tema 3: trigonometría · pdf filepositivos en sentido contrario a las agujas del reloj...

T R I G O N O M E T R Í A

1. M E D I D A D E Á N G U L O S

Existen varios sistemas de medida de ángulos. Los más comunes son el sistemasexagesimal y el radián.

Sistema sexagesimal:

Cada una de las 360 partes iguales en las que se divide la circunferencia se denominagrado sexagesimal (º). Cada grado se divide a su vez en 60 minutos ( ' ) y cada minuto en60 segundos ( '' ). Un ángulo recto mide 90º y uno llano, 180º.

Medida en radianes:

Los grados sexagesimales son una unidad de medida poco práctica para resolver algunosproblemas que se plantean en las ciencias experimentales.

La unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacionales el radián (rad). Se define de la siguiente manera:

- Se toma una circunferencia de radio cualquiera (r ).- Se lleva esta longitud, r, sobre un arco de la

circunferencia.- Se obtiene, de este modo, un ángulo central que se

define de medida 1 radián.

Por lo tanto, un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco igual al radiode la circunferencia sobre la que se traza. Además, esta medida no depende de la longitudde la circunferencia que se tome.

Se puede afirmar entonces que : Ángulo (en radianes) = Longitud del arcoRadio

Relación entre grados y radianes:

Nº de radianes de un ángulo completo= 2 πrr

=2π rad

Por tanto:

Utilizando la equivalencia anterior podemostransformar cualquier ángulo sexagesimal en radianesy viceversa. Por ejemplo:

1 rad = 57º 17' 44''81, pues:

Matemáticas I – Tema 5. Trigonometría - 1

360 º =2π rad⇔180 º=π rad

1 rad⋅180ºπ rad

=180 ºπ

=57,29577951º=57 º 17 ' 44 ' ' 81

45º = π4rad , pues

2. R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D E U N Á N G U L O A G U D O

Sobre un ángulo agudo α, construimos un triángulo rectángulo y definimos:

A estas relaciones se les denomina razones trigonométricas del ángulo α.

Observaciones:

1) Las razones trigonométricas dependen del ángulo y no de las longitudes del triánguloque se toma para definirlas.

2) Como consecuencia de la definición se tiene que: tg α=sen αcos α

3) Se definen las razones trigonométricas inversas de un ángulo α, como:

Cosecante de α: cosec α=1

sen α Secante de α: sec α=

1cos α

Cotangente de α: cot g α=1

tg α

Relaciones trigonométricas fundamentales:

sen2α+cos2α=1 (Fórmula fundamental de la trigonometría)

1+tg2 α=sec2α 1+cotg2α=cosec2α

3. R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D E U N Á N G U L O C U A L Q U I E R A

Definimos las razones trigonométricas para un ángulo agudo, por lo tanto comprendidoentre 0º y 90º. Veamos cómo podemos extender estos conceptos a un ángulo cualquiera.Para esto, vamos a representar los ángulos contenidos en una circunferencia de radio 1con centro en el origen de coordenadas (circunferencia goniométrica) y tomaremos comoextremo fijo del ángulo el semieje positivo del eje OX. Asimismo, mediremos los ángulos


Seno de α: sen α =cateto opuesto

hipotenusa=ac

Coseno de α: cos α =cateto contiguo

hipotenusa=bc

Tangente de α : tg α =cateto opuestocateto contiguo

=ab

45 º⋅π rad180 º

=45π rad

180=π

4rad

positivos en sentido contrario a las agujas del reloj y negativos en el mismo sentido.Consideraremos esta circunferencia dividida en cuatro partes iguales que denominaremoscuadrantes.

Además, el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de los cuadrantes II, III y IVcoinciden, salvo el signo, con el valor de las razones trigonométricas de un ángulo delprimer cuadrante. Es decir, podremos reducir el cálculo de las razones trigonométricas deun ángulo cualquiera al cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo agudo consólo considerar el signo adecuado.

Utilizaremos para esto las siguientes relaciones:

Ángulos suplementarios: Suman 180º. Si un ángulo es , su suplementario es α 180º- .α

Ángulos complementarios: Suman 90º. Si un ángulo es su complementario es α 90º- .α


A la vista del gráfico podemos observar cuálesson los signos de las razones trigonométricasen los distintos cuadrantes:

I Cuadrante:

II Cuadrante

III Cuadrante

IV Cuadrante

00

cos 0

sentg

aa

a> ü

Þ >ý> þ

00

cos 0

sentg

aa

a> ü

Þ <ý< þ

00

cos 0

sentg

aa

a< ü

Þ >ý< þ

00

cos 0

sentg

aa

a< ü

Þ <ý> þ

sen (180º−α )= sen αcos(180 º−α )= −cos αtg(180 º−α )= −tg α

sen (90 º−α )= cosαcos( 90º−α )= sen αtg( 90º−α )= cotg α

Ángulos que se diferencian en 180º: Son los ángulos α y 180º+ α.

Ángulos opuestos o contrarios: Son α y -α, (o α y 360º- α).

Ángulos mayores de 360º:

Las razones trigonométricas de los ángulos mayores de 360º coinciden con las razonestrigonométricas de un ángulo comprendido entre 0º y 360º (primer giro). Para calcular suequivalente en el primer giro, sólo tenemos que dividirlo entre 360º y observar su resto (oentre 2π si estamos trabajando con radianes).


sen (−α )=−sen αcos(−α )= cosαtg(−α )= −tg α

sen (360º−α )=−sen αcos(360 º−α)= cosαtg(360 º−α )= −tg α

sen (180º+α )=−sen αcos(180 º+α )=−cos αtg(180 º+α )= tg α

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de 765º

4 . R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D E L A S U M A D E D O S Á N G U L O S

Vamos a calcular las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos a + b, a partir de los ángulos a y b.

Seno de la suma de dos ángulos:

Para deducir la fórmula combinamos dos triángulos rectángulos. Trazando triángulossemejantes podemos suponer que R = 1

El triángulo ABC tiene un ángulo a.El triángulo ADE tiene un ángulo b, conhipotenusa AD = 1.

El triángulo ADG tiene un ángulo a + b. Comola hipotenusa de este triángulo rectángulotambién es 1, se verifica que:

sen ( +α β) = DG = FH

Por otra parte: FH = EH + FE.

Por tanto,

Coseno de la suma de dos ángulos: De igual forma se puede demostrar que:

cos ( +α β) = AG = AH – GH = AH – DF

Matemáticas I – Tema 5. Trigonometría -

765º 360º 45º 2

5

sen 765º= sen 45 º=√ 22

cos 765 º= cos 45 º=√ 22

sen (α+β )=sen α⋅cos β+cos α⋅sen β

coscos

EH EHsen EH sen

AEa a b

b= = Þ = ×

cosFE FE

FE cos senDE sen

a a bb

= = Þ = ×

sen (α+β )=sen α⋅cos β+cos α⋅sen β

sensen coscos)cos(

cos coscos

AH AHAH cos

AEa a b

b= = Þ = ×

Por tanto,

Tangente de la suma de dos ángulos: tg( α+β )=tg α+ tg β1−tgα⋅tg β

(Dividimos numerador y denominador por cosa · cosb)

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Empleando las fórmulas de la suma de dos ángulos y las razones de ángulos opuestos,vamos a determinar las razones de la diferencia de dos ángulos.

Seno de la diferencia de dos ángulos: sen (α−β )= senα⋅cos β− cosα⋅sen β

Coseno de la diferencia de dos ángulos: cos( α−β )=cos α⋅cos β+ senα⋅sen β

Tangente de la diferencia de dos ángulos: tg( α−β )=tg α−tg β1+ tgα⋅tg β

6 . R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D E L Á N G U L O D O B L E

Vamos a determinar las razones del ángulo doble a partir de las razones de la suma dedos ángulos:

Seno del ángulo doble: sen 2α=2 sen α⋅cosα

Coseno del ángulo doble: cos 2α=cos2α− sen2α


( ) ( ( )) cos ( ) cos ( ) cos cossen sen sen sen sen sena b a b a b a b a b a b- = + - = × - + × - = × - ×

cos ( ) cos ( ( )) cos cos ( ) ( ) cos cossen sen sen sena b a b a b a b a b a b- = + - = × - - × - = × + ×

2 ( ) cos cos 2 cossen sen sen sen sena a a a a a a a a= + = × + × = ×

DF DFsen DF sen sen

DE sena a b

b= = Þ = ×

cos( α+β )=cosα⋅cos β−sen α⋅sen β

Tangente del ángulo doble: tg 2α=2 tg α

1−tg2α

7 . R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D E L Á N G U L O M I T A D

Vamos a determinar las razones del ángulo mitad empleando las razones del ángulodoble, teniendo en cuenta que

Seno del ángulo mitad: senα2=±√ 1−cos α

2

Teniendo en cuenta la fórmula fundamental de la Trigonometría, tenemos que:

Sustituyendo en la igualdad inicial y despejando:

Coseno del ángulo mitad: cosα2=±√ 1+cosα

2

Tangente del ángulo mitad: tgα2=±√ 1−cosα

1+cosα

o


22

aa = ×

cos cos 2 cos ² ²2 2 2

sena a aa æ ö= × = -ç ÷

è ø

² cos ² 1 cos ² 1 ²2 2 2 2

sen sena a a a

+ = Þ = -

cos 1 ² ² 1 2 ² 2 ² 1 cos2 2 2 2

1 cos 1 cos²

2 2 2 2

sen sen sen sen

sen sen

a a a aa a

a a a a

= - - = - Þ = -

- -= Þ = ±

cos cos 2 cos ² ² cos ² 1 cos ² 2cos ² 12 2 2 2 2 2

sena a a a a aa æ ö= × = - = - + = -ç ÷

è ø

1 cos 1 cos2cos ² 1 cos cos ² cos

2 2 2 2 2

a a a a aa + += + Þ = Þ = ±

1 cos1 cos22

2 1 cos1 coscos2 2

sentg

aaa a

a aa

--

= = ± = ±++

8 . E C U A C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita aparece como argumentoen una o varias razones trigonométricas.

Por ejemplo, sen x=12

, 1cos 2 xsenx , xxsenxxsen 22 cos12cos , xxsen cos42

No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuacióntrigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran númerode éstas consiste en:

1º) Transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las razonesque aparecen en una sola razón (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).

2º) Una vez expresada la ecuación en términos de una sola razón trigonométrica, seaplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar laincógnita.

3º) Se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la razóntrigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Para ello,empleando la calculadora determinamos el menor de los ángulos.

Ejemplos:

1)

Despejando el coseno de x en la fórmula fundamental, se tiene: cos² x=1−sen² x

Sustituyendo en la ecuación original y operando: sen² x−1 sen² x=1/2

Otra manera de resolverla:

La ecuación original es el desarrollo del coseno del ángulo doble salvo un signo, por lo que multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:


2) 2sen(3x) – 1= 0

Sólo hay un ángulo y sólo una razón trigonométrica, por lo que ya despejamos:

3) 2 sen²⋅ x 2 sen x ⋅ ∙ cos x−1=0⋅

En esta ecuación es mejor operar al revés, es decir, 2senx∙cosx lo reconocemos como elseno del ángulo doble. Por tanto, sen(2x) = 1-2sen²xEl coseno del ángulo doble es cos(2x)=cos²x-sen²x = 1-sen²x – sen²x = 1- 2sen²x.

Por tanto, la ecuación original podemos reducirla a la siguiente: sen (2x) = cos(2x).Dividiendo entre cos(2x), tenemos que: tg(2x) = 1

9 . T E O R E M A D E L S E N O

En un triángulo cualquiera de lados a, b, c y ángulos respectivos ^A ,^B , ^C , se cumple que:

Los lados de un triángulo son proporcionales a lossenos de los ángulos opuestos:

Demostración:

Trazamos una de las alturas en el triángulo ABC,por ejemplo la correspondiente al vértice C, hc,obteniendo los triángulos rectángulos AMC y MBC,donde M es el punto en el que dicha altura corta allado AB. En el triángulo AMC:

En el triángulo MBC:

Igualamos los resultados obtenidos para hc:

lo que podemos expresar como


a

sen A=

b

sen B

a

sen A=

b

sen B=

c

sen ^C

Si repetimos el proceso con la altura hA, obtendríamos:

Por tanto, se verifica que

1 0 . T E O R E M A D E L C O S E N O

En un triángulo ABC cualquiera de lados a, b, c y ángulos respectivos ^A ,^B , ^C se cumple:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos eldoble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido:

Demostración:Trazamos una de las alturas en el triángulo ABC, porejemplo la correspondiente al vértice C, hc,obteniendo los triángulos rectángulos AMC y MBC,donde M es el punto en el que dicha altura corta allado AB. En el triángulo AMC:

En el triángulo MBC:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo MBC:

Como tenemos que:

De forma análoga se obtendrían las otras dos igualdades.


b

sen B=

c

sen ^C

a

sen A=

b

sen B=

c

sen ^C

a2=b2

+c2−2bc⋅cos ^A

b2=a2+c2−2ac⋅cos B

c2=a2+b2−2ab⋅cos C

1 1 . T E O R E M A D E L A T A N G E N T E

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con lastangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

En un triángulo ABC cualquiera de lados a, b, c y ángulos respectivos Â ,^B , ^C se cumple:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de untriángulo y su resta es igual a la razón entre latangente de la media de los dos ángulos opuestos adichos lados y la tangente de la mitad de ladiferencia de éstos. Es decir:

a−ba+b

=

tgA−B

2

tgÂ+ B

2

a−ca+c

=

tgÂ−

^C2

tgA+C

2

b−cb+c

=

tg^B−^C

2

tgB+C

2

12. R E S O L U C I Ó N D E U N T R I Á N G U L O C U A L Q U I E R A

Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos desconocidos (lados yángulos) a partir de algunos conocidos.

Si el triángulo es rectángulo, podemos utilizar las fórmulas de las razones trigonométricasde un ángulo agudo y el Teorema de Pitágoras. Hemos de tener en cuenta además, que lasuma de los ángulos de un triángulo cualquiera es siempre 180º.

Para resolver cualquier tipo de triángulo podemos utilizar los teoremas del seno, delcoseno y de la tangente.

El teorema del seno permite resolver un triángulo en los casos:a) Dos ángulos y un lado conocidosb) Dos lados y un ángulo conocido

Pero en este segundo caso, el ángulo no queda totalmente determinado pues el seno espositivo en el primer y segundo cuadrantes por lo que puede haber dos soluciones quehabrá que determinar si son válidas o no.

El teorema del coseno permite resolver un triángulo en los casos:a) Los tres lados conocidosb) Dos lados conocidos y el ángulo opuesto a uno de ellosc) Dos lados conocidos y el ángulo que forman.

El teorema de la tangente permite resolver un triángulo en los casos:


http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/tangente/

http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/tangente/

a) Dos ángulos y un lado conocidosb) Dos lados y un ángulo conocido

Ejemplos: 1) Resuelve los siguientes triángulos :


2)

Aplicando el teorema del coseno, podemos calcularel valor de c:

Aplicando el teorema de la tangente, sabemos que:

E J E R C I C I O S

1. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 57º 12' 32”; b) 45,84º; c) 65º 34' 2”; d)15,65º; e) 120º; f) 45º; g) 210º.

2. Expresa en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos: a) 5 π3

rad ; b) π8

rad ; c)

5 π6

rad ; d) 1,43 rad; e) 5,4 rad; f) 7,65 rad.

3. Resolver los siguientes triángulos rectángulos (A=90º):a) b= 3 m, c= 7 m c) c= 8 m, C=63º 21' 32”b) b= 5 m, C= 45º 32” d) a= 15 m, b= 7 m

4. Calcular los ángulos y los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m.

5. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla elángulo que forman dichas ramas.


22 2

2

A Btga b A B A B a b

tg tgA Ba b a btg

+- - + +

= Þ = ×-+ -

8 12 2060º 3 3 5 3

2 2 8 12 4

A B a b A Btg tg tg

a b

- + - += × Þ = × = × = -

- - -

6. Calcular las restantes razones trigonométricas y el ángulo en los siguientes casos:

a) 5

4cos si

22

3 d) sec α=2 si º360º270

b) senα=√ 32

si º180º90 e) cosec α=−√ 5 si º270º180

c) tg α=1 si 2

3 f) cotg α=−4 si

2

7. Utilizando las relaciones entre cuadrantes y sin utilizar la calculadora, halla: a) sen150º,b) cos225º, c) sen2655º, d) cos210º, e) sen315º, f) cos(-1470º), g) tg120º, h) tg(-60º),i) sen1080º.

8. Sabiendo que sen 35º=0,57 y cos 35º= 0,82, calcular el seno y el coseno de: a) 55º,b) 145º, c) 215º, d) 325º, e) -55º

9. Sabiendo que sen25º=0,42; cos25º= 0,9; tg25º=0,46; sen 40º=0,64; cos40º=0,77

y tg40º=0,83, calcula, sin usar la calculadora, las razones trigonométricas de 65º y de15º.

10. Sabiendo que sen 82º=0,99; cos 82º=0,14 y tg 82º= 7,1, calcula las razonestrigonométricas de 164º y 41º aplicando las fórmulas del ángulo doble y el ángulomitad.

11. Si cos 5

2 y π

2≤α≤π , calcula sin hallar previamente el valor de :

a) 2sen b) tgα2

c)

4

sen d) cos (α−

π6

)

12. Si tg α=54

y 2

3 , calcula sin hallar previamente el valor de :

a) 2

sen b) cos2α c) tg(α−π4 ) d)

3

sen

13. Demuestra las siguientes igualdades:

a) cos(α+π3)− cos(α+

2π3

)= cosα e)

cos

12

cos

2cos

sen

sen

b) cosα⋅cos(α−β)+ senα⋅sen(α−β )= cos β f) 11−tg α

−1

1+ tgα=tg 2α


c)

212coscos

cossen

sen

sen

g) 2 sen α−sen2α2sen α+sen2α

=tg2 α2

d) sen α−cosαtg α−1

=cos α h) sen2α1+cos 2α

=tgα

14. Simplifica las siguientes expresiones:

a) 1−tg2 α1+ tg2α

d)

2cos

º45cosº45cos2

b) 2 tg α⋅sen2 α2+sen α e) 2 sen α−β

sen 2α

c) cos2α1−sen α

f) sen x2π3

sen x

15. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 2cos2 x=−2 senx g) 02coscos1 xxb) 01coscos2 2 xx h) 4 sen 2 x cos2 x2 cos2 x−2=0c) 2sen2 x3cos x=3 i) sen 2x3 cos x=0d)2tgx – 3 cotgx – 1 = 0 j) cos²x – 3sen²x = 0e) sen²x -cos²x = ½ k) sen2x·cosx = 6sen³xf) 2cosx = 3tgx l) -3senx + cos²x=3

16. Resuelve los siguientes triángulos:a) a=40 m, A=35º, c= 50 m. d) a=17,5 m, b=23 m, c=14,2 m.b) a=20 m, A=35º, c= 50 m. e) b= 23 m, c= 40 m, C=65ºc) A= 80º, B= 40º, a= 8 dm. f) A= 75º, b= 8 cm, c= 12 cm.

17. Dos personas observan un árbol ubicado en la orilla contraria de un río bajo ángulosde 40º 43' y 55º 50”, respectivamente. La distancia entre ellas es de 150 m. ¿A quédistancia de cada una está el árbol?

18. Dos individuos observan un globo situado encima de ellos. La distancia entre losindividuos es de 4 Km y los ángulos de elevación del globo desde los observadoresson de 46º y 52º respectivamente. Hallar la distancia del globo a cada observador.

19. Entre dos casas, A y B, hay un lago que impide medir la distancia entre ellas. Desdeun punto P situado a 1500 m de A y a 2750 m de B, observamos las dos casas bajoun ángulo de 75º. ¿Cuál es la distancia entre las casas? Calcula los otros ángulos deltriángulo PAB.


20. Desde un banco B se emite una señal de alarma que se recibe en dos comisarías, A yC, distantes entre sí 2,5 Km. Desde las comisarías se miden, sobre un plano de laciudad, los ángulos BAC= 48º y BCA= 37º. ¿De que comisaría llegarán antes?

21. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señalesque manda un barco B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo enA es de 65 y el ángulo en C es de 80 . ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

22. Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

23. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B conC y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a Bes de 50 , y el ángulo en A es de 75 . ¿Cuál es la distancia entre B y C? ¿Y entre A y C?

24. Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

25. Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en laorilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro yconsideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. Elángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vérticeen el que está Manolo es de 140 . ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿YManolo?

26. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando unángulo de 110 . Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial yel segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distanciase encuentra un barco del otro?


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