tema – 7: circuitos digitales · departamento de tecnología tecnología industrial ii 1 tema –...

Departamento de Tecnología Tecnología industrial II

1

TEMA – 7: CIRCUITOS DIGITALES

1. INTRODUCCIÓN.

La utilización creciente de circuitos digitales ha dado lugar en los últimos tiempos a una

revolución sin precedentes en el campo de la tecnología. Basta observar el interior de una simple

calculadora de bolsillo para darnos cuenta de la gran cantidad de circuitos impresos que funcionan

digitalmente y que constituyen su intrincada anatomía.

A lo largo de esta unidad se analizan los sistemas de numeración que sirven de base al

funcionamiento de los componentes electrónicos de los circuitos digitales y, tras una breve incursión

en el álgebra de Boole, se aborda la manera de diseñar circuitos lógicos elementales que permiten

controlar el funcionamiento de algunos dispositivos sencillos.

No cabe duda de que la Electrónica digital se ha convertido en poco menos que imprescindible

para nuestro actual “estado de bienestar”; sin embargo, no conviene que una automatización excesiva

prive al ser humano de su capacidad de elección consciente entre diversas alternativas posibles.

Nuestro destino no es convertirnos en esclavos de la automatización.

2. SEÑALES Y TIPOS DE SEÑALES.

Se denomina señal a la información que representa una determinada magnitud física

(temperatura, presión, tensión, intensidad, etc.) y su evolución con el tiempo. Las señales se clasifican

en:

• Señales analógicas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores, es decir, la

variable estudiada es una función continua del tiempo.

• Señales digitales, son aquellas en las que la variable estudiada solo toma valores

discretos.

V

t


2

Las señales digitales presentan varias ventajas frente a las analógicas:

• Facilidad de transmisión.

• Facilidad de procesamiento y almacenamiento.

• Mayor inmunidad al ruido.

Un circuito digital es aquel que comunica y procesa información de tipo digital. Estos se

emplean en todo tipo de sistemas de control industrial, procesos de datos, y otros muchos equipos,

como pueden ser los dispositivos de seguridad, equipos de navegación, electrodomésticos, etc.

Los circuitos digitales se clasifican en:

• Circuitos combinacionales.

• Circuitos secuenciales.

Ahora bien, estos circuitos requieren para su construcción una serie de elementos que

materialicen los principios del álgebra de Boole, base matemática de la electrónica digital. Esta

realización física la constituyen las denominadas puertas lógicas.


3

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

Un número está constituido por una sucesión de dígitos situados ordenadamente de izquierda a

derecha de un punto de referencia (como o punto). El número de dígitos situados a la izquierda de esta

referencia es siempre finito, pudiendo ser infinito el de los situados a la derecha. Se denomina base de

un sistema el número de posibles dígitos que se utilizan en dicho sistema de numeración.

2.1. SISTEMA DECIMAL.

En el sistema de numeración empleado normalmente. En este sistema todos los números se

representan con diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El valor de cada uno de ellos depende de su

posición respecto de la referencia.

Así, en el número decimal 8347,32 el valor del digito 3 situado a la derecha de la coma es:

3·10-1 ═ 0,3, mientras que el 3 situado a la izquierda vale 3·102 ═ 300.

En general, en un sistema de numeración de base b cada uno de los b dígitos posibles tiene un

valor dado por la expresión:

pi·bi

En la que p es el dígito, e i el número de orden de la posición que ocupa respecto de la

referencia (negativo a la derecha y positivo a la izquierda). Para la primera posición a la izquierda de

la referencia, i ═ 0.

Por tanto, en un sistema de base b un número N puede representarse mediante el siguiente

desarrollo:

N ═ pn·bn + pn-1· bn-1 + …+ p1·b1 + p0·b0 + p-1·b-1 + …

Por ejemplo:

85,47 ═ 8·101 + 5·100 + 4·10-1 + 7·10-2

Para los circuitos digitales el sistema de numeración más adecuado será aquel que precise del

menor número de componentes básicos para su realización, ya que de esta manera el coste del circuito

resulta mínimo.

Por otra parte, como los componentes electrónicos (diodos, transistores,…) que intervienen en

los circuitos digitales se caracterizan por presentar dos estados estables perfectamente diferenciados,

resulta lógico que el sistema de numeración más idóneo para tales circuitos sea el binario.


4

2.2. SISTEMA BINARIO.

Es el sistema que se utiliza en los circuitos digitales, donde solo existen dos dígitos posibles: el

0 y el 1. Esta unidad mínima de información se conoce con el nombre de bit, al conjunto de 8 bit se le

denomina byte, en el caso de 1024 bits (kilobyte) y 1048576 bits (megabyte).

Al expresar un número binario, el bit que está situado más a la izquierda (el de mayor peso) se

denomina bit más significativo, mientras que el de más a la derecha se conoce como bit menos

significativo.

La cantidad que expresa un número binario se consigue multiplicando cada dígito por la

potencia de dos (base) que corresponde a su posición respecto a la referencia.

Ejemplo:

1100101,1101 (2) ═1· 26 + 1· 25 + 0· 24 + 0· 23 + 1· 22 + 0· 21 + 1· 20 + 1· 2-1 +

1· 2-2+ 0· 2-3 + 1· 2-4 ═ 64+32+0+0+4+0+1+0,5+0,25+0+0,0625 ═ 101,8125 (10)

ACTIVIDAD 1

Pasar al sistema decimal los siguientes números binarios:

• 10011010,101 (2)

• 11001 (2)

• 110101 (2)

• 11010,101 (2)

• 1010111 (2)

• 101010,111 (2)

• 1000011111 (2)

• 11100010 (2)

• 11001,010111 (2)


5

Para realizar la operación inversa; es decir, para expresar un número decimal entero en el

sistema binario, se procede de la siguiente manera:

• Se divide el número decimal por dos. El resto de esta operación es el bit menos

significativo.

• El cociente de esta división se vuelve a dividir por dos. El nuevo resto constituye el

siguiente dígito.

• Se continua el proceso hasta que el cociente obtenido resulte menor que dos. Este

ultimo cociente es el digito más significativo

• Se escribe el dígito más significativo y a continuación todos los restos obtenidos hasta

finalizar con el menos significativo (primer resto).

Ejemplo:

Expresar el número decimal 25 en su equivalente binario.

De esta manera el resultado es:

25 (10) ═ 11001 (2)

Si el número decimal no es entero, sino que presenta una parte fraccionaria, se multiplica esta

parte fraccionaria por dos; la parte fraccionaria del resultado se multiplicada nuevamente por dos, y

así sucesivamente hasta que no se obtenga nueva fracción, o bien se consiga la precisión deseada. La

sucesión de valores enteros generada de esta forma es el número binario equivalente a la parte

fraccionaria del número decimal.


6

Ejemplo:

Expresar el número decimal fraccionario 0,36 en su equivalente binario con seis dígitos de

precisión.

Solucion:

• 0,36 · 2 ═ 0,72 Primer dígito fraccionario: 0

• 0,72 · 2 ═ 1,44 Segundo dígito fraccionario: 1

• 0,44 · 2 ═ 0,88 Tercer dígito fraccionario: 0

• 0,88 · 2 ═ 1,76 Cuarto dígito fraccionario: 1

• 0,76 · 2 ═ 1,52 Quinto dígito fraccionario: 1

• 0,52 · 2 ═ 1,04 Sexto dígito fraccionario: 1

Por tanto, el resultado es:

0,36 (10) ═ 0,010111 (2)

ACTIVIDAD 2

Convierte en binario los siguientes números decimales:

• 87,525 (10)

• 42,875 (10)

• 325,26 (10)

• 238,500 (10)

• 183,125 (10)

• 277,125 (10)

• 629,750 (10)

• 305,625 (10)

2.3. CÓDIGOS BINARIOS.

Ya se ha mencionado anteriormente que el sistema de numeración más adecuado para los

circuitos digitales es el binario. Como la misión primordial de estos circuitos es el procesamiento de la

información, esta ha de ser codificada de manera que exista una correspondencia biunívoca y

sistemática entre el valor de la información que se procesa y una cierta combinación de dígitos. Esta

correspondencia se conoce con el nombre de código.


7

Los códigos binarios más importantes son:

• CODIGO BINARIO NATURAL.

Son los números en base diez expresados en base dos.

• CODIGO DECIMAL NATURAL (BCD natural).

Se representa cada número con cuatro dígitos.

0 0000 1 0001 Ejemplos: 2 0010 2310 ═ (0010)(0011)BCD 3 0011 34510 ═ (0011)(0100)(0101)BCD 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001

2.4. SISTEMA HEXADECIMAL.

Es el sistema de base 16. Sirve para representar de forma simplificada números en binario. Se

usa con gran frecuencia en los microprocesadores. Para su representación se utilizan los diez dígitos

decimales y las letras del alfabeto de la A a la F. La equivalencia entre el sistema hexadecimal y el

decimal es:

Hex. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Dec. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Para convertir un número hexadecimal en su equivalente decimal se opera igual que con el

sistema binario salvo que ahora la base es 16.

Para pasar del sistema decimal al hexadecimal se sigue también un procedimiento análogo al

del sistema binario: es decir, se realizan sucesivas divisiones por 16, hasta que el último cociente sea

menor que este número. Para obtener el resultado hexadecimal correcto se agrupan el último cociente

y todos los demás restos.

Ejemplos:

• Pasar el número 2EF a su equivalente en el sistema decimal.

• Convertir el número 75110 en hexadecimal.


8

Para pasar de un número binario a hexadecimal, se hacen grupos de cuatro bits hacia la

izquierda comenzando por la primera cifra situada a la izquierda de la coma. Si el último grupo está

incompleto se añaden ceros por la izquierda. Cada uno de estos grupos se transforma en el

correspondiente número decimal, y estos a continuación en hexadecimal.

Así, el número binario 11110101101 se transforma en hexadecimal de la siguiente manera:

0111 1010 1101 Binario

7 10 13 Decimal

7 A D Hexadecimal

11110101101 (2) ═ 7AD

Para pasar un número del sistema hexadecimal al binario se sigue el procedimiento inverso.

Así, el número hexadecimal 4DF se transforma en binario de la siguiente manera:

4 D F Hexadecimal

4 13 15 Decimal

0100 1101 1111 Binario

4DF ═ 10011011111 (2)


9

3. ARITMÉTICA BINARIA.

Análogamente a como se realizan las operaciones matemáticas que se llevan a cabo

habitualmente con números decimales, es necesario en muchas ocasiones realizarlas también entre

números binarios. Veamos cómo se realizan las dos operaciones binarias básicas: la suma y la resta.

3.1. SUMA BINARIA.

Se realiza de forma análoga a como se hace con números decimales; para ello obsérvese el

ejemplo en el que se compara esta operación aritmética para ambos sistemas numéricos.

EJEMPLO.-

SUMA DECIMAL

Acarreo 1 1 1 1

Primer sumando 9 9 3 , 1 2 5

Segundo sumando 2 0 4 , 8 7 5

Suma 1 1 9 8 , 0 0 0

SUMA BINARIA

Acarreo 1 1 1 1 1 1 1 1

Primer sumando 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 , 0 0 1

Segundo sumando 1 1 0 0 1 1 0 0 , 1 1 1

Suma 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 , 0 0 0


10

3.2. RESTA BINARIA.

Respecto a la resta binaria se debe tener en cuenta que podría realizarse análogamente a como

se hace con números decimales; sin embargo, esto conllevaría un circuito distinto para esta operación

en los dispositivos reales, lo que supone un gran inconveniente. Por esta razón, habitualmente se

realiza la operación de la resta mediante operaciones de suma, es decir, se debe sumar al minuendo el

“opuesto” del sustraendo.

Existen dos formas fundamentales de expresar el “opuesto” de un número binario: mediante

complemento a dos y mediante complemento a uno.

• El complemento a dos de un número binario se obtiene intercambiando en el número

binario original los ceros por unos para luego sumarle un 1 en el último dígito; de esta

forma el complemento a dos de 1011,001 (11,12510) sería 0100,111, que corresponde en

número decimal a 4,875. Se cumple que el complemento a dos corresponde a dos

elevado al número de bits enteros que el número original posea, menos el número

decimal original (4,875 = 24 – 11,125). Esta característica servirá para realizar la

operación de resta mediante aritmética de adición como se verá más adelante.

• El complemento a uno se halla intercambiando los unos por ceros en el número binario

original, de tal forma que el complemento a uno de 1011,001 (11,12510) es 0100,110

(4,7510). La característica fundamental es que el complemento a uno de un número

binario corresponde a dos elevado el número de dígitos enteros de dicha palabra, menos

dos elevado al número de dígitos fraccionarios (con signo negativo) menos el número

original (4,75 = 24 – 2-3 – 11,125).

Mediante estos dos sistemas se puede obtener la resta de dos números binarios a partir de

aritmética de adición. El más habitual es el complemento a dos, en el que la resta se consigue

añadiendo al minuendo el complemento a dos del sustraendo, mientras que en la resta mediante suma

por complemento a uno, se debe sumar al minuendo el complemento a uno del sustraendo y añadir a

este valor el acarreo producido en la suma del bit de signo. En ambos casos, si el resultado de esta

suma es negativo, el resultado final correcto será el complemento (a uno o a dos) de la suma hallada.

El bit de signo es un bit añadido a la izquierda de cada número binario original que indica cuál

es el número que actúa de sustraendo, de forma que se coloca un 0 para el minuendo o número

positivo, y un 1 para el sustraendo o número negativo. Observando los ejemplos siguientes se

entenderá mejor cómo se lleva a cabo la operación de resta binaria mediante la adición en

complemento a uno y a dos.


11

RESTA BINARIA COMO ADICIÓN DE

COMPLEMENTO A UNO

RESTA BINARIA COMO ADICIÓN DE

COMPLEMENTO A DOS Supongamos que queremos restar 13 - 5 Supongamos que queremos restar 13 - 5

Supongamos que queremos restar 7 - 9 Supongamos que queremos restar 7 - 9


12

4. ÁLGEBRA DE BOOLE.

A principios del siglo XIX fue desarrollada el álgebra lógica, por George boole, para investigar las

leyes fundamentales de aquellas operaciones por las que se rige el razonamiento humano, por lo que

también se le conoce como álgebra de Boole.

El álgebra de Boole opera con relaciones lógicas donde las variables, denominadas binarias,

pueden tomar solamente dos valores distintos: verdadero o falso. Estos dos valores se representan

simbólicamente con los signos 1 y 0 respectivamente y expresan, por tanto, estados y no cantidades;

así, pueden simbolizar un interruptor abierto o cerrado (el circuito conduce o no conduce), encendido o

apagado de una lámpara, que en un punto determinado del circuito haya o no haya tensión,…

En el álgebra de Boole aplicada a los circuitos digitales se pueden distinguir dos tipos de

lógica:

• Lógica positiva. Al nivel de tensión más elevado se le asigna el estado 1, y al nivel más bajo el

estado 0.

• Lógica negativa. La asignación se hace a la inversa, de manera que el estado 0 corresponde al

nivel más elevado de tensión, y el estado 1 al más bajo.

4.1. FUNCIÓN LÓGICA.

Se define como función lógica o Booleana a toda variable binaria cuyo valor depende de una

expresión algebraica formada por otras variables binarias o booleanas relacionada mediante los signos

+ y · . El signo + se debe entender como la conjunción o y el · como la conjunción y. Ejemplo:

S ═ f (a,b) ═ a + b

4.2. TABLA DE VERDAD.

La tabla de verdad de una función es un cuadro formado por tantas columnas como variables

contenga la función más la correspondiente a la de la función y por tantas filas como combinaciones

sean posibles construir con dichas variables. Ejemplo:

S ═ f(a,b,c) ═ a · b · c

El número de columnas será 4 y el de filas a las combinaciones posibles que se obtiene de la

siguiente manera:

Filas ═ 2n ═ 23 ═ 8 , siendo n el número de variables.


13

a b c S ═ a+b+c

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Podemos asemejarlo a un circuito en paralelo, donde a, b y c son interruptores y la función S es

el receptor (por ejemplo una bombilla):

4.3. FUNCIONES BÁSICAS.

• Función igualdad.

S ═ a

• Función suma o función unión (OR).

S ═ a + b

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


14

• Función producto o función intersección (AND).

S ═ a · b

a b S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

• Función complemento o negación (NOT).

aS =

a S

0 1

1 0

4.4. POSTULADOS, PROPIEDADES Y LEYES MÁS IMPORTANTES DEL

ÁLGEBRA DE BOOLE.

• POSTULADOS.

1) a + 1 ═ 1

2) a + 0 ═ a

3) a · 1 ═ a

4) a · 0 ═ 0

5) a + a ═ a

6) a · a ═ a

7) a + a = 1

8) a · a = 0

9) a = a

10) S = a + b baS +=

S = a · b baS ⋅=


15

• PROPIEDADES Y LEYES.

1) Propiedad conmutativa:

a + b ═ b + a

a · b ═ b · a

2) Propiedad asociativa:

a + b + c ═ a + (b + c)

a · b · c ═ a · (b · c)

3) Propiedad distributiva:

a ·(b + c) ═ a · b + a · c

a + (b · c) ═ (a + b) · (a + c)

4) Leyes de Morgan: ...... ⋅⋅=++ baba ...... ++=⋅⋅ baba

5) Ley de absorción:

a · (a + b) ═ a a + (a · b) ═ a ( ) babaa +=⋅+


16

4.5. PUERTAS LÓGICAS.

Una puerta lógica es un dispositivo electrónico integrado capaz de realizar una función básica,

y que representaremos mediante un símbolo.

• Puerta AND.

Esta puerta realiza la función básica de intersección o producto. En ella la salida toma

el valor 1 sí, y solo sí, todas las variables de entrada toman el valor 1.

S ═ a · b · …

• Puerta OR.

Esta puerta realiza la función básica de unión o suma. En ella la salida toma el valor 1

sí, y solo sí al menos una de las variables de entrada toma el valor 1.

S ═ a + b + …

• Puerta NOT.

Esta puerta realiza la función básica de complemento o negacion. En ella la salida toma

el valor 1 sí, y solo sí, la variable de entrada toma el valor 0.

aS =

Existen además otras puertas, llamadas puertas universales, cada una de las cuales permite

reproducir todas las operaciones del álgebra de Boole. Estas puertas son: puerta NAND y puerta

NOR.


17

• Puerta NAND.

La puerta NAND es una puerta AND seguida de una negación. Su Tabla de verdad y la

representación simbólica, según la norma American Standard, son las siguientes:

baS ⋅= a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

• Puerta NOR.

La puerta NOR es una puerta OR seguida de una negación. Su Tabla de verdad y la

representación simbólica, según la norma American Standard, son las siguientes:

baS +=

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Se puede comprobar la universalidad de esta puerta, por ejemplo, la función negación (NOT) se

obtiene si unimos las dos entradas en una sola.

aS = a S

0 1

1 0


18

• Puerta OR - EXCLUSIVA.

La puerta OR - EXCLUSIVA de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando una

de las variables toma el valor 1 y la otra el valor 0 o viceversa.

bababaS ⋅+⋅=⊕=

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

• Puerta NOR - EXCLUSIVA.

La puerta NOR - EXCLUSIVA de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando las

dos variables son iguales

baS ⊕=

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


19

5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.

Las funciones lógicas se pueden representar mediante:

• Diagramas de contactos, representan las funciones en términos de circuitos eléctricos

provistos de contactos.

• Logigramas, representan las funciones mediante puertas lógicas.

Ejemplo: S ═(a + b) · c

Diagrama de contactos Logigrama

En general, una misma función lógica puede representarse mediante varias formulaciones

matemáticas equivalentes. En cambio, la tabla de verdad es la misma en todos los casos.

Lógicamente, siempre se debe utilizar la expresión matemática más sencilla; y no sólo para que su

manejo matemático sea más simple, sino también porque su realización física por medio de circuitos

será tanto más económica cuanto más sencilla sea.


20

6. FORMAS CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN.

Entre las diversas representaciones matemáticas que puede tomar una función, existen dos

especialmente interesantes que se denominan formas canónicas.

• Primera forma canónica de una función lógica o miniterms es una suma de productos

lógicos en los que intervienen todas las variables de la función, ya sea de forma directo

o de forma negada. Para obtenerla a partir de la tabla de la verdad, se tomarán aquellas

filas en las que el valor de la función sea 1; cada termino será un producto de todas las

variables que intervienen en la función, de forma directa (su valor en la tabla es 1) o de

forma negada (su valor en la tabla es 0).

• Segunda forma canónica de una función lógica o maxterms es un producto de sumas

en las que intervienen todas las variables de la función, ya sea de forma directo o de

forma negada. Para obtenerla a partir de la tabla de la verdad, se tomarán aquellas filas

en las que el valor de la función sea 0; cada termino será una suma de todas las

variables que intervienen en la función, de forma directa (su valor en la tabla es 0) o de

forma negada (su valor en la tabla es 1).

Ejemplo: Obtener la primera y segunda forma canónica de la función a partir de su tabla

de verdad.

Fila a b c S

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

NOTA: las filas que aparecen en una forma canónica no aparecen en la otra.

Primera forma canónica:

cbacbacbaS ······ ++= Segunda forma canónica:

( ) ( )( )( ) ( )cbacbacba

cbacbaS++++++

++++=

····


21

7. REALIZACIÓN DE CUALQUIER TIPO DE FUNCIÓN A PARTIR DE

PUERTAS BÁSICAS.

La realización física de una función lógica se denomina implementar. La implementación de

cualquier función es francamente simple, si bien, será necesario simplificar la función para utilizar el

menor número de puertas lógicas.

Ejemplo: cbacbaS ··· ++=

ACTIVIDADES:

• Implementa las siguientes funciones:

cbabadcbaS ···· ++++=

cbcabaS ··· ++=

• A partir del siguiente logigrama obtén la función S.


22

• Obtener la primera y segunda forma canónica de las funciones S1, S2, S3 y S4, cuyas tablas de

verdad se representan más abajo.

a b c S1 a b c S2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1 1 0

a b c d S3 a b c d S4

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0


23

8. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES CON UN SOLO TIPO DE

PUERTAS.

La utilización de distintos tipos de puertas conlleva la utilización de un elevado número de

circuitos integrados, ya que en cada circuito integrado todas las puertas son del mismo tipo. Por ello es

importante construir las funciones utilizando exclusivamente puertas universales, es decir, puertas

NAND o puertas NOR. Así distinguimos:

• Lógica NAND – NAND, el proceso a seguir para implementar una función solamente

con puertas NAND.

• Lógica NOR – NOR, el proceso a seguir para transformar cualquier tipo de función en

una expresión algebraica tal que se pueda implementar con puertas NOR solamente.

LÓGICA NAND – NAND.

a) En primer lugar debe aplicarse a la expresión en su conjunto una doble inversión.

b) Si la función es un producto, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es una suma,

se elimina una de las inversiones aplicando la ley de Morgan.

c) Se continúa invirtiendo doblemente los términos hasta que todas las sumas y productos se

convierten en productos y productos negados.

Ejemplos:

• baS ·= baSbaS ·· =→=

• baS += baSbaS +=→+=

• bababaS ·· +=⊕=

babababaS ····· =+=


24

LÓGICA NOR – NOR.

a) En primer lugar debe aplicarse a la expresión en su conjunto una doble inversión.

b) Si la función es una suma, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es un producto,

se elimina una de ellas mediante la aplicación de la ley de Morgan.

c) Se continúa invirtiendo doblemente los términos hasta que todas las sumas y productos se

convierten en sumas o sumas negadas.

Ejemplos:

• baS +=

baS +=

• baS ·=

babaS +== ·

• bababaS ·· +=⊕=

babababababababababaS +++=++=++==+= ·······

EJERCICIOS:

Implementa las siguientes funcione con puerta NAND y puertas NOR.

• bababaS ··· ++=

• cbacbacbaS ······ ++=


25

9. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES.

Como se ha dicho anteriormente, existen múltiples formas de expresar una misma función lógica

por lo que se hace necesario elegir aquellas que fundamentalmente minimice el coste, y para ello se ha

de tener en cuenta que lo que se pretende es obtener una expresión que tenga el menor número de

términos con el menor número de variables en cada uno de ellos.

Podemos simplificar funciones mediante el método matemático o por el método de Karnaugh

(mapas de Karnaugh).

10.1 SIMPLIFICACIÓN POR EL MÉTODO MATEMÁTICO.

En este método no existe ninguna regla fija que permita simplificar funciones de forma

sistemática y consiste en reducir una función lógica recurriendo, en la medida de lo posible, a los

postulados, las propiedades y leyes del álgebra de Boole.

A modo de referencia analizaremos un ejemplo sencillo. Supongamos la siguiente función:

( )cbcbaS ++= ·

Aplicando la propiedad distributiva queda:

ccbcbaS ··· ++=

Como, bcbaScc ··0· +=→=

Aplicando la ley de Morgan queda:

( )( ) ( )( )bcbabcbaS +=+= ····

Aplicando de nuevo la propiedad distributiva:

( ) ( ) ( ) ( )cbababbacbaS ······· +=+=

Sacando factor común a, ba· :

( )cbaS += 1·· , como 11 =+ c , nos queda:

baS ·=


26

10.2 SIMPLIFICACIÓN POR EL MÉTODO DE KARNAUGH (MAPA DE

KARNAUGH).

Es un método sencillo para simplificar funciones de hasta cuatro variables y aunque también es

válido para cinco y seis su resolución es mucho más compleja.

Ahora bien, para aplicar este método la función debe estar expresada como suma de productos

(primera forma canónica) o producto de sumas (segunda forma canónica), por tanto, es necesario

saber cómo convertir cualquier función lógica, sea cual sea la forma en que este expresada, en un

producto de suma o suma de productos; nos centraremos en la primera forma canónica que es la que

mas vamos a utilizar.

Vamos a verlo con un ejemplo; supongamos la siguiente función:

S ═ a + b·c

Se observa que en el primer término nos falta la variable b y c y en el segundo la variable a.

Para introducirlas multiplicaremos por la variable más su complementada, es decir, estamos

multiplicando por 1.

( )( ) ( ) cbaaccbbaS ···· ++++=

Operando obtenemos:

( )( ) cbacbacbacbacbacbacbacbaccbabaS ··················· +++++=++++=

Aquellos términos que se repitan se pueden eliminar dejando solo uno (quinto postulado), en

nuestro ejemplo se repite a·b·c, por tanto, eliminando uno queda:

cbacbacbacbacbaS ·········· ++++=

Ya hemos obtenido la primera forma canónica de nuestra función.

Ejercicios.

Pasa las siguientes funciones lógicas a la primera forma canónica:

• cbababaS ···· ++=

• cabaS ·++=

• cbbaS ·· +=

• cacbbaS ··· ++=


27

Si hubiéramos querido obtener un producto de sumas, es decir, la segunda forma canónica,

sumaríamos a cada término las variables que le falten multiplicadas por su complementada, en

definitiva le estaríamos sumando ceros. Supongamos la función:

( ) ( )cabacbaS ++=+= ··

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cbacbacbacbacbbaccbaS ++++++++=++++= ······

Dejando solo uno de los términos que se repiten, nos queda:

( ) ( ) ( )cbacbacbaS ++++++= ··

* Mapa de Karnaugh.

Básicamente consiste en construir un cuadro con tantas celdillas como combinaciones permita

el número de variables. En la parte superior e izquierda aparecen todas las combinaciones que se

pueden conformar al asignar a cada variable los valores posibles. El orden de colocación de estas

combinaciones ha de ser tal que entre adyacentes solo cambie el valor de una de las variables y solo

una.

Por último, en cada celdilla se incluye el valor de la función para la combinación de variables

que la definen. Para el caso de una función de tres variables y una de cuatro variables los cuadros

serían:

00 01 11 10 00 01 11 10

0 00

1 01

11

10

Si partimos de la primera forma canónica se ponen unos en las celdillas cuyas combinaciones

aparecen en la función. Si por el contrario tenemos la segunda forma canónica pondríamos ceros para

las combinaciones que aparecen en la función.

A continuación agrupamos los unos o los ceros adyacentes en bloques de 2, 4, 8, 16, …,

puede observarse que son potencias de 2; no podrían agruparse 6 unos o 6 ceros aunque sean


28

adyacentes. Cada asociación debe contener el mayor número posible de celdillas, y el número de

asociaciones debe ser mínimo. De cada asociación o grupo saldrá un término.

Al realizar la minimización se debe tener en cuenta:

• Que puede ocurrir que existan varias asociaciones posibles de complejidad equivalente:

en este caso, puede elegirse una cualquiera de ellas.

• Que puede suceder que quede algún uno o cero aislado: se considera como un grupo.

• El mismo uno o cero puede ser utilizado en varias agrupaciones diferentes, si esto

resulta conveniente para el proceso.

De cada grupo se toman las variables que tienen el mismo valor, asignándole la forma directa

sI es uno y la negada si es cero y como suma de productos, si partimos de la primera forma canónica

o al contrario si partimos de la segunda forma canónica.

Veamos algunos ejemplos de cómo formar los grupos:

00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0

00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0

Si tenemos cuatro variables:

00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

00 1 0 0 1 00 1 0 0 1 00 1 0 0 1

01 1 1 1 1 01 0 0 0 0 01 1 1 0 0

11 1 0 0 1 11 0 0 0 0 11 0 0 0 0

10 1 0 0 1 10 1 0 0 1 10 0 0 0 1


29

ACTIVIDADES

Dadas las tablas de verdad de las funciones S1 y S2,

• Hallar la función lógica en primera y segunda forma canónica.

• Realiza la minimización mediante Karnaugh y el logigrama correspondiente.

• Realiza el logigrama lógico de la función simplificada solo con puertas NAND y otro

solo con puertas NOR.

a b c d S1 a b c d S2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0


30

ACTIVIDADES DE SÍNTESIS 1) Enuncia las leyes de Morgan del álgebra de Boole, compruébalas utilizando tablas de

verdad.

2) El número de entradas de una puerta lógica son:

a) Dos.

b) El número de salidas menos una.

c) Siempre es un número par.

d) Depende de la puerta lógica.

3) Dibuja los símbolos gráficos para las puertas lógicas.

4) Construye razonadamente una puerta logica AND de tres entradas a partir de puertas AND

de dos entradas.

5) El funcionamiento de un montacargas está regulado mediante tres captadores situados

debajo del mismo. Debe funcionar en vacío (ningún captador accionado) y con cargas

entre 10 y 100 Kg (captadores A y B accionados), y debe estar parado para cargas menores

de 10 Kg (captador A accionado) o superior a 100 Kg ( los tres captadores accionados). El

captador A está accionado siempre que lo esté el B. Además, los captadores A y B están

accionados cuando lo está el C. Se pide:

a) Tabla de verdad.

b) Función lógica del automatismo.

c) Diagrama lógico del circuito.

6) En un circuito de conmutación, la correspondencia entre las tres señales de entrada y la

señal de salida viene definida por la tabla de verdad adjunta:

a b c S0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Se pide:

a) Expresar la función lógica

mediante suma de productos canónicos y

mediante producto de sumas canónicas.

b) Realizar el logigrama con el menor

número de puertas lógicas.


31

7) En un automóvil de dos puertas se encienden las luces interiores cuando se desactiva

alguno de los actuadores existentes en cada puerta, o cuando el conductor pulsa el actuador

manual situado cerca del retrovisor. Se pide:

a) Tabla de verdad.

b) Mapa de Karnaugh.

c) Expresión lógica mínima y su diagrama lógico.

8) Un contactor para accionamiento de un motor eléctrico está gobernado por tres finales de

carrera A, B y C, de modo que funciona si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• A accionado; B y C en reposo.

• A en reposo; B y C accionados.

• A y B en reposo; C accionado.

• A y B accionados; C en reposo.

Se pide:

a) Tabla de verdad.

b) Mapa de Karnaugh.

c) Expresión lógica mínima y diagrama lógico.

9) Utilizando las leyes de Morgan, resolver la ecuación:

S ═ A·B·C + B·C

a) Usando solamente puertas NOR.

b) Usando solamente puertas NAND.

10) Obtener la función lógica correspondiente a los siguientes diagramas:


32

11) Dada las funciones lógicas expresadas en las siguientes tablas de verdad:

a b c S1 S2

0 0 0 1 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

a. Halla la primera y segunda forma canónica.

b. Realiza la minimización por Karnaugh y el

diagrama correspondiente.

c. Realiza el diagrama lógico de la función

minimizada sólo con puertas NAND.

12) Convierte de un sistema numérico a otro.

• 11100111,0011 en decimal.

• 33,275 en binario.

• E137216 en decimal.

• 193512 en hexadecimal.


33

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN

13) Dada la función lógica expresada con la siguiente tabla de verdad:

a b c d S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Halla la función en 1ª y 2ª forma canónica.

Realiza la minimización mediante mapas de Karnaugh y

el diagrama lógico correspondiente. Y por último, el

diagrama lógico de la función minimizada sólo con

puertas NOR.

14) En una central de bombeo asociada a una central nuclear se dispone de un gran embalse

(Em) de recogida de agua de un río, cuya agua se bombea a un depósito elevado(D1)

mediante un equipo de bombeo (B1), y de éste a otro depósito aún más elevado (D2)

mediante otro equipo de bombeo (B2). De este último depósito se descarga el agua a una

turbina mediante la apertura de una válvula (V).

En el embalse se colocan sensores todo – nada que se activan si están llenos y se

desactivan cuando se vacían.

Realiza el circuito lógico que acciona las bombas cuando el depósito del que extraen está

lleno (de forma que nunca puedan funcionar ambas bombas a la vez) y al que envía agua

no está lleno; asimismo debe abrir la válvula cuando el depósito más elevado está lleno.


34

15) Un circuito combinacional tiene una entrada de tres bits (X2, X1, X0) por la que recibe un

número binario X, y una salida de 2 bits (Z1, Z0) por la que se genera un número binario Z

de la siguiente forma:

• Si X es par, entonces Z vale la mitad de X.

• Si X es impar, entonces Z vale 0 cuando X < 5 y vale 1 en los demás casos.

a) Obtenga la tabla de verdad del circuito.

b) Calcule expresiones minimizadas de las salidas mediante mapas de Karnaugh.

c) Implemente el circuito usando exclusivamente puertas NOT, AND y OR.

NOTA: suponer que la entrada X= 0 no es par ni impar, es decir, es una condición irrelevante.

16) Dada la siguiente función:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbaS ····················· ++++++=

• Determina la tabla de verdad correspondiente.

• Simplifique la ecuación en la forma de suma de productos (miniterms).

• Dibuje el circuito lógico utilizando cualquier tipo de puertas.

tema – 7: circuitos digitales · departamento de tecnología tecnología industrial ii 1 tema –...

Documents