinchar en el botón ‘=’ para conocer la solución.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.

3

Figura 3

2. Apartado a.

Figura 4

3. Apartado b.

Figura 5

4. Apartado c.

Figura 6



4

Ejercicio 3. Representa:

a) xy 2= Daremos valores a la función. Esos pares de coordenadas luego serán representadas y al unir

los puntos obtendremos nuestra representación gráfica:

X Y

0 0

1 2

2 4

Figura 7

b) xy32

=

En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y

uniremos para crear nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos elegimos un

valor para x y lo sustituimos en la función.

X Y

0 0

3 2

6 4


5

Figura 8

c) xy41

−=

Para representar nuestra recta dibujaremos tres puntos (previamente calculados en la siguiente

tabla) y los uniremos. Para calcular las coordenadas elegimos un valor de x, lo sustituimos en la

función y calculamos hasta que sólo tengamos un número, que será la pareja de nuestra

coordenada.

X Y

0 0

4 -1

8 -2

Figura 9


6

d) xy37

−=


uniremos para crear nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos elegimos un

valor para x y lo sustituimos en la función.

X Y

0 0

3 -7

6 -14

Figura 10

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para representar una función pincharemos en el icono ‘Representar’ dentro de la pestaña

‘Operaciones’ o escribiremos ‘representar’ y después unos paréntesis. Entre estos,

escribiremos la función y pincharemos en el botón ‘=’ para obtener nuestro resultado.

Figura 11


7

2. Apartado a.

Figura 12

Figura 13

3. Apartado b.

Figura 14


8

Figura 15

4. Apartado c.

Figura 16

Figura 17


9

5. Apartado d.

Figura 18

Figura 19



a) 3=y


10

Esta función es constante, y es constantemente igual a 3 sea cual sea el valor de la variable

independiente x, por lo que será una recta ya que estas funciones tienen como representación

una recta bien horizontal o vertical. Concretamente, nuestra función es y=3, lo que significa

que para cualquier valor de x, y siempre valdrá 3.

Figura 20

b) 2−=y Este apartado, al igual del anterior muestra una función en la que para cualquier valor de x, y

siempre valdrá -2. Por lo tanto, la representación será una línea horizontal en y=-2.

Figura 21

c) 0=y De nuevo, para representar esta función, debemos saber que para cualquier valor de x, y

valdrá 0. Por lo tanto, la función coincide con el eje Y.


11

Figura 22

d) 5−=y Esta función (en la que para todos los valores posibles de x, y es igual a -5) equivaldría a

infinitos puntos que corresponderían a diferentes valores en x, pero siempre al mismo en y.

Figura 23





12

Figura 24

2. Apartado a.

Figura 25

Figura 26


13

3. Apartado b.

Figura 27

Figura 28

4. Apartado c.

Figura 29


14

Figura 30

5. Apartado d.

Figura 31

Figura 32


15



a) 32 −= xy


uniremos para representar nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos

elegimos un valor para x y lo sustituimos en la función.

X Y

0 -3

1 -1

2 1

Figura 33

b) 232

+= xy

Representaremos la función (que sabemos que es una recta porque es de grado 1) uniendo

tres pares de coordenadas que calcularemos en la siguiente tabla.


16

X Y

0 2

3 4

6 6

Figura 34

c) 541

+−= xy

Nuestra función de primer grado será una recta cuando la representamos; y para ello,

sustituiremos varios puntos en la función, obteniendo así las coordenadas. Por último, sólo

tenemos que unir los puntos que hemos obtenido.

X Y

0 5

4 4

8 3

Figura 35


17

d) 13 2 −−= xy En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y

uniremos para crear nuestra función que en este caso no será una recta sino una curva y

concretamente una parábola, ya que la función no es lineal sino cuadrática porque la variable

independiente x está elevada al cuadrado. Para calcular los puntos elegimos un valor para x y lo

sustituimos en la función.

X Y

0 -1

1 -4

-1 2

Figura 36




Figura 37


18

2. Apartado a.

Figura 38

Figura 39

3. Apartado b.

Figura 40


19

Figura 41

4. Apartado c.

Figura 42

Figura 43


20

5. Apartado d.

Figura 44

Figura 45


Ejercicio 6. Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:

a) Pasa por (-5, 7) y tiene una pendiente de 53−

.

Ecuación: )5(537 +−= xy . Esto ya es la ecuación de la recta.

Podemos, si se quiere, simplificarla: xyxy5345

53

537 −=→⋅−−=


21

b) Pasa por (0, 4) u tiene una pendiente de 37

.

xy374 += . Observa que (0, 4) está en el eje Y . Es decir, 4 es la ordenada en el

origen.

c) Pasa por (-2, 7) y por (4, 5).

Empezamos hallando su pendiente: 31

62

)2(475

−=−

=−−−

=m

Ecuación de la recta que pasa por (-2, 7) y cuya pendiente es 31

− .

)2(317 +−= xy (*)

También podríamos hallarla a partir del otro punto:

Ecuación de la recta que pasa por (4, 5) y cuya pendiente es 31

− :

)4(315 −−= xy (**)

¿Coincidirán? ¡Naturalmente! Puedes comprobarlo simplificando las ecuaciones

(*) y (**).

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Escribimos la fórmula para el cálculo de la función y los valores de los términos de esta que

conocemos, para que al pinchar en el icono ‘=’ obtengamos la función. En esta primera imagen

plantearemos cómo insertar la fórmula y los términos que vamos a conocer, y en los siguientes

puntos sólo tendremos que rellenar con los datos y pinchar en el icono ‘=’ para resolver.

Figura 46


22

2. Apartado a.

Figura 47

3. Apartado b.

Figura 48

4. Apartado c. Figura 49


23


Ejercicio 7. Representar la función cuya expresión analítica es:

≥<+

==44

115,0

)(xxx

xfy

Solución.

• Empezamos representando la recta 15,0 += xy . Pasa por (0, 1) y tiene pendiente 0,5;

es decir, cuando x avanza 2, y sube 1.

Esta recta solo nos vale hasta el punto de abscisa 4. En él, la ordenada es:

3145,0 =+⋅

• El siguiente tramo es la recta 1=y . Solo es válido a partir del punto de abscisa 4.

• La representación es la parte continua de la gráfica anterior. Para terminarla, además

de suprimir la parte punteada, hemos de determinar el punto de empalme:

- Como el primer tramo es para 4<x , no llega a este punto. Eso lo indicamos

rodeando el punto con una circunferencia, es decir, dejando un hueco: el punto no

pertenece.

- El punto de abscisa 4 sí pertenece al segundo tramo, pues está definido para

4≥x . Esto se indica señalándolo con una rayita.

¡ATENCIÓN! Cuando dos tramos consecutivos no empalman (es decir, hay un

escalón como sucede en este caso), entonces el punto límite puede estar en uno de

los dos tramos o en ninguno de ellos, pero nunca puede estar en los dos. En tal

caso no sería una función. Por lo tanto es una función discontinua en x=4.


24

Figura 50

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para las funciones por partes, debemos representar cada una por separado pero siempre

dentro del mismo bloque para que aparezcan en el mismo tablero. Para representar una parte

escribimos ‘dibujar’ y a continuación, entre paréntesis, la función, la variable en cuestión y

después el intervalo separado por dos puntos (los tres ítems que van entre paréntesis serán

separados por una coma).

Figura 51

2. Ahora rellenamos con los datos del ejercicio y pinchamos en ‘=’ para obtener nuestra

representación.

Figura 52


25

Figura 53



≥<+

==44

315,0

)(xxx

xfy

Solución.

Es una función muy parecida a la anterior. Por eso, representamos directamente los dos

tramos de que consta:

Figura 54


26

Puesto que ahora los dos tramos empalman en el punto de abscisa 4, no nos ocuparemos

de si el punto pertenece a uno o a otro tramo.






Figura 55

2. Ahora rellenamos con nuestra función, la variable y el intervalo que correspondan a cada

tramo y así obtendremos nuestra representación después de pinchar en ‘=’.

Figura 56


27

Figura 57



≥<≤−−<

+=3

311

5,415,04

)(x

xx

sisisi

xxf

Solución.

Para representarla, vamos a obtener dos puntos en cada intervalo, los extremos de los

segmentos que hemos de representar:

1.er TRAMO 2.º TRAMO 3.er TRAMO

(-6, 4) )4,1(45,4)1(5,0 −→=+−⋅ (3, 1) (-1, 4) )6,3(65,435,0 →=+⋅ (10, 1)

Representando los tres tramos (teniendo en cuenta si los extremos pertenecen o no),

obtenemos la gráfica de la función.


28

Figura 58






Figura 59

2. Ahora rellenamos con nuestra función, la variable y el intervalo que correspondan a cada

tramo y así obtendremos nuestra representación después de pinchar en ‘=’.

Figura 60


29

Figura 61


Ejercicio 10. Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son las siguientes:

a)

><

+−

=33

,1,52

xx

xx

y

Esta es una función a trozos, por lo que seguiremos el mismo proceso que en los ejercicios

anteriores, solamente teniendo en cuenta que representaremos una función hasta el final de su

intervalo y entonces representaremos la otra. Para representar las funciones usaremos dos

tablas para dar valores.

2x-5 x+1

X Y X Y

0 -5 4 6

1 -3 5 6

2 -1 6 7

Representaremos 2x-5 hasta 3 y x+1 a partir de 3.


30

Figura 62

b)

≥<

−−

=33

,2,52

xx

xx

y

Para resolver este apartado, representaremos la primera función hasta 3 y a partir de 3, la

segunda. Para representar los dos trozos calcularemos tres pares de coordenadas de cada

función, teniendo en cuenta que debemos elegirlos del trozo que corresponde a cada función,

y después los uniremos.

2x-5 x+1

X Y X Y

0 -5 4 6

1 -3 5 6

2 -1 6 7

Figura 63


31

c)

<

≥<≤

−−

= 55

00

,2,3

,3

xx

xxy

Como es una función a trozos, representaremos las tres partes solamente teniendo en cuenta

que representaremos una función hasta el final de su intervalo, a continuación la siguiente y

después la última. Para representar las funciones usaremos tres tablas para dar valores.

-3 x-3 2

X Y X Y X Y

-3 -3 1 -2 6 2

-2 -3 2 -1 7 2

-1 -3 3 0 8 2

Figura 64

d)

≤<

<<−−<

+−=

53

31

1

,13,1

,

xx

x

x

xy

Esta función tiene tres trozos, lo que significa que consta de tres funciones que hay que

representar. Para ello, daremos valores a las tres utilizando la tabla siguiente y luego uniremos

los tres pares de valores de cada función. Debemos recordar que los valores de x que

elegiremos para sustituir en las funciones deben estar dentro de su intervalo correspondiente


32

(por ejemplo, para la función x, elegiremos valores menores que -1) porque de lo contrario no

nos servirían.

x -1 3x+1

X Y X Y X Y

-4 -4 0 -1 4 13

-3 -3 1 -1 4,5 14,5

-2 -2 2 -1 5 16

Figura 65






Figura 66


33

2. Apartado a.

Figura 67

Figura 68

3. Apartado b.

Figura 69


34

Figura 70

4. Apartado c.

Figura 71


35

Figura 72

5. Apartado d.

Figura 73


36

Figura 74


tema 8: las funciones lineales. -...

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