Tema:

5 Las fracciones 1 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Fracciones equivalentes

IMAGEN FINAL

En las figuras:

La parte coloreada de azul es la misma, luego15

6

5

2

15

6

5

2

1 2 3 4 5 3 6 9 1215

Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.

4,05

2

4,015

6

Dos fracciones son equivalentes si losproductos del numerador de cada una de ellaspor el denominador de la otra son iguales.

También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 15

6

5

2

Los productos cruzados son iguales

cbdad

c

b

a··

Tema:

5 Las fracciones 2 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Distintos modos de escribir una fracción

IMAGEN FINAL

Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:

2

16

3

4

2

Las fracciones6

3y

4

2son fracciones ampliadas de

2

1y equivalentes a ella.

Observa:

16

12

8

6

4

3

Las fracciones4

3y

8

6son fracciones reducidas de

16

12y equivalentes a ella

Es evidente que:4

3

4:16

4:12

8

6

2:16

2:12

16

12 Fracción irreducible:

no se puede reducir más.

Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.

Son equivalentes:3

1

6:18

6:6

54

18

36

12

18

6 irreducible

Tema:

5 Las fracciones 3 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Números mixtos

IMAGEN FINAL

La parte coloreada de azul de la figura es:

2

1

2

21

2

21

2

21

2

7

2

1

2

2

2

2

2

2

Que es igual a:2

13

2

1111

2

13

2

7

Dividiendo 7 : 2 = 3, resto 12

13

Este tipo de números se suelen llamar números mixtos. ( Dan una buena idea de lo grande que es una fracción).

Ejemplos:Escribiremos en forma de número mixto cada una de las fracciones:

100

325 d)

5

23 c)

2

5 b)

3

4 a)

Dividiendo

3

11

2

12

5

34

100

253

La fracción másgrande es la c)

Tema:

5 Las fracciones 4 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Simplificación de fracciones

IMAGEN FINAL

En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.

16

12

8

6

Este proceso se denomina simplificación de fracciones.

Observa que:16

12

Ejemplo:5

3

40

24

400

240

8

6

2:16

2:12

4

3

4:16

4:12

4

3

16

12Hemos transformado la fracción en ,

4

3que es equivalente a ella e irreducible.

Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.

Dividiendo por 8

Dividiendo por 10

3 y 5 son primos entre sí.

Tema:

5 Las fracciones 5 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Reducción de fracciones a común denominador

IMAGEN FINAL

Reducción de dos fracciones a común denominador:

Ejemplo:

5

2y

4

3Las fracciones:

20

15

4·5

3·5

4

3

20

8

4·5

4·2

5

2

Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por

el denominador de la otra.20 es múltiplo de 4 y 5

Reducción de tres fracciones a común denominador:

Ejemplo:

4

3y

6

5 ,

3

172

24

3·(6·4)

1·(6·4)

3

1

72

60

)4·3·(6

)4·3·(5

6

5

Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por

los denominadores de las otras.72 es múltiplo de 3, 6 y 4.

72

54

)6·3·(4

)6·3·(3

4

3

En general, para reducir varias fracciones a común denominador: se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores de las demás.

Tema:

5 Las fracciones 6 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Reducción de fracciones a mínimo común denominador

IMAGEN FINAL

Las fracciones4

3y

6

5 ,

3

1son equivalentes a:

72

54y

72

60 ,

72

24

12

9y

12

10 ,

12

4reduciendo

El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.

Veamos otro ejemplo:3

2y

12

5 ,

8

7Reducir a mínimo común denominador

1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:

24 : 8 = 3

24 : 12 = 2

24 : 3 = 8

24

21

24

3 · 7

8

7

3

24

10

24

2 · 5

12

5 2

24

16

24

8 · 2

3

2 8

Tema:

5 Las fracciones 7 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Comparación de fracciones

IMAGEN FINAL

Con el mismo denominador:

8

3 Si dos fracciones tienen elmismo denominador, es mayorla que tiene mayor numerador

8

5 8

3

8

5

5

4 Si dos fracciones tienen elmismo numerador, es mayor

la que tiene menor denominador7

4 7

4

5

4

Con el mismo numerador:

Con numeradores y denominadores distintos:

Comparamos:5

4y

6

5

Reducimos a común denominador:30

25

6

5

30

24

5

4

Como30

24

30

25

5

4

6

5

Para comparar dos fracciones cualquiera

se reducen a comúndenominador.

Será mayor la que tenganuevo mayor numerador.

Tema:

5 Las fracciones 8 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Fracciones con numerador mayor que el denominador

IMAGEN FINAL

Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.

Otro ejemplo:

9

4En concreto, 2 hojas completas y de otra.

9

42Esto se puede escribir así:

Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será 9

9

Por tanto:9

9

9

9

9

4+ + =

9

22=

9

42

Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el numerador entre el denominador.

En el caso de9

2222 : 9 = 2, resto 4.

9

42

La fracción ,12

54

12

53 pues 53 : 12 = 4, resto 5.

A estas fraccionestambién se les llama

números mixtos

Tema:

5 Las fracciones 9 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Resolución de problemas (I)

IMAGEN FINAL

Hacer un dibujoPrimero:

Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?

Utilizar fraccionesSegundo:

La fracción de partidos jugados es la suma

Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes:

2

1

4

1

8

1

Faltan 6 partidos

8

1

4

1

2

1 Pero todavía “no sabemos”

sumar fracciones. Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8.

Si se sabe sumar fracciones puede seguirse esa idea

Tema:

5 Las fracciones 10 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Resolución de problemas (II)

IMAGEN FINAL

Volver al dibujoTercero:

Volver a las fraccionesCuarto:

Queda la mitadQueda la cuarta parte

Después de jugar la mitad más la cuarta parte, queda otra cuarta parte

Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte.

Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte: ? : 8 = 6El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo

Comprueba que el resultado es correcto.

Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?

2

1

4

1

8

1

Faltan 6 partidos

La cuarta parte es la mitad de la mitad.