tema 5. agua en el suelo
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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIÓN HIDRODINÁMICA
La condición hidrodinámica de los suelos ocurre cuando el agua gravitacional en estado de reposo, es sometida a un gradiente hidráulico, lo cual origina una variación en la presión del líquido que se transforma en energía cinética y le transfiere movimiento a través del suelo.
Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua hay cantidades diferentes de energía (distintos niveles piezométricos) se produce un movimiento del agua hacia los puntos de menos energía, para tratar de equilibrar la diferencia. Esta diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover el agua.
h es la altura que asciende el agua en un pequeño tubo con respecto a un plano de referencia arbitrario se conoce como carga piezométrica, y es una medida de la energía que tiene el agua. La energía del agua viene dada por la suma de la energía potencial (elevación), la energía de presión y la energía cinética (velocidad).
g
VpZh
w *2
2
Z = Elevación sobre un datum arbitrario.
P = carga de presión.,
w
V2 = carga de velocidad.
2*g
En los suelos el flujo es laminar, y como la velocidad es muy pequeña se considera que su valor tiende a cero, por tanto, la ecuación anterior puede expresarse como sigue:
w
pZh
GRADIENTE HIDRÁULICOEs la pérdida o disipación de altura hidráulica por unidad de longitud, medida en la dirección en que ocurre el flujo.
i = h . L
Donde:
i = Gradiente hidráulico = h/L (adimensional)
h = Pérdida de carga.
L = Longitud de recorrido del flujo.
La ley de Darcy expresa la pérdida de carga h que se requiere para mover el agua a través del suelo una distancia L con un gasto q:
h = q * L
k * A
Siempre y cuando el flujo sea laminar, que es el caso corriente de los suelos, a excepción de las gravas gruesas.
El valor h es la pérdida de energía causada por la viscosidad, la fricción y los efectos de inercia mientras el agua va circulando a través de los canales de los poros irregulares y rugosos.
Cuando hay flujo, las presiones de poros tienen un comportamiento diferente debido a la presión de filtración, esto se debe a la fricción entre el agua en movimiento y las paredes de los vacíos del suelo.
La presión de poros en este caso será la combinación de la presión de poros hidrostática y la presión de filtración:
= h f
La presión de filtración actúa en la misma dirección y sentido del flujo del agua, y numéricamente es igual al producto de la pérdida de carga hidráulica por el peso unitario del agua.
f = h * w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones. En esta parte del tema se analizará el comportamiento del suelo cuando el movimiento
del agua se da en dirección vertical.
FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como la diferencia entre las presiones de poros en condición hidrostática y la presión de filtración.
= h - f
h varía linealmente con el espesor del estrato de suelo, tal como se demuestra a continuación:
i = h h = i * L L
Donde:
h = Pérdida de carga.
L = Espesor del estrato.
i = Gradiente hidráulico = constante
Pérdida de carga en L = 0 h(0) = i * L = h * 0 = 0 H
Pérdida de carga en L = H/2 h(H/2) = i * L = h * H = h .
H 2 2
Pérdida de carga en L = H h(H) = i * L = h * H = h H
Quedando demostrado que la variación es lineal.
La presión de filtración en función del gradiente hidráulico es:
f = h * w = i * L * w
Cálculo de esfuerzos efectivos:
´ = - (h - f) = - h + f
´ = - = h - fy
h = - h = h + f
En flujo descendente, los esfuerzos efectivos se incrementan en la misma proporción que la presión de filtración, y el diagrama de esfuerzos totales, presiones de poros y esfuerzos efectivos es:
FLUJO ASCENDENTEEl flujo es ascendente cuando la altura piezométrica en el punto inferior es mayor que en el punto superior. Las presiones de poros se calculan como la suma de las presiones de poros en condición hidrostática y la presión de filtración.
= h + f
Cálculo de esfuerzos efectivos:
´ = - = h + f
´ = - (h + f) = - h - f
h = - h = h - f
y
En flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igual proporción que la presión de filtración, y el diagrama de esfuerzos totales, presiones de poros y esfuerzos efectivos es:
¿Que puede ocurrir cuando el flujo es ascendente?En flujo ascendente, la fricción entre el agua y las paredes de los vacíos tiende a levantar los granos de suelo. El valor de la presión de filtración puede crecer tanto que los esfuerzos efectivos se anulen.
La resistencia al corte de un suelo granular es directamente proporcional a los esfuerzos efectivos. Cuando estos últimos se igualan a cero, el suelo pierde su resistencia al corte y se produce un fenómeno conocido como ebullición del suelo granular o LicuefacciónLicuefacción.
Se limita a suelos granulares
El suelo pierde la resistencia al corte
Se produce una separación entre las partículas que anula los esfuerzos efectivos (´ = 0)
´ = - ´ = - h - f
= h - f
Cuando los esfuerzos efectivos se hacen cero, la presión de poros se iguala al peso del suelo.
´ = - ´ = 0 h – f = ( h + f
0
H * – h * w 0H * = h * w
h = . H w
Como h = i H
ic = .
w
ic es el gradiente hidráulico crítico: gradiente al cual se produce la ebullición del suelo.
En función de la gravedad específica de los sólidos (Gs) y la relación de vacíos (e) se desarrolla una expresión para el ic.
Las relaciones de vacíos de la gran mayoría de las arenas están comprendidas entre 0,3 y 1,2. Por otro lado, la gravedad específica de estos suelos oscila entre 2,65 y 2,70. Si se aplica la fórmula en esos intervalos se tiene que:
ic = .
w
= sat - w sat = Gs + e * w . 1+e
= Gs + e * w – w = w * Gs + e - 1+e 1+e
ic = Gs - 1.
1+e
Para e = 0,3Para e = 0,3 Gs = 2,65Gs = 2,65 ic = 1,27ic = 1,27
Gs = 2,70Gs = 2,70 ic = 1,31ic = 1,31
Para e = 1,2Para e = 1,2 Gs = 2,65Gs = 2,65 ic = 0,75ic = 0,75
Gs = 2,70Gs = 2,70 ic = 0,77ic = 0,77
LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
La reacción de los suelos cohesivos ante las fuerzas de filtración es diferente a la de los suelos granulares.
En los arcillosos la cohesión existente entre las partículas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la masa de suelo, y no partículas individuales como en los suelos granulares.
LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos diferentes: Un suelo cohesivo que descansa sobre un material muy permeable
Se necesita realizar una excavación en el estrato cohesivo:Se colocan dos tablestacas en el sueloSe mantiene seco el fondo de la excavación, abatiendo el nivel del agua mediante bombeo
Al bombear el agua que entra a la excavación, se crea un desequilibrio, y se corre el riesgo de que el fondo se levante. Por tanto, es necesario calcular la profundidad máxima que se puede excavar sin que el fondo se levante, o lo que es igual, el espesor mínimo que debe tener el fondo de la excavación (tc).
En la estimación anterior no se toman en cuenta las fuerzas de fricción que se originan cuando se hinca la tablestaca.
LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas verticales actuantes: Peso del sueloPresión de poros que tiende a levantar el fondo (flujo ascendente)
El nivel piezométrico en la superficie del estrato sin cohesión es mayor que el nivel piezométrico en el fondo de la excavación, por lo que el agua tiende a subir, pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja, esto resulta muy difícil y se generan presiones en el fondo del rectángulo.
El suelo está saturado, por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturado, entonces:
Peso del Suelo = tc * sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales:
La presión de poros es la suma de la presión hidrostática y la de filtración:
= h + f = tc * w + h * w = ( tc + h ) * w
∑Fv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc * sat = ( tc + h ) * w tc * sat = tc * w + h * w
tc * ( sat - w ) = h * w
tc = tc = hh * * w w = = f f
( ( sat sat - - w w ) )
El espesor tc, es el espesor crítico de la excavación, o espesor mínimo para el cual la excavación es segura.
Por tanto:
Espesores < tc
Levantamiento del fondo de la excavación
Espesores > tc
Excavación estable
Estos fenómenos donde los granos del suelo tienden a desplazarse hacia arriba por efectos de la fricción entre el agua y las paredes de los poros del suelo cuando el flujo asciende, (Licuefacción o Levantamiento), pueden darse también parcialmente, Socavación o Tubificación, cuando se forman túneles o cavernas por arrastre de finos que generan inestabilidad y lo que puede ser más grave, el colapso del suelo.
10 m
1m
9m
10 m
1m
9m N
K
N
Khabat
N
K
N
K
h
FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a través de la masa de suelo, en
cualquier condición de densificación, aún en casos cuando
está muy compactado.
El agua se mueve por la masa de suelo, ya que los poros
están interconectados entre si y se produce el flujo a lo
largo de caminos ondulantes y rugosos que existen entre
un poro y otro.
Se generan pérdidas de energía o de carga piezométrica
debido a la fricción, al igual que ocurre cuando el flujo de
agua es por tuberías o por canales abiertos.
Se ha estudiado el flujo en medios porosos en el caso unidimensional (flujo ascendente y descendente):
Parámetros del fluido (presión, velocidad, temperatura etc.) constantes en cualquier sección transversal perpendicular a la dirección del flujo.
Se analizará:
Flujo tridimensional del agua
Ecuación fundamental de flujo (caso más general)
Problemas de mucha complejidad
Simplificaciones
Resolución en dos dimensiones
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS:HIPOTESIS:Volumen saturado.
La Presión y la velocidad son función únicamente de la posición.
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente rígido.z
y
xx, y, z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base Base teóricateórica de la de la rreded de flujo de flujo y para y para otrosotros
métodosmétodos de de resoluciónresolución de de problemasproblemas de de filtraciónfiltración..
Se produce un flujo laminar Se produce un flujo laminar q q a través de un elementoa través de un elemento cúbicocúbico de de suelosuelo de dimensiones de dimensiones ddx, dy, dzx, dy, dz
zyx qqqq
dydxzz
VzVzdzdxy
y
VyVydzdyx
x
VxVxdzdxVzdzdyVydzdyVx
Igualamos
dydxzz
VzVzdzdxy
y
VyVydzdyx
x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
............
:
......
......
Por continuidad: qentrante = qsaliente
Simplificando se llega a la ecuación de continuidad: 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicando la Ley de Darcy (V = -k*i = -k * h/ L): 0...2
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumiendo isotropía del suelo (kx = ky = kz):
hz
h
y
h
x
h 22
2
2
2
2
2
0
ECUACIÓN DE LAPLACEECUACIÓN DE LAPLACE
Describe matemáticamente el flujo de agua en la región considerada.
Expresa que la suma de la variación de los gradientes hidráulicos en las direcciones X, Y y Z es nula.
hz
h
y
h
x
h 22
2
2
2
2
2
0
ECUACIÓN DE LAPLACEECUACIÓN DE LAPLACE
RELACIÓN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES Y LINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas:
y
xx
y
x
y
x
y
Pendientes recíprocas y de signo contrario, lo cual es condición de Ortogonalidad y son ortogonales en cada punto de intersección.
REDES DE FLUJO
Procedimiento gráfico de Forcheimer
Muy simple de aplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones.
Ecuación de Laplace matemáticamente integrable sólo en
condiciones de frontera muy simples Se aplican métodos diferentes de la integración Red de flujo Solución gráfica la ecuación de Laplace en 2 dimensiones
El espacio entre cualquier par de líneas de flujo consecutivas es un canal de flujo.En el trazado de la red se selecciona un cierto número de canales de flujo, Nf, de modo que el gasto de infiltración por cada canal sea el mismo: q = q / Nf
La pérdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales consecutivas es la misma: h´ = h / Nd. h es la pérdida de carga total y Nd el número de caídas de potencial
El ancho del canal es a y la distancia entre las caídas equipotenciales es b, para cualquier elemento considerado.
Procedimiento gráfico de Forcheimer
APLICACIÓN DE LA RED DE FLUJO
q = q / Nf q = q * Nf
q = k * ( ( h / Nd ) / b ) * a * L * Nf
El gasto que circula por cualquier elemento es:
i = h´ / b = ( h / Nd ) / b
q = k * ( ( h / Nd ) / b ) * a * L
q = k * i * A
El gradiente hidráulico de cadaelemento es
L es el ancho de la red en la tercera dimensión
APLICACIÓN DE LA RED DE FLUJO
La razón a / b esta fijada por la razón Nf / Nd y es la misma a través de toda la red
Nf y Nd se seleccionan de modo que a = b (a / b = 1). La ecuación de gasto se transforma en:
q = k * h * ( Nf / Nd ) * L
Reordenando:
q = k * h * ( Nf / Nd ) * (a / b ) * L
EJERCICIO:EJERCICIO: Dada la siguiente red de flujo
1) Caudal que circula a través de la masa de suelo (gasto total de infiltración).
2) Gasto de infiltración.
3) Gradiente hidráulico en los puntos A y B.
4) Velocidad de descarga en los puntos A y B.
5) Velocidad real en los puntos A y B.
6) Presión de filtración en el punto C.
7) Presión hidráulica ó altura piezométrica en el punto C.
8) Esfuerzo efectivo en el punto C.
9) Presión hidráulica en la tablestaca del lado aguas abajo.
10) Factor de seguridad a la licuefacción en el punto J.
11) Factor de seguridad al levantamiento.
12) Factor de seguridad a la socavación ó al arrastre de material a la salida.
Determinar:Determinar:
q = k * h * ( Nf / Nd ) * L
1) Caudal que circula a través de la masa de suelo. (Gasto total de infiltración).
2) Gasto de Infiltración.
q = q / Nf
3) Gradiente hidráulico en los puntos A y B.
4) Velocidad de Descarga en los puntos A y B.
5) Velocidad Real en los puntos A y B.
i = h´ / b Donde h´ = h / Nd
Vr = 1 + e * V
e
V = k * i
6) Presión de Filtración en el punto C.
7) Presión Hidráulica ó Altura Piezométrica en el punto C.
8) Esfuerzo Efectivo en el punto C.
f = h * w = ( - h´ * Nd ) * w
= h - f
´ = -
9) Presión Hidráulica en la tablestaca del lado aguas abajo.
10) Factor de Seguridad a la Licuefacción en el punto J.
I = h + f
H = h + f
G = h + f
F = h + f
E = h + f
D = h + f
FS Lic. = .
ING. JOSBEL A. CORDERO A. ING. JOSBEL A. CORDERO A. ING. VICTOR FRANCO M.ING. VICTOR FRANCO M.
11) Factor de Seguridad al Levantamiento.
D = 12,4 m
D/2 = 6,2 m
( hT - h´ * Nd )
f = hprom.* w
´ = D * ’
FS Lev. = ´/ f
hprom.= Area / (D/2)
12) Factor de Seguridad a la Socavación ó al arrastre de material a la salida.
FS Soc. = icritico .
isalida
icritico = w isalida = h´ / b