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13/09/12 eXe

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Tema 3: Ecuaciones de primer y segundo grado

Los árabes y el álgebra

Fuente propia

La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo persa

Muhammad ibn Musa al-Khowarizmi, que vivió en el siglo IX. El libro lleva por título Al-

Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala y en él se presenta por primera vez una fórmula general

para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Precisamente de ellas nos vamos a ocupar a lo largo de este tema, pero como ya las has

estudiado en cursos anteriores y constituyen materia de repaso, aprovecharemos para

profundizar en la relación que existe entre

la ecuación de primer grado, la función lineal y la recta

la ecuación de segundo grado, la función cuadrática y la parábola

El objetivo de este tema es que consolides lo que ya sabes y, por ello, recordaremos

también algunas técnicas de cálculo algebraico y las aplicaremos a la resolución de

problemas.

1. La ecuación de primer grado y la recta

Para comenzar, vamos a resolver un problema que te servirá para recordar muchas de las

cosas que has aprendido en cursos anteriores

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Fuente propia

Imagina que acabas de recibir de

tu abuela 50 € por tu

cumpleaños. Has decidido salir

con un amigo y gastarlos en

discos y libros. En la tienda ves

varios CD's y libros que te

gustan, pero tienes dudas sobre

qué comprar: si compras tres

libros de bolsillo y un CD, te

sobran 5 €; pero si compras

dos libros y dos CD's te faltan 4

€ que deberías pedirle prestados

a tu amigo.

Con esta información, vamos a averiguar cuánto cuesta cada CD y cada

libro.

Llama x al precio de un libro e y al precio de un CD y plantea la ecuación

que responde a la frase: si compras tres libros de bolsillo y un CD, te

sobran 5 €

La ecuación es

En unos ejes coordenados, representa la recta

Plantea la ecuación

correspondiente al resto de la

información

La ecuación es

En los mismos ejes coordenados,

representa la recta 2x + 2y = 54

Observa la gráfica y di cuánto

cuesta un CD y un libro

El libro cuesta 9 € y el CD 18

€

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Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el

nombre de ecuaciones lineales.

Acabamos de resolver el problema gráficamente y habremos observado

que: (completa las frases)

Una ecuación lineal tiene soluciones.

La representación gráfica de una ecuación lineal es una .

La solución de las dos ecuaciones corresponde al de de las dos rectas.

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Efectivamente, vemos que la última información es redundante y la nueva recta pasa por

el punto de corte de las otras dos.

Añadimos ahora la siguiente información:

El CD cuesta el doble que el libro

Escribe la ecuación y represéntala en los mismos ejes que las

ecuaciones anteriores. ¿Qué observas?

La representación gráfica de una ecuación lineal es una

línea

recta

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1.1. Posición relativa de dos rectas. Sistemas lineales

En el apartado anterior hemos visto que podemos hallar gráficamente la solución del

sistema dibujando las dos rectas que corresponden a cada ecuación lineal y observar en

qué punto se cortan.

Cambia los coeficientes de ambas ecuaciones con los deslizadores y observa lo que

ocurre.

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Las soluciones de la ecuación 2x + 2y = 54

Son el doble que las de x + y = 27Son las mismas que las de la ecuación x + y = 27

Las ecuaciones 3x + y = 45 y 2x + 2y = 54

Tienen dos soluciones en común, x = 9 e y = 18Tienen una única solución en común: x = 9, y = 18

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

es el conjunto formado por dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas que han de verificarse simultáneamente:

Se llama solución del sistema al par de números que es

solución de ambas ecuaciones.

Piensa en qué posiciones pueden estar dos rectas en el plano, ¿siempre se cortarán?

¿Cómo relacionas la posición de las rectas con el número de soluciones del sistema?

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Podemos resumir nuestras conclusiones en el siguiente cuadro:

Situacióngráfica

Si dos rectasse cortan en unpunto

sonparalelas

son coincidentes

El sistemaes...

compatibledeterminado

incompatible compatible indeterminado

Interpretación

las coordenadas delpuntocomún coinciden conlasolución del sistema

no hayningúnpunto encomún

las coordenadas de lospuntoscomunescoinciden con lasinfinitas soluciones delsistema

Las rectas pueden ser paralelas y entonces no tendrán ningún

punto en común o pueden ser coincidentes y, en ese caso,

tendrán sus infinitos puntos en común

Clasificación de sistemas

Los sistemas de ecuaciones lineales, según su número de

soluciones, se clasifican en:

Compatible, cuando el sistema tiene alguna solución y

si no la tienen, incompatibles

Si tienen solución única, el sistema es

determinado

Si tienen infinitas soluciones, el sistema es

indeterminado

Incompatible, cuando el sistema no tiene solución

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Vuelve a la pantalla dinámica del comienzo del apartado y fíjate en los

coeficientes de las ecuaciones.

Rellena los espacios en blanco con las palabras "secantes", "paralelas"

o "coincidentes".

Si entonces las rectas son .



Como sabes, no siempre es fácil averiguar la solución de un sistema

simplemente con su representación gráfica.

Representamos las ecuaciones

lineales que constituyen el sistema:

Las rectas se cortan, pero ¿dónde?

Es necesario un método que nos

proporcione la solución de manera

exacta.

Conocemos tres métodos

algebraicos para resolver sistemas

lineales.

Aplica cada uno de ellos para resolver el sistema.

Método de sustitución:

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.

Sustituimos su valor en la otra ecuación y la resolvemos.

Calculamos el valor de la otra incógnita.

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Método de igualación:

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación resultante.


Método de reducción:

Multiplicamos las ecuaciones por los números que convenga para

igualar los coeficientes de una de las incógnitas.

Sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar una de las

incógnitas y resolvemos la ecuación resultante.


Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más

apropiado:

a) b) c) d)

a. Los métodos más adecuados son el de sustitución y el

de reducción. La solución es x = 2, y = -3.

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Sello ruso bajo LicenciaCreative Commons

1.2 Técnicas para resolver ecuaciones

En esta ocasión vamos a recordar algunas técnicas para resolver

ecuaciones de primer grado con alguna dificultad.

En otros cursos seguramente habrás cometido errores a causa

de los denominadores, paréntesis, signos negativos delante de

una fracción, ecuaciones sin solución o ecuaciones que, en

realidad, son identidades.

A través de los ejemplos iremos revisando cada uno de estos

casos.

b. El método más adecuado es el de reducción. La

solución es x = 8, y = 5.

c. Multiplicar la primera ecuación por 6. El sistema no tiene

solución.

d. Multiplicar la primera ecuación por 3. El sistema tiene

infinitas soluciones.

¿Sabías que?

Al-jabr w'al-muqabala significa transposición y eliminación. Por

transposición (al-jabr) se entiende transferencia de términos al

otro miembro de la ecuación, y por eliminación (al-muqabala) la

cancelación de términos iguales en ambos miembros.

Ecuaciones con denominadores

Resolvamos la ecuación:

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Presta atención a los pasos que vamos a dar para ir obteniendo

ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta despejar la

incógnita:

Quitar denominadores. Para ello, se multiplican los dos

miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores:

Quitar paréntesis:

Reducir, transponer términos y despejar la incógnita:

Comprobar la solución sustituyéndola en cada miembro de la

ecuación inicial.

Ahora tú. Resuelve:

Multiplica los dos miembros por 15 y simplifica:

Opera los paréntesis: ¿Habías escrito

-35? ¡Cuidado!

Resuelve la ecuación:

Fotografía de French Riviera bajo licencia de

Ecuaciones con

denominadores y paréntesis

Resolvamos la ecuación:

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Algunas ecuaciones especiales

Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no

tienen solución o tienen infinitas soluciones.

Otras parecen de segundo grado, pero al operar, se eliminan términos y en realidad son

de primer grado.

Veremos algunos ejemplos, pero antes presta atención:

flickr

Quitar paréntesis y corchetes hasta obtener una expresión

donde sólo haya sumas y restas de fracciones:

Quitar denominadores:

Reducir y transponer términos:

Practica un poco y resuelve:

Quita paréntesis y reduce:

Quita denominadores y reduce:

Haz la transposición de términos y despeja:

No hay ningún valor de x que cumpla que

0x=b, con b≠0

por tanto esta ecuación no tiene solución

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Cualquier valor real de x cumple que

0x=0

por tanto, esta ecuación tiene infinitas soluciones. Es una

identidad.

Ecuaciones sin solución

Recuerda las identidades notables.

Quitamos paréntesis:

Operamos:

Quitamos denominadores y transponemos términos:

absurdo

La ecuación no tiene solución.

Resuelve:

No tiene solución

Ecuaciones con infinitas soluciones

Quitamos paréntesis:

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1.3 Resolución de problemas

Plantear una ecuación a partir del enunciado verbal de un problema supone traducir a

lenguaje algebraico la información que nos viene dada en forma de datos conocidos y lo

que se desea conocer. Para ello, deberemos hacer una lectura comprensiva del enunciado,

es decir, tendremos que

identificar los datos conocidos y lo que queremos averiguar. Daremos nombre a

las incógnitas,

plantear las ecuaciones que relacionan los datos y las incógnitas,

resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones,

validar las soluciones ajustándolas al contexto del problema.

En los ejemplos que vamos a desarrollar comprobarás que un mismo problema se puede

enfocar de distintas formas o plantear con una o dos incógnitas.

Operamos: Esta igualdad se

cumple siempre.

La ecuación tiene infinitas soluciones, es una identidad.

Resuelve:

Infinitas soluciones.

La ecuación es una identidad.

Una mañana soleada de

domingo Laura y Javier salen de

paseo en bicicleta desde Cáceres

y han quedado con unos amigos

de Plasencia, que está a 78 km,

para almorzar en el punto de

encuentro. La hora fijada para

salir son las 9 de la mañana.

Laura y Javier llevan una

velocidad de 21 km/h y sus

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Fuente propiaamigos pedalean a una velocidad

media de 15 km/h. ¿A qué hora se encontrarán? ¿Cuántos kilómetros

habrán recorrido cada uno de ellos?

Planteamiento A

Llamamos x a la distancia recorrida por Laura y Javier e y a la distancia

recorrida por los amigos de Plasencia entonces, la primera ecuación es

Si tenemos en cuenta que el tiempo que transcurre hasta que se

encuentran es el mismo para todos, podemos escribir

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones

obtenemos que son los kilómetros recorridos por Laura y

Javier en , luego han recorrido los amigos

de Plasencia en el mismo tiempo,

Planteamiento B

Llamamos al tiempo que tardan en encontrarse.

Laura y Javier habrán recorrido y sus amigos , por tanto,

, que es una sencilla ecuación de primer grado.

A partir de este dato se hallan las distancias que han recorrido cada

uno:

los de Cáceres y los de Plasencia

Planteamiento C

La velocidad a la que se aproximan los ciclistas es

.Como tienen que cubrir una distancia de 78 km, eso les llevará un

tiempo de

Practica con un problema similar

Otro domingo Laura y Javier quedan con otros amigos de Cáceres para

dar otro paseo en bici. Como saben que son más rápidos, les dicen

que salgan a las 9:30 y ellos lo harán media hora más tarde. Cuando

les alcanzan, en el kilómetro 20, ven que han llevado una velocidad

media de 24 km/h y, mirando el reloj, les preguntan "¿A qué velocidad

habéis ido?" Y los amigos responden: "Tenéis todos los datos para

averiguarlo vosotros solos".

Averigua qué tiempo les costó a Laura y Javier alcanzar a sus

amigos: 50 min

Averigua la velocidad que llevaban sus amigos:15 km/h

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En la conversación, salió el tema de las notas de matemáticas: en la

clase de Laura la media del último examen fue de 6,25 y en la de Javier

de 5,4. Comentaron también que la media de los dos grupos fue de

5,8. Los amigos preguntaron cuántos alumnos había en cada grupo ,

pero ellos sólo dijeron "Bueno, en total somos 51" ¿Podrías dar tú la

respuesta?

Completa los datos de la tabla y fíjate que el problema lo puedes

plantear con una o dos incógnitas:

Con una incógnita Con dos incógnitas

Nº

alumnosNotamedia

Totalpuntos

Nº

alumnosNotamedia

Totalpuntos

Laura x 6,25 Laura x 6,25

Javier 5,4 Javier y 5,4

Total 51 5,8 Total 51 5,8

Con una incógnita el planteamiento sería: + =

Y con dos incógnitas: + =

+ =

La solución es: El grupo de Laura tiene alumnos y el de Luis

Laura y Javier habían quedado en llevar frutos secos. Habían pensado en

almendras y avellanas, pero eran caras, salían a 3 € los 100 gr.

Decidieron hacer una mezcla con cacahuetes que estaban a 0,60

€/100gr y así rebajaban el precio a 2,20 €/100gr. Se gastaron 6,60 €.

¿Qué cantidad compraron de cada clase?

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2 La ecuación de segundo grado y la parábola

Empezaremos este capítulo, en el que haremos un repaso de las ecuaciones de 2º grado,

con un problema de cinemática en el que se estudia conjuntamente un movimiento

uniforme y un movimiento uniformemente acelerado.

Cantidad (100gr)

Precio (€/100gr)

Valor(€)

Almendras yavellanas

Cacahuetes

Mezcla

El planteamiento es:

( + ) =

+ =

La solución es: Compraron gr de almendras y avellanas y gr de

cacahuetes

Esta vez Javier y Laura están en el laboratorio de física observando el

movimiento de dos cuerpos, que llamaremos A y B, sobre una recta

horizontal. Los observadores están situados en la posición inicial

(distancia 0 e instante 0)

Toman los siguientes datos:

Cuerpo A Cuerpo B

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s) 0 5 15

e(cm) 20 29 36 41 44 45 44 41 36 29 20 e(cm) 95 45 -55

En unos mismos ejes coordenados, dibuja las gráficas que

corresponden a cada movimiento.

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De la misma forma que existe una clara conexión entre las ecuaciones de primer grado y

las funciones lineales, cuya gráfica es una recta, existe también entre las ecuaciones de

segundo grado y las funciones cuadráticas. Recuerda:

Fíjate en las características de cada una de las gráficas. ¿Qué tipo de

movimiento lleva cada uno de los cuerpos?

El cuerpo A lleva un movimiento uniformemente acelerado y su

gráfica describe una parábola.

El cuerpo B lleva un movimiento uniforme y su gráfica describe

una recta.

La ecuación del movimiento del cuerpo A es

y la del cuerpo B es

¿Dónde se cortan las dos gráficas?¿Qué significado tienen?

Se cortan en los puntos (5, 45) y (15, -55), es decir, a los 5

segundos y a los 15 segundos los dos cuerpos se encuentran,

están en la misma posición.

Una función cuadrática es una función polinómica de

segundo grado cuya expresión general es ,

siendo y números reales y .

La representación gráfica de una función cuadrática siempre es

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Una parábola es una curva simétrica respecto a una recta que se llama eje de simetría.

Este eje divide la gráfica en dos ramas que pueden ir

hacia arriba, si o

hacia abajo, si

En el primer caso la función presenta un mínimo y en el segundo caso un máximo en un

punto que se llama vértice de la parábola.

Al dibujar una parábola se pueden dar estas tres situaciones:

Es decir,

la parábola puede cortar al eje OX en dos puntos, en uno o en ninguno o, lo que

es lo mismo:

la ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna.

Recuerda:

una parábola.

Fórmula general para resolver una ecuación de segundo

grado:

donde se llama discriminante. Entonces:

Si , la ecuación tiene dos soluciones.

Si , la ecuación tiene una solución

doble.

Si , la ecuación no tiene solución.

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Mueve los deslizadores y observa cómo cambia la gráfica. Fíjate bien en

los valores de cada uno de los coeficientes.

Selecciona las frases que consideres ciertas.

Al variar el coeficiente cambia el punto de corte con eleje OY.

El coeficiente sólo afecta a los puntos de corte con el ejeOX

Si es negativo las ramas de la parábola van hacia abajo.

Al variar cambian los puntos de corte con los ejes y laposición del vértice.

El coeficiente señala el punto de corte con el eje OY.

Vamos a profundizar un poco más en el significado de las soluciones de

una ecuación de segundo grado.

Resuelve la ecuación

¿Qué significado podemos dar a estas soluciones?

Las soluciones son x = 1 y x = 4. Podemos decir que son los

puntos de corte de la parábola con el eje OX.

Escribe una función polinómica de 2º grado que corte al eje OX en los

puntos A(1, 0) y B(4, 0).

¿Existe más de una parábola que tenga como puntos de corte con el

eje OX los puntos A(1, 0) y B(4, 0)?

Una ecuación de 2º grado con soluciones x = 1 y x = 4 es

siendo cualquier número real, por tanto,

existen infinitas parábolas que corten al eje OX en esos puntos,

tantas como valores de .

Halla los puntos de corte con el eje OX de la parábola .

En unos mismos ejes coordenados, dibuja las parábolas

e

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En esos mismos ejes, dibuja las parábolas e

Todas las parábolas son de la

forma

, por tanto, todas cortan al eje

OX en y .

Recuerda y observa que el coeficiente es el que determina las

ramas de la parábola

La ecuación

Tiene dos soluciones x1 = 5 y x2 = 1Tiene una única solución doble, x = 3

Resuelve las siguientes ecuaciones y rellena los espacios en blanco:

La ecuación tiene solución

La ecuación tiene solución

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2.1 Posiciones relativas de rectas y parábolas. Sistemas

Posición relativa de una recta y una parábola.

La parábola ,

No corta al eje OX

Corta al eje OX en dos puntos x1 = -1 y x2 = 4

Para determinar una parábola son necesarios

Dos puntos

Tres puntos

El vértice y otro punto

Cuando en el apartado anterior hemos estudiado

el movimiento de los cuerpos A y B, hemos

utilizado las gráficas de las ecuaciones para

averiguar el instante en que los dos cuerpos se

encontraban.

Para dar una respuesta exacta debemos resolver

el sistema formado por las dos ecuaciones:

En este caso se trata de un sistema no lineal.

Resuélvelo por igualación.

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Hemos visto un caso en que una parábola y una recta se cortaban en dos puntos. A

continuación vamos a estudiar en qué otras posiciones pueden estar y cómo podemos

averiguarlo algebraicamente.

De los ejemplos anteriores deducimos que las posiciones relativas de recta y parábola

son:

Dibuja la parábola

Para ello, averigua el vértice, los puntos de corte con los ejes

coordenados y haz una pequeña tabla de valores.

Recuerda que el vértice de la parábola puedes hallarlo sabiendo

que si la ecuación de la función cuadrática es , el

vértice tiene coordenadas donde

Los puntos de corte con el eje OX son el resultado de la ecuación

En los mismos ejes coordenados, dibuja la recta

¿Cuántos puntos de corte tienen la recta y la parábola?

La recta y la parábola se cortan en un punto, son tangentes en el

punto de abscisa

Repite el ejercicio anterior con la

parábola y la recta

En este caso no hay puntos de

corte, la recta es exterior a la

parábola

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Secantes Tangentes Exteriores

Sabemos que no siempre gráficamente podemos saber con exactitud cuáles son los

puntos de corte. Para ello es necesario un método algebraico, tenemos que resolver el

sistema formado por las dos ecuaciones

El método que emplearemos será el de igualación o sustitución. Así obtendremos una

ecuación de segundo grado que podrá tener dos soluciones, una o ninguna y que darán

lugar, respectivamente, a las posiciones estudiadas anteriormente.

Resuelve algebraicamente los sistemas

y comprueba las soluciones con

las que has obtenido gráficamente.

El primer sistema tiene una única solución: x = 2, y = 2

El segundo sistema no tiene solución

Fíjate en este sistema: . En

realidad no es sólo un sistema, sino un

conjunto de sistemas con algo en común.

Tendremos tantos sistemas como valores

demos al parámetro .

Todos ellos representarán la intersección de

una parábola con una recta y serán

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Posición relativa de dos parábolas.

A continuación vamos resolver sistemas con dos ecuaciones de segundo grado y veremos

cuál es su interpretación geométrica.

Fotografía anónima bajoLicencia Flickr

secantes, tangentes o exteriores

dependiendo del valor de .

Resolvemos el sistema como hemos hecho

hasta ahora. Por igualación, obtendremos

Si el sistema tiene dos

soluciones parábola y recta secantes.

Si el sistema tiene

una solución parábola y recta tangentes.

Si el sistema no tiene

solución parábola y recta exteriores.

Halla razonadamente el valor de para el cual la recta es

tangente a la parábola

Es tangente para , y el punto de tangencia es (-1, -3).

Resuelve algebraicamente los sistemas:

a) b) c)

a) Dos soluciones: b) Una

solución c) No hay solución

Representa gráficamente los sistemas y comprueba las soluciones

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Podemos resumir nuestras conclusiones en:

Las parábolasson...

secantes tangentes exteriores

Situacióngráfica

Si lasparábolas ...

se cortan en 2puntos

se cortan en 1punto

se cortan en 1punto

no secortan

El sistema ...tiene 2soluciones

tiene 1solución

tiene 1solución

no tienesolución

Resuelve algebraicamente los sistemas:

a) b)

a. Una única solución: x = -2; y = 20

b. Dos soluciones: x1 = 2; y1 = 3 x2 = -2; y2 =3

¿Para qué valores de , las parábolas e

tienen un único punto en común?

El discriminante es , por tanto, para y para

las parábolas serán tangentes, con puntos de tangencia

(1, 3) y (-1, -1), respectivamente.

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2.2 Otras ecuaciones

Hay problemas que se resuelven planteando ecuaciones que no son ni de primer ni de

segundo grado pero que, haciendo las transformaciones adecuadas, podemos resolverlos

con las herramientas que ya conocemos.

Ejemplo de ecuación bicuadrada

De un recinto rectangular sabemos que tiene una superficie de 48m2 y

que sus diagonales miden 10 m. Hallaremos sus lados.

Planteamos el sistema

Sustituimos en la segunda ecuación:

Si te fijas, esta ecuación tiene tres términos, el grado del primero es el

doble del segundo y el término independiente: tiene la misma

estructura que una ecuación de segundo grado. Observa:

Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo: , entonces

es una ecuación de segundo grado y sus soluciones son:

Hallamos los valores de :

Si

Halla tú el resto de las soluciones. ¿Son todas válidas en el contexto

del problema?

Si

Como las incógnitas se refieren a una medida, las soluciones

negativas no tienen sentido.

Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b)

a) b) No tiene solución

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Una ecuación bicuadrada es una ecuación de 4º grado a la

que le faltan los términos de grados 3 y 1. Su expresión

algebraica es:

Para resolverlas se suele hacer un cambio de variable

Completa los espacios en blanco

Una ecuación bicuadrada puede tener un máximo de soluciones.

¿Puede tener tres soluciones?:

Si después de hacer el cambio de variable,

la ecuación de segundo grado tiene una solución negativa y

una positiva, la ecuación bicuadrada tiene soluciones.

la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones

negativas, la ecuación bicuadrada tiene solución.

Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en que la

incógnita aparece en alguno de sus términos bajo el signo

radical.

Desarrollaremos un par de ejemplos para ver cuáles son los pasos a

seguir y las principales dificultades que nos podemos encontrar.

1. Resolvamos

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Fuente propia

La primera idea que podemos tener es

elevar al cuadrado los dos miembros de

la ecuación para eliminar esa raíz tan

molesta, pero ¡cuidado!, si lo hacemos

sin despejar el término irracional mira lo

que ocurre:

¡No hemos conseguido eliminar la raíz!

Por ello,

1º Aislamos el radical en uno de los miembros de la ecuación:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3º Operamos y resolvemos la ecuación obtenida:

Ahora bien, si A=B, entonces A2=B2. Esto es evidente, pero su

recíproco no es cierto, es decir: si A2=B2 no siempre A=B, ya que

podría ser también A=-B.

Por tanto, en el 2º paso hemos podido generar soluciones falsas:

4º Comprobamos las soluciones en la ecuación original:

Para solución válida.

Para

solución falsa

2. Resolveremos ahora una ecuación con dos radicales:

1º Aislamos uno de los radicales:


3º Aislamos el otro radical:


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2.3 Resolución de problemas

En este apartado vamos a abordar unos cuantos problemas en los que aplicaremos las

técnicas de resolución de ecuaciones que hemos aprendido a lo largo del capítulo.

Recuerda que debes

leer con atención el enunciado y enterarte bien de:

qué datos se dan,

qué magnitudes de valor desconocido (incógnitas) se mencionan,

qué relaciones deben cumplir unas y otras.

5º Operamos y resolvemos la ecuación:

.

6º Comprobamos las soluciones: Para ¡es

solución!

Para ¡no es solución!

Recuerda:

Si al resolver alguna ecuación necesitamos pasar de la igualdad

A(x) = B(x) a la igualdad [A(x)]2 = [B(x)]2 , entonces

debemos comprobar en la primera las soluciones que se

obtengan para esta última.

Resuelve: a) b)

a) Una solución: x = 2 b) No tiene solución

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Fuente propia

El grupo de Javier y Laura están

planeando un viaje a Francia. El

autobús les cuesta 3000 €. Hay

cinco compañeros, que no se

han apuntado todavía, a los que

tratan de convencer porque de

esta manera se ahorrarían 30 €

cada uno.

Las incógnitas son:

x: número de alumnos

apuntados al viaje

y: precio del viaje por alumno

Planteamiento:

Son ecuaciones de segundo grado, por tanto se trata de un sistema

no lineal que tendremos que resolver despejando de la primera

ecuación una de las incógnitas y sustituyendo en la segunda.

La única solución válida, en el contexto del problema, es

alumnos están apuntados al viaje y les sale por un precio de

€ a cada uno.

Si convencen a cinco compañeros más pagarían 120 € cada uno.

Practica con este problema:

El fin de semana pasado Laura y Javier estuvieron invitados en casa de

unos amigos de Borja y el domingo salieron con las bicis hacia

Montánchez, en la provincia de Cáceres. La distancia no era mucha, 45

km, pero prácticamente todo el camino cuesta arriba. El premio fue que

la vuelta fue todo cuesta abajo, así pudieron ir a una velocidad 10Km/h

superior a la de la ida y tardaron 1h12min menos.

Calcula las velocidades y el tiempo empleado tanto a la ida como a la

vuelta.

Las incógnitas son la velocidad media de ida y el tiempo

empleado .

Deberás pasar 1h12min a horas:

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El planteamiento: Operando como en el

ejemplo anterior se obtiene

La única solución válida es .

A la ida fueron a 15 km/h y les costó llegar 3 h. Volvieron a una

velocidad de 25 km/h y les costó 1h48min.

Vamos a averiguar las dimensiones de una hoja de papel rectangular

sabiendo que si dejamos unos márgenes laterales de 2,5 cm y unos

márgenes inferior y superior de 1,5 cm obtenemos 432 cm2, la misma

superficie escrita que si dejamos unos márgenes laterales de 1,5 cm y

los márgenes superior e inferior son de 3cm.

Planteamos el sistema:

Desarrollamos cada una de

las ecuaciones:

las restamos y despejamos

Ahora sustituimos:

Resuelve la ecuación y di qué dimensiones tiene la hoja de papel.

La única solución válida es de ancho. Entonces,

.

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Una autopista pasa muy

cerca dos poblaciones pero

todavía no se ha construido

el acceso a ella.

Queremos encontrar un

punto P de acceso común

de tal manera que las

distancias de dichas

poblaciones al punto de

acceso sea la misma.

Los datos se muestran en el

dibujo.

Si llamamos a uno de los catetos de los triángulos rectángulos y

aplicamos el teorema de Pitágoras:

Aplica el método de igualación y resuelve el sistema.

La distancia de ambas poblaciones al punto de acceso P es,

aproximadamente, 7,211 km.

¿Cómo debe doblarse en ángulo recto un tubo de acero de 23 cm de

longitud, de modo que sus extremos queden a 17 cm de distancia?

En dos trozos de 8 y 15 cm.

Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios

que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo

largo de este tema.

Ejercicios de consolidación

Soluciones

13/09/12 eXe


tema 3: ecuaciones de primer y segundo grado - portada alumnos/dpto... · please install java 1.4...

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