Tema 2: Eleccin bajo incertidumbre(Ref: Captulo 12 Varian)

Autor: Joel SandonsVersin: 1.2.0 (Javier Lpez)

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Versin: 1.2.0 (Javier Lpez)Departamento de Fundamentos del Anlisis Econmico

Universidad de Alicante

Microeconoma Intermedia

Introduccin La incertidumbre forma parte de la vida, existe

incertidumbre sobre los precios futuros de losbienes, sobre el resultado de las inversionesfinancieras, sobre las decisiones que otrosagentes econmicos tomarn en el futuro, etc.

Pero existen instituciones financieras como los

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Pero existen instituciones financieras como losseguros o la bolsa de valores que permitenreducir, en parte al menos, dichos riesgos.

En este captulo estudiaremos la conducta delindividuo cuando se enfrenta a decisiones quecomportan incertidumbre.

2.1 El consumo contingente En primer lugar, qu es lo que elige el

consumidor en un contexto con incertidumbre? Al consumidor le interesa conocer la distribucin

de probabilidades de obtener cestas deconsumo diferentes. Cuando elegimos cuntoseguro de automvil contratar o cunto invertir

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seguro de automvil contratar o cunto invertiren bolsa estamos eligiendo de hecho unconjunto de diferentes cestas de consumo condiferentes probabilidades.

Para simplificar analizaremos solo juegos cuyosresultados son monetarios. Adems vamos asuponer que solo hay dos resultados posibles.

2.1 El consumo contingente Ejemplo del seguro. Un consumidor tiene unos activos valorados en

35000 euros, pero existe una probabilidadp=0.01 de que haya un accidente por el quetiene una prdida de 10000 euros en el valor dedichos activos.

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Entonces la distribucin de probabilidades a laque se enfrenta este individuo es:con un 1% su riqueza ser de 25000 euroscon un 99% su riqueza ser de 35000 euros

La compra de un seguro permite al consumidoralterar dicha distribucin de probabilidades de lariqueza.

2.1 El consumo contingente La pliza de seguro que contrata el consumidor

por la que recibir 1 euro si ocurre la prdida acambio de una prima de 0.01 euros.

Por lo tanto si decidiera comprar una pliza de10000 euros le costara una prima de 100 euros.En este caso, tendra una probabilidad 0.99 de

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En este caso, tendra una probabilidad 0.99 detener 34900 euros (35000 de activos 100 deprima) y una probabilidad 0.01 de tener 34900euros (35000 de activos 10000 de prdida +10000 del seguro 100 de prima). Es decir, queen este caso, el individuo tendra 34900 euroscon probabilidad 1, o sea, estara aseguradocompletamente contra la prdida.

2.1 El consumo contingente En general, si este individuo compra K euros de

seguro y ha de pagar una prima K euros, seenfrenta al siguiente juego:

Obtener 25000 + K - K con probabilidad 0.01 Obtener 35000 - K con probabilidad 0.99 Qu tipo de seguro elegir?

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Qu tipo de seguro elegir? Depende de sus preferencias por el riesgo y por

los planes de consumo contingente, queespecifican lo que consumira en cada uno delos posibles estados de la naturaleza.

Notacin adicional (lotera):)99.0,35000;01.0,25000( KKKL +=

2.1 El consumo contingente Si pensamos que los consumidores tienen

preferencias por los distintos planes de consumocontingente y que lo que el consumidor elige dehecho son planes de consumo contingente eidentificamos dichos planes con cestas ordinariasde consumo, entonces podemos aplicar

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de consumo, entonces podemos aplicardirectamente todo lo que ya sabemos sobre la Tde eleccin del consumidor a este caso particularde eleccin bajo incertidumbre.

Vemoslo con el ejemplo del seguro y un grfico.KCKKC bm =+= 35000,25000

2.1 El consumo contingenteAnlisis grfico de la eleccin ptima de un seguro.

Cb

35.000Dotacin

Pte RP =

1

8

K K000.25 ** + Cm25.000

*K000.35 Eleccin ptima: RMS =

1

2.2 Funciones de utilidad y probabilidades Las preferencias de los consumidores por niveles

de consumo (o rentas) en diferentes estados dela naturaleza deben depender de lasprobabilidades de que ocurran los diferentesestados.

Por eso, si representan los niveles de21 y cc

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Por eso, si representan los niveles deconsumo en los estados 1 y 2 y lasprobabilidades de que ocurren dichos estados,podemos expresar la funcin de utilidad delconsumo contingente como

Notacin adicional: donde

21 y cc21 y pipi

). ,,,( 2121 pipiccu)(Lu ).,;,( 2211 pipi ccL =

2.2 Funciones de utilidad y probabilidades

Ejemplos de funciones de utilidad Si los consumos en cada estado son sustitutivos

perfectos para el consumidor la funcin deutilidad sera:En condiciones de incertidumbre, esta funcin

22112121 ),,,( ccccu pipipipi +=

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mide el valor esperado del consumo, o elconsumo medio.

Otro ejemplo sera el caso de preferencias Cobb-Douglas:O tomando logaritmos:

21212121 ),,,( pipipipi ccccu =

22112121 lnln),,,( ccccu pipipipi +=

2.3 La utilidad esperada Definicin: una funcin de utilidad cumple la

propiedad de la utilidad esperada o es unafuncin de utilidad esperada si se puede escribircomo una media ponderada de los valores de lautilidad del consumo en cada estado de lanaturaleza, donde las ponderaciones son las

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naturaleza, donde las ponderaciones son lasprobabilidades de los distintos estados, es decir,

Ya vimos antes dos ejemplos de funcin deutilidad esperada, el caso de sustitutos perfectos,donde v(c)=c, y el de Cobb-Douglas enlogaritmos, donde v(c)=ln(c).

)()(),,,( 22112121 cvcvccu pipipipi +=

2.3 La utilidad esperada La funcin de utilidad

se llama, por tanto, funcin de utilidad esperadao tambin funcin de utilidad Von-Neumann andMorgenstern.

)()(),,,( 22112121 cvcvccu pipipipi +=

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Morgenstern.Por eso si decimos que las preferencias de unconsumidor pueden representarse mediante unafuncin de utilidad esperada queremos decir quepodemos expresarlas a travs de una funcinque tenga la forma general de la funcinanterior.

2.4 Por qu es razonable la utilidad esperada. El hecho de que los resultados de una variable aleatoria

sean bienes que se consumen en estados diferentes,quiere decir que finalmente solamente se va a produciruno de esos resultados. O se quema nuestra casa o nose quema, o hace sol o no. Por lo tanto, solo se realizaruno de los componentes de la cesta de consumocontingente.

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contingente. Por lo tanto, en los problemas de eleccin bajo

incertidumbre hay una independencia natural entre losdiferentes resultados porque han de consumirse porseparado, es decir, en diferentes estados de lanaturaleza. A este supuesto se le llama supuesto de laindependencia e implica (junto con otros axiomas) quela funcin de utilidad ha de ser aditiva en los diferentesresultados posibles.

2.4 Por qu es razonable la utilidad esperada.

Es decir, para el plan de consumo contingente

el supuesto de la independencia implica que lafuncin de utilidad ha de tener la forma:

),;,;,( 332211 pipipi cccL =

)()()()( 332211 cucucuLU pipipi ++=

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Esta funcin cumple la propiedad de que la RMSentre dos consumos es independiente de lacantidad que haya del tercero, ya que porejemplo:

)()()()( 332211 cucucuLU pipipi ++=

222

111

21

112,1 /)(

/)(/...)(/...)(

ccu

ccu

ccUccURMS

=

=

pi

pi

2.5 La aversin al riesgo Pensemos en el siguiente juego arriesgado: Un consumidor tiene 10 euros de renta y

puede participar en un juego arriesgado en elque puede ganar 5 euros con probabilidad1/2 o puede perderlos con probabilidad 1/2.

Por lo tanto, tiene p= 1/2 de acabar con una

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Por lo tanto, tiene p= 1/2 de acabar con unariqueza de 15 euros y p=1-1/2 de acabar conuna riqueza de 5 euros.

Notacin adicional: El valor esperado de su riqueza, si participa

en el juego arriesgado, es:VE(L)=1/2 (15) +1/2 (5)=10.

).5.0,5;5.0,15(=L

2.5 La aversin al riesgo

La pregunta que queremos responder es lasiguiente: qu prefiere este consumidor,una renta de 10 euros sin riesgo o participaren este juego arriesgado cuyo valor esperadoes de 10 euros? Para ello tenemos queconocer la funcin de utilidad de la renta del

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conocer la funcin de utilidad de la renta delconsumidor u(m).

La utilidad esperada del juego es entonces:UE(L)=1/2 u(15) + 1/2 u(5).Luego hay que comparar u(VE(L)) y la UE(L),es decir, u(1/2(15)+1/2(5))=u(10) conUE(L)=1/2 u(15) + 1/2 u(5).

2.5 La aversin al riesgo

Un individuo es averso al riesgo si prefieresiempre el valor esperado de un plan deconsumo contingente al propio plan, es decirsi

En general es equivalente a que su utilidad.)),(()( cteLLVEULU

191919

marginal es creciente (funcin de utilidadestrictamente convexa: ) cuandose evala en renta constante.

El individuo pagara por consumir L, en lugarde VE(L).

ccU > ,0)(''

2.5 Aversin al riesgo

u(10)=12

u(15)=18

0.5u(5)+0.5u(15) =14

UtilidadU(renta)

20

Riqueza5 15

u(5)=10

10En este ejemplo, la utilidad esperada del juego (14) es mayor que la utilidaddel valor esperado del juego (12), por lo que el individuo es amante del riesgo.La razn es que la f. de utilidad es convexa, o dicho de otra forma, la utilidadmarginal de la renta es creciente.

2.5 La aversin al riesgo

Un individuo es neutral al riesgo si siemprees indiferente entre un plan de consumocontingente y el valor esperado del propioplan, es decir si

En general es equivalente a que su utilidadLLVEULU = )),(()(

21212121

En general es equivalente a que su utilidadmarginal es constante (funcin de utilidadlineal: ) cuando se evala enrenta constante.

ccU = ,0)(''

2.5 Aversin al riesgo

u(10)=14=UE=14u(15)=18

U(renta)Utilidad

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Riqueza5 15

u(5)=100.5u(5)+0.5u(15)

10En este ejemplo, la utilidad esperada del juego (14) es igual que la utilidaddel valor esperado del juego (14), por lo que el individuo es neutral al riesgo.La razn es que la f. de utilidad es lineal, o dicho de otra forma, la utilidadmarginal de la renta es constante.

2.5 Aversin al riesgo Ejemplo: la demanda de un seguro de un averso al riesgo Riqueza inicial 35000 euros. Con prob. sufre una prdida de 10000 euros. Puede comprar K euros de seguro si paga una prima de K. Sean las probabilidades de sufrir la prdida y

no sufrirla respectivamente.)-(1y pipi

pi

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no sufrirla respectivamente. Llamemos 1 al estado de la naturaleza no accidente. En

ese estado de la naturaleza, la riqueza del individuo ser

y en caso de accidente.La utilidad esperada sera:

Kc = 350001KKc += 250002

)( )( )1( 21 cucuUE pipi +=

2.5 Aversin al riesgo

La eleccin ptima del seguro ha de satisfacer

Qu ocurre desde el punto de vista de la compaa de seguros?

Su beneficio esperado es P = K - piK - (1 - pi)0 = K - piK.

.

1

=RMS

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P = K - piK - (1 - pi)0 = K - piK. Supongamos que el mercado de seguros es muy

competitivo (por ejemplo, hay libre entrada), de modo que la compaa cobra una prima justa, es decir, que en promedio ni gana ni pierde. Formalmente, P = K - piK = 0, lo que implica que = pi.

2.5 Aversin al riesgo

Sustituyendo en la condicin de optimalidad:

Y simplificando las probabilidades nos queda la condicin:

)1(/)()1(/)(

11

22

pi

pi

pi

pi

=

ccu

ccu

25

condicin:

Esta condicin nos dice que la utilidad marginal de un euro adicional de renta si ocurre la prdida ha de ser igual a la utilidad marginal si no ocurre la prdida, lo que ocurre solo si .

2

2

1

1 )()(c

cu

c

cu

=

21 cc =

2.5 Aversin al riesgo

Sustituyendo por las expresiones para los niveles de consumo en cada estado tenemos:

Es decir, K*=10000 euros, lo que implica que un

KKK += 2500035000

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Es decir, K*=10000 euros, lo que implica que unconsumidor averso al riesgo que se enfrenta a laposibilidad de asegurarse a una prima justa, seasegurar completamente contra la prdida paramaximizar su utilidad esperada.

2.5 Aversin al riesgo Qu ocurrira si la prima no es justa, o sea, si los

beneficios esperados de la compaa de segurosson positivos?

P = K - piK - (1 - pi)0 = ( - pi)K >0, o sea que > pi. Esto implica

)(cUMpi.

11 pipi

>

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La eleccin ptima requiere:

Como entonces

O sea, Un averso al riesgo que se enfrentaa un seguro de prima no justa se asegurarmenos que completamente.

).()( 12 cUMcUM >

.12 cc

2.6 Diversificacin

Dos empresas, A (gafas de sol) y B (paraguas).Las acciones de ambas empresas cuestan 10euros.

Con prob. 1/2 llover mucho este verano y enese caso el valor de las acciones de B seduplicar (20 euros)y el de las acciones de A se

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duplicar (20 euros)y el de las acciones de A sedividir por dos (5 euros).

Con prob. 1/2 har mucho sol este verano y enese caso el valor de las acciones de B sedividir por dos (5 euros)y el de las acciones deA se duplicar (20 euros).

Si un consumidor averso al riesgo tiene 10euros para invertir, cmo habr de hacerlo?

2.6 Diversificacin

Si invertimos todo en la empresa de gafas de sol, el valor esperado de nuestra inversin ser VE=1/2(20)+1/2(5)= 12.5 euros.

Si invertimos todo en la empresa de paraguas, el valor esperado de nuestra inversin ser VE=1/2(5)+1/2(20)= 12.5 euros.

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VE=1/2(5)+1/2(20)= 12.5 euros. En ambos casos, soportamos un riesgo alto

(prob.1/2) de perder la mitad de nuestra inversin.

Sin embargo, suponemos que diversificamos riesgo, invirtiendo 5 euros en cada empresa.

2.6 Diversificacin

En ese caso, el valor esperado de nuestrainversin ser:

VE=1/2(10+2.5)+1/2(2.5+10)=12.5 O sea que el valor esperado de la inversin no

cambia, sigue siendo 12.5, pero ahora no hay

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riesgo alguno, ya que llueva o haga sol, elconsumidor va a obtener 12.5 euros.

En la medida en la que las oscilaciones deprecios de distintos activos no estnperfectamente correlacionadas, ladiversificacin reportar algunas ventajas.