tema 7 semejanza

7/26/2019 Tema 7 Semejanza

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS

DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ ****NOVENO GRADO A ****

SEGUNDO TRIMESTRE *** 2016 *** 1

NOMBRES Y APELLIDOS : _________________________________________

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y PENSAMIENTO ESPACIAL

7. SEMEJANZA

7.1 RAZON Y PROPORCION:

A. RAZON: Cuando comparemos 2 magnitudes mediante una divisin diremos que esas 2 magnitudes se

encuentran en una razn. Por ejemplo, sean a y b dos cantidades, entonces una razn entre a y b es

donde al numerador se le conoce como antecedente y

al denominador como consecuente.

Por ejemplo; Si se compara la medida de la base y la altura del tringulo, se obtiene

Se dice que la razn entre y es de 1 a 3 1

3

B. PROPORCION:

Cuando tengamos 2razones igualadasdiremos que tenemos una proporcin entre ambas razones.

Por ejemplo, sean a; b; c y d cuatro magnitudes, entonces una proporcin entre ambas razones es

y se llaman extremos de la proporcin . y se llaman medios de la proporcin.

Propiedad Fundamental de las Proporciones:

En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios : . = .

EJEMPLO: Tengo un tablero rectangular cuyo lado menor mide 33 cm y cuyo lado mayor mide 76 cm.

Qu medida deber tener el lado mayor de otro tablero cuyo lado menor mide 25 cm para que se guarde la

proporcin entre ambos tableros

x. 33 = 25 . 76

x = 1900 / 33 x = 57,57 cm

Tenemos la proporcin entre los lados de cada rectngulo:

.

.=

.

.

76

33 =

25


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EJERCICIO 1 :

1. Resuelve los siguientes problemas:

a. En un colegio la razn entre los nios y nias es 4:5. Se sabe que la poblacin total de estudiantes(alumnas ms alumnos) del establecimiento es de 900. De ellos: cuntos son nias?, cul es la diferencia

entre el nmero de nias y nios?

b. La razn entre los permetros de dos cuadrados es 4:5. En qu razn estn sus lados?

c. La razn entre los lados de dos cuadrados es 2:3. En qu razn estn sus reas?

2. Con base en la siguiente figura encuentra las razones que se piden:

3. Resuelva:

a. d.

b. e.

c.


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7.2 RAZON DE DOS SEGMENTOS:

Se puede comparar las longitudes de dos segmentos al establecer una razn.

ACTIVIDAD :

Encontrar la razn entre los segmentos:

7.2.1 SEGMENTOS PROPORCIONALES:


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EJERCICIO 2:

1. De acuerdo con las figuras halla las razones indicadas:

2. De acuerdo con las figuras del punto anterior responde:

a. Si la razn entre y es de 5 a 3. Cunto mide el segmento ?

b. Si la razn entre y es de 2 a 1. Cunto mide el segmento ?

3. Determinar cuales pares de segmentos son proporcionales m en cada caso:

4. Responde :

7.3 RECTAS CORTADAS POR PARALELAS:


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EJERCICIO 3:

1. En la figura || || . Con =

= 3,2 cm y = 4 cm

Hallar :

a.

b.

c.

2. En la figura que se muestra a continuacin a

7.3.1 TEOREMA DE TALES:

Cuando en geometra hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemosaclarar a cul nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al

matemtico griego Tales de Miletoen el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construccin de un tringulo que sea

semejante a otro existente (tringulos semejantes son los que tienen

iguales ngulos).

Como definicin previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos tringulos son

semejantessi tienen los ngulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer

teorema de Tales recoge uno de los postulados ms bsicos de la geometra, a saber, que:

Si en un tringulo se traza una lnea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos tringulos

semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un tringulo:

Teorema:Proposicin matemtica demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas.


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EJEMPLO:

Otra variante del Teorema de Tales : (consecuencia)

Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectasparalelas (AA, BB,CC) los segmentos determinados en una

de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra (AB, BC).

EJEMPLO:

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud

de x.

2. Las rectas a, b son paralelas. Podemos afirmar

que c es paralela a las rectas a y b?

Una aplicacin inmediata de este teorema sera la divisin de un segmento en partes iguales, o en partes

proporcionales a nmeros dados.


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EJERCICIO 4:

1. Encuentra el valor dex, siAD || BE || OF

2. Encuentra la longitud del segmento en cada

caso.

a. Halla la medida de QR, si PQ = 7 cm, ST = 9 cm

y SU = 20 cm.

b. Encuentra DE y EF, si AB = 5 cm, BC = 3 cm

y DF= 7 cm.

3. Halla el valor dex si en cada tringulo se mu

la bisectriz de un ngulo interno.

7.5 POLIGONOS SEMEJANTES:

Las figuras que tienen el mismo tamaoy la misma formason

figuras congruentes.

Las figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el

mismo tamao, son figuras semejantes.

Puedes considerar las figuras semejantes como

agrandamientos o reducciones de ellas mismas sin

distorsiones. Los pentgonos siguientes son

semejantes. Los rectngulos no son semejantes,

porque no podras agrandar o reducir uno de estos rectngulos para que se ajuste exactamente al otro.

Dos polgonos son semejantes si hay una correspondencia entre los vrtices de tal manera, que :

Los ngulos correspondientes son congruentes.

Los lados correspondientes son proporcionales.


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EJERCICIO 5:

1. Traza en una 'hoja cuadriculada dos polgonos

semejantes a cada uno de los polgonos dados:

2. Determina si las parejas de polgonos son

semejantes. Justifica tu respuesta.

3. Dibuja un polgono semejante al de la figura de

tal manera que la razn entre los lados

correspondientes sea de 2 a 5.

4. Halla los valores desconocidos, teniendo en

cuenta que cada par de polgono s son semejantes.

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