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Tema 3Espacio Afín y

Euclídeo

E. MuñozVelasco

Aplicaciones ala Ingeniería

Espacio afínDefinciones

Posiciones relativas

EspacioeuclídeoProducto escalar

Perpendicularidad

Espacio afíneuclídeoDefiniciones

Problemas afines ymétricos

Producto vectorial

Tema 3Espacio Afín y Euclídeo

Emilio Muñoz Velasco

Universidad de MalagaDepartamento de Matemática Aplicada

Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales

E. Muñoz Velasco Tema 3 Espacio Afín y Euclídeo 1 / 26


Euclídeo

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Producto vectorial

Ejemplo de motivaciónTema 3. Geometría Afín y Euclídea

Los cimientos de un edificio están sometidos a las fuerzasF1 = 2i + j − 3k y F2 = −3i + 5k .

• Calcula el ángulo que forman dichas fuerzas.• Descompón la fuerza F1 en dos componentes, una en

la dirección del vector v1 = 3i − 2j − k y la otra en ladirección del vector v2 = 5i − j − k .



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Producto vectorial

Espacio afín

Definición

Un espacio afín es un parA = (P,V ) en la que P es un conjunto depuntos y V un espacio vectorial, de forma que a todo par ordenadode puntos (P,Q) le corresponde un único vector

−→PQ, tal que:

1 Para cada punto P ∈ P y cada vector ~v ∈ V , existe un únicopunto Q ∈ P tal que

−→PQ = ~v , que escribiremos Q = P +

−→PQ.

2 Para cada tres puntos P,Q,R ∈ P, se tiene−→PQ +

−→QR =

−→PR.

Al vector−→PQ ∈ V lo llamaremos vector de origen P y extremo Q.

Ejemplo:

R3 (en general, Rn) es un espacio afín, donde el conjunto de puntosP y el espacio vectorial V coinciden, siendo el propio R3 (Rn).



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Producto vectorial

Subespacios afines

Vamos a generalizar los conceptos de recta y plano de la Geometría.

Definición

Dado un espacio afín A = (P,V ) asociado a un espacio vectorialV . Llamaremos subespacio afín determinado por el punto P ∈ P yel subespacio vectorial W de V , al conjunto de puntos:

F ≡ P + W = {P + ~w | w ∈ W}

El subespacio vectorial W se llama dirección de F .

• Un subespacio afín r tal que dim W = 1, se llama recta, esdecir, la recta r que pasa por el punto P y tiene como vectordirector a ~v , tiene como ecuación vectorial r ≡ P + λ~v .

• Si dim W = 2, tenemos que Π ≡ P + λ~w1 + µ~w2 representael plano Π que pasa por P y su dirección W está generadapor los vectores directores ~w1, ~w2.



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Producto vectorial

Sistema de referencia

Definición

Dado un espacio afín A asociado a un espacio vectorial V de di-mensión n, un sistema de referencia (O; {e1, . . . , en}) de A estáformado por punto O de A y una base B = {e1, . . . , en} de V .Dado cualquier punto P ∈ A, sus coordenadas se definen comolas coordenadas del vector

−→OP respecto de la base B.

Ejemplo:

En R3, si el punto P tiene coordenadas (p1, p2, p3) y los vectoreslinealmente independientes−→u y−→w tienen coordenadas (u1, u2, u3),(w1,w2,w3), respectivamente. El plano Π que pasa por P y tienevectores directores u y w , tiene como ecuaciones paramétricas:

x1 = p1 + λu1 + µw1

x2 = p2 + λu2 + µw2

x3 = p3 + λu3 + µw3

A partir de las ecuaciones paramétricas, se pueden encontrar lasecuaciones cartesianas del plano Π de la forma habitual.



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Producto vectorial

Posición relativa de dos planos en R3

Dados dos planos Π1 y Π2 de ecuaciones cartesianas:

Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1 ; Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2

Consideramos el sistema de ecuaciones formado por ambas carte-sianas y llamamos A a la matriz de los coeficientes, y B a la matrizampliada. Entonces:

• Si rang(A) = rang(B) = 1, los planos son coincidentes.

• Si rang(A) = rang(B) = 2, los planos se cortan en una recta.

• Si rang(A) 6= rang(B), los planos son paralelos.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de los planos:

3x − 2y + z = 5 y 3x − 2y + z = 2



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Producto vectorial

Posición relativa de tres planos en R3

Dados tres planos:Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1

Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2

Π3 ≡ a3x + b3y + c3z = d3

• Si rang(A) = rang(B) = 1, los 3 planos coinciden.

• Si rang(A) = 1, rang(B) = 2 entonces son 3 planos paralelos(dos de ellos podrían coincidir).

• Si rang(A) = rang(B) = 2 entonces los 3 planos contienenuna misma recta (planos de un haz, dos de ellos podríancoincidir).

• Si rang(A) = 2, rang(B) = 3 entonces hay dos posibilidades:

I Hay 2 planos paralelos, y el otro los corta.I Los tres son caras de un prisma triangular.

• rang(A) = rang(B) = 3. Entonces, los planos tienenexactamente un punto común (son las caras de un triedro).



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Producto vectorial

Posición relativa de dos rectas en R3

Dadas dos rectas r y s, considerando el sistema formado por susecuaciones cartesianas, tenemos:

• Si rang(A) = rang(B) = 2, las rectas son coincidentes.

• Si rang(A) = 2, rang(B) = 3, las rectas son paralelas.

• Si rang(A) = rang(B) = 3, las rectas se cortan.

• Si rang(B) = 4, es decir, det(B) 6= 0, las rectas se cruzan.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de las rectas:

r ≡{

4x + 5y − 7z = −1x − 2z = 4 s ≡

{x + y + 3z = 12x + y + 6z = 2



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Producto vectorial

Posición relativa de recta y plano R3

Dadas una recta r y un plano Π, se tiene:• Si rang(A) = rang(B) = 2, la recta está contenida en el plano.

• Si rang(A) = 2, rang(B) = 3, la recta y el plano son paralelos.

• Si rang(A) = rang(B) = 3, la recta y el plano se cortan en un punto.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de la recta r y el plano Π, siendo:

r ≡{

4x + 5y − 7z = −1x − 2z = 4 Π ≡ 5x − 2y + 3z = 2



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Producto vectorial

Producto escalar

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre R.

• Llamamos forma bilineal a toda función

f : V × V −→ R(~x , ~y) 7−→ f (~x , ~y)

que es lineal en las dos variables, es decir:

I f (~x , λ~y + µ~z) = λf (~x , ~y) + µf (~x ,~z), ∀ ~x , ~y ,~z ∈ V y λ, µ ∈ R.I f (λ~x + µ~y ,~z) = λf (~x ,~z) + µf (~y ,~z), ∀ ~x , ~y ,~z ∈ V y λ, µ ∈ R.

• Se dice que una forma bilineal f es simétrica si verifica quef (~x , ~y) = f (~y , ~x), ∀ ~x , ~y ∈ V .

• Decimos que una forma bilineal f es definida positiva si verifica quef (~x , ~x) > 0, ∀ ~x ∈ V , ~x 6= ~0.

• Un producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva.Dados dos vectores ~x , ~y ∈ V , su producto escalar f (~x , ~y), sueledenotarse de distintas formas: f (~x , ~y) = 〈~x , ~y〉 = ~x · ~y = (~x |~y).

• Un espacio euclídeo es un espacio vectorial V dotado de unproducto escalar.



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Producto vectorial

Ejemplos de producto escalar

1 Sea V = Rn. Sean ~x e ~y dos vectores con coordenadas en la basecanónica (x1, . . . , xn) y (y1, . . . , yn) respectivamente. Se define elproducto escalar usual como

< ~x , ~y >= x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

2 Sea V = Pn(R). Un producto escalar entre dos polinomios

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn

se define como:

< p(x), q(x) >= a0b0 + a1b1 + · · ·+ anbn

3 Sea V el e.v. sobre R de las funciones reales que son continuas enel intervalo [a, b]. Se puede definir el producto escalar de dosfunciones f , g ∈ V como

< f , g >=

∫ b

af (t)g(t)dt



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Producto vectorial

¿Para qué nos sirve el producto escalar?Idea clave:

El producto escalar nos permite medir vectores y calcular ángulos.

Definición

• Sea V un e.v. euclídeo. Llamamos módulo (norma, longitud) de un

vector ~x ∈ V , al número real ||~x || =√〈~x , ~x〉.

• Decimos que un vector ~x es unitario si ||~x || = 1.

• Dado un vector ~x 6= 0 el vector~x||~x ||

es unitario. Este proceso se

llama normalización de ~x .A partir de la normalización, dado un vector ~x , podemos obtener unvector ~y con la misma dirección que ~x y cuyo módulo sea el que

queramos (λ), es decir ~y = λ ·~x||~x ||

• El coseno del ángulo a que forman los vectores ~x e ~y se define:

cos a =〈~x , ~y〉||~x || ||~y ||

Utilizando la definición de ángulo podemos expresar el productoescalar de dos vectores de la forma:

〈~x , ~y〉 = ||~x || ||~y || cos a



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Producto vectorial

Conjunto ortogonal y ortonormal

Definición

En un e.v. euclídeo V se dice que dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Vson ortogonales si su producto escalar es cero.Un conjunto ortogonal de vectores es aquél en que todos sus vec-tores (tomados dos a dos) son ortogonales entre sí.Un conjunto ortonormal vectores es un conjunto ortogonal tal quelos vectores que lo forman son unitarios.

Ojo:

Dos vectores ~x , ~y son ortogonales si y sólo si son perpendiculares,ya que en este caso cos a = 0.

Teorema:

Sea V un espacio vectorial euclídeo. Si S = {~v1, . . . ~vn} es unconjunto ortogonal de vectores de V , entonces dicho conjunto eslinealmente independiente.



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Producto vectorial

Espacio afín euclídeoDistancia entre puntos

Definición

• Llamaremos espacio afín euclídeo a espacio afín A = (P,V )donde V es un espacio vectorial euclídeo.

• La distancia entre dos puntos P,Q ∈ P, se define como elmódulo del vector que determinan:

d(P,Q) = ||−→PQ||

En el espacio afín euclídeo Rn con el producto escalar usual,dados los puntos P = (p1, . . . , pn) y Q = (q1, . . . , qn), ladistancia entre P y Q se obtiene:

d(P,Q) =√

(q1 − p1)2 + · · ·+ (qn − pn)2



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Producto vectorial

Distancia de un punto a una rectaPasos:

Dados un punto Q y una recta r , se tiene que d(Q, r) = d(Q,Q′),siendo Q′ la proyección ortogonal de Q sobre r .Calculamos Q′ como sigue:

1 Escribimos Q′ como un punto genérico de r , utilizando la ec.vectorial (o la paramétrica) de r ≡ P + λ~u, obteniendo Q′ enfunción del parámetro λ, es decir, Q′ = P + λ~u.

2 Por otro lado, el vector−−→QQ′ es perpendicular a r , por tanto

<−−→QQ′, ~u >= 0.

3 Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos el valor de λ, ypor tanto, el punto Q′.

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by C

amSc

anne

r



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Producto vectorial

Ejemplo

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Producto vectorial

Distancia de un punto a un planoPasos:

Dados un punto Q y un plano Π ≡ P +λ~u +µ~v , se tiene d(Q,Π) =d(Q,Q′), siendo Q′ la proyección ortogonal de Q sobre Π.Calculamos Q′ como sigue:

1 Escribimos Q′ como un punto genérico de Π, utilizando la ec.vectorial (o la paramétrica) de Π, obteniendo Q′ en funciónde los parámetros λ y µ, es decir, Q′ = P + λ~u + µ~v .

2 Por otro lado, el vector−−→QQ′ es perpendicular a Π, por tanto

<−−→QQ′, ~u >= 0, así como <

−−→QQ′, ~v >= 0.

3 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, obtenemoslos valores de λ y µ, y por tanto, el punto Q′.

Scan

ned

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amSc

anne

r



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Producto vectorial

Distancia de un punto a un plano (con fórmula)Pasos:

• Dados el punto Q(q1, q2, q3) y el planoΠ ≡ ax + by + cz + d = 0, como antes, d(Q,Π) = ||

−−→QQ′||,

siendo Q′ la proyección ortogonal de Q sobre Π.

• Como los vectores−−→QQ′ y en vector ~n(a, b, c) normal de Π

forman un ángulo de 0 grados, resulta, operando:

d(Q,Π) = ||−−→QQ′|| =

<−−→QQ′, ~n >||~n||

=|aq1 + bq2 + cq3 + d |√

a2 + b2 + c2

Para calcular la proyección ortogonal Q′ de Q sobre Π, como yaconocemos el módulo del vector

−−→QQ′ y que tiene la misma dirección

que el vector ~n, utilizando la observación de la transparencia 12,tenemos que

−−→QQ′ = Q′ −Q = ||

−−→QQ′|| · ~n

||~n|| , despejando Q′:

Q′ = Q + ||−−→QQ′|| ·

~n||~n||



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Producto vectorial

Calculando otras distancias

• Distancia entre dos planos paralelosLa distancia entre dos planos paralelos es la distancia entrecualquier punto de uno de ellos y el otro.

• Distancia entre una recta y un plano paralelo a ellaLa distancia de una recta a un plano paralelo a ella es la distancia decualquier punto de la recta al plano.

• Distancia entre dos rectas paralelasLa distancia entre dos rectas paralelas se calcula obteniendo ladistancia de cualquier punto de una de ellas a la otra.

• Distancia entre dos rectas que se cruzanDadas dos rectas que se cruzan r ≡ P + λ~u y s ≡ Q + µ~v , ladistancia entre ambas se calcula obteniendo la distancia entre lospuntos genéricos P′ ∈ r y Q′ ∈ s que pertenecen a la perpendicularcomún. Dichos puntos verifican <

−−→P′Q′, ~u >=<

−−→P′Q′, ~v >= 0. A

partir de aquí, obtenemos λ y µ y, por tanto, dichos puntos.

Ojo:

La perpendicular común a dos rectas que se cruzan es la única recta quecorta perpendicularmente a ambas.



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EjemploDistancia entre dos rectas que se cruzan y perpendicular común

.

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wit

h C

am

Scan

ner



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Producto vectorial

Calculando ángulos

• Ángulo entre dos rectasDadas dos rectas r y s, el ángulo a formado por r y s es elformado por sus respectivos vectores directores ~u y ~v :

cos a =< ~u, ~v >||~u|| · ||~v ||

• Ángulo entre dos planosEl ángulo formado por dos planos es el ángulo que formansus vectores normales.

• Ángulo entre recta y planoEl ángulo α que forman una recta y un plano es elcomplementario del ángulo a formado por el vector ~u directorde la recta y el normal ~n del plano. Por tanto, verifica que:

sen a =< ~u, ~n >||~u|| · ||~n||



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Producto vectorial

Producto vectorial en R3

Definición

El producto vectorial de dos vectores ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3) esotro vector ~u × ~v cuya dirección es perpendicular a los dos vectores, susentido es el del avance de un sacacorchos al girar de ~u a ~v y su móduloes igual a ||~u|| · ||~v || · sen a, siendo a el ángulo formado por ~u y ~v .El producto vectorial de ~u y ~v se puede calcular como sigue:

~u × ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣

a



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Producto vectorial

Aplicaciones del producto vectorialCálculo de áreas

El área del paralelogramo determinado por dos vectores es igual almódulo del producto vectorial de dichos vectores.

Área paralelogramo = ||~u × ~v ||

A partir de lo anterior, obtenemos:

Área triángulo =12||~u × ~v ||

Idea clave:

La altura del paralelogramo es ||~v || · sen a, de ahí obtenemos queÁrea paralelogramo = Base× Altura = ||~u||||~v || · sen a = ||~u × ~v ||.

a a



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Producto vectorial

Aplicaciones del producto vectorialDistancia de un punto a una recta (con fórmula)

Dados un punto Q y una recta r ≡ P + λ~u, la distancia de Q a r sepuede calcular de la siguiente forma:

d(Q, r) =||−→PQ × ~u||||~u||

Idea clave:

La distancia entre Q y r es la altura del paralelogramo determinadopor los vectores

−→PQ y ~u, que se obtiene dividiendo su área entre la

longitud de su base.

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anne

r



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Producto vectorial

Producto mixtoCálculo de volúmenes

Definición

El producto mixto de los vectores ~u, ~v y ~w es un número real definido de lasiguiente forma:

[~u, ~v , ~w ] =< ~u, ~v × ~w >= det(~u, ~v , ~w)

Volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores:

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ~u, ~v , ~w es igualal valor absoluto del producto mixto de dichos vectores.

Volumen paralelepípedo = |[~u, ~v , ~w ]|Como consecuencia, el volumen del tetraedro determinado es:

Volumen tetraedro =16|[~u, ~v , ~w ]|



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Producto vectorial

Aplicaciones del producto mixtoDistancia entre dos rectas que se cruzan (con fórmula)

Dadas dos rectas que se cruzan r ≡ P + λ~u, s ≡ Q + µ~v , ladistancia entre ambas se puede calcular de la siguiente forma:

d(r , s) =|[~u, ~v ,

−→PQ]|

||~u × ~v ||

Idea clave:

La distancia entre ambas rectas es la altura del paralelepípedo de-terminado por los vectores ~u, ~v ,

−→PQ, que se obtiene dividiendo su

volumen entre el área de su base.


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