TEMA 4

INTEGRALES.

El concepto de integracion es central en cualquier curso de calculo diferencial e integral de una variable.Hablando de manera muy general, el problema que trata la integracion es el siguiente: se considera unafuncion f : [a, b]→ R (con a < b) y se quiere calcular el area algebraica de la region A del plano comprendida

entre la grafica de f y el eje X. Tal area es denotada por el sımbolo∫ b

af(x)dx, el cual se conoce como la

integral de f sobre el intervalo [a, b].

Area algebraica (Imagen tomada de la Wikipedia).

Por area algebraica de A nos referimos a que a toda parte de A por encima del eje X se le considera con areapositiva, y que a toda parte de A por debajo del eje X se le considera con area negativa. Entonces, las dosregiones azules de la figura anterior, digamos A1 y A3 poseen area positiva, mientras que la region amarillade A, digamos A2, posee area negativa. Si por ejemplo, las areas (geometricas) de A1, A2 y A3 valen 5cm2,

2cm2 y 1cm2, entonces el area algebraica de A, es decir∫ b

af(x)dx, vale:∫ b

a

f(x)dx = 5cm2 − 2cm2 + 1cm2 = 4cm2.

Este concepto, aunque intuitivamente muy simple, es de suma importancia por las aplicaciones que posee envarias areas del quehacer cientıfico. Por ejemplo:

• Si f(x) representa la fuerza aplicada a un objeto en el punto x, entonces∫ b

af(x)dx mide el trabajo

realizado por dicha fuerza a lo largo del segmento [a, b], es decir, el trabajo total realizado por f paramover dicho objeto desde a hasta b.

1

• Se sumerge una placa verticalmente en un fluido de densidad w, desplazandose desde y = a hasta y = bsobre en eje vertical Y . Sea h(y) la profundidad alcanzada por la placa en el punto y, y L(y) la longitudhorizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y. Entonces, se puedecalcular la fuerza total F ejercida por el fluido sobre la placa desde y = a hasta y = b, por medio de laintegral

F = w ·∫ b

a

h(y) · L(y)dy.

• Supongamos que tenemos un filamento muy delgado compuesto por cierto material, y de longitud b.Sea d : [0, b]→ R la funcion de densidad del filamento, es decir, d(x) mide la densidad del filamento enel punto x. Se puede calcular la masa de este filamento por medio de la integral

M =

∫ b

0

d(x)dx.

Calcular el valor de∫ b

af(x)dx para una funcion f : [a, b]→ R puede ser muy sencillo para ciertas funciones.

Por ejemplo, si f es una funcion polinomial de grado 1 y si f es una funcion constante, entonces∫ b

af(x)dx es

el area de un trapecio, de un triangulo, de un rectangulo o una combinacion de suma y restas de estos tiposde areas.

El problema para calcular∫ b

af(x)dx se presenta cuando la funcion f tiene una grafica complicada y “con

curvatura”. Por ejemplo, si f es un polinomio de grado 2, no se puede calcular∫ b

af(x)dx usando formulas de

area para figuras geometricas conocidas. Sin embargo,∫ b

af(x)dx se puede aproximar por areas de rectangulos.

Expliquemos esto con mas detalle.

Para cierto n ∈ N, consideremos un conjunto P de n+1 puntos en el intervalo [a, b] que incluya los extremos,digamos P = {a, a1, a2, . . . , an−1, b}. Para cada subintervalo [ak, ak−1] con k = 1, 2, . . . , n−1, n (donde a0 = ay an = b), se puede considerar el rectangulo de base (ai+1 − ai) y altura Hi = sup{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)},o el rectangulo de base (ak − ak−1) y altura hi = inf{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)}, donde Hi y hi son los valores.De esta forma, las sumas de areas algebraicas rectangulares

AdP =

n∑k=0

(ak − ak−1)hk = (a1 − a)h1 + (a2 − a1)h2 + · · ·+ (an−1 − an−2)hn−1 + (b− an−1)hn,

AeP =

n∑k=0

(ak − ak−1)Hk = (a1 − a)H1 + (a2 − a1)H2 + · · ·+ (an−1 − an−2)Hn−1 + (b− an−1)Hn,

aproximan a∫ b

af(x)dx por defecto y por exceso, respectivamente.

Aproximaciones por defecto y por exceso de∫ b

af(x)dx.

2

Podemos ver que mientras mas puntos se tomen en la particion, mas precisa seran las aproximaciones por

defecto y exceso de∫ b

af(x)dx. Mas aun, a mayor numero de puntos en la particion se puede ver que las

aproximaciones por exceso y por defecto de∫ b

af(x)dx tienden a igualarse entre sı.

Para poder obtener el valor exacto de∫ b

af(x)dx, necesitaremos considerar todas las particiones posibles

de [a, b], y tomar el ınfimo y el supremo de AdP y Ae

P , respectivamente, relativo al conjunto de todas estasparticiones. En las siguientes secciones explicaremos como hacer esto de manera detallada, y una vez tengamos

la definicion de∫ b

af(x)dx, estudiaremos sus propiedades.

4.1 Particiones de un intervalo

Recordemos que para todo par de puntos a, b ∈ R, se define el intervalo cerrado de a a b como el conjunto[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}. La definicion de integral de una funcion involucra dividir el intervalo [a, b]en n subintervalos, para cualquier n ∈ N, eligiendo n − 1 puntos de (a, b), digamos a1, a2, . . . , an−1. Alconjunto de puntos P = {a0, a1, . . . , an−1, an}, con a0 = a y an = b, lo llamaremos una particion de [a, b].Tal particion da lugar a n subintervalos cerrados

[a0, a1], [a1, a2], . . . , [an−2, an−1], [an−1, an].

Al intervalo [ak−1, ak] lo llamaremos el k-esimo subintervalo de [a, b].

Tenemos entonces[a, b] = [a0, a1] ∪ [a1, a2] ∪ · · · ∪ [an−2, an−1] ∪ [an−1, an].

Por convecion, se escogen los puntos a1, a2, . . . , an−1 de (a, b) de forma creciente, es decir,

a0 = a < a1 < a2 < · · · < an−1 < an = b.

Las particiones de [a, b], como toda familia de conjuntos, puede ser ordenada por inclusion.

Definicion 4.1.1. Dadas dos particiones P y Q del intervalo [a, b], diremos que Q es mas fina que P (oque P es mas gruesa que Q) si P ⊆ Q. A la particion Q se le suele llamar un refinamiento de P .

La inclusion ⊆ de conjuntos define una relacion de orden parcial sobre la familia de particiones de [a, b].Es decir, se cumplen las siguientes tres condiciones:

• Reflexividad: P ⊆ P para toda particion P de [a, b].

• Anti-simetrıa: Para cada par de particiones P y Q de [a, b], si P ⊆ Q y Q ⊆ P , entonces P = Q.

• Transitividad: Si P , Q y R son particiones de [a, b] tales que P ⊆ Q y Q ⊆ R, entonces P ⊆ R.

Notamos ademas que esta relacion de orden parcial, definida por ⊆, sobre las particiones de [a, b] no es unarelacion de orden total. Esto significa que pueden haber al menos un par de particiones de [a, b] que nosean comparables, es decir, existen particiones P y Q de [a, b] tales que P 6⊆ Q y P 6⊆ Q.

Ejemplo 4.1.2.

1. El conjunto {a, b} es una particion de [a, b]. Es la particion mas gruesa de dicho intervalo.

2. Si P1 y P2 son dos particiones de [a, b], entonces P1 ∪ P2 tambien es una particion de [a, b], la cual seconoce como refinamiento comun de P1 y P2.

3

3. Consideremos el intervalo [2, 8] junto con las particiones

P0 = {2, 8}, P1 = {2, 3, 7/2, 5, 8}, P2 = {2, 4, 5, 20/3, 8}, P3 = {2, 3, 7/2, 4, 5, 20/3, 8}.

Como mencionamos en el primer ejemplo, P0 es la particion mas gruesa de [2, 8]. Por otro lado, P1

y P2 no son comparables pues P1 6⊆ P2 y P2 6⊆ P1. Finalmente, P3 es un refinamiento comun de P1 yP2, pues P3 = P1 ∪ P2.

4.2 Funciones escalonadas

Como mencionamos al principio, el area algebraica de la region comprendida entre la grafica de una funcionf : [a, b]→ R y el eje X puede aproximarse por medio de sumas y restas de areas geometricas rectangulares.Esto ultimo a su vez puede considerarse como una integral de un tipo especial de funcion llamada funcionescalonada. En lo que sigue, empezaremos estudiando este tipo de funciones. Luego definiremos el conceptode integral para este tipo de funciones. De esta forma nos sera mas facil entender el concepto de integral decualquier funcion.

Definicion 4.2.1. Una funcion s : [a, b]→ R se dice escalonada (o constante a trozos) si existe un n ∈ Ny una particion P = {a0, a1, . . . , an−1, an} con a0 = a y an = b, tal que s es constante en cada subintervaloabierto (ak−1, ak). Es decir, para cada k = 1, 2, . . . , n existe un numero real sk ∈ R tal que

s(x) = sk si x ∈ (ak−1, ak).

Ejemplo 4.2.2 (taxis en Montevideo). La tarifa actual del taxi en Montevideo es de 30,72 pesos por conceptode bajada de bandera con 100 metros, y la ficha por cada 100 metros es de 1,78 pesos. Supongamos que ellımite de recorrido que cada taxi esta dispuesto a realizar es de 30 kilometros.

Sea F : [0, 30.000]→ R la funcion que relaciona el recorrido (en metros) con el precio a pagar (en pesos). Eneste ejemplo, vamos a ver que F es una funcion escalonada.

Para dar una formula de F , tenemos que recordar el concepto de parte entera o suelo de un numero real.Dado x ∈ R, se define la parte entera de x, denotada por bxc, como

bxc := max{k ∈ Z / k ≤ x}.

Ası, se tiene por ejemplo que b2, 3c = 2 y b−5.9c = −6. Esta funcion tiene la siguiente gragica:

Funcion parte entera (Imagen tomada de la Wikipedia.)

4

Es decir, bxc es una funcion escalonada si se restringe a cualquier intervalo cerrado de R.

Volviendo a la funcion F , podemos ver que F (x) viene dada por:

F (x) = 30, 72 + 1, 78 ·⌊ x

100

⌋.

Presentamos parte de la grafica de F :

Vemos entonces que F es una funcion escalonada.

Suma y producto de funciones escalonadas

Dadas dos funciones escalonadas s, t : [a, b]→ R, con respecto a particiones P1 y P2, respectivamente, podemosformar un par de funciones escalonadas nuevas sumando o multiplicando los valores de s(x) y t(x).

Proposicion 4.2.3. La funcion s+ t : [a, b]→ R, dada por (s+ t)(x) := s(x) + t(x), es tambien una funcionescalonada.

Demostracion: Sea P1 = {a, a1, . . . , an−1, b} la particion sobre la cual se define s, y P2 = {a, x1, . . . , xm−1, b}la particion sobre la cual se define t, es decir:

s(x) = sk, para todo x ∈ (ak−1, ak) y k = 1, 2, . . . , n

t(x) = tk, para todo x ∈ (xk−1, xk) y k = 1, 2, . . . ,m.

Consideremos el refinamiento comun de P1 y P2, es decir P1 ∪ P2. Escribimos el conjunto P1 ∪ P2 porextension, ordenando sus puntos de forma creciente, es decir

P1 ∪ P2 = {y0, y1, . . . , yl−1, yl} con y0 < y1 < · · · < yl−1 < yl.

con y0 = a, yl = b, yk = ak o yk = xk, y 0 ≤ l ≤ n + m − 2. Ası, se tiene que (s + t)(x) = sk + tk parax ∈ (yk−1, yk).

Proposicion 4.2.4. La funcion s · t : [a, b] → R, dada por (s · t)(x) := s(x) · t(x), es tambien una funcionescalonada.

Demostracion: Se hace de manera similar a la proposicion anterior.

Ejemplo 4.2.5. Sean s, t : [0, 2]→ R las funciones dadas por s(x) = b√xc y t(x) =

⌊x2⌋. Estas dos funciones

pueden verse como funciones escalonadas de la siguiente manera:

s(x) =

{0 si 0 ≤ x < 1,1 si 1 ≤ x ≤ 2.

y t(x) =

0 si 0 ≤ x < 1

1 si 1 ≤ x <√

2

2 si√

2 ≤ x <√

3

3 si√

3 ≤ x < 24 si x = 2.

5

Tenemos que la particion de s+ t esta dada por {0, 1,√

2,√

3, 2}. Entonces, s+ t y s · t vienen dadas por:

(s+ t)(x) =

0 si 0 ≤ x < 1,

2 si 1 ≤ x <√

2,

3 si√

2 ≤ x <√

3,

4 si√

3 ≤ x < 25 si x = 2.

y (s · t)(x) =

0 si 0 ≤ x < 1,

1 si 1 ≤ x <√

2,

2 si√

2 ≤ x <√

3,

3 si√

3 ≤ x < 24 si x = 2.

Integrales de funciones escalonadas

Teniendo en mente todo lo anterior, estamos listos para definir la integral de una funcion escalonada.

Definicion 4.2.6 (interal de una funcion escalonada). Sea s : [a, b] → R una funcion escalonada. SeaP = {a, a1, . . . , an−1, b} la particion asociada a s, es decir, existen valores constantes sk ∈ R tales que

s(x) = sk para todo x ∈ (ak−1, ak), con k = 1, 2, . . . , n. La integral de s de a a b, denotada por∫ b

as(x)dx,

se define por medio de la formula ∫ b

a

s(x)dx =

n∑k=1

sk · (ak − ak−1). (4.1)

Podemos notar que∫ b

as(x)dx es la suma de las areas algebraicas de los rectangulos de base ak − ak−1 y

altura sk (que puede ser positiva, negativa o cero). Notamos que los valores s(xk) con k = 0, 1, . . . , n no

intervienen en el calculo de dicha area. Es decir, el aporte de s(ak) en el calculo del area∫ b

as(x)dx es el area

del “rectangulo” de base ak − ak = 0 y altura s(ak), es decir, cero.

Ejemplo 4.2.7. Sea s : [1, 6]→ R la funcion escalonada dada por

s(x) =

2 si 1 ≤ x ≤ 2,1 si 2 < x < 5,3 si x = 5,− 9

4 si 5 < x < 6,−8 si x = 6.

6

Tenemos entonces que:∫ 6

1

s(x)dx = 2 · (2− 1) + 1 · (5− 2)− 9

4· (6− 5) = 2 + 3− 9

4=

11

4.

Observacion 4.2.8. La formula de integral (4.1) no depende de la particion elegida P para s, siemprey cuando s sea constante en los subintervalos abiertos de P . Por ejemplo, supongamos que formamos unrefinamiento P ′ de P agregando un punto a′ entre a y a1. Tenemos entonces que∫ b

a

s(x)dx =

n∑k=1

sk · (ak − ak−1) = s1 · (a1 − a) +

n∑k=2

sk · (ak − ak−1)

= s1 · (a1 − a′ + a′ − a) +

n∑k=2

sk · (ak − ak−1)

= s1 · (a1 − a′) + s1 · (a′ − a) +

n∑k=2

sk · (ak − ak−1)

=

n+1∑k=1

s′k · (a′k − a′k−1),

donde a′0 = a, a′1 = a′, a′k = ak−1 para todo k = 2, 3, . . . , n + 1, y s′1 = s′2 = s1 y s′k = sk−1 para todok = 3, . . . , n+ 1.

Pasemos ahora a estudiar algunas de las propiedades de la integral de funciones escalonadas, a saber: adi-tividad respecto al integrando y respecto al intervalo de integracion, homogeneidad, linealidad, comparacion,invariancia por traslaciones, y dilatacion o contraccion. Dichas propiedades tambien tendran su version paraintegrales de funciones mas generales. Probarlas primero para funciones escalonadas nos permitira facilitarlas demostraciones de los casos generales.

Teorema 4.2.9 (propiedad aditiva - respecto al integrando). Sean s, t : R → R funciones escalonadas.Entonces, s+ t es una funcion escalonada cuya integral vale:∫ b

a

[s(x) + t(x)]dx =

∫ b

a

s(x)dx+

∫ b

a

t(x)dx.

Demostracion: Sabemos que la funcion s + t es escalonada por la Proposicion 4.2.3. Entonces, se puede

calcular el valor∫ b

a[s(x)+t(x)]dx. Sean P1 y P2 particiones asociadas a s y t, respectivamente, y consideremos

el refinamiento comun P1 ∪ P2 = {a, x1, . . . , xn−1, b} para la funcion escalonada s + t. Tenemos entonces losiguiente:∫ b

a

[s(x) + t(x)]dx =

n∑k=1

(sk + tk) · (xk − xk−1)

=

n∑k=1

sk · (xk − xk−1) +

n∑k=1

tk · (xk − xk−1)

=

∫ b

a

s(x)dx+

∫ b

a

t(x)dx porque∫ b

as(x)dx y

∫ b

at(x)dx

no dependen de la particion escogida.

7

Teorema 4.2.10 (propiedad homogenea). Sea s : R → R una funcion escalonada y c ∈ R una constantereal. Entonces: ∫ b

a

c · s(x)dx = c ·∫ b

a

s(x)dx.

Demostracion: Consideremos una particion P de [a, b], digamos P = {a, a1, . . . , an−1, b} para la cual s(x) =sk para todo x ∈ (ak−1, ak). Es facil ver que la funcion c · s es escalonada. Tenemos entonces lo siguiente:∫ b

a

c · s(x)dx =

n∑k=1

(c · sk) · (ak − ak−1) = c ·n∑

k=1

sk · (ak − ak−1) = c ·∫ b

a

s(x)dx.

La siguiente propiedad es consecuencia de la aditividad y la homogeneidad de la integral.

Teorema 4.2.11 (propiedad de linealidad). Sean s, t : [a, b]→ R un par de funciones escalonadas y c, d ∈ Run par de constantes reales. Entonces, c · s+ d · t es una funcion escalonada cuya integral viene dada por:∫ b

a

[c · s(x) + d · t(x)]dx = c ·∫ b

a

s(x)dx+ d ·∫ b

a

t(x)dx.

Teorema 4.2.12 (propiedad de comparacion). Si s, t : [a, b]→ R son funciones escalonadas tales que s(x) <t(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces, ∫ b

a

s(x)dx <

∫ b

a

t(x)dx.

Demostracion: Sean P1 y P2 particiones de [a, b] para las cuales s es constante en los subintervalos de P1,y t es constante en los subintervalos de P2. Consideremos ahora el refinamiento comun P1 ∪ P2 con puntosx0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. Tenemos entonces lo siguiente:∫ b

a

s(x)dx =

n∑k=1

sk · (xk − xk−1) <

n∑k=1

tk · (xk − xk−1) =

∫ b

a

t(x)dx.

Teorema 4.2.13 (propiedad aditiva - respecto al intervalo de integracion). Sea s : [a, b] → R una funcionescalonada. Entonces, para todo c ∈ (a, b) se tiene:∫ b

a

s(x)dx =

∫ b

c

s(x)dx+

∫ c

a

s(x)dx.

Demostracion: Sea P = {a, a1, . . . , an−1, b} una particion de [a, b] tal que s es constante en cada subinter-valo abierto de P . Sea P ′ = P ∪ {c}. Notese que existe k = 1, . . . , n − 1 tal que ak ≤ c y c < ak+1. Ası,

escribimos P ′ = {a, a1, . . . , ak, c, ak+1, . . . , an−1, b}. Como∫ b

as(x)dx no depende de la particion escogida,

podemos calcular∫ b

as(x)dx usando P ′:∫ b

a

s(x)dx = s1 · (a1 − a) + s2 · (a2 − a1) + · · ·+ sk · (ak − ak−1) + · · ·+ sn · (b− an−1)

= s1 · (a1 − a) + s2 · (a2 − a1) + · · ·+ sk · (ak − c+ c− ak−1) + · · ·+ sn · (b− an−1)

= [s1 · (a1 − a) + s2 · (a2 − a1) + · · ·+ sk · (ak − c)] + [sk · (c− ak−1) + · · ·+ sn · (b− an−1)].

Y ası,∫ b

as(x)dx =

∫ b

cs(x)dx+

∫ c

as(x)dx.

8

Teorema 4.2.14 (invariancia respecto a traslaciones). Sea s : [a, b] → R una funcion escalonada y c ∈ R.Entonces, s′ : [a + c, b + c] → R dada por s′(x) = s(x− c) es tambien una funcion escalonada, cuya integralviene dada por: ∫ b

a

s(x)dx =

∫ b+c

a+c

s(x− c)dx.

Demostracion: Primero, notamos que es facil ver que s′ es escalonada. En efecto, si P = {a, a1, . . . , an−1, b}es una particion de [a, b] tal que s es constante en cada subintervalo (ak−1, ak), entonces el conjunto P ′ ={a+ c, a1 + c, . . . , an−1 + c, b+ c} es una particion de [a+ c, b+ c] tal que s′ es constante en cada subintervaloabierto (ak−1 + c, ak + c). De hecho, para cada x ∈ (ak−1 + c, ak + c), se tiene s′(x) = s(x − c) = sk puessi ak−1 + c < x < ak + c, entonces ak−1 < x − c < ak (restando c en la desigualdad). Tenemos entonces losiguiente: ∫ b+c

a+c

s(x− c)dx =

n∑k=1

sk · [(ak + c)− (ak−1 + c)] =

n∑k=1

sk · (ak − ak−1) =

∫ b

a

s(x)dx.

Teorema 4.2.15 (dilatacion o contraccion del intervalo de integracion). Sea s : [a, b] → R una funcionesalonada y k > 0. Entonces, s′ : [ka, kb] → R dada por s′(x) = s(x/k) es tambien una funcion escalonada,cuya integral viene dada por: ∫ kb

ka

s(xk

)dx = k ·

∫ b

a

s(x)dx.

Demostracion: Se usa un argumento similar al del teorema anterior.

Hasta el momento sabemos como definir la integral∫ b

as(x)dx de una funcion escalonada s : [a, b] → R. En

estas notas daremos un paso mas alla y definiremos el concepto de integral para funciones mas generales, yestudiaremos sus propiedades a partir de lo que sabemos de integrales de funciones escalonadas.

4.3 Integrales de funciones generales

Dada una funcion f : [a, b]→ R, resulta algo intuitivo pensar que se puede calcular, o al menos aproximar, elarea de la region comprendida entre la grafica de f y el eje X por medio de integrales de funciones escalonadas.

Recordemos que las aproximaciones por exceso y por defecto del valor∫ b

af(x)dx se hacıan por medio de tales

funciones.

El valor de∫ b

af(x)dx no tiene por que existir necesariamente. Pero supongamos por un momento que sı

es este el caso. Entonces, para construir aproximaciones por defecto y por exceso de∫ b

af(x)dx, podemos

escoger dos funciones escalonadas s, t : [a, b] → R tales que s(x) ≤ f(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b], y queademas satisfagan la condicion ∫ b

a

s(x)dx ≤∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

t(x)dx.

De esta manera hemos aproximado, por medio de cotas, el valor de∫ b

af(x)dx. Y mientras mas fina sea la

aproximacion escogida para calcular los extremos∫ b

as(x)dx y

∫ b

at(x)dx, mas precisa sera la aproximacion de∫ b

af(x)dx.

Sin embargo, no siempre es posible asegurar que∫ b

af(x)dx exista como numero real, y esto lo veremos mas

adelante con un par de ejemplos. Nos enfocaremos en funciones acotadas cuando hablemos de integracion,

9

ya que esto permite reducir el numero de funciones cuya integral (sobre cierto intervalo) no existe. Por otro

lado, el que una funcion f este acotada sobre un intervalo [a, b] tampoco es garantıa para que∫ b

af(x)dx

exista, aunque mas adelante veremos una serie de condiciones suficientes para garantizar que∫ b

af(x)dx sea

un numero real.

Definicion 4.3.1 (funciones acotadas). Una funcion f : [a, b]→ R se dice acotada si existen numeros realesL, T ∈ R tales que L ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b].

Notamos que si f : [a, b] → R es acotada, se puede escoger M ∈ R tal que −M ≤ f(x) ≤ M para todox ∈ [a, b] (o equivalentemente, |f(x)| ≤M para todo x ∈ [a, b]).

Definicion 4.3.2 (integral de funciones acotadas). Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Diremos quef : [a, b]→ R es integrable sobre [a, b] si existe uno y solo un numero real I tal que∫ b

a

s(x)dx ≤ I ≤∫ b

a

t(x)dx

para todo par de funciones escalonadas s, t : [a, b] → R que satisfacen la condicion s(x) ≤ f(x) ≤ t(x) para

todo x ∈ [a, b]. Al valor I se le conoce como la integral de f sobre [a, b] y se denota como I =∫ b

af(x)dx o

como I =∫ b

af .

En el caso en el cual no existe tal I, diremos que f no es integrable sobre [a, b].

Ciertamente la definicion anterior permite definir la integral de una funcion acotada por medio de integralesde funciones escalonadas. Sin embargo, esta definicion resulta poco practica en el sentido de no decirnos

como calcular∫ b

af(x)dx. A continuacion explicaremos dicho calculo usando lo que sabemos de integrales de

funciones escalonadas, supremos e ınfimos.

Integrales superiores e inferiores

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada. Consideremos los conjuntos

S =

{∫ b

a

s(x)dx / s : [a, b]→ R es escalonada y s(x) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]

},

T =

{∫ b

a

t(x)dx / t : [a, b]→ R es escalonada y f(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b]

}.

Como existe M ≥ 0 tal que −M ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], podemos definir funciones constantes (ypor ende escalonadas) s−M , tM : [a, b] → R tales que s−M (x) := −M y tM (x) := M para todo x ∈ [a, b], ypor lo que sM (x) ≤ f(x) ≤ tM (x) para todo x ∈ [a, b]. Notamos entonces que los conjuntos S y T son no

vacıos pues −M · (b− a) =∫ b

as−M (x)dx ∈ S y M · (b− a) =

∫ b

atM (x)dx ∈ T .

Ahora, sea∫ b

as(x)dx ∈ S. Tenemos que s(x) ≤ f(x) ≤ tM (x) para todo x ∈ [a, b]. Por la propiedad de

comparacion de integrales de funciones escalonadas, tenemos que∫ b

as(x)dx ≤ M · (b − a). Entonces, el

conjunto S es no vacıo y esta acotado superiormente. Por el axioma de completitud, existe el supremo delconjunto S, al cual denotaremos por

I∗(f) := sup

{∫ b

a

s(x)dx / s : [a, b]→ R es escalonada y s(x) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]

}.

10

Al valor I∗(f) lo llamaremos la integral inferior de f sobre [a, b]. De manera similar, T es un conjuntono vacıo y acotado inferiormente, por lo que posee ınfimo, al cual denotaremos por

I∗(f) := inf

{∫ b

a

t(x)dx / t : [a, b]→ R es escalonada y f(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b]

}.

Al valor I∗(f) lo llamaremos la integral superior de f sobre [a, b].

Estos dos valores I∗(f) e I∗(f) resultan ser utiles a la hora de calcular el valor I de la integral de f : [a, b]→ R,para el caso en el cual f es integrable. Especıficamente, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.3.3. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Entonces, f es integrable sobre [a, b] si, y solo si,I∗(f) = I∗(f).

Demostracion: Supongamos primero que f es integrable sobre [a, b] y probemos que I∗(f) = I∗(f). Por ladefinicion de funcion integrable, tenemos que existe un unico I ∈ R tal que∫ b

a

s(x)dx ≤ I ≤∫ b

a

t(x)dx (4.2)

para todo par de funciones escalonadas s, t : [a, b] → R que cumplan la condicion: s(x) ≤ f(x) ≤ t(x) paratodo x ∈ [a, b]. Tenemos entonces que I es cota superior de S y cota inferior de T . Luego, por definicion desupremo e ınfimo, tenemos que ∫ b

a

s(x)dx ≤ I∗(f) ≤ I ≤ I∗(f) ≤∫ b

a

t(x)dx

para todo par de funciones escalonadas s, t : [a, b] → R tales que s(x) ≤ f(x) ≤ t(x). Como I es el unicovalor que satisface la desigualdad (4.2), y tenemos ademas que tanto I∗(f) como I∗(f) satisfacen esa mismadesigualdad, podemos concluir que I∗(f) = I = I∗(f).

Ahora supongamos que I∗(f) = I∗(f), y probemos que f es integrable sobre [a, b]. Notamos que, para todopar de funciones escalonadas s, t : [a, b]→ R con s(x) ≤ f(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b], tenemos que∫ b

a

s(x)dx ≤ I∗(f) e I∗(f) ≤∫ b

a

t(x)dx,

y luego, ∫ b

a

s(x)dx ≤ I∗(f) = I∗(f) ≤∫ b

a

t(x)dx.

Por esta razon, escogemos I = I∗(f) = I∗(f). Entonces, tenemos que∫ b

a

s(x)dx ≤ I ≤∫ b

a

t(x)dx

para todo par de funciones escalonadas que cumplen la condicion s(x) ≤ f(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b].Falta ver que tal I es unico.

Supongamos que existe I ′ ∈ R tal que se cumple (4.2). Esto implica que I ′ ≤∫ b

at(x)dx para todo

∫ b

at(x)dx ∈

T , es decir, I ′ es cota inferior de T . Luego, por definicion de supremo, se tiene que I ′ ≤ I∗(f), y comoI∗(f) = I, nos queda I ′ ≤ I. De manera similar (considerando el conjunto S y su supremo), se puede probarque I ′ ≥ I. Por lo tanto, I ′ = I.

11

Observacion 4.3.4.

1. Los valores I∗(f) e I∗(f) siempre existen para toda funcion acotada f : [a, b] → R, sin importar que f

sea integrable sobre [a, b] (es decir, sin importar que∫ b

af(x)dx exista).

2. Sabemos que siempre se tiene la desigualdad I∗(f) ≤ I∗(f). Por el teorema anterior, podemos notarque I∗(f) < I∗(f) si, y solo si, f no es integrable sobre [a, b].

A la hora de calcular el supremo o el ınfimo de cierto conjunto A, a veces resulta mas practico y convenientetrabajar con cierto subconjunto A′ ⊆ A tal que sup(A′) = sup(A) (o inf(A′) = inf(A)). Por ejemplo,si A = (0, 1] y A′ = {1/n / n ∈ N}, tenemos que A′ ⊆ A e inf(A′) = inf(A) = 0. Para el caso delos conjuntos S y T definidos anteriormente, la idea es hallar subconjuntos S′ ⊆ S y T ′ ⊆ T tales quesup(S′) = sup(S) = I∗(f) e inf(T ′) = inf(T ) = I∗(f), y que ademas sup(S′) y inf(T ′) sean mas faciles decalcular que I∗(f) e I∗(f). Vamos a construir a continuacion tales S′ y T ′ en funcion de los valores f(x) conx ∈ [a, b] y de las particiones de [a, b].

Sumas superiores e inferiores

Sea f : [a, b] → R una funcion acotada y P = {a = x0, x1, . . . , xn−1, xn = b} una particion de [a, b]. Con-sideremos el subintervalo abierto (ak−1, ak) con k = 1, . . . , n. Como f es acotada (sobre [a, b]), tenemosque f tambien lo va a ser sobre (ak−1, ak). Luego, tenemos que los valores sup{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)} einf{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)} existen, y los denotaremos de la siguiente manera:

sup[f, (ak−1, ak)] := sup{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)},inf[f, (ak−1, ak)] := inf{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)}.

Tenemos entonces que para todo x ∈ (ak−1, ak), la funcion f toma valores entre los numeros inf[f, (ak−1, ak)]y sup[f, (ak−1, ak)]. De esta manera, si se considera la region Ak comprendida entre la grafica de f y elsegmento (ak−1, ak) sobre el eje X, tenemos que el area de Ak la podemos aproximar por exceso o defectomediante areas rectangulares: tenemos un rectangulo de base ak−ak−1 y altura sup[f, (ak−1, ak)] que contienea Ak, y un rectangulo de base ak − ak−1 y altura inf[f, (ak−1, ak)] contenido en Ak.

Teniendo esto en cuenta, podemos aproximar el area de la region formada entre la grafica de f y el eje X:por arriba sumando las areas rectangulares sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1), y por abajo sumando las areasrectangulares inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1).

12

Definicion 4.3.5 (suma inferior y superior respecto a una particion). Sea f : [a, b]→ R una funcion acotaday P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b} ⊆ [a, b] una particion de [a, b]. Se definen la suma inferior, denotadapor S∗(f, P ), y la suma superior, denotada por S∗(f, P ), de f respecto a la particion P como los siguientesvalores:

S∗(f, P ) :=

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1),

S∗(f, P ) :=

n∑k=1

sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1).

Graficamente, S∗(f, P ) y S∗(f, P ) son las sumas de las areas de las regiones rectangulares mostradas en lasiguiente figura:

Sean sP : [a, b]→ R y tP : [a, b]→ R las funciones escalonadas definidas de la siguiente manera:

sP (x) :=

{inf[f, (ak−1, ak)] para todo x ∈ [ak−1, ak) con k = 1, . . . n− 1,inf[f, (an−1, b)] para todo x ∈ [an−1, b].

tP (x) :=

{sup[f, (ak−1, ak)] para todo x ∈ [ak−1, ak) con k = 1, . . . n− 1,sup[f, (an−1, b)] para todo x ∈ [an−1, b].

Podemos notar que S∗(f, P ) =∫ b

asP (x)dx y S∗(f, P ) =

∫ b

atP (x)dx, y que ademas sP (x) ≤ f(x) ≤ tP (x)

para todo x ∈ [a, b]. Se sigue entonces que S∗(f, P ) ∈ S y S∗(f, P ) ∈ T . La siguiente proposicion se sigue deesta observacion.

Proposicion 4.3.6. Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada y P una particion de [a, b]. Entonces, se cumplela siguiente desigualdad:

S∗(f, P ) ≤ I∗(f) ≤ I∗(f) ≤ S∗(f, P ).

Tambien se tienen desigualdades que involucran sumas inferiores y superiores de una funcion respecto ainclusiones entre particiones. De manera mas especıfica, se cumple el siguiente resultado.

Proposicion 4.3.7. Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada y P y Q dos particiones de [a, b] tales que P ⊆ Q(es decir, Q es un refinamiento de P ). Entonces,

S∗(f, P ) ≤ S∗(f,Q) y S∗(f,Q) ≤ S∗(f, P ).

Demostracion: Solo nos enfocaremos en probar la primera desigualdad. Supongamos que P y Q sondiferentes, es decir, P ( Q (pra el caso P = Q no hay nada que demostrar). Sea m el numero de elementosdel conjunto Q\P . Usaremos induccion sobre m para probar que S∗(f, P ) ≤ S∗(f,Q).

13

• Caso m = 1: Tenemos que Q = P ∪ {a′} para algun a′ ∈ (a, b). Supongamos que

P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b}.

Luego, existe i = 1, . . . , n tal que a′ ∈ (ai−1, ai), por lo que

Q = {a = a0, a1, . . . , ai−1, a′, ai, . . . , an−1, an = b}.

Tenemos entonces lo siguiente:

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

=

(i−1∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

+ inf[f, (ai−1, ai)] · (ai − ai−1) +

(n∑

k=i+1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

=

(i−1∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

+ inf[f, (ai−1, ai)] · (ai − a′ + a′ − ai−1) +

(n∑

k=i+1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

=

(i−1∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)+ inf[f, (ai−1, ai)] · (a′ − ai−1)

+ inf[f, (ai−1, ai)] · (ai − a′) +

(n∑

k=i+1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

Ahora notese que como (ai−1, a′) ⊆ (ai−1, ai) y (a′, ai) ⊆ (ai−1, ai), se tiene que

inf{f(x) / x ∈ (ai−1, ai)} ≤ inf{f(x) / x ∈ (ai−1, a′)},

inf{f(x) / x ∈ (ai−1, ai)} ≤ inf{f(x) / x ∈ (a′, ai)},

es decir, inf[f, (ai−1, ai)] ≤ inf[f, (ai−1, a′)] e inf[f, (ai−1, ai)] ≤ inf[f, (a′, ai)]. Entonces, los calculos

anteriores se convierten en:

S∗(f, P ) =

(i−1∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)+ inf[f, (ai−1, ai)] · (a′ − ai−1)

+ inf[f, (ai−1, ai)] · (ai − a′) +

(n∑

k=i+1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)

≤

(i−1∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)+ inf[f, (ai−1, a

′)] · (a′ − ai−1)

+ inf[f, (a′, ai)] · (ai − a′) +

(n∑

k=i+1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1)

)= S∗(f,Q).

14

• Ahora supongamos que el resultado de cumple para m = p, para cualesquiera particiones P ′ ⊆ Q′ de[a, b] donde Q′\P ′ posee p elementos.

Probemos que para m = p+ 1, es decir, si Q\P posee p+ 1 elementos, el resultado se cumple. Primero,notese que podemos escribir Q = P ∪ {a′1, . . . , a′p+1}. Sea P ′ = {a′1, . . . , a′p}. Tenemos por el pasom = 1 que

S∗(f,Q) ≥ S∗(f, P ∪ P ′).

Y por la hipotesis de induccion, tenemos ademas que

S∗(f, P ∪ P ′) ≥ S∗(f, P ).

Por lo tanto, S∗(f, P ) ≤ S∗(f,Q).

Tenemos la siguiente consecuencia de las dos proposiciones anteriores.

Corolario 4.3.8. Sean P y Q dos particiones cualesquiera de [a, b], y f : [a, b] → R una funcion acotada.Entonces, S∗(f, P ) ≤ S∗(f,Q).

Demostracion: Considere el refinamiento comun P ∪Q. Por la Proposicion 4.3.6, tenemos que

S∗(f, P ∪Q) ≤ S∗(f, P ∪Q).

Por otro lado, la Proposicion 4.3.7 implica que

S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ∪Q) y S∗(f, P ∪Q) ≤ S∗(f,Q).

Por lo tanto, S∗(f, P ) ≤ S∗(f,Q).

Ahora nos enfocaremos en redefinir las integrales superiores e inferiores I∗(f) e I∗(f) de una funcion acotadaf : [a, b]→ R por medio de sumas superiores e inferiores de f respecto a particiones de [a, b].

Consideremos los siguientes conjuntos:

A∗(f) := {S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]},A∗(f) := {S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]}.

Por las identificaciones S∗(f, P ) =∫ b

asP (x)dx y S∗(f, P ) =

∫ b

atP (x)dx hechas anteriormente, notamos que

A∗(f) ⊆ S y A∗(f) ⊆ T . Tenemos entonces que A∗(f) y A∗(f) son dos conjuntos no vacıos y acotadossuperiormente e inferiormente, respectivamente. Por ende, existen los valores:

sup(A∗(f)) := sup{S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]},inf(A∗(f)) := inf{S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]}.

Teorema 4.3.9. Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada. Entonces, I∗(f) = sup(A∗(f)) y I∗(f) = inf(A∗(f)).

Demostracion: Solo probaremos la primera igualdad. Por la Proposicion 4.3.6, se tiene que S∗(f, P ) ≤ I∗(f)para toda particion P de [a, b], es decir, I∗(f) es una cota superior de {S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]}.Entonces,

sup(A∗(f)) ≤ I∗(f).

Ahora, consideremos una funcion escalonada s : [a, b]→ R con s(x) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]. Consideremosademas una particion P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b} de [a, b] asociada a s, es decir, s(x) = sk ∈ R para

15

cada subintervalo abierto (ak−1, ak) de P . Luego, para cada x ∈ (ak−1, ak), se tiene que sk = s(x) ≤ f(x),es decir, sk es una cota inferior de {f(x) / x ∈ (ak−1, ak)}. Se tiene entonces que

sk ≤ inf[f, (ak−1, ak)]

para cada k = 1, 2, . . . , n. De esto se sigue que∫ b

a

s(x)dx ≤ S∗(f, P ).

Por otro lado, S∗(f, P ) ≤ sup(A∗(f)). Entonces,∫ b

a

s(x)dx ≤ sup(A∗(f))

para todo∫ b

as(x)dx ∈ S. En otras palabras, sup(A∗(f)) es cota superior de S, por lo que finalmente tenemos

I∗(f) ≤ sup(A∗(f)).

Por lo tanto, I∗(f) = sup(A∗(f)).

El resultado anterior nos permite obtener la siguiente extension del Teorema 4.3.3.

Teorema 4.3.10. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Entonces, las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(a) f es integrable sobre [a, b].

(b) I∗(f) = I∗(f).

(c) sup(A∗(f)) = inf(A∗(f)).

Mas aun, si cualquiera de las tres condiciones anteriores se cumple, entonces∫ b

a

f(x)dx = I∗(f) = I∗(f) = sup(A∗(f)) = inf(A∗(f)).

El teorema anterior presenta dos enfoques (equivalentes entre sı) de la definicion de integral. Cada uno deellos tiene sus ventajas dependiendo de lo que se quiera hacer:

• El primer enfoque, al que llamaremos enfoque teorico, nos dice que f es integrable sobre [a, b] si, ysolo si, I∗(f) = I∗(f). Esta equivalencia es mas util para probar propiedades del concepto de integral,como veremos mas adelante.

• El segundo enfoque (al que nos referiremos como enfoque practico), por otro lado, nos dice que f esintegrable sobre [a, b] si, y solo si, sup(A∗(f)) = inf(A∗(f)). Esta equivalencia es mas util para calcularla integral de algunas funciones basicas, o para probar que cierta funcion no es integrable (como veremosen el siguiente ejemplo y en la siguiente seccion).

Ejemplo 4.3.11. Consideremos la funcion f : [0, 1]→ R dada por

f(x) :=

{1 si x ∈ [0, 1] ∩Q,0 si x ∈ [0, 1]\Q.

Esta funcion, llamada funcion de Dirichlet, tiene la particularidad de no ser integrable sobre [0, 1] y noser continua en ningun punto de su dominio.

16

Veamos que f no es integrable sobre [0, 1]. La parte de continuidad se tratara mas adelante.

Sea P = {0 = a0, a1, . . . , an−1, an = 1} cualquier particion de [0, 1]. Calculemos S∗(f) y S∗(f). Notamosque para cada subintervalo (ak−1, ak), se tiene que

sup[f, (ak−1, ak)] = 1,

inf[f, (ak−1, ak)] = 0.

Esto se debe a que entre ak−1 y ak existe al menos un numero racional y uno irracional. Tenemos entonces:

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) = 0,

S∗(f, P ) =

n∑k=1

sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

(ak − ak−1) = an − a0 = 1.

Entonces, A∗(f) = {0} y A∗(f) = {1}, de donde finalmente se tiene sup(A∗(f)) = 0 6= 1 = inf(A∗(f)). Porlo tanto, f no es integrable sobre [0, 1] por el teorema anterior.

4.4 Ejemplos de funciones integrables

En esta seccion usaremos el enfoque practico del concepto de integral para calcular algunos ejemplos deintegrales de funciones conocidas. Empecemos con el caso mas sencillo: funciones constantes.

Proposicion 4.4.1 (integral de una funcion constante). Sea f : [a, b] → R una funcion constante, es decir,

existe c ∈ R tal que f(x) = c para todo x ∈ [a, b]. Entonces, f es integrable sobre [a, b] y∫ b

af(x)dx = c·(b−a).

Demostracion: Sea P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b} una particion cualquiera de [a, b]. Entonces, tenemosque para cada subintervalo abierto (ak−1, ak) se tiene lo siguiente:

inf[f, (ak−1, ak)] = inf{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)} = c,

sup[f, (ak−1, ak)] = sup{f(x) / x ∈ (ak−1, ak)} = c.

Luego, tenemos el siguiente calculo de S∗(f, P ) y S∗(f, P ):

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

c · (ak − ak−1) = c ·

(n∑

k=1

ak − ak−1

)= c · (b− a),

S∗(f, P ) =

n∑k=1

sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

c · (ak − ak−1) = c ·

(n∑

k=1

ak − ak−1

)= c · (b− a).

Luego, A∗(f) = {c · (b − a)} y A∗(f) = {c · (b − a)}, por lo que sup(A∗(f)) = c · (b − a) = inf(A∗(f)). Es

decir, f es integrable sobre [a, b] y ademas∫ b

af(x)dx = sup(A∗(f)) = c · (b− a), por el Teorema 4.3.10

El siguiente ejemplo de funcion integrable corresponde a funciones monotonas crecientes y decrecientes.Probar tal afirmacion requiere de los siguientes resultados previos.

Lema 4.4.2 (Criterio de integracion “a menos ε”). Para toda funcion f : [a, b] → R acotada y para todoλ ∈ R, las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) La funcion f es integrable sobre [a, b] y su integral vale λ.

(b) Para todo ε > 0, existe una particion P ⊆ [a, b] tal que λ− ε < S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ) < λ+ ε.

17

Demostracion: Tenemos que probar dos implicaciones: (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (a).

• Supongamos que f es integrable sobre [a, b] y que∫ b

af(x)dx = λ. Consideremos el conjunto A∗(f).

Sabemos que sup(A∗(f)) = λ. Por definicion de supremo, como λ − ε < λ, se tiene que existe unelemento en A∗(f) mayor o igual que λ− ε, es decir, existe una particion P0 ⊆ [a, b] tal que

λ− ε < S∗(f, P0). (4.3)

De manera similar, usando la definicion de ınfimo y que λ = inf(A∗(f)), se prueba que existe unaparticion P1 ⊆ [a, b] tal que

S∗(f, P1) < λ+ ε. (4.4)

Consideremos ahora el refinamiento comun P = P0 ∪ P1. Por la Proposicion 4.3.7, se tiene que

S∗(f, P0) ≤ S∗(f, P0 ∪ P1) y S∗(f, P0 ∪ P1) ≤ S∗(f, P1).

Mas aun, es claro queS∗(f, P0 ∪ P1) ≤ S∗(f, P0 ∪ P1).

A partir de (4.3) y (4.4) y las desigualdades anteriores, concluımos finalmente que:

λ− ε < S∗(f, P0) ≤ S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P1) < λ+ ε,

λ− ε < S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ) < λ+ ε.

• Ahora supongamos que Para todo ε > 0, existe una particion P ⊆ [a, b] tal que

λ− ε < S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ) < λ+ ε.

La desigualdad λ−ε < S∗(f, P ) implica que λ−ε < sup(A∗(f)), mientras que S∗(f, P ) < λ+ε implicaque inf(A∗(f)) < λ+ ε.

Notemos ademas que sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)): En efecto, sean Q y R dos particiones cualesquierade [a, b]. Por el Corolario 4.3.8, se tiene que S∗(f,Q) ≤ S∗(f,R). Si fijamos Q por un momento, yconsideramos a R como una particion arbitraria, tenemos que S∗(f,Q) es una cota inferior de A∗(f),por lo cual S∗(f,Q) ≤ inf(A∗(f)). Ahora, como Q es tambien arbitraria, tenemos que inf(A∗(f)) esuna cota superior de A∗(f), por lo cual se tiene sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)).

Entonces, tenemos la cadena de desigualdades:

λ− ε < sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)) < λ+ ε,

la cual se cumple para cualquier ε > 0. En particular, para todo n ∈ /N se tiene

λ− 1

n< sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)) < λ+

1

n.

Por la Propiedad Arquimediana de R, tenemos finalmente que

λ ≤ sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)) ≤ λ,

es decir, sup(A∗(f)) = inf(A∗(f)) = λ. Por el Teorema 4.3.10, concluımos que f es integrable sobre

[a, b] y que∫ b

af(x)dx = λ.

18

Lema 4.4.3 (Criterio de integrabilidad “a menos de ε”). Para toda funcion acotada f : [a, b] → R, lassiguientes condiciones son equivalentes:

(a) La funcion f es integrable en el intervalo [a, b].

(b) Para todo ε > 0, existe una particion P ⊆ [a, b] tal que 0 ≤ S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε.

Demostracion: Hay que demostrar dos implicaciones: (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (a).

• (a) ⇒ (b): Supongamos que f es integrable sobre [a, b] y sea ε > 0. Sabemos que existe cierto λ ∈ Rtal que

∫ b

af(x)dx = λ. Por el lema anterior, tenemos que existe una particion P ⊆ [a, b] tal que:

λ− ε < S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ) < λ+ ε.

Luego,S∗(f, P ) < λ+ ε.

Por otro lado,

λ = inf(A∗(f)) ≤ S∗(f, P )

−S∗(f, P ) ≤ −λ.

Sumando las desigualdades S∗(f, P ) < λ+ ε y −S∗(f, P ) ≤ −λ, nos queda:

S∗(f, P )− S∗(f, P ) < λ+ ε− λ = ε.

Por otro lado, S∗(f, P )− S∗(f, P ) ≥ 0 pues evidentemente S∗(f, P ) ≤ S∗(f, P ). Por lo tanto,

0 ≤ S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε.

• (b) ⇒ (a): Ahora supongamos que para todo ε > 0, existe una particion P ⊆ [a, b] tal que

0 ≤ S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε.

Sabemos que inf(A∗(f)) ≤ S∗(f, P ) y que S∗(f, P ) ≤ sup(A∗(f)) (es decir, −sup(A∗(f)) ≤ −S∗(f, P )).Nos queda entonces que

inf(A∗(f))− sup(S∗(f, P )) ≤ S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε.

Por la prueba hecha en el lema anterior, sabemos ademas que sup(A∗(f)) ≤ inf(A∗(f)), es decir,

0 ≤ inf(A∗(f))− sup(S∗(f, P )).

Por lo tanto,0 ≤ inf(A∗(f))− sup(S∗(f, P )) < ε

para todo ε > 0. En particular, para todo n ∈ N se tiene que:

0 ≤ inf(A∗(f))− sup(S∗(f, P )) <1

n.

Por la Propiedad Arquimediana de R, podemos concluir que 0 ≤ inf(A∗(f)) − sup(S∗(f, P )) ≤ 0, esdecir, inf(A∗(f)) = sup(S∗(f, P )). De esto se tiene que f es integrable, por el Teorema 4.3.10.

19

Proposicion 4.4.4 (integral de una funcion creciente). Si f : [a, b]→ R es una funcion creciente y acotadasobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b].

Demostracion: Usaremos el criterio de integrabilidad anterior para probar que f es integrable. Supongamosque f es monotona creciente (el caso en el cual f es monotona decreciente lo dejamos de ejercicio). Tenemosentonces que si x ≤ y para x, y ∈ [a, b], entonces f(x) ≤ f(y). En particular, f(a) ≤ f(b).

Notese que si f(a) = f(b), entonces f tiene que ser una funcion constante, y la integral de tales funciones yafue trabajada. Podemos asumir entonces, sin perdida de generalidad, que f(a) < f(b).

Ahora para usar el lema anterior, sea ε > 0. Queremos construir una particion P ⊆ [a, b] tal que

0 ≤ S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε. (4.5)

Para simplificar la demostracion, vamos a enfocarnos en hallar una particion regular de [a, b], esto quieredecir una particion P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b} tal que todos los subintervalos (ak−1, ak) poseen lamisma longitud. Supongamos entonces que queremos que ak − ak−1 = c para todo k = 1, 2, . . . , n. Ahora,notamos ademas que tal valor de c es una porcion de la longitud total del intervalo [a, b], es decir, c = b−a

npara cierto n ∈ N. Dicho de otra manera, si se tienen n subintervalos (o n+ 1 puntos en la particion) de lamisma longitud, tal longitud tiene que ser igual a b−a

n .

Veamos que debe cumplir P para que se cumpla la desigualdad (4.5).

Primeramente, consideremos el subintervalo (ak−1, ak). Notamos que:

sup[f, (ak−1, ak)] = f(ak),

inf[f, (ak−1, ak)] = f(ak−1),

porque f es creciente sobre (ak−1, ak). Pasamos ahora a calcular S∗(f, P ) y S∗(f, P ):

S∗(f, P ) =

n∑k=1

sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

f(ak) · c =(b− a)

n·

n∑k=1

f(ak),

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

f(ak−1) · c =(b− a)

n·

n∑k=1

f(ak−1).

Luego:

S∗(f, P )− S∗(f, P ) =(b− a)

n·

n∑k=1

f(ak)− (b− a)

n·

n∑k=1

f(ak−1) =(b− a)

n·

(n∑

k=1

f(ak)− f(ak−1)

)

S∗(f, P )− S∗(f, P ) =(b− a)

n· (f(b)− f(a)).

Entonces, encontrar una particion regular P que satisfaga (4.5) equivale a encontrar un n ∈ N tal que

(b− a)

n· (f(b)− f(a)) < ε.

Dicho de otra forma, tenemos que probar que existe n ∈ N tal que (b−a)ε · (f(b)− f(a)) < n. Pero esto ultimo

es cierto (de no ser ası, tendrıamos que N estarıa acotado superiormente, lo cual es una contradiccion).

Ejemplo 4.4.5. Como caso particular de la proposicion anterior, tenemos que la funcion f : [0, b]→ R (conb > 0) definida por f(x) = x2, es integrable sobre [0, b], por ser creciente sobre dicho intervalo. Es decir,

sabemos que∫ b

0x2dx existe.

Lo que vamos a hacer a continuacion es calcular el valor de∫ b

0x2dx.

20

Teorema 4.4.6. Sea b > 0. Entonces, ∫ b

0

xmdx =bm+1

m+ 1

para todo m ∈ N.

Antes de probar este teorema, recordemos el siguiente resultado (que aparece como ejercicio en el Practicode la Semana 3).

Lema 4.4.7. Para todo par de numeros reales x, y ∈ R, con 0 ≤ x < y, se tiene la desigualdad

(y − x)xm ≤ ym+1 − xm+1

m+ 1≤ (y − x)ym

para todo m ∈ N.

Demostracion del Teorema 4.4.6. Probaremos solamente el caso m = 2, aunque el caso mas general salepor un razonamiento parecido a lo que viene.

Queremos ver entonces que∫ b

0x2dx = b3

3 . Consideremos cualquier particion

P = {a0 = 0, a1, . . . , an−1, an = b}

de [a, b]. Como f(x) = x2 es creciente sobre [0, b], tenemos que:

inf[f, (ak−1, ak)] = f(ak−1) = a2k−1,

sup[f, (ak−1, ak)] = f(ak) = a2k.

Entonces:

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

a2k−1 · (ak − ak−1)

Por el caso m = 2 del lema anterior, tenemos ademas que

a2k−1 · (ak − ak−1) ≤a3k − a3k−1

3.

Luego,

S∗(f, P ) =

n∑k=1

a2k−1 · (ak − ak−1) ≤n∑

k=1

a3k − a3k−13

=

n∑k=1

(a3k3−a3k−1

3

)=b3

3− 03

3=b3

3.

De manera similar, se puede probar que

S∗(f, P ) ≥ b3

3.

Tenemos entonces la desigualdad

S∗(f, P ) ≤ b3

3≤ S∗(f, P )

para toda particion P de [0, b]. Tenemos entonces que b3

3 es cota superior de A∗(f), por lo cual

sup(A∗(f)) ≤ b3

3.

21

Analogamente, tenemosb3

3≤ inf(A∗(f)).

Sabemos ademas que f es integrable sobre [0, b] y que∫ b

0x2dx = sup(A∗(f)) = inf(A∗(f)). Por el par de

desigualdades anteriores, finalmente nos queda que:∫ b

0

x2dx ≤ b3

3≤∫ b

0

x2dx,

es decir, ∫ b

0

x2dx =b3

3.

Observacion 4.4.8. Se puede usar el mismo razonamiento de la demostracion anterior para calcular laintegral de la funcion identidad sobre [0, b]. Es decir, se puede apreciar que∫ b

0

x dx =b2

2.

Algunos comentarios mas sobre el concepto de funcion integrable

Al principio de estas notas, se presento una definicion de funcion integrable Definicion 4.3.2), y luego sedio una caracterizacion de la misma usando los conceptos de integral superior e inferior. Especıficamente,tenemos que una funcion acotada f : [a, b]→ R es integrable si, y solo si, I∗(f) = I∗(f).

Los numeros I∗(f) e I∗(f) se calculan como supremos e ınfimos de integrales de funciones escalonadas s ≤ f yf ≤ t, respectivamente. Luego demostramos que para calcular I∗(f) e I∗(f) no es necesario considerar todasestas funciones escalonadas, sino solo aquellas cuyos escalones sk y tk coincidan con el ınfimo y el supremode f en (ak−1, ak). Especıficamente, vimos que

I∗(f) = sup{S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]},I∗(f) = inf{S∗(f, P ) / P es una particion de [a, b]}.

Ahora bien, es posible refinar aun mas el calculo de I∗(f) e I∗(f). Esta vez, afirmamos que no es necesarioconsiderar todas las particiones de [a, b], sino solo aquellas que presentan la particularidad que todos sussubintervalos posean la misma longitud.

Definicion 4.4.9. Sea P = {a = a0, a1, . . . , an−1, an = b} una particion de [a, b]. Diremos que P es regularo equiespaciada si ak − ak = ai − ai−1, para todo k, i = 1, 2, . . . , n.

Se puede demostrar (aunque no lo haremos en esta oportunidad), que

I∗(f) = sup{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [a, b]},I∗(f) = inf{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [a, b]}.

Esto da lugar al siguiente resultado.

Proposicion 4.4.10. Para una funcion acotada e integrable f : [a, b]→ R, se tiene que:

sup{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [a, b]} = inf{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [a, b]}.

22

Esto lo podemos usar para presentar una forma distinta de calcular∫ b

0x2dx. En efecto, consideremos una

particion regular P = {0, a1, . . . , an} de [0, b]. Tenemos n subintervalos de longitud b−0n = b

n cada uno. Masaun, podemos usar este dato para expresar como son cada uno de los puntos ak. En efecto:

a1 = a1 − a0 =b

n,

a2 − a1 =b

n⇒ a2 = a1 +

b

n= 2 · b

n,

...

ak = k · bn,

...

an = n · bn

= b.

Ası, P = {0, bn ,

2bn , . . . ,

(n−1)bn , b}. Tenemos entonces lo siguiente:

S∗(f, P ) =

n∑k=1

inf[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

f(ak−1) · bn

=

n∑k=1

(k − 1)2 · b2

n2· bn

=b3

n3·

n∑k=1

(k2 − 2k + 1) =b3

n3·

[n∑

k=1

k2 − 2

n∑k=1

k +

n∑k=1

1

]

=b3

n3·[n(n+ 1)(2n+ 1)

6− 2 · n(n+ 1)

2+ n

]=b3

n2

[(n+ 1)(2n+ 1)

6− (n+ 1) + 1

]=b3

n2

[2n2 + 3n+ 1

6− n

]=b3

n2

[2n2 − 3n+ 1

6

]=b3

6·[2− 3

n+

1

n2

],

I∗(f) = sup{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [0, b]}

=b3

6· sup

{2− 3

n+

1

n2/ n ∈ N

}=b3

6·(

sup {2 / n ∈ N}+ sup

{1

n2− 3

n/ n ∈ N

})=b3

6· (2 + 0) =

b3

3,

S∗(f, P ) =

n∑k=1

sup[f, (ak−1, ak)] · (ak − ak−1) =

n∑k=1

f(ak) · bn

=

n∑k=1

k2 · b2

n2· bn

=b3

n3·

n∑k=1

k2

=b3

n3· n(n+ 1)(2n+ 1)

6=b3

6·(n+ 1

n

)·(

2n+ 1

n

)=b3

6·(

2 +1

n

)·(

2 +1

n

)=b3

6·(

2 +3

n+

1

n2

),

I∗(f) = inf{S∗(f, P ) / P es una particion regular de [0, b]}

=b3

6· inf

{2 +

3

n+

1

n2/ n ∈ N

}=b3

6· inf {2 / n ∈ N}+

b3

6· inf

{3

n+

1

n2/ n ∈ N

}=b3

6· 2 +

b3

6· 0 =

b3

3.

Como I∗(f) = I∗(f), tenemos que f(x) = x2 es integrable.

23

4.5 Propiedades de la integral

Esta seccion esta dedicada a probar una serie de propiedades del concepto de integral usando el enfoqueteorico de la definicion, a saber, aquel que nos dice que una funcion acotada f : [a, b]→ R es integrable sobre[a, b] si I∗(f) = I∗(f), o equivalentemente, si

sup

{∫ b

a

s(x)dx /s : [a, b]→ R es escalonada ys(x) ≤ f(x)para todo x ∈ [a, b]

}= inf

{∫ b

a

t(x)dx /t : [a, b]→ R es escalonada yf(x) ≤ t(x)para todo x ∈ [a, b]

}.

Comparacion o monotonıa

Comenzamos con el siguiente resultado.

Proposicion 4.5.1 (propiedad de comparacion). Sean f, g : [a, b]→ R dos funciones integrables sobre [a, b].Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

Demostracion: Como tanto f como g son integrables, tenemos:∫ b

a

f(x)dx = sup

{∫ b

a

s(x)dx /s : [a, b]→ R es escalonada ys(x) ≤ f(x)para todo x ∈ [a, b]

},

∫ b

a

g(x)dx = inf

{∫ b

a

t(x)dx /t : [a, b]→ R es escalonada yg(x) ≤ t(x)para todo x ∈ [a, b]

}

Consideremos entonces funciones escalonadas arbitrarias s, t : [a, b] → R con s(x) ≤ f(x) y g(x) ≤ t(x) paratodo x ∈ [a, b]. Como f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], se tiene que s(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b]. Comola propiedad de monotonıa vale para integrales de funciones escalonadas (¡verifıquelo!), tenemos que∫ b

a

s(x)dx ≤∫ b

a

t(x)dx.

Ahora, fijamos s y hacemos variar t sobre el conjunto de funciones escalonadas t : [a, b] → R que satisfacen

g(x) ≤ t(x) para todo x ∈ [a, b]. Tenemos ası que∫ b

as(x)dx es cota inferior del conjunto formado por los

valores∫ b

at(x)dx para tales funciones escalonadas t. Luego, por definicion de ınfimo, se tiene que∫ b

a

s(x)dx ≤ inf

{∫ b

a

t(x)dx /t : [a, b]→ R es escalonada yg(x) ≤ t(x)para todo x ∈ [a, b]

}=

∫ b

a

g(x)dx.

Esta desigualdad vale para todas las funciones escalonadas s : [a, b]→ R que satisfacen s(x) ≤ f(x) para todo

x ∈ [a, b]. Es decir, que∫ b

ag(x)dx es cota superior del conjunto de valores

∫ b

as(x)dx para tales funciones

escalonadas s. Entonces, por definicion de supremo, concluımos que∫ b

a

f(x)dx = sup

{∫ b

a

s(x)dx /s : [a, b]→ R es escalonada ys(x) ≤ f(x)para todo x ∈ [a, b]

}≤∫ b

a

g(x)dx.

24

Observacion 4.5.2.

1. Si f : [a, b]→ R es una funcion acotada e integrable sobre [a, b], tal que f(x) ≥ 0 (resp., f(x) ≤ 0) para

todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x)dx ≥ 0 (resp.,

∫ b

af(x)dx ≤ 0).

2. Dadas dos funciones integrables f, g : [a, b]→ R tales que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], tenemos que∫ b

ag(x)dx−

∫ b

af(x)dx ≥ 0. Graficamente, la diferencia

∫ b

ag(x)dx−

∫ b

af(x)dx representa el area de la

region comprendida entre la grafica de f y la grafica de g.

Linealidad

En esta seccion se veran propiedades de la integral que nos permitiran considerar al conjunto R[a, b] de fun-ciones integrables sobre [a, b] como un espacio vectorial. Mas aun, la operacion de calcular la integral de una

funcion integrable, vista como una funcion∫ b

a: R[a, b] → R definida por f 7→

∫ b

af , sera una transformacion

lineal.

Comencemos estudiando como se comporta la integral respecto a la suma de funciones.

Proposicion 4.5.3 (aditividad). Sean f, g : [a, b]→ R dos funciones acotadas e integrables. Entonces, f + gtambien es integrable, y ∫ b

a

f(x) + g(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.

Demostracion: Para demostrar esta propiedad, conviene usar el concepto de integral superior e inferiordefinido en terminos de los conjuntos S y T . Para simplificar notacion, s y t seran siempre funcionesescalonadas. Sabemos que∫ b

a

f = sup

{∫ b

a

s / s ≤ f

}y

∫ b

a

g = sup

{∫ b

a

s′ / s′ ≤ g

}.

Luego, notamos lo siguiente:∫ b

a

f +

∫ b

a

g = sup

{∫ b

a

s / s ≤ f

}+ sup

{∫ b

a

s′ / s′ ≤ g

}= sup

{∫ b

a

s+

∫ b

a

s′ / s ≤ f y s′ ≤ g

}

= sup

{∫ b

a

s+ s′ / s ≤ f y s′ ≤ g

}.

Hemos usado el hecho de que la aditividad se cumple para integrales de funciones escalonadas.

25

Para funciones escalonadas s ≤ f y s′ ≤ g, notamos que s+ s′ ≤ f + g, por lo que∫ b

a

s+ s′ ≤ sup

{∫ b

a

s′′ / s′′ ≤ f + g

}= I∗(f + g).

Luego, al tomar el supremo sobre s ≤ f y s′ ≤ g, nos queda:∫ b

a

f +

∫ b

a

g = sup

{∫ b

a

s+ s′ / s ≤ f y s′ ≤ g

}≤ I∗(f + g).

De manera similar, se puede ver que:∫ b

a

f +

∫ b

a

g = inf

{∫ b

a

t+ t′ / f ≤ t y g ≤ t′}≥ I∗(f + g).

Entonces, no queda que:

I∗(f + g) ≤∫ b

a

f +

∫ b

a

g ≤ I∗(f + g) ≤ I∗(f + g).

La ultima desigualdad se debe a que la integral inferior de cualquier funcion siempre es menor o igual que laintegral su integral superior.

La cadena anterior de desigualdades implica finalmente que

I∗(f + g) =

∫ b

a

f +

∫ b

a

g = I∗(f + g).

Por lo tanto, f + g es integrable y∫ b

af + g =

∫ b

af +

∫ b

ag.

Probemos ahora la homogeneidad de la integral.

Proposicion 4.5.4 (homogeneidad). Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada e integrable sobre [a, b] y α ∈ R.Entonces, α · f tambien es integrable y∫ b

a

α · f(x)dx = α ·∫ b

a

f(x)dx.

Demostracion: Probaremos solo el caso α > 0 (el caso α < 0 se prueba de manera parecida, y el caso α = 0es inmediato).

Durante la prueba, s y t denotaran funciones escalonadas. Calculemos I∗(α ·f) e I∗(α ·f). Si s ≤ f , tenemos

α · s ≤ α · f . Sabemos ademas que∫ b

aα · s = α ·

∫ b

as. Tenemos entonces lo siguiente:

α · I∗(f) = α · sup

{∫ b

a

s / s ≤ f

}= sup

{α ·∫ b

a

s / s ≤ f

}= sup

{∫ b

a

α · s / s ≤ f

}.

Hemos usado el hecho de que la homogeneidad se cumple para integrales de funciones escalonadas.

26

Notese que∫ b

aα · s ≤ sup

{∫ b

as′ / s′ ≤ α · f

}= I∗(α · f) para toda funcion escalonada s ≤ f . Entonces,

α ·∫ b

a

f = α · I∗(f) = sup

{∫ b

a

α · s / s ≤ f

}≤ sup

{∫ b

a

s′ / s′ ≤ α · f

}= I∗(α · f).

De manera similar, se puede probar la desigualdad

α ·∫ b

a

f = α · I∗(f) = inf

{∫ b

a

α · t / f ≤ t

}≥ inf

{∫ b

a

t′ / α · f ≤ s′}

= I∗(α · f).

Y ası, tenemos la desigualdad

I∗(α · f) ≤ α ·∫ b

a

f ≤ I∗(α · f) ≤ I∗(α · f).

Es decir, α · f es integrable ya que I∗(α · f) = I∗(α · f) y ademas∫ b

aα · f = α ·

∫ b

af .

De los dos resultados anteriores, se tiene lo siguiente.

Corolario 4.5.5. Sean f, g : [a, b]→ R funciones integrables sobre [a, b]. Entonces, para cada par de escalaresα, β ∈ R, se tiene ∫ b

a

(α · f + β · g) = α

∫ b

a

f + β

∫ b

a

g.

Observacion 4.5.6. Sea

R[a, b] := {f : [a, b]→ R / f es integrable sobre [a, b]}.

El corolario anterior implica que R[a, b] es un subespacio vectorial del R-espacio vectorial formado por todaslas funciones de la forma f : [a, b]→ R. Mas aun, la operacion de integracion, definida por∫ b

a

: R[a, b]→ R

f 7→∫ b

a

f,

resulta ser una transformacion lineal.

Aditividad respecto al intervalo de integracion

Existe otro tipo de aditividad, pero esta vez respecto a [a, b].

Proposicion 4.5.7. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada e integrable sobre [a, b]. Entonces, para cadaa < c < b, se tiene que f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b]. Mas aun,∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f.

Se puede hablar de la integral de una funcion invirtiendo los lımites de integracion.

Definicion 4.5.8. Sea f : [a, b]→ R una funcion integrable sobre [a, b]. Se define la integral∫ a

bf como:∫ a

b

f = −∫ b

a

f.

27

Integral vs. valor absoluto

Para cualquier funcion acotada e integrable f : [a, b] → R, ocurre la desigualdad f(x),−f(x) ≤ |f(x)| paratodo x ∈ [a, b]. Podemos usar la propiedad de comparacion para deducir∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

|f(x)|dx y

∫ b

a

−f(x)dx ≤∫ b

a

|f(x)|dx

siempre y cuando |f | : [a, b]→ R sea tambien integrable. De esto se deduce que∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx.

A continuacion veremos como probar que |f | es integrable.

Consideremos las funciones f+, f− : [a, b]→ R dadas por

f+(x) :=

{f(x) si f(x) ≥ 0,

0 si f(x) < 0.y f−(x) :=

{−f(x) si f(x) ≤ 0,

0 si f(x) > 0.

Graficamente, tenemos:

Podemos ver que f = f+ − f− y que |f | = f+ + f−.

Lema 4.5.9. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada e integrable sobre [a, b]. Entonces, f+ y f− sonintegrables sobre [a, b].

Este lema y la propiedad de aditividad implican que |f | es integrable sobre [a, b]. Se sigue el siguienteresultado.

Proposicion 4.5.10 (integral vs. valor absoluto). Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada e integrable sobre[a, b]. Entonces, la funcion |f | : [a, b]→ R, dada por x 7→ |f(x)|, es integrable sobre [a, b] y∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx.

Demostracion: Primero debemos probar que |f | es integrable. Es claro que |f | es acotada, pues f lo es.

Se sigue de los comentarios anteriores.

Ya sabemos que∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

a|f(x)|dx y que −

∫ b

af(x)dx =

∫ b

a−f(x)dx ≤

∫ b

a|f(x)|dx por la propiedad de

homogeneidad. Esto implica que

28

Cambio de variables

Es esta ultima seccion veremos lo que pasa al alterar los lımites de integracion por traslaciones, dilatacioneso contracciones.

Proposicion 4.5.11 (invariancia por traslaciones). Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada e integrable sobre[a, b] y d ∈ R. Entonces, la funcion g : [a+d, b+d]→ R dada por g(x) = f(x−d), para todo x ∈ [a+d, b+d],es integrable sobre [a+ d, b+ d]. Mas aun:∫ b

a

f(x)dx =

∫ b+d

a+d

f(x− d)dx.

Proposicion 4.5.12 (dilataciones y contracciones). Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada e integrable sobre[a, b] y r ∈ R+. Entonces, la funcion g : [ar, br] → R dada por g(x) = f(x/r), para todo x ∈ [ar, br], esintegrable sobre [ar, br]. Mas aun:

r

∫ b

a

f(x)dx =

∫ br

ar

f(xr

)dx.

29