Resistencia de Materiales

Resistencia de Materiales

Tema 5 - Deflexión en Vigas

Tema 5

Deflexión en vigas

Ecuación diferencial de la elástica

Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

IE

xM

)(1

(5.1.1)

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:

2

32

2

2

1

1

dxdy

dxyd

2

2

dx

yd

dx

dy Corresponde a la primera derivada de la función

Corresponde a la segunda derivada de la función

(5.1.2)

Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

IE

xM

dx

yd

)(12

2

(5.1.3)

Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Método de Doble Integración

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 – Método de Doble Integración

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

IE

xM

dx

yd

)(2

2

1

0

)( CdxxMdx

dyIE

x

(5.1.3)

(5.2.1)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

)(tgdx

dy

1

0

)( CdxxMdx

dyIE

x

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

(5.2.1)

(5.2.2)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

x x

CdxCdxxMxyIE0

2

0

1)()( (5.2.3)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :

x = LA → y = 0

x = LA → q = 0

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración