Tema 4 - Problemas de MatemáticasFunciones Compuestas. Funciones Homogéneas. Funciones Implícitas

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

Funciones compuestas

1. Sean las funciones: . Hallar las

derivadas de la función compuesta, y , en el punto (x, y) = (0, 0)

2. Sean las funciones

. Calcular las derivadas parciales de w respecto de s y

t en el punto (1, 1).

3. Dadas las funciones:

Obtener la derivada parcial en el punto (-1, 2).

Funciones implícitas

4. Siendo la ecuación que define implícitamente a la

magnitud y como función implícita de la variable x en un entorno del punto (1,

1), calcular la derivada de la función implícita .

5. La expresión define a la variable t

implícitamente como t = f (x, y, z) en un entorno del punto (1, 1, 0, 1). Hallar:

, , en el punto (x, y, z) = (1,1, 0) .

6. La función de demanda de un bien que produce una empresa depende de la

cantidad producida de dicho bien q, del precio del bien p y de la renta disponible

de los individuos r, relacionándose todas estas variables en la función:

a) Sabiendo que para q = 100, p = 5 y r = 200 la demanda del bien es 2.

¿Podemos asegurar que el precio del bien p es una función implícita de la renta

r y de la cantidad producida q en estas condiciones?

b) ¿Cuál será la variación del precio del bien p, en función de la renta r, en las

condiciones del apartado anterior?

Funciones homogéneas

7. Sea f (x, y) una función homogénea de grado m = 3. Si y

obtener:

a) b) c) d)

8. La función de producción Q (K, L) es homogénea de grado 3.

El gradiente Q (2, 4) = (2, 3). ¿Cuál es el valor de Q (1, 2)?.

9. Sea la función de producción de una economía en la que

sólo se utilizan como factores productivos Capital (K) y Trabajo (L).

a) Estudiar si la función de producción es homogénea. En caso afirmativo, determinar el grado de homogeneidad y el tipo de rendimientos a escala que genera.

b) Obtener las productividades marginales respecto del Capital y del Trabajo y estudiar su homogeneidad.

c) Analizar si la función de producción verifica el Teorema de Euler.

10.Sabiendo que la función f (x, y, z) es homogénea de grado y que

. Calcular:

a)

b)

c)

d)

EJERCICIOS PARA ENTREGAR

11.Sean las funciones

Calcular las derivadas parciales de la magnitud z, respecto de las variables

finales , en el punto (0, 1).

12.Siendo la ecuación que define implícitamente a la

magnitud y como función implícita de la variable x en un entorno del punto (1,

1), calcular la derivada de la función implícita .

13.Sea f (x, y) una función homogénea de grado . Sean y

Se pide:

a) b) c)

14.La función de producción de un determinado producto está representada por

donde x e y son los factores productivos utilizados en

el proceso de producción. Estudiar si la función es homogénea, y en caso afirmativo, indicar el grado de homogeneidad y el tipo de rendimientos a escala que genera.

15.La expresión define a la variable t

implícitamente como t = f (x, y, z) en un entorno del punto (1, 1, 0, 1). Hallar:

, , en el punto (x, y, z) = (1,1, 0) .

16.Sean las funciones: . Hallar las

derivadas de la función compuesta, y , en el punto (x, y) = (0, 0).

17.Sea f (x, y) una función homogénea de grado . Si y

obtener:

a) b) c) d)

18.Calcular las derivadas parciales de la variable w respecto de las variables s y t en el punto (1, 1), siendo:

19.Si la función demanda viene dada implícitamente por la relación:

calcular para un precio de 50 unidades monetarias, el

valor marginal de la demanda respecto del precio p y su elasticidad.