1

Tema 5: Funciones. Límites de funciones

El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus

aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación o relación entre dos

magnitudes (por ejemplo, el espacio que recorre un móvil depende de su velocidad).

1. Funciones reales de variable real

1.1 Definición: una aplicación entre dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 es una transformación que asocia a cada

elemento del conjunto 𝐴 un único elemento del conjunto 𝐵.

Una función real de variable real 𝒇 es una aplicación entre un subconjunto 𝐷 ⊂ ℝ, no vacío,

llamado dominio, y el conjunto de los números reales ℝ. La escribiremos así:

𝑓: 𝐷 ⟶ ℝ

𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Se trata de una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable

independiente 𝒙 del dominio le corresponde un único valor 𝑦 ∈ ℝ, que es la variable dependiente,

a la que llamaremos imagen de 𝒙, 𝒚 = 𝒇(𝒙). También diremos que 𝑥 es la antiimagen o imagen

inversa de 𝑦.

A continuación, definimos dominio, imagen y gráfica de una función:

• El dominio 𝐷 está formada por el conjunto de los números reales que tienen imagen. Más

adelante, aprenderemos a calcular el dominio de cada tipo de función.

𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ/ ∃𝑦 = 𝑓(𝑥)}

• La imagen o recorrido de una función es el conjunto de todas las imágenes.

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ/ ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}

• La gráfica/ grafo de una función 𝑓 es el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥)

con 𝑥 ∈ 𝐷. y lo escribiremos 𝐺(𝑓). La representación en el plano es la gráfica de la función.

También es conocido que una función puede expresarse de varias maneras, mediante su expresión

algebraica, mediante la gráfica o a través de una tabla de valores.

Ejemplo 1

Un móvil que se desplaza a velocidad constante de 90 Km/h recorre un espacio que depende del

tiempo que está circulando. Podemos expresar una relación entre las variables tiempo (𝑥: horas) y

espacio (𝑦: kilómetros) mediante la función lineal afín: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 90 · 𝑥 (Espacio igual a velocidad

por tiempo).

La fórmula 𝑦 = 90𝑥 es la expresión algebraica de la función. Mediante ella es posible conocer para

cada valor del tiempo, el espacio recorrido y al revés.

Es claro que los valores que puede tomar el tiempo deben ser no negativos; por eso el dominio de esta

función será el intervalo 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0,+∞).

Una tabla para la función estará formada por ciertos valores 𝑥 y sus imágenes 𝑦 respectivas:

𝑥 variable independiente tiempo (abscisa) 0 1 1,5 2 3 …

𝑦 = 𝑓(𝑥) variable dependiente espacio (ordenada) 0 90 135 180 270 …

2

La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Un punto pertenece a la gráfica de 𝑓 si y solo si su ordenada es la imagen de su abscisa.

La función recorre el conjunto de reales positivos con lo que 𝐼𝑚(𝑓) = [0,+∞)

Si queremos saber al cabo de cuánto tiempo llevará recorridos 198 Km bastará sustituir 𝑦 = 198 en la expresión de la función:

198 = 90𝑥 ⟺ 𝑥 = 2,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 2 ℎ 12 𝑚𝑖𝑛

2. Principales funciones elementales

A continuación, vamos a recordar algunas de las funciones elementales estudiadas en cursos

anteriores:

• Función constante:

Función constante 𝑦 = 𝑘

• Funciones afines:

Son las funciones polinómicas de primer grado y su

expresión es del tipo 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒏. En el caso de que n

= 0, entonces la expresión es 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 y se llama

función lineal afín.

El valor m se denomina pendiente y el valor n se conoce

como ordenada en el origen.

La gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el

punto (0, n)

Características:

1. Dom(f) = ℝ

2. Si 𝑛 = 0, la función 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 pasa por el origen de coordenadas (0 , 0).

3. El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta (indica lo que aumenta el valor

de la variable y cuando la variable x aumenta una unidad)

o 𝑚 > 0 → 𝑓(𝑥) es una función creciente.

o 𝑚 < 0 → 𝑓(𝑥) es una función decreciente.

3

• Funciones cuadráticas o parábolas: son las funciones polinómicas de segundo grado y su

expresión es del tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , 𝒂 ≠ 𝟎.

Función cuadrática 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Características:

1. Dom(f) = ℝ

2. La gráfica es una parábola de vértice 𝑉 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓 (

−𝑏

2𝑎))

3. El valor del coeficiente a determina la forma de la parábola:

o 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) es cóncava (∪). El vértice es un mínimo de la función.

o 𝑎 < 0 → 𝑓(𝑥) es convexa (∩). El vértice es un máximo de la función.

o En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerradas serán las ramas

de la parábola.

4. La parábola corta al eje Y en el punto (0, 𝑐) y al eje X en los puntos 𝐴 = (𝑥1, 0), 𝐵 = (𝑥2, 0)

siendo 𝑥1, 𝑥2 las soluciones de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Las funciones anteriores son polinómicas, tienen por expresión algebraica un polinomio de

grado n: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 con 𝒂𝒏 ≠ 𝟎.

El dominio de este tipo de funciones es 𝐷 = ℝ porque siempre podemos calcular el valor de la

función en cualquier valor real 𝑥.

• Funciones racionales: las funciones racionales son aquellas que se expresan algebraicamente

como cociente de dos polinomios 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑄(𝑥)) ≠ 0

El dominio de una función polinómica es ℝ, exceptuando aquellos valores que anulan el

denominador.

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {𝑥𝑖 ∈ ℝ / 𝑄(𝑥𝑖) = 0}

[4] Función racional 𝑓(𝑥) =3𝑥−4

𝑥−2

4

Ejemplo 2

Calcular el dominio de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3

Calculamos los valores que anulan el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ; obtenemos 𝑥1 = −3 y 𝑥1 = 1.

Por tanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−3, 1}.

• Función de proporcionalidad inversa o hipérbola: es un tipo de función racional, con una

expresión del tipo 𝑓(𝑥) =𝑘

𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

Función de proporcionalidad inversa 𝑦 =𝑘

𝑥 (Hipérbola)

Características:

1. Dom(f) = ℝ− {0}. Im(f) = ℝ − {0}

2. La función es impar.

3. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Diremos que en 𝑥 = 0 hay una asíntota

vertical y que en y= 0 hay una asíntota horizontal.

5. El valor del coeficiente k determina la forma de la hipérbola:

o 𝑘 > 0 → 𝑓(𝑥) es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante.

o 𝑘 < 0 → 𝑓(𝑥) es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante.

• Funciones con radicales: son funciones en las que la x aparece bajo un signo radical

𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)𝑛

La función más conocida es la función raíz cuadrada

[6] Función raíz cuadrada 𝑓(𝑥) = √𝑥

Características:

1. si 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 Dom(f) = {x ∈ ℝ/ g(x) > 0}

2. si 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 Dom(f) = ℝ

5

Ejemplo 3

Calcular el dominio de la función 𝑓(𝑥) = √3𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3

Como el índice es par: 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟺3𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3≥ 0

Debemos buscar los valores reales que hacen positiva o cero la expresión anterior.

Para resolver este tipo de inecuaciones (cociente de polinomios) procedemos de la siguiente

forma:

(i) Buscamos los valores que anulan numerador y denominador:

3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 =1

3 ; 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ⟹ {

𝑥 = −3𝑥 = 1

Estos tres valores dividen la recta real en cuatro intervalos.

(ii) Consideramos los intervalos teniendo en cuenta que si los valores anteriores anulan

el numerador, cerramos el intervalo en ellos; y si anulan el denominador, abrimos el

intervalo en ellos) y determinamos el signo de nuestra expresión en cada uno de

ellos:

El signo lo determinamos a partir del signo del resultado que se obtiene al sustituir

en la expresión un valor cualquiera en cada intervalo (no extremos).

Por tanto, el dominio de la función 𝑓 viene dado por la unión de los intervalos con el signo

positivo. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3, 1/3] ∪ [1,+∞)

• Funciones exponenciales: las más sencillas son funciones del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ ℝ , 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

[7] Función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥

Características:

1. Dom(f) = ℝ.

2. La función exponencial siempre es positiva. Im(f) = (0,+∞)

3. Pasa siempre por los puntos (0, 1) 𝑦 (1, 𝑎) pues 𝑎0 = 1 𝑦 𝑎1 = 𝑎

4. El valor de a determina la forma de la función:

o 𝑎 > 1 → 𝑓(𝑥) es creciente.

o 0 < 𝑎 < 1 → 𝑓(𝑥) es decreciente.

La función más conocida es la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

6

• Funciones logarítmicas: las más sencillas son funciones del tipo

𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 > 0 , 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

[8] Función logarítmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

Características:

1. Dom(f) = (0, +∞) pues solo existen logaritmos de números positivos.

2. Im(f) = ℝ

3. Pasa siempre por los puntos (1, 0) 𝑦 (𝑎, 1) pues log𝑎1 = 0 𝑦 log𝑎𝑎 = 1

4. El valor de a determina la forma de la función:

o 𝑎 > 1 → 𝑓(𝑥) es creciente.

o 0 < 𝑎 < 1 → 𝑓(𝑥) es decreciente.

5. Si la base es 10, se expresa 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥. 𝑆i la base es el número e, se expresa 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑥

La función logaritmo 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 se define como la inversa de la exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥.

• Funciones definidas a trozos: es una función formada por distintas expresiones algebraicas

dependiendo del intervalo al que pertenezca la variable independiente.

Para estudiar la función hay que estudiar cada expresión algebraica de forma independiente.

Ejemplo 4

Estudiar el dominio de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = {

1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

−𝑥 + 2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Estudiamos el dominio de la función según los distintos intervalos:

1. 𝒙 < −𝟏 entonces 𝑓(𝑥) =1

𝑥. Como bien sabemos, el dominio de la función de

proporcionalidad inversa es 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0}. Pero en este caso, x =0 no pertenece al

intervalo en el que estamos trabajando, por tanto, 𝑓(𝑥) =1

𝑥 está definida para todo 𝑥 < −1.

2. −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 entonces 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 función lineal, cuyo dominio es ℝ.

3. 𝒙 > 𝟑 entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 función cuadrática, cuyo dominio es ℝ.

Unificando toda la información anterior, podemos concluir que el dominio de la función es ℝ.

7

3. Límite de una función. Introducción

El concepto de límite tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado

punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproxima la función 𝑓(𝑥) cuando la variable

independiente 𝑥 se aproxima a valores determinados.

3.1 Límite de una función en el infinito

Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función 𝑓(𝑥).

Observamos que a medida que el valor de la variable 𝑥 se va haciendo más grande (𝑥 ⟶ +∞) las

imágenes 𝑦 = 𝑓(𝑥) también se hacen, cada vez, más grandes (𝑓(𝑥) ⟶ +∞). Este hecho lo

escribiremos de la siguiente forma:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = +∞

y diremos que el límite de la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a +∞ es +∞.

Formalmente se expresa como sigue:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = +∞ ≡ ∀𝑀 ∈ ℝ,∃𝑥0 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑥0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀

De forma análoga se definirían

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = −∞ ; lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = +∞ ; lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = −∞

que se corresponderían con situaciones gráficas como las siguientes:

• lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = −∞

8

• lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = +∞

• lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = −∞

Aunque los resultados de los límites anteriores, en los cuatro casos, son ±∞ hay que decir que la

función no tiene límite o que el límite es infinito.

Sólo diremos que una función 𝒇(𝒙) tiene límite en el infinito cuando éste sea un número real

𝒃 (límite finito) y lo escribiremos de una de las dos formas siguientes:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Formalmente:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 ≡ ∀𝜀 > 0 ∃𝑘 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑘 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

En cualquiera de estos dos casos, diremos que 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal de la función.

Ejemplo 5: la siguiente gráfica muestra una situación en la que lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 2

A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más grandes, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan a

2 cada vez más.

Ejemplo 6: la siguiente gráfica muestra una situación en la que lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 2

A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más negativos, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan a 2 cada vez más.

9

4. Operaciones con límites de funciones

Consideremos dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y a partir de los posibles de sus correspondientes límites,

calculamos:

4.1 Límite de la suma/diferencia de funciones

El límite de la suma/diferencia de dos funciones se define como la suma/diferencia de los límites

de dichas funciones, es decir:

lim𝑥⟶+∞

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ± lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥)

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos o infinitos.

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ+∞−∞

; lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {𝑏 ∈ ℝ+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝑏 +∞ −∞

𝑎 𝑎 ± 𝑏 +∞/−∞ −∞/+∞

+∞ +∞ +∞ / IND ∗ IND */ +∞

−∞ −∞ IND */ −∞ −∞/ IND ∗

(*) IND hace referencia a una indeterminación: Por ejemplo: ∞−∞ es una indeterminación, pues

el resultado puede ser cualquier valor; en efecto, si sumamos cantidades de distinto signo todo lo

grandes que podamos imaginar, el resultado es imprevisible (las estudiaremos más adelante)

4.2 Límite del producto de funciones

El límite del producto de dos funciones se define como el producto de los límites de cada una de

ellas, es decir:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] = lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) · lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥)

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos (nulos o no) o infinitos.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {

𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

[𝒇(𝒙) · 𝒈(𝒙)] 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 ≠ 0 𝑎 · 𝑏 0 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0

−∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0

0 0 0 IND* IND*

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* +∞ −∞

−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* −∞ +∞

(*) El tipo de indeterminación que aparece es 0 · ∞ porque al multiplicar cantidades que se

aproximan a 0 tanto como queramos por cantidades (positivas o negativas) todo lo grandes que

queramos, el resultado puede ser cualquier valor. Se necesitan técnicas de resolución.

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4.3 Límite del cociente de funciones

El límite del cociente de dos funciones se define como el cociente de los límites de cada una de

ellas, siempre y cuando el límite del denominador sea no nulo:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)

lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim

𝑥⟶+∞𝑔(𝑥) ≠ 0

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim

𝑥⟶+∞𝑓(𝑥) y lim

𝑥⟶+∞𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos (nulos o no) o infinitos.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {

𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] se completa como sigue:

𝒍𝒊𝒎𝒙⟶+∞

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 ≠ 0 𝑎

𝑏 ±∞ 0 0

0 0 IND* 0 0

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

±∞ IND* IND*

−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

±∞ IND* IND*

(*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, ∞

∞ 𝑦

0

0, que resolveremos con las técnicas adecuadas.

Los límites 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑎

𝑥𝑘= 0 se llaman infinitésimos y aparecerán muy frecuentemente.

4.4 Límite de una potencia (una función elevada a otra función)

El límite de una función elevada a otra función, se define como el límite de la base (siempre que sea

positivo o nulo), elevado al límite del exponente, es decir:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = [ lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)]lim

𝑥⟶+∞𝑔(𝑥)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ≥ 0

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥)

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ 𝑎 > 0

0+∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 > 0 𝑎𝑏 1 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 1 0 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1𝐼𝑁𝐷∗ 𝑠𝑖 𝑎 = 1

0 𝑠𝑖 𝑎 > 1

+∞ 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝐼𝑁𝐷∗ 𝑠𝑖 𝑎 = 1

0 0 IND* 0 +∞

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0 0 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* +∞ 0

(*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones 00, (+∞)0 𝑦 1∞. 𝑆ólo estudiaremos esta última.

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4.5 Límite de funciones con radicales

El límite de función con radicales se define: lim𝑥⟶+∞

√𝑓(𝑥)𝑛

= √ lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)𝑛

A la hora de calcularlo, debemos tener en cuenta que: √+∞𝑛

⟶+∞ ; √−∞𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

⟶− ∞

4.6 Límite de la función logarítmica

El límite de función logarítmica se define como el logaritmo del límite de la función, siempre y

cuando este límite sea positivo:

lim𝑥⟶+∞

[ log𝑎 𝑓(𝑥) ] = log𝑎[ lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ] 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim𝑥⟶+∞

> 0 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1

5. Cálculo de límites sencillos. Indeterminaciones

Para calcular límites de funciones tenemos que tener en cuenta todo lo que hemos estudiado en los

puntos anteriores y lo que vemos a continuación:

1. A la hora de calcular un límite aparecen expresiones como las siguientes, que conviene recordar:

• 𝑘

±∞= 0 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ

• ±∞

𝑘= ±∞ 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

• 0

𝑘= 0 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

• 𝑘+∞ = {+∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 10 𝑠𝑖 0 < 𝑘 < 1

2. Límite de un polinomio: El límite de un polinomio cuando 𝑥 → ±∞ es siempre +∞ o −∞. El signo

lo determina el signo del coeficiente del término de mayor grado, los demás términos no influyen,

son insignificantes. an ≠ 0

limx⟶+∞

(anxn + an−1x

n−1 +⋯+ a1x + a0) = {+∞ si an > 0 −∞ si an < 0

Ejemplo 7:

lim𝑥⟶+∞

(−2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥 + 1) = −∞ porque −2 < 0

3. A veces, podemos obtener determinados resultados que, a priori, no tienen sentido. Se llaman

indeterminaciones y estudiamos las siguientes: ∞

∞ ,

0

0 , 0 · ∞ , ∞ −∞ , 1∞

(la indeterminación 0

0 la veremos más adelante)

o Indeterminación ∞

∞

Aparece al calcular límites de cocientes de polinomios.

Sean 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios de grados 𝑛 y 𝑚 respectivamente. Al calcular el límite

lim𝑥⟶+∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) se produce la indeterminación

∞

∞.

Se puede resolver de tres formas distintas, lo mostramos para lim𝑥⟶+∞

2𝑥3+5𝑥−1

𝑥3+4

Forma 1. Como los términos distintos del monomio de mayor grado son insignificantes, en cuanto al límite en el infinito, podemos suprimirlos tanto en el numerador como en el

denominador: lim𝑥⟶+∞

2𝑥3+5𝑥−1

𝑥3+4=⏞

∞

∞

lim𝑥⟶+∞

2𝑥3

𝑥3= 2

12

Forma 2. Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de la variable y se

aplican las propiedades vistas en el punto 1.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3 + 5𝑥 − 1

𝑥3 + 4=⏞

∞∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3 + 5𝑥 − 1𝑥3

𝑥3 + 4𝑥3

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3

𝑥3+5𝑥𝑥3−1𝑥3

𝑥3

𝑥3+4𝑥3

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2 +5𝑥2−1𝑥3

1 +4𝑥3

= 2

Forma 3. Se aplica la llamada regla de los grados

lim𝑥⟶+∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= lim

𝑥⟶+∞

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑏𝑚𝑥

𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0

=

{

𝑎𝑛𝑏𝑚

𝑠𝑖 𝑛 = 𝑚

0 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑚

±∞ 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑎𝑛𝑏𝑚

{> 0< 0

lim𝑥⟶+∞

2𝑥3+5𝑥−1

𝑥3+4=⏞

∞

∞2

1= 2 porque son del mismo grado.

Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites de cocientes con

radicales. Se resuelve dividiendo, numerador y denominador, por la mayor potencia de la

variable, compensada por el radical, como vemos en el ejemplo siguiente

lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1+3𝑥

2𝑥+4=⏞

∞

∞

lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1+3𝑥

𝑥2𝑥+4

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥+3𝑥

𝑥2𝑥

𝑥+4

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥2+3𝑥

𝑥2𝑥

𝑥+4

𝑥

=

lim𝑥⟶+∞

√4+3

𝑥−1

𝑥2+3

2+4

𝑥

=√4+3

2=

5

2

o Indeterminación 𝟎 · ∞

Se resuelve transformándola en una indeterminación del tipo (∞

∞ ,

0

0)

Ejemplo 8: 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

1

𝑥+1· √𝑥2 + 1 =⏞

0·∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√𝑥2+1

𝑥+1=⏞

∞

∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√𝑥2

𝑥2+1

𝑥2

𝑥

𝑥2+1

𝑥2

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√1+1

𝑥2

1+1

𝑥2

= 1

o Indeterminación ∞−∞

Aparece al calcular el límite de una suma/diferencia de funciones racionales:

lim𝑥⟶+∞

[𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)−𝑅(𝑥)

𝑆(𝑥)]

Se resuelven efectuando la operación, como mostramos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 9:

lim𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1

𝑥2+4−𝑥2−2

2𝑥) =⏞∞−∞

lim𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1)·2𝑥−(𝑥2−2)·(𝑥2+4)

(𝑥2+4)·2𝑥= lim

𝑥⟶+∞

3𝑥4−2𝑥2−2𝑥+8

2𝑥3+8𝑥=⏞

∞

∞

+∞

Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites en los que intervienen

expresiones con radicales. En estos casos, se resuelve multiplicando y dividiendo

numerador y denominador por la expresión conjugada.

Ejemplo 10:

lim𝑥⟶+∞

(√4𝑥2 + 5𝑥 − 1 − 2𝑥) =⏞∞−∞

lim𝑥⟶+∞

(√4𝑥2+5𝑥−1−2𝑥)·(√4𝑥2+5𝑥−1+2𝑥)

√4𝑥2+5𝑥−1 + 2𝑥=

13

lim𝑥⟶+∞

5𝑥−1

√4𝑥2+5𝑥−1 + 2𝑥=⏞

∞

∞

lim𝑥⟶+∞

5𝑥

𝑥−1

𝑥

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥 +

2𝑥

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

5−1

𝑥

√4+5

𝑥−1

𝑥2 + 2

=5

4

o Indeterminación 𝟏∞

Las resolvemos aplicando la siguiente igualdad:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) =⏞1∞

𝑒 𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) · [𝑓(𝑥) − 1]

Ejemplo 11: lim𝑥⟶+∞

(𝑥−3

1+𝑥)𝑥2−3

=⏞1∞

𝑒𝐴

𝐴 = lim𝑥⟶+∞

[(𝑥2 − 3) · (𝑥 − 3

1 + 𝑥− 1)] = lim

𝑥⟶+∞[(𝑥2 − 3) · (

−4

1 + 𝑥)] = lim

𝑥⟶+∞

−4𝑥2 + 12

1 + 𝑥= −∞

Por tanto: lim𝑥⟶+∞

(𝑥−3

1+𝑥)𝑥2−3

= 𝑒−∞ = 0

❖ Es importante conocer que lim𝑥⟶+∞

(1 +1

𝑥)𝑥= 𝑒

6. Cálculo de límites en -∞

Hasta ahora, hemos calculado límites en los que 𝑥 → +∞, en los casos en los que 𝑥 → −∞ utilizaremos

la siguiente propiedad:

lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶+∞

𝑓(−𝑥)

Ejemplo 12:

lim𝑥⟶−∞

(−2𝑥3−1

𝑥2+4+𝑥2−2

2𝑥) = lim

𝑥⟶+∞(2𝑥3−1

𝑥2+4−𝑥2−2

2𝑥) = lim

𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1)·2𝑥−(𝑥2−2)·(𝑥2+4)

(𝑥2+4)·2𝑥=+∞

7. Límite de una función en un punto

7.1 Definición. Idea intuitiva

La siguiente gráfica muestra parte de la representación de la función 𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥+2

¿Qué ocurre si damos valores a la función en un entorno cercano al 2? Construimos la siguiente tabla de valores:

14

Podemos observar que si nos acercamos al valor 𝑥 = 2, las imágenes de la función se aproximan a

1 que es el valor de la función en dicha abscisa; 𝑓(2) = 1.

Se formaliza escribiendo lim

𝑥⟶2𝑓(𝑥) = 1 y diremos que el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 2 es 1.

• En las funciones que vamos a utilizar (salvo las funciones definidas a trozos), cuando

queramos calcular el límite en un determinado punto, lo que haremos, será sustituir dicho

valor en la expresión de la función; y si el resultado es un número real, ese será su límite.

Así, en el ejemplo anterior, para calcular lim𝑥⟶2

𝑥2

𝑥+2 sustituimos 𝑥 = 2 en la expresión

𝑥2

𝑥+2:

𝑓(2) =22

2+2= 1 → lim

𝑥⟶2

𝑥2

𝑥+2= 1

En general:

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 cuando para valores de x muy próximos a 𝑎, los valores de la función, en

ellos, se aproximan a 𝐿. En la definición, obviamos el punto 𝑥 = 𝑎, siempre nos acercamos a él, pero

no lo alcanzamos. Es por ello que se definen los límites laterales que vemos a continuación.

7.2 Límites laterales

En ciertas ocasiones, dependiendo de la función, es necesario distinguir entre acercarse al punto

por su izquierda o acercarse por su derecha; pues puede ocurrir que el valor del límite varíe.

Lo mostramos con los siguientes ejemplos de funciones definidas a trozos:

Ejemplo 13: Consideremos la función 𝑓(𝑥) = {2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

−3𝑥2 + 3 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1𝐿𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

cuya gráfica es:

Antes de calcular lim𝑥⟶−1

𝑓(𝑥), debemos observar que en 𝑥 = −1 hay un cambio en la definición de la

función. La expresión cambia dependiendo de si nos acercamos a 𝑥 = −1 por su izquierda o por su

derecha, por tanto, necesitamos introducir la noción de límites laterales (por la izquierda y por la

derecha) de una función en un punto.

En nuestro caso sería:

lim𝑥⟶−1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−1−

(2𝑥2) = 2

lim𝑥⟶−1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−1+

(−3𝑥2 + 3) = 0

Como los límites laterales no coinciden, concluimos que la función no tiene límite en 𝑥 = −1

15

Ejemplo 14: Calcular lim𝑥⟶1

𝑓(𝑥) para 𝑓(𝑥) = {−3𝑥2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝐿𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

En este caso:

lim𝑥⟶1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶1−

(−3𝑥2 + 3) = 0

lim𝑥⟶1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶1+

(𝐿𝑥) = 0

Como los límites laterales existen y coinciden, podemos concluir que existe limx⟶1

f(x) y limx⟶1

f(x) = 0

Importante:

1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

2. Diremos que una función tiene límite en un punto si existen los límites laterales y coinciden

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥) ⟺ 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎−

𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎+

𝑓(𝑥)

3. Para hallar los límites laterales de una función en un punto, no es necesario que la función esté

definida en dicho punto.

7.3 Límites infinitos

Puede ocurrir que, en ocasiones, al acercarnos a un determinado valor de 𝑥, la función tome

valores cada vez más grandes o cada vez más pequeños. Entonces diremos que el límite de la

función en dicho punto es +∞ ó −∞.

Lo mostramos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15: Calcular 𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥−1)2

En primer lugar, representamos la función y observamos que,

efectivamente, al acercarnos a la abscisa 𝑥 = 1, los valores de la

función se hacen cada vez más grandes.

Esto quiere decir que 𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥−1)2= +∞

En efecto, si calculamos el valor del límite:

𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥 − 1)2=⏞

20+

+∞

Dependiendo de la definición de la función, puede que sea necesario calcular los límites laterales.

Ejemplo 16: Calcular 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

2

𝑥−1

Si representamos la función, observamos que el comportamiento de

la misma es diferente según que nos acerquemos a 1 por la derecha o

por la izquierda, por tanto, calculamos los límites laterales.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

2

𝑥 − 1=⏞

20

{

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1−

2

𝑥 − 1=⏞

20−

−∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1+

2

𝑥 − 1=⏞

20+

+∞

16

En cualquiera de estos dos casos, diremos que 𝑥 = 1 es una asíntota vertical de la función. Son

rectas paralelas al eje Y, hacia las cuales se dirige la función, aproximándose cada vez más, pero sin

llegar a cortarlas.

o Indeterminación 𝟎

𝟎

Tipo 1

Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de cociente de funciones polinómicas

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) dónde 𝑎 es raíz de 𝑃 y 𝑄. En este caso, se resuelve factorizando numerador y

denominador.

Ejemplo 17: 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

𝑥2+2𝑥−3

𝑥−1=⏞

0

0

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

(𝑥−1)·(𝑥+3)

𝑥−1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶1(𝑥 + 3) = 4

Observamos que 𝑓(1) no está definida, pero en cambio, sí existe 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

𝑓(𝑥) = 4.

Tipo 2

Esta indeterminación también aparece en el cálculo de límites con radicales. En este caso,

se resuelve multiplicado numerador y denominador por la expresión conjugada que tiene

raíz.

Ejemplo 18: 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

1−√𝑥2−2𝑥−2

𝑥2−1=⏞

0

0

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

(1−√𝑥2−2𝑥−2)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)

(𝑥2−1)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)=

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

−𝑥2+2𝑥+3

(𝑥2−1)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)=⏞

0

0

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

−(𝑥+1)·(𝑥−3)

(𝑥+1)·(𝑥−1)(1+√𝑥2−2𝑥−2)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶−1

−(𝑥−3)

(𝑥−1)(1+√𝑥2−2𝑥−2)= −1

8. Asíntotas de una función

Una asíntota es una recta hacia la que se dirige la gráfica de una función, aproximándose todo lo que

queramos, sin llegar a cortarla. Existen tres tipos de asíntotas:

• Asíntota horizontal (visto en pág 8)

Son rectas paralelas al eje X. Diremos que 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal (A.H) de 𝑓(𝑥) si:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Ejemplo 19: Determina las asíntotas horizontales de la función 𝑓(𝑥) =√𝑥2+1

𝑥

Observamos que

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶+∞

√𝑥2 + 1

𝑥= 1 ; lim

𝑥⟶−∞𝑓(𝑥) = lim

𝑥⟶−∞

√𝑥2 + 1

𝑥= −1

Por tanto, la función tiene dos asíntotas horizontales: 𝑦 = 1 , 𝑦 = −1

17

• Asíntota vertical

Son rectas paralelas al eje Y. Diremos que 𝑥 = 𝐿 es una asíntota vertical (A.V) de 𝑓(𝑥) si:

lim𝑥⟶𝐿+

𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶𝐿−

𝑓(𝑥) = ±∞

Las asíntotas verticales se localizan entre los puntos que no pertenecen al dominio de la

función, es decir, los valores para los cuales la función no está definida.

Ejemplo 20: Determina las asíntotas verticales de la función 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−𝑥−6

En primer lugar, determinamos el dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−2 , 3}

{

lim𝑥⟶−2+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−2+

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=−2+

0−= +∞

lim𝑥⟶−2−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−2−

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=−2−

0+= −∞

→ 𝑥 = −2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴.𝑉

{

lim𝑥⟶3+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶3+

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=3+

0+= +∞

lim𝑥⟶3−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶3−

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=3−

0−= −∞

→ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴.𝑉

• Asíntota oblicua

Es una recta de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 donde:

𝑚 = lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥 𝑛 = lim

𝑥→±∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥]

Ejemplo 21: Determina las asíntotas oblicuas de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3

(𝑥−1)2

𝑚 = lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

(𝑥 − 1)2

𝑥 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

𝑥 · (𝑥 − 1)2 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥= 1

𝑛 = lim𝑥→±∞

[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑛 = lim𝑥→±∞

[𝑥3

(𝑥 − 1)2− 𝑥] = lim

𝑥→±∞

2𝑥2 − 𝑥

(𝑥 − 1)2= 2

𝑦 = 𝑥 + 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 (𝐴. 𝑂)