tema 4 introducción programación lineal

1ADM-343 Mtodos Cuantitativos para Agronegocios

Tema IV: Introduccin a la Programacin Lineal

Instituto Especializado de Estudios Superiores Loyola

San Cristbal, Rep. Dom.

Facilitador:

Flix Rondn, MS

Introduccin

La programacin lineal es una de tres herramientas mayormente usadas en anlisis econmico y administrativo (las otras dos son el anlisis de regresin y la simulacin).

La programacin lineal es una herramienta de investigacin para encontrar una solucin ptima.

La solucin ptima es la que maximiza los beneficios o la que minimiza los costos.

Programacin Lineal(Ejemplo de Minimizacin)

Problema: Determinar la dieta ms saludable al ms bajo costo

Escenario Una persona quiere mantener cierto nivel de salud (yo) al costo ms

bajo posible.

En este caso hipottico, hay tres nutrientes necesarios para mantener la salud:

Nutriente Requerimiento Mnimo Diario (RMD)

Calcio 20 g/da

Protena 20 g/da

Energa 12 Mcal/da


Si se alcanza el Requerimiento Mnimo Diario (RMD) de estos nutrientes, entonces se estar saludable.

Solo existen dos fuentes alimenticias disponibles: pan y biscochos:

Caractersticas

Fuentes

Pan(1 lb)

Biscochos(1 lb)

Precio $0.60 $1.00

Calcio 10 g 4 g

Protena 5 g 5 g

Energa 2 Mcal 6 Mcal


El problema a resolver es Cuntos panes y biscochos consumir diariamente para asegurar los RMD y mantener la salud al costo ms bajo posible?

La dieta menos costosa sera no consumir nada, pero entonces no se lograran los RMDs y no se mantendra la salud.


Una solucin simple sera comer solamente biscochos.

Cuntos habra que consumir para lograr los tres RMDs?

5 20/4 / 5/

4 20/5 / 4/

2 12/6/ 2/

En este caso el nutriente limitante es calcio, por lo que se necesitarn5 lbs de biscocho y el costo diario sera de $5.00.

2Programacin Lineal(Ejemplo de Minimizacin)

Otra solucin simple sera comer solamente pan.

Cuntos habra que consumir para lograr los tres RMDs?

2 20/10 / 2/

4 20/5 / 4/

6 12/2/ 6/

En este caso el nutriente limitante es energa, por lo que se necesitarn6 lbs de pan y el costo diario sera de $3.60.


La dieta con biscochos: 5lb x $1.00/lb = $5.00 Cumple con todos los requisitos, pero excede algunos

Calcio: 5 lb x 4 g/lb = 20 g

Protena: 5 lb x 5 g/lb = 25 g

Energa: 5 lb x 6 Mcal/lb = 30 Mcal

La dieta con pan: 6 lb x $0.60 = $3.60 Menos costosa que la de biscochos

Cumple con todos los requisitos pero excede algunos

Calcio: 6 lb x 10 g/lb = 60 g



Cumple el RMD

Exceden los RMD

Cumple el RMD

Exceden los RMD


Hay una mejor solucin que la dieta de pan? Intentar eso:

Reducir el pan de 6 a 5 lbs (5lb x $0.60/lb = $3.00) Calcio: 5 lb x 10 g/lb = 50 g



Aumentar las biscochos a 0.5 lbs (0.5 lb x $1.00 = $0.50) Calcio: 0.5 lb x 5 g/lb = 2.5 g

Protena: 0.5 lb x 5 g/lb = 2.5 g

Energa: 0.5 lb x 6 Mcal/lb = 3 Mcal

La nueva dieta combinada (5 lb pan + 0.5 lb biscochos) Calcio: 52.5 g

Protena: 27.5 g

Energa: 13 Mcal

Exceden todos los RMD y el costo es menor ($3.50/da)


Existe una solucin que sea mejor? una que cumpla con todos los RMD al menor costo?

Para solucionarlo, re-escribir el problema en forma algebraica. Hagamos x1 = lbs de pan; x2 = lbs de biscochos

Entonces se tendr:Pan Biscochos

Costo: 0.60x1 + 1.00x2 = C

Calcio: 10x1 + 4x2 20

Protena: 5x1 + 5x2 20

Energa: 2x1 + 6x2 12

Funcin Objetivo

Restricciones

Variables desconocidas


Organizacin del problema de minimizacin en una tabla.

1 2

Funcin Objetivo y Requisitos

Pan1 lb

Biscochos1 lb

Restriccin

0 Costo ($) 0.60 1.00 = Min

1 Calcio (g) 10 4 20

2 Protena (g) 5 5 20

3 Energa (Mcal) 2 6 20


Dibujar los tres RMD (restricciones) Transformar las restricciones

en ecuaciones:

Calcio: 10x1 + 4x2 = 20

Protena: 5x1 + 5x2 = 20

Energa: 2x1 + 6x2 = 12

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

X1 = Pan

X2 = Biscochos

Calcio

Protena

Energa


0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

X1 = Pan

X2 = Biscochos

Calcio

Protena

Energa

**

Este punto satisface las restricciones de Calcio y Energa, pero no las de Protena

Este punto satisface todas las restricciones (Calcio, Energa y Protena)


La zona de factibilidad para este problema est a la derecha de las tres lneas de restricciones.

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

X1 = Pan

X2 = Biscochos

Calcio

Protena

Energa

Factibilidad

NoFactibilidad


Encontrar los puntos de interseccin a lo largo de la lnea borde de factibilidad (usar sistema de ecuaciones)

Sustituir los valores de los puntos en la ecuacin de costo. C(0, 5) = 0.60 (0) + 1.00 (5) = 5.00

C(2/3, 10/3) = 0.60 (2/3) + 1.00 (10/3) = 3.73

C(3, 1) = 0.60 (3) + 1.00 (1) = 2.80

C(6, 0) = 0.60 (6) + 1.00 (0) = 3.60

0 1 2 3 4 5

2

4

6

X1 = Pan

X2 = Biscochos

Protena

Energa(6, 0)

(2/3, 10/3)

(3, 1) La dieta menos costosa ($2.80) consiste en 3 lb de pan y 1 lb de biscocho.

5

Calcio*

(0, 5)

3 *

1 *

6*


La solucin ptima (3 lb pan, 1 lb bizcocho) satisface los RMD de Energa y Protena, y excede el RMD de Calcio.

Pan Biscochos RMD

Calcio: 10(3) + 4(1) = 34 20

Protena: 5(3) + 5(1) = 20 20

Energa: 2(3) + 6(1) = 12 12

Restricciones

Programacin Lineal(Ejemplo de Maximizacin)

Problema: Un granjero debe decidir la cantidad de terneros y novillos a engordar para maximizar sus beneficios.

Escenario Compra los terneros con un promedio de 400 lbs y los vende cuando

alcanzan las 700 lbs; y los novillos con un peso promedio de 500 lbs y los vende cuando alcanzan las 850 lbs.

Para engordar el ganado posee los siguientes recursos en su finca:

Recursos Cantidad mximadisponible

Forraje 36 ton

Mano de obra 30 hrs

Maquinaria 30 hrs


Cada ternero y cada novillo necesita de los siguientes recursos:

Recursos Ternero Novillo

Forraje 2 ton 3 ton

Mano de obra 2 hr 1 hr

Maquinaria 1 hr 3 hr

4Programacin Lineal(Ejemplo de Maximizacin)

Informacin de Compra/Venta: Terneros Compra cada ternero a $360/cabeza (400 lb/cabeza x $0.90/Lb), los

engorda y luego los vende a $525/cabeza (700 lb/cabeza x $0.75/lb)

Otros gastos (veterinario, medicinas, concentrado) $65/cabeza.

Beneficios = $525 $360 $65 = $100/cabeza

Informacin de Compra/Venta: Novillos Compra cada novillo en $425/cabeza (500 lb/cabeza x 0.85/lb), los

engorda y los vende a $595/cabeza (850 lb/cabeza x $0.70/lb).

Otros gastos (veterinario, medicina, concentrado) $50/cabeza.

Beneficios: $595 - $425 - $50 = $120

Problema: Cuntos terneros y/o novillos el ganadero debe producir para maximizar sus beneficios dado los recursos con que dispone?


Para solucionarlo, re-escribir el problema en forma algebraica. Hagamos x1 = cantidad de terneros; x2 = cantidad de novillos

Entonces se tendr:Terneros Novillos

Beneficios ($): 100x1 + 120 x2 = B(max)

Forraje (ton): 2x1 + 3 x2 36

Mano Obra (hr): 2x1 + 1 x2 30

Maquinaria (hr): 1x1 + 3 x2 12

Funcin Objetivo

Restricciones

Variables desconocidas


Organizacin del problema de maximizacin en una tabla.

1 2

Funcin Objetivo y Factores

Terneros1 Cbz

Biscochos1 Cbz

Restriccin

0 Beneficio($) 100 120 = Max

1 Forraje (ton) 2 3 36

2 Mano de obra (hr) 2 1 30

3 Maquinaria (hr) 1 3 30


Dibujar los tres RMD (restricciones) Transformar las restricciones

en ecuaciones:

Forraje: 2x1 + 3x2 = 36

M.O.: 2x1 + x2 = 30

Maquinaria: 1x1 + 3x2 = 30

0 5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

x1 = Terneros

x2 = Novillos

M.O.

Forraje

Maquinaria


0 5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

x1 = Terneros

x2 = Novillos

M.O.

Forraje

Maquinaria

**

Este punto excede el forraje y la maquinaria que hay disponibles.

Este punto excede el forraje, la maquinaria y la M.O. que hay disponibles.

*

Este punto no excede ninguna de las restricciones.


Encontrar los puntos de interseccin a lo largo de la lnea borde de factibilidad (usar sistema de ecuaciones)

Sustituir los valores de los puntos en la ecuacin de beneficios. B(0, 10) = 100 (0) + 120 (10) = 1,200

B(6, 8) = 100 (6) + 120 (8) = 1,560

B(13.5, 3) = 100 (13.5) + 120 (3) = 1,710

B(15, 0) = 100 (15) + 120 (0) = 1,500

0 5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

x1 = Terneros

x2 = Novillos

M.O.

Forraje

MaquinariaFactibilidad

NoFactibilidad

**

**(13.5, 3)

(6, 8)

(15, 0)

(0, 10)

Mximos beneficios con la cra de 17.5 terneros y 3 novillos.


La solucin ptima (13.5 terneros y 3 novillos) satisface los restricciones en cuanto al uso de Forraje, Mano de Obra y Maquinaria.

Terneros Novillos Disp.

Forraje: 2(13.5) + 3(3) = 36 36

M.O.: 2(13.5) + 1(3) = 30 30

Maquinaria: 1(13.5) + 3(3) = 22.5 30

Restricciones

Forma General de un Problema de Programacin Lineal

Funcin Objetivo: c1x1 + c2x2 + cnxn = Max o Min

Restricciones: a11x1 + a12x2 + c1nxn b1a21x1 + a22x2 + c2nxn b2

am1x1 + am2x2 + cmnxn bm Restriccin de

no negatividad: x1, x2, xn 0

cj = Coeficientes de la funcin objetivoaij = Coeficientes tcnicosbi = Cantidad de recursos requerida o disponible (restriccin)

Bibliografa

Bonini, C., Hausman, W., y Bierman, H. (2000). Anlisis cuantitativo para los negocios (9na ed). Bogot: McGraw-Hill.

Parsch, L. (2001). Mtodos cuantitativos para aplicaciones de agronegocios (notas de clase). Fayetteville, AR: Autor.

tema 4 introducción programación lineal

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