Tema 3: Nociones sobre

ondas

Propagacin de una perturbacin

Una perturbacin es la

alteracin temporal del

estado de equilibrio de un

sistema.

Bajo ciertas circunstancias

esta perturbacin se puede

propagar por el medio que

la rodea. Desde el punto

donde se origina la

perturbacin hasta otro

punto distante.

La forma de la perturbacin

puede cambiar durante la

propagacin.

Movimiento ondulatorio

Si una perturbacin se propaga a travs de un medio sin cambiar de forma y

con una velocidad v se dice que tal perturbacin se mueve de forma

ondulatoria.

En 1-D una funcin se propaga como una onda si cumple

( , ) ( )x t f x vt

animacin

Funcin de onda

Se propaga hacia la izquierda

Se propaga hacia la derecha

Movimiento ondulatorio armnico

La onda no cambia de forma durante la propagacin

Se propaga con una velocidad v que de manera general va a depender

del medio sobre el que se propaga la onda

Y la funcin de onda est descrita por la ecuacin:

0( , ) sin ( )x t k x vt

Donde k es el nmero de ondas, y =2 /k es la longitud de onda que

marca la distancia a la que la funcin de onda repite su valor

Pasado un tiempo T= /v manteniendo fija la posicin, la onda repite su

estado de movimiento. Este tiempo T se denomina periodo de la onda.

Definiendo frecuencia angular de la onda armnica como: =2 /T la

funcin de onda se puede escribir como:

0( , ) sin( )x t kx t

La frecuencia de la onda se define como = 2 con unidades

hertzios (Hz) y ahora la velocidad de propagacin de la onda est

dada por v=

Ejemplo 1: Un diapasn oscila a 440 Hz. Sabiendo

que el sonido en el medio en el que se encuentra el

diapasn se propaga a una velocidad de 340 m/s

determina la longitud de onda, el nmero de onda y

la funcin de onda.

Ejemplo 2: La luz se propaga en el vaco con la velocidad de 3x108 m/s.

Hallar la longitud de onda correspondiente a una frecuencia de 5x1014 Hz,

que es la frecuencia de la luz roja del espectro visible

Ondas longitudinales y ondas

transversales

En las ondas longitudinales la perturbacin se produce en la direccin de

propagacin de la onda

En las ondas transversales la perturbacin se produce en la direccin

perpendicular a la direccin de propagacin de la onda

Animacin

Ondas longitudinales en una varilla

homognea

0

0

l lFY

S l

F d dx dxY Y

S dx x

Dentro del lmite elstico, cuando ejercemos una fuerza

sobre una varilla de seccin S modificamos su longitud y si

la fuerza deja de actuar la varilla recupera su longitud inicial

Donde Y es el mdulo de elasticidad

del material (mdulo de Young)

2

2 22

2 22 2

2 2

'F F dF YS dxYx

t xd ddF m Sdx

dt dt

Si probamos como solucin de la propagacin de la deformacin de la barra

la funcin de onda: 0( , ) sin ( )x t k x vt

Comprobamos que es solucin de la ecuacin anterior y que por lo tanto la

deformacin de la barra se propaga como un onda longitudinal con velocidad:

Yv

Material Velocidad (m/s)

Acero 5050

Aluminio 5080

Cinc 3810

Cobre 3710

Hierro 5150

Hielo 3280

Vidrio de cuarzo 5370

Ondas transversales en una cuerda

(sin ' sin ) ( ' ) ( )ytg

F T T tg tg Td tg T dxx

tgx x

2

2 22

2 22 2

2 2

y

y

F T dxTx

t xF m dx

t t

como

La solucin a esta ecuacin es una onda que se propaga con una velocidad de:

Tv0( , ) sin ( )x t k x vt

Una onda transversal oscila en la direccin perpendicular a la direccin de

propagacin de la onda (denominada direccin X). Existen infinitas direcciones

perpendiculares al desplazamiento. Si escogemos dos direcciones perpendiculares

entre s, Y y Z como referencia podemos expresar el desplazamiento transversal

como un vector en funcin de su proyeccin sobre los ejes Y, Z.

Dependiendo de la variacin de la orientacin del vector de desplazamiento

transversal a lo largo de la propagacin de la onda, la onda puede estar o no

polarizada:

Polarizacin lineal

Polarizacin circular

Polarizacin elptica

No polarizada

Este movimiento es satisfecho por ondas

armnicas que se desplazan con una

velocidad dada por:

2 2

2

g T hv tgh

Ondas superficiales en un lquido

g aceleracin de la gravedad (m/s2), T tensin superficial (N/m), densidad el

lquido (kg/m3), h profundidad del lquido (m)

La velocidad de propagacin depende de la

frecuencia.

Cuando la velocidad de propagacin depende de la

longitud de onda o de a frecuencia se dice que hay

dispersin. Si un movimiento ondulatorio penetra

en un medio dispersivo, la onda se distorsiona

porque cada una de sus componentes se propaga a

diferente velocidad

2 22

2 2v

t x

2 2

0

2

0

1

2P v F v v

P

Cualquier funcin con argumentos: (x,t)=f(x vt) es solucin de la ecuacin de ondas.

Qu transporta una onda?

Transporta una perturbacin desde un punto del espacio a otro. Un

estado de movimiento, es decir, momentum y energa.

Ejemplo: Potencia media transmitida por una onda transversal que se

propaga por una cuerda.

Ecuacin de onda unidimensional

Densidad lineal de energa J/m

Intensidad de la onda: es el promedio de energa por unidad de rea y

de tiempo expresado en W/m2 PI

A

Frente de ondas: Es el lugar del espacio en el que la funcin de onda toma

un mismo valor.

Ondas planas: El frente de ondas es un plano. El frente de onda est

caracterizado por la direccin de propagacin de la onda determinada por:

u r 0 0

2 2 2

sin ( ) sin( )

( , , )x y z

x y z

k u r vt k r t

k k k k

k k k kv

Ondas en 2 3 D

Definimos vector de ondas k como el vector cuyo sentido seala el sentido

de propagacin de la onda y cuyo mdulo coincide con el nmero de ondas k

Ecuacin de ondas:

2 2 2 22

2 2 2 2v

t x y z

Problema 1

Indique cules de las siguientes expresiones (en las que el tiempo se da en

segundos y las coordenadas espaciales en metros) corresponden a ondas

que se propagan, sealando: la direccin, sentido y velocidad de

propagacin, y si son ondas armnicas. En caso de serlo, determine el

vector de ondas, el nmero de ondas, la longitud de onda y la frecuencia en

Hz, y seale si son ondas planas o esfricas.

a) (x,y,z,t)=20cos(1000 t- x) b) (x,y,z,t)=(10/r)sen(1000 t- r)c) (x,y,z,t)=20cos(1000 t2x) d) (x,y,z,t)=(y+10t)2

Ondas cilndricas: Fuente de onda con geometra lineal. Medio istropo. Los

frentes de onda son cilindros cuyo eje coincide con la fuente lineal.

Ondas esfricas: Fuentes puntuales. En medio istropos

los frentes de ondas son esferas centradas en la fuente.

En estos medios la ecuacin de ondas es:

2 22

2 2

0( , ) sin ( )

vt r

r t k r vtr

A distancias grandes de

las fuentes las ondas

cilndricas y las esfricas

se convierten en ondas

planas

Absorcin de un ondaUna onda transporta energa. Al atravesar un cierto medio puede perder

parte de su energa o incluso toda y desaparecer. Se dice que la onda ha

sido adsorbida por el medio.

Puesto que la energa de una onda es proporcional al cuadrado de la

amplitud de onda, el proceso de absorcin da lugar a la atenuacin de la

amplitud de onda.

El grado de absorcin de una onda depende del espesor de medio y de la

propia naturaleza del medio.

0( , ) sin ( )xx t e k x vt

Donde es el factor de absorcin del medio medido en m-1

Pulsos

Lo habitual es encontrar en la naturaleza perturbaciones que se propagan

como una onda que tienen un principio y un fin y que estn compuestas por

varias ondas armnicas de diferente frecuencia. A esto se denomina tren de

ondas o pulso de ondas.

La velocidad v= /k de una onda armnica se denomina velocidad de fase.

Esta puede no ser la velocidad del tren de ondas ya que no se trata de un

onda armnica sino de la superposicin de varias ondas.

Sea un pulso compuesto de dos

ondas armnicas de frecuencias muy

prximas y de amplitudes iguales:

0 1 1 0 2 2

0 2 1 2 1 2 1 2 1

0 2 1 2 1 1 1

( , ) sin( ) sin( )

1 1( , ) 2 cos ( ) sin ( )

2 2

1( , ) 2 cos ( ) sin

2

x t k x t k x t

x t k k x t k k x t

x t k k x t k x t

La expresin anterior representa un movimiento ondulatorio con amplitud

modulada en el que la amplitud modulada se propaga con una velocidad de

grupo:

2 1

2 1

como =vk

g

g

dv

k k dk

dvv v k

dk

Si el paquete de ondas se propaga por un medio no dispersivo la

velocidad de grupo coincide con la de fase.

Problema 2: Determinar la velocidad de propagacin de un tren de ondas

superficiales en un fluido si la velocidad de fase es:

2

gv

Ejercicio 3: La frecuencia (dada en rad/s) y el nmero de ondas k (en m-1) de

ciertas ondas que se propagan en un cierto medio se encuentran relacionados por la

siguiente expresin:

22826 )103()102( k

a)Determine la velocidad de fase, en funcin del nmero de ondas.

b)Determine la velocidad de grupo, en funcin del nmero de ondas.

c)Indique si se trata de un medio dispersivo o no dispersivo, justificando su respuesta.

d)Escriba la expresin correspondiente a una onda plana monocromtica de amplitud

A y longitud de onda 100 m que atraviesa el medio sin amortiguamiento, viajando a lo

largo del eje X, en su sentido negativo.

, 2 2 0,5 10x t sen x t

, 2 2 0,5 10x t sen x t

Ejercicio 4: Dada la onda

a) Determinar cul es el periodo, la longitud de onda, la velocidad de

propagacin de la misma.

b) Dibujar la onda para t=0 y t=1/40.

c) Dibujar para esos mismos instantes de tiempo la onda

y compararla con la anterior.

donde t se da en segundos y x en metros.

Ejercicio 5: Una fuente extraterrestre muy lejana emite radiacin

electromagntica de frecuencia f, de forma que cuando esta emisin alcanza la

atmsfera terrestre puede considerarse una onda plana. A una altura de 10 km

sobre el nivel del mar la intensidad de la onda es de 13.5 W/m2. La radiacin es

recibida por una antena situada en la vertical de la fuente emisora y a nivel del

mar. A la frecuencia f , la atmsfera presenta un coeficiente de absorcin

=3010-6 m-1. Determine la intensidad detectada por la antena.

Cuestin 1: Un agente secreto est atrapado en un edificio, situado sobre la

cabina de un ascensor que se encuentra en la planta baja, e intenta comunicarse

con un agente amigo que est en el tejado, mediante un mensaje en cdigo

Morse. Para ello da unos golpecitos en el cable del ascensor, de manera que se

produzcan unos pulsos transversales que se mueven hacia arriba por el cable. A

medida que los pulsos se mueven cable arriba, la velocidad a la que se mueven

los pulsos se mantiene, crece o decrece? Si los pulsos se envan separados

por intervalos de 1s, su socio los recibe tambin separados por intervalos de

1s?

Efecto Doppler

Cuando la fuente de ondas y el observador estn en movimiento relativo con

respecto al medio material sobre el que se propaga, la frecuencia de las

ondas observadas es diferente a la frecuencia de las ondas emitidas por la

fuente.

' O

F

v vf f

v v

Si la velocidad de

observador Vo y la de la

fuente VF son pequeas

con respecto a la

velocidad de la onda V

' 1 O Fv v

f fv

cos( )' 1

O Fv vf f

v

Si la direccin de propagacin de

la onda no es la misma que a

direccin de

aproximacin/alejamiento de la

fuente y el observador

Efecto Doppler para ondas electromagnticas

Velocidad de la luz c

El medio no interviene

kx-wt=kx-wt invariante Lorentz

2 2

1'

1

v c

v c

Si la velocidad de

observador Vo y la de la

fuente VF son pequeas

con respecto a la

velocidad de la onda c

' 1v

f fc

Si la direccin de propagacin de

la onda no es la misma que a

direccin de

aproximacin/alejamiento de la

fuente y el observador

cos( )' 1

vf f

c