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TEMA 7. ESTÁTICA Y ELASTICIDAD

Comprender el concepto de equilibrio estático de un sólido rígido. Expresar adecuadamente las condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido. Determinar las características de las ligaduras de un sólido rígido en equilibrio estático (apoyo, articulación y empotramiento). Definir los límites de proporcionalidad, elasticidad y ruptura, entendiendo que su valor depende tanto del material como de la intensidad y el tipo de deformación experimentada. Comprender que la validez de la ley de Hooke está limitada a pequeñas deformaciones. Identificar y expresar el tipo de deformación en un sólido atendiendo al modo en que actúan las fuerzas externas sobre él.

OBJETIVOS

ÍNDICE

7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido 7.2 Ejemplos de equilibrio estático 7.3 Elasticidad: ley de Hooke 7.4 Tracción y contracción lateral 7.5 Elasticidad de volumen: compresión uniforme 7.6 Flexión 7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión


7.1 Condiciones de equilibrio estático de un sólido rígido


∑�⃗�𝐹 = 0 ∑𝑀𝑀 = 0



𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = ∑ 𝑟𝑟𝑖𝑖 × �⃗�𝐹𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 × �⃗�𝐹𝑔𝑔

𝑀𝑀𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑖𝑖 × �⃗�𝐹𝑔𝑔𝑖𝑖

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un obrero empuja horizontalmente una cubeta grande llena de concreto, con masa total de 600 kg, suspendida de una grúa mediante un cable de 20 m. ¿Cuál es la fuerza que el obrero debe ejercer para mantener la cubeta a una distancia de 2,0 m de la vertical?


∑�⃗�𝐹 = 0

mg

T

F 𝐹𝐹 − 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼 = 0

𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0

α

𝐹𝐹 = 590 𝑁𝑁

Fuerzas concurrentes:

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un cilindro de masa M se apoya en un sistema sin rozamiento formado por un plano inclinado 30° con la horizontal a la izquierda y otro inclinado 60° a la derecha. Determinar la fuerza ejercida por cada plano sobre el cilindro.


∑�⃗�𝐹 = 0

𝑁𝑁1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑁𝑁2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠6𝑠𝑠 = 0

Fuerzas concurrentes: N1

N2

mg

60°

30°

𝑁𝑁1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑁𝑁2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑚𝑚 = 0

𝑁𝑁1 =𝑠

2 𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑁𝑁2 =12𝑀𝑀𝑚𝑚

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una balanza con un brazo de 50 cm se balancea sobre un pivote a 1,0 cm de un extremo. Cuando un paquete de azúcar se deposita en el plato de la balanza, el equilibrio se logra con una masa estándar de 0,12 kg en el otro plato. ¿Cuál es la masa del azúcar? Ignore las masas de los platos.


∑�⃗�𝐹 = 0

∑𝑀𝑀𝑛𝑛 = 𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑑𝑑 −𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷 = 0

𝑀𝑀 = 5,9 𝑘𝑘𝑚𝑚

Fuerzas no concurrentes: ∑𝑀𝑀 = 0

Mg

mg

F

O

𝐷𝐷 = 49 𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑑𝑑 = 1 𝑐𝑐𝑚𝑚

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Calcular la fuerza ejercida por la articulación A sobre el puntal si se supone (a) que la barra no tiene peso y (b) que el peso de la barra es de 20 N.


∑�⃗�𝐹 = 0

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑐𝑠𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 = 0

𝐹𝐹𝑥𝑥 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 = 0

Fuerzas no concurrentes: ∑𝑀𝑀 = 0

(a) 60 N

A Fx

Fy

T

60 N

A Fx

Fy

T

20 N

𝐹𝐹𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 − 60 = 0 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑠𝑠 𝑁𝑁

𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑠𝑠 𝑁𝑁

𝑇𝑇𝑇𝑇 −𝑇𝑇2 20 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 − 𝑐𝑠𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 = 0

𝐹𝐹𝑥𝑥 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 = 0 (b)

𝐹𝐹𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠 − 80 = 0 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑠𝑐 𝑁𝑁

𝐹𝐹𝑦𝑦 = 45 𝑁𝑁

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un par de fuerzas de 80 N se aplica sobre las esquinas opuestas de una placa rectangular (a) Hallar el momento producido respecto a la esquina inferior izquierda. (b) Demostrar que el resultado es el mismo que si se calcula el momento respecto a la esquina superior izquierda.


Par de fuerzas: ∑𝑀𝑀 = 0

(a) 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑑𝑑2𝐹𝐹 − 𝑑𝑑2𝐹𝐹 = (𝑑𝑑2−𝑑𝑑1)𝐹𝐹 = 𝑑𝑑 𝐹𝐹

O

A 𝑑𝑑1 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

30°

30° d1

d2

d=d1-d2 F2

F1

𝑑𝑑2 = 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑀𝑀𝐴𝐴 =12 ( 𝑠𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 𝐹𝐹

(b) 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 𝑑𝑑 𝐹𝐹 =12 ( 𝑠𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 𝐹𝐹

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una escalera de masa m y longitud L se apoya contra una pared vertical sin rozamiento formando un ángulo θ con la horizontal. El centro de masas se encuentra a una altura h del suelo. Una fuerza F tira horizontalmente de la escalera hacia fuera en su punto medio. Determinar el coeficiente mínimo de rozamiento estático μe para que el extremo superior de la escalera se separe de la pared, antes de que el extremo inferior se deslice.


𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 0

𝑁𝑁 −𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0

𝑀𝑀𝑂𝑂 = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝑡𝑡𝑚𝑚𝜃𝜃 − 𝐹𝐹

𝐿𝐿2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

F

N mg

Fr=μeN

F

θ

∑�⃗�𝐹 = 0 Fuerzas no concurrentes: ∑𝑀𝑀 = 0

L senθ

h (L/2) senθ

O 𝜇𝜇𝑛𝑛 =2ℎ

𝐿𝐿𝑡𝑡𝑚𝑚𝜃𝜃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Un bloque rectangular grande y uniforme se sitúa sobre un plano inclinado. Una cuerda sujeta la parte superior del bloque para evitar que caiga por el plano. ¿Cuál es el ángulo máximo θ para el cual el bloque no se desliza por el plano inclinado? Sea b/a = 4 y μe = 0,8.


𝑇𝑇 + 𝐹𝐹𝑟𝑟 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

𝑁𝑁 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑟𝑟𝑏𝑏2 + 𝑁𝑁

𝑎𝑎2 − 𝑇𝑇

𝑏𝑏2 = 0


𝑡𝑡𝑚𝑚𝜃𝜃 =𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝜇𝜇𝑛𝑛

mg N

Fr=μe N

T

𝜃𝜃 = 𝑐2𝑠

7.2 Ejemplos de equilibrio estático Una caja uniforme de 8 kg de masa y dos veces más alta que ancha, descansa sobre el suelo de un camión. ¿Cuál es el máximo coeficiente de rozamiento estático entre la caja y el suelo para que la caja se deslice hacia atrás en lugar de volcar cuando el camión acelera en una carretera horizontal?


𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝑚𝑚𝑎𝑎

𝑁𝑁 −𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑟𝑟𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑑𝑑2 = 0


𝜇𝜇𝑛𝑛 = 0,5

aceleración

mg N

Fr=μe N

7.3 Elasticidad: ley de Hooke


(a) Barra sólida sometida a fuerzas deformadoras F que actúan en sus extremos.

(b) Pequeña sección de la barra de longitud L. Los elementos de la barra a la izquierda y a la derecha de esta sección ejercen fuerzas sobre ella. Si la sección no está muy próxima a un extremo de la barra, estas fuerzas se distribuyen por igual sobre el área transversal. La fuerza por unidad de área es la tensión. 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠 =

𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐷𝐷𝑠𝑠𝐷𝐷𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠 =

∆𝐿𝐿𝐿𝐿



Microscópicamente, un bloque de material sólido se puede considerar como una hilera de átomos unidos mediante resortes. Los muelles se estiran cuando al bloque se le aplica una tensión.



Para determinar la resistencia de la barra a la tracción, la barra se tensa hasta que se rompe

Estas barras de acero se rompieron cuando se aplicó una tensión grande



La tensión aplicada al extremo de un bloque de material causa elongación



Tensión en función de la deformación. Hasta el punto A, la deformación es proporcional a la tensión. El punto B, límite elástico, es el punto a partir del cual la barra no recupera su longitud original cuando se suprime la tensión. En el punto C, la barra se rompe

𝐷𝐷𝑠𝑠𝐷𝐷𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠 =𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠

𝑀𝑀𝑇𝑑𝑑𝑀𝑀𝑇𝑇𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑌𝑌𝑐𝑐𝑀𝑀𝑠𝑠𝑚𝑚 (𝑌𝑌)



Histéresis elástica

Las fuerzas asociadas a la fricción interna no son conservativas

7.4 Tracción y contracción lateral


𝐷𝐷𝑠𝑠𝐷𝐷𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠 =𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠

𝑀𝑀𝑇𝑑𝑑𝑀𝑀𝑇𝑇𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑌𝑌𝑐𝑐𝑀𝑀𝑠𝑠𝑚𝑚 (𝑌𝑌)

∆𝑇𝑇𝑇𝑇 =

1𝑌𝑌𝐹𝐹𝑆𝑆 =

1𝑌𝑌 𝑃𝑃

𝜎𝜎 =−Δ𝑟𝑟/𝑟𝑟Δ𝑇𝑇/𝑇𝑇

Módulo de Poisson

Tracción Contracción lateral

Δ𝑟𝑟𝑟𝑟 = −𝜎𝜎

Δ𝑇𝑇Δ𝑇𝑇 = −

𝜎𝜎𝑌𝑌 𝑃𝑃


∆𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝑓𝑓 − 𝐴𝐴𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖

= −2𝜎𝜎𝑌𝑌 𝑃𝑃 Efecto sobre la sección lateral

Tracción Contracción lateral

Efecto sobre el volumen ∆𝑉𝑉𝑉𝑉 =

𝑉𝑉𝑓𝑓 − 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑉𝑉𝑖𝑖

=(1 − 2𝜎𝜎)

𝑌𝑌 𝑃𝑃


𝜎𝜎 < 1/2


Compresión

∆𝑇𝑇𝑇𝑇 = −

1𝑌𝑌 𝑃𝑃

Δ𝑟𝑟𝑟𝑟 =

𝜎𝜎𝑌𝑌 𝑃𝑃


7.5 Elasticidad de volumen: compresión uniforme


∆𝑉𝑉𝑉𝑉 = −𝜆𝜆

𝐹𝐹𝐴𝐴 = −𝜆𝜆𝑃𝑃 = −

1𝐵𝐵 𝑃𝑃

λ: Coeficiente de compresibilidad

B: Módulo de compresibilidad 𝐵𝐵 =

−𝑌𝑌𝑠(1 − 2𝜎𝜎)

7.6 Flexión


Flexión lateral Flexión central

7.6 Flexión


Flexión lateral

𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝐹𝐹 𝑘𝑘 =𝐿𝐿3

𝑠𝑌𝑌𝑌𝑌

𝑌𝑌 = ∫ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑆𝑆

7.7 Elasticidad de forma: cizalladura y torsión


a) La fuerza tangencial aplicada al lado de un bloque de material causa corte

b) Cuando tal fuerza tangencial se aplica a la cubierta de un libro, las páginas se deslizan una sobre otra



Cizalladura

𝜑𝜑 ≈ 𝑡𝑡𝑚𝑚𝜑𝜑 =1𝐺𝐺𝐹𝐹𝐴𝐴 =

1𝐺𝐺 𝑃𝑃

G: Módulo de rigidez o de cizalladura

𝐺𝐺 =𝑌𝑌

2(1 + 𝜎𝜎)


Torsión

𝜑𝜑 =1𝐾𝐾𝜏𝜏

𝐾𝐾 = 𝛾𝛾𝑅𝑅4

𝑇𝑇

𝛾𝛾 =𝜋𝜋2 𝐺𝐺

ϒ: Módulo de torsión



7.8 Aplicaciones

Balanza de torsión de Cavendish para la determinación de G = 6,67·10-11 N·m2/kg2


7.8 Aplicaciones

Galga extensiométrica: Sensor para medir presión, fuerza, posición, momento, etc. basado en el efecto piezorresistivo, por el que ciertos materiales experimentan variaciones de su resistencia eléctrica cuando se deforman bajo la acción de ciertos esfuerzos (http://politube.upv.es/play.php?vid=8628).

7.8 Ejemplos de elasticidad Una cuerda de acero de piano, con 1,8 m de longitud y 0,30 mm de radio, se sujeta a una tensión de 70 N mediante un peso unido a su extremo inferior. ¿En cuanto se estira esta cuerda?



1𝑌𝑌𝐹𝐹𝐴𝐴

Se supone que se cumple la ley de Hooke:

Δl

l

F

∆𝑇𝑇 =𝑇𝑇𝑌𝑌𝐹𝐹𝐴𝐴 = 2 ∙ 10−3 𝑚𝑚

7.8 Ejemplos de elasticidad La resistencia a la tracción de un alambre de cobre es aproximadamente de 3·108 N/m2 (a) ¿Cuál es la carga máxima que puede colgarse de un alambre de cobre de 0,42 mm? (b) Si se cuelga la mitad de esta carga máxima del alambre de cobre, ¿en qué porcentaje se alargará su longitud?


𝑅𝑅𝑇𝑇 =𝐹𝐹𝐴𝐴

Δl

l

F

𝐹𝐹 = 𝑅𝑅𝑇𝑇𝐴𝐴 = 42 𝑁𝑁

∆𝑇𝑇𝑇𝑇 100% =

1𝑌𝑌

(𝐹𝐹/2)𝐴𝐴 = 0,14%

7.8 Ejemplos de elasticidad Mientras los pies de un corredor tocan el suelo, una fuerza de cizalladura actúa sobre la suela de su zapato de 8 mm de espesor. Si la fuerza de 25 N se distribuye a lo largo de un área de 15 cm2, calcular el ángulo θ de cizalladura, sabiendo que el módulo de cizalladura de la suela es de 1,9·105 N/m2.


En este caso, la ley de Hooke es:

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑚𝑚𝜃𝜃 =1𝐺𝐺𝐹𝐹𝐴𝐴 =

1𝐺𝐺 𝑃𝑃 = 𝑐𝑠

7.8 Ejemplos de elasticidad Dos fuerzas iguales en módulo pero con direcciones opuestas se aplican en ambos extremos de un alambre largo de longitud L y sección transversal A. Demostrar que si el alambre se considera como un muelle, la constante de fuerza k viene dada por k = AY/L y la energía almacenada en el alambre es U=(½)FΔL, donde Y es el módulo de Young y ΔL el incremento de longitud del alambre.


𝑥𝑥𝑇𝑇 =


1𝑌𝑌𝐹𝐹𝐴𝐴

𝐹𝐹 = 𝑘𝑘Δ𝑇𝑇 = 𝑘𝑘𝑥𝑥

𝑘𝑘 =𝐴𝐴𝑌𝑌𝑇𝑇

𝑊𝑊 = −∫ 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑥𝑥 = −∫ 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = −12𝐹𝐹∆𝑇𝑇 = −∆𝑈𝑈

7.8 Ejemplos de elasticidad Una cinta de caucho de sección 3 mm x 1,5 mm se dispone verticalmente y varias masas se cuelgan de ella. Un estudiante obtiene los datos de la longitud de la cinta en función de la carga que se indican en la Tabla. (a) Determinar el módulo de Young; (b) Determinar la energía almacenada en la cinta cuando la carga es de 0,15 kg; (c) Calcular dicha energía cuando la carga es de 0,3 kg.


𝑚𝑚 = 0,1𝑐𝑘𝑘𝑚𝑚 ⟹ 𝑈𝑈 = 0,008 𝐽𝐽

Δl

l

F

Carga, kg 0,0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Longitud, cm 5,0 5,6 6,2 6,9 7,8 8,8

F/A

Δl/l

y = 1,4E+06x + 53239 R² = 0,9873

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

1,E+06

1,E+06

0,E+00 2,E-01 4,E-01 6,E-01 8,E-01

Y=1,4·106 N/m2

𝑚𝑚 = 0,𝑠𝑠𝑘𝑘𝑚𝑚 ⟹ 𝑈𝑈 = 0,𝑠𝑠𝑐 𝐽𝐽

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