Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva1ndiceLa derivada y la recta tangenteDefinicin de derivadaDerivadas lateralesDerivabilidad y continuidadRitmos de cambioReglas bsicas de derivacinDerivadas de orden superiorLa regla de la cadenaExtremos de una funcin

Nmeros crticosEstrategia para localizar extremosTeorema de RolleTeorema del Valor MedioRegla de Bernouilli-HpitalFunciones crecientes y decrecientesCriterio de crecimiento y decrecimientoEl criterio de la primera derivadaAplicacin del criterio de la 1 derivadaConcavidad y convexidadCriterio de concavidadAplicacin del criterio de concavidadPuntos de inflexinEl criterio de la 2 derivadaAplicacin del criterio de la 2 derivadaProblemas de aplicacin de mximos y mnimosAnlisis de grficas

La Derivada y el problema de la recta tangenteMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva2Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesRecta secanteRecta tangente(c ,f(c))

Definicin de derivadaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva3Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesLa derivada de f en x viene dada por

supuesto que exista ese lmiteDefinicin Una funcin es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo

Derivadas lateralesMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva4Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesUna funcin es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y adems existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b

Derivabilidad y continuidadMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva5Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

Ritmos de cambioMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva6Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesLa derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra Ritmos de crecimiento de poblaciones Ritmos de produccinFlujo de un lquido Velocidad y aceleracin

Reglas bsicas de derivacinMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva7Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesRegla de la constanteRegla de las potenciasRegla del mltiplo constanteReglas de suma y diferenciaDerivadas de las funciones seno y cosenoRegla del productoRegla del cocienteDerivadas de funciones trigonomtricas

Derivadas de orden superiorMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva8Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesEjemploa (t) es la segunda derivada de s (t)

La Regla de la cadena y sus aplicacionesMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva9Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones Regla de la cadenaSi y = f(u) es una funcin derivabe de u, y si adems u=g(x) es una funcin derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una funcin derivable, con

Extremos de una funcinMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva10Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

-------------1 2 3135mximo(2,5)f continua en [-1,2]-2 -1Sea f definida en un intervalo I que contiene a c 1. f(c) es el mnimo de f en I, si f(c) f(x) para todo x en I. 2. f(c) es el mximo de f en I, si f(c) f(x) para todo x en I.El mximo y mnimo de una funcion en un intervalo son los valores extremos

Nmeros crticosMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva11Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesSea f definida en c. Si f(c)=0 o si f no est definida en c, se dice que c es un nmero crtico de f. cf(c)=0 Tangente horizontalcc es un nmero crtico de fLOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NMEROS CRTICOS:Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en x=c, c es un nmero crtico de ff(c) no est definido

Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerradoMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva12Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones1. Hallar los nmeros crticos de f en [a,b] 2. Evaluar f en cada nmero crtico de (a,b)3. Evaluar f en a y en b4. El ms grande de esos valores es el mximo. El ms pequeo es el mnimo.

Para hallar los extremos relativos de una funcin continua f en un intervalo cerrado [a,b] :

Teorema de RolleMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva13Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesa c bMximo relativoEl teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto entre a y b en el que la grfica de f tiene tangente horizontala c b Mximo relativo f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) f es continua en [a,b] Si se suprime la hiptesis de dervabilidad f tiene un nmero crtico en (a,b), pero quiz no tenga en el tangente horizontal

Teorema del Valor MedioMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva14Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesRecta tangenteRecta secantea c b(b, f(b))(a, f(a))Pendiente de la recta tangente = f(c)

Regla de Bernouilli- HpitalMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva15Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesSean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c.Si g no se anula en ningn punto del entorno y las funciones fy gno se anulan simultneamente en ningn punto,

en caso de existir tambin existey ambos coinciden:

Funciones crecientes y decrecientesMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva16Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

Criterio de crecimiento y decrecimientoMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva17Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

El criterio de la primera derivadaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva18Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

Aplicacin del criterio de la primera derivadaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva19Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesEjemploHallar los extremos relativos de

Concavidad y ConvexidadMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva20Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesSea f derivable en un intervalo abierto I. La grfica de f es cncava en I si fes creciente en I y convexa en I si fes decreciente en I.cncava f crecienteLa grfica de f queda por encima de su recta tangenteconvexa f decrecienteLa grfica de f queda por debajo de su recta tangente

Criterio de concavidadMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva21Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesSea f una funcin cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.1. Si f(x) 0 para todo x en I, la grfica de f es cncava en I2. Si f(x) 0 para todo x en I, la grfica de f es convexa en I

Aplicacin del criterio de concavidadMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva22Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesEjemploHallar los intervalos abiertos para los que la grfica es cncava o convexa

Puntos de InflexinMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva23Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funciones

El criterio de la segunda derivadaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva24Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesSea f una funcin tal que f(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. f(c) 0, entonces f(c) es un mnimo relativo 2. f(c) 0, entonces f(c) es un mximo relativoSi f(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivadacncava f(c) = 0, f(c) 0cconvexa c f(c) es mnimof(c) = 0, f(c) 0 f(c) es mximo

Aplicacin del criterio de la segunda derivadaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva25Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesEjemploHallar los extremos relativos de

Problemas de aplicacin de mximos y mnimosMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva26Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesUn ganadero desea trasladar al matadero su produccin de cerdos.El transportista cobra 1,20 por cabeza si traslada en cada camin 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada ms de 20 le descuentan 5 cntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el nmero de cerdos que el transportista propondr trasladar al ganadero para obtener el mximo beneficio2. Escribir una ecuacin primaria para la magnitud que debe ser optimizadaB(x)= -10 0 , x=2 mximo Se transportarn 22 cerdos

Anlisis de GrficasMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva27Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesConceptos estudiados tiles al analizar grficas de funcionesDominio y recorridoInterseccin con los ejesSimetrasContinuidadAsntotasDerivabilidadExtremos relativosConcavidad y convexidadPuntos de inflexin

BibliografaMatemticas 1 Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva28Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representacin grfica de funcionesClculo y Geometra Analtica

Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6 edicin), Ed. McGraw-HillEjercicios y problemasProblemas de Matemticas para ingeniera tcnica agrcola y veterinaria

Alejandre, Allueva,Gonzlez. Tomo 1, 2000Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada n 2)