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MATEMÁTICAS Representación Gráfica de Funciones •1

PREPARADORES DE OPOSICIONES PARA LA ENSEÑANZA C/ Génova, 7 – 2º • 28004 Madrid Tel.: 91 308 00 32

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TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la

representación gráfica de funciones.

Autor: Antonio Pizarro Sánchez Esquema: 1. Introducción. 2. Dominio de definición y recorrido. 3. Cortes con los ejes. 4. Periodicidad. 5. Simetrías. 6. Asíntotas. 7. Crecimiento y decrecimiento. 8. Extremos relativos y absolutos. 9. Convexidad y concavidad.

10. Puntos de inflexión.

11. Referencias bibliográficas y documentales. 1. INTRODUCCIÓN. En todo lo que sigue de tema, estudiaremos globalmente las funciones reales de variable real expresadas en forma explícita, por ser esta la forma más usual de expresar una función y la usada en la E.S.O. y Bachillerato. Dada la función f: )( fDom IR, su representación gráfica es el compendio del estudio de los siguientes epígrafes que pasamos a analizar. 2. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y RECORRIDO. El dominio de definición o campo de existencia de una función f, y se suele representar por Dom (f) o por D, es el conjunto de los números



reales x para los existe f(x). Formalmente: { })()( xfIRxfDom ∃∈= . Ejemplos:

1. La función 29 xy −= tiene dominio de definición el intervalo [ ]3,3− , es decir, f está definida en ese intervalo.

2. Las funciones exponenciales, circulares, y n x (n impar) están definidas en todo IR.

3. n x (n par) están definidas en [ ]+∞,0 . 4. La función ( )4log −= xy está definida si y sólo si 04 >−x , es decir,

su dominio es ( )+∞= ,4D . Se llama recorrido de f o imagen de f, y se denota por Im(f), al conjunto de los números reales y para los que existe IRx∈ con y=f(x).

{ })(:)()Im( fDomxxff ∈= . 3. CORTES CON LOS EJES. Con el eje OX: Los puntos de corte de la función y=f(x) con el eje OX, son los puntos ( )0,0x donde los ( )fDomx ∈0 y se obtienen resolviendo la ecuación 0)( =xf . Con el eje OY: Es el punto (0,f(0)), si )(0 fDom∈ . 4. PERIODICIDAD. Se dice que una función f: Dom(f) IR es periódica si

0, >∈∃ hIRh , tal que: ( ) )(xfhxf =+ Domfx∈∀ , es decir, cuando su gráfica se repite cada tramo de longitud h. Se define el período T de una función f como el mínimo valor h con la propiedad anterior. Observación: Es claro que si h verifica ( ) )(xfhxf =+ Domfx∈∀ , entonces ( ) ( ) Zkxfkhxf ∈∀=+ .

Ejemplo: 1) Sen x, cos x tiene período π2 . 2) Tg x tiene período π . Nota: Si una función es periódica basta estudiar un tramo (un período)



de su gráfica, para después repetirla. 5. SIMETRÍAS. Si una función f verifica ( ) ( ) Domfxxfxf ∈∀−= , entonces la gráfica de f es simétrica respecto al eje vertical OY, pues toma los mismos valores a ambos lados del eje OY. Ejemplo: y = cos x es una función par. Si una función f verifica ( ) ( )xfxf −=− Domfx∈∀ ,entonces la gráfica de f es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: y = sen x es una función impar IRx∈∀ . Nota: La simetría, al igual que la periodicidad, permiten obtener la gráfica de la función sin más que analizarla en un subconjunto de Dom(f). 6. ASÍNTOTAS. Se llaman asíntotas a las rectas cuya distancia a la curva tiende a cero cuando una de las coordenadas del punto de la gráfica P=(x,f(x)) tiende a infinito. Su interpretación geométrica es que son rectas que se “pegan a la curva en el infinito”. TIPOS DE ASÍNTOTAS: 1º) Asíntota vertical: La recta x=a es una asíntota vertical de la función f(x) si al menos alguno de los límites laterales de f en a ( )xf

ax −→lim o ( )xf

ax +→lim es ∞+ ó ∞− .

La posición de la gráfica respecto a la asíntota vertical x=a queda determinada calculando los límites: ( )xf

ax −→lim y ( )xf

ax +→lim . Si se obtiene ∞+ ,

la rama de la gráfica va hacia arriba, y cuando obtengamos ∞− , la rama de la gráfica va hacia abajo. 2º) Horizontal: La recta y= b es una asíntota horizontal de la función f(x) si bxf

x=

+∞→)(lim ó



bxfx

=−∞→

)(lim . La posición de la gráfica respecto a la asíntota oblicua y=b, queda determinada calculando los límites: ( )[ ]bxf

x−

+∞→lim y ( )[ ]bxf

x−

+∞→lim .

Si se obtiene +0 , la gráfica está por encima de la asíntota, y cuando obtengamos −0 , la gráfica está por debajo de la asíntota. 3º) Oblicuas: La recta y= mx+n ( )0≠m es asíntota oblicua de la función f(x) si

( ) ( )[ ] 0lim =+−+∞→

nmxxfx

ó ( ) ( )[ ] 0lim =+−−∞→

nmxxfx

. La determinación práctica de m y n, se calcula del siguiente modo:

( )xxfm

x +∞→= lim y ( )[ ]mxxfn

x−=

+∞→lim , o bien con límites en el ∞− , pero en

cualquier caso debe obtenerse IRnm ∈, , 0≠m . La posición de la gráfica respecto a la asíntota oblicua y=mx+n, 0≠m , queda determinada calculando los límites:

( ) ( )[ ]nmxxfx

+−+∞→

lim y ( ) ( )[ ]nmxxfx

+−+∞→

lim . Si se obtiene +0 , la gráfica está por encima de la asíntota, y cuando obtengamos −0 , la gráfica está por debajo de la asíntota. Observaciones:

La asíntota horizontal es una asíntota oblicua cuando m=0. Es evidente, por definición de función, que si hay asíntota horizontal

a un “lado” (cuando ∞→x ó −∞→x ) no puede tener asíntota oblicua a ese mismo lado, pero si al otro.

En los siguientes casos se suele decir que f tiene una “rama parabólica”:

o Si ∞=m , como por ejemplo con la función ( ) xexf = , la función crece más deprisa que cualquier recta.

o Si 0=m y ∞=n , como por ejemplo con la función ( ) xxf log= , la función crece más despacio que cualquier recta con pendiente positiva.

7. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. Definiciones: Crecimiento en un intervalo:



Se dice que una función f es creciente en un intervalo )( fDomI ⊂ cuando para todo par de puntos Iyx ∈, con yx < , se tiene que ( ) ( )yfxf ≤ . La función f es estrictamente creciente en I si para todo par de puntos

Iyx ∈, con yx < , se tiene que ( ) ( )yfxf < . Decrecimiento en un intervalo:

Se dice que una función f es decreciente en un intervalo )( fDomI ⊂ cuando para todo par de puntos Iyx ∈, con yx < , se tiene que ( ) ( )yfxf ≥ . La función f es estrictamente creciente en I si para todo par de puntos

Iyx ∈, con yx < , se tiene que ( ) ( )yfxf > . Creciente Estrictamente creciente Estrict. decreciente Funciones monótonas:

Una función f se denomina monótona en I si es creciente en I o decreciente en I, y se dice estrictamente monótona si f es estrictamente creciente en I o estrictamente decreciente en I. Una función f se dice que es monótona a trozos en un intervalo I si su gráfica está formada por un número finito de trozos monótonos. Es decir, f es monótona a trozos en [ ]ba, si existe una partición P de [ ]ba, tal que f es monótona en cada uno de los subintervalos abiertos de P.

X2 X6 X0 X1 X3 X4 X5 X7

Función monótona a trozos Observación: Los conceptos de crecimiento y decrecimiento se definen sin necesidad de atender a la derivabilidad de la función; pero si la función es derivable, las derivadas nos suministran mucha información sobre los conceptos anteriores, como pone de manifiesto el siguiente resultado.



Teorema: Sea f una función derivable en un intervalo I, entonces:

a) f es creciente en I si y sólo si 0)´( ≥xf Ix∈∀ . b) f es decreciente en I si y sólo si 0)´( ≤xf Ix∈∀ . c) Si 0)´( >xf Ix∈∀ entonces f es estrictamente creciente en I. d) Si 0)´( <xf Ix∈∀ entonces f es estrictamente decreciente en I.

Demostración: a) Supongamos que f es creciente en I y sean a y b dos puntos

arbitrarios de I tales que a<b. El intervalo [ ]ba, está contenido en I, luego f es continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, y por el teorema del valor medio, existe al menos un punto ( )bax ,∈ tal que

( ) ( ) ( )ab

afbfxf−−

=´ . Si a<b y ( ) ( )bfaf ≤ , entonces 0)´( ≥xf .

Veamos el recíproco:

Supongamos que 0)´( ≥xf Ix∈∀ y sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. El intervalo [ ]ba, está contenido en I, luego f es continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, y por el teorema del valor medio,

existe al menos un punto ( )bac ,∈ tal que ( ) ( ) ( )ab

afbfcf−−

=´ . Si a<b,

como 0)´( ≥cf , entonces ( ) ( )bfaf ≤ . b) Se prueba de forma análoga al anterior. c) Se prueba de igual forma que la condición suficiente de función

creciente en un intervalo, con los lógicos cambios: Supongamos que 0)´( >xf Ix∈∀ y sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. El intervalo [ ]ba, está contenido en I, luego f es continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, y por el teorema del valor medio, existe al

menos un punto ( )bac ,∈ tal que ( ) ( ) ( )ab

afbfcf−−

=´ . Si a<b, como 0)´( >cf ,

entonces f(a)<f(b). d) Se demuestra de forma análoga al apartado anterior. Observación: Los recíprocos de las dos últimas afirmaciones no son ciertos. En un entorno de un punto cuya derivada sea nula, puede ocurrir cualquier situación. Por ejemplo, las siguientes funciones, que tienen derivada nula en x=0, se tiene que:



1) f(x)=x3 es estrictamente creciente en un entorno de 0.

2) f(x)=-x3 es estrictamente decreciente en un entorno de 0.

8. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. Extremos relativos.

Una función f tiene un máximo relativo (o local) en a si existe un 0>δ tal que ( ) ( )afxf ≤ para todo ( ) )(, fDomaax ∩+−∈ δδ . El concepto de mínimo relativo (o local) se define del mismo modo con la desigualdad invertida: Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en a si existe un 0>δ tal que ( ) ( )afxf ≥ para todo ( ) )(, fDomaax ∩+−∈ δδ . Extremos absolutos.

Una función f tiene un máximo absoluto en a si ( ) ( )afxf ≤ para todo

)( fDomx∈ . Una función f tiene un mínimo absoluto en a si ( ) ( )afxf ≥ para todo

)( fDomx∈ . Por ejemplo, la función f(x)=sen x, π≤≤ x0 , tiene un máximo absoluto en



2π

=x , y dos mínimos absolutos en 0x = y π=x .

La función f(x)=x(1-x)2, 2

21

≤≤− x , tiene un máximo absoluto en x=2, un

máximo relativo en 31

=x , un mínimo absoluto en 21−

=x y un mínimo

relativo en x=1.

Observaciones: 1) De las definiciones de extremos se deduce que todo máximo absoluto es relativo, pero el recíproco no es cierto. Lo mismo ocurre con los mínimos. 2) Una función f puede tener ninguno, uno o varios puntos distintos que sean máximos y/o mínimos absolutos sobre su dominio. Naturalmente, según vimos en el tema 25, si el Dom(f) es un intervalo cerrado y f es continua, el teorema de Weierstrass nos garantiza que f tiene efectivamente un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo cerrado. Condición necesaria de extremo:

Teorema: Sea f: ( )ba, IR una función definida en el intervalo abierto ( )ba, . Si f tiene un extremo relativo (máximo o un mínimo) en un punto ( )bac ,∈ y f es derivable en c, entonces ( ) 0´ =cf . Demostración: Consideremos el caso en el que f tiene un máximo en c. Si f tiene un máximo en c se verifica ( ) ( ) ( )baxcfxf ,0 ∈∀≤− por tanto, si



x<c ( ) ( ) 0≥−−

cxcfxf y si x>c ( ) ( ) 0≤

−−

cxcfxf

luego ( ) ( ) ( ) 0lim´ ≥−−

=−→

− cxcfxfcf

cx y ( ) ( ) ( ) 0lim´ ≤

−−

=+→

+ cxcfxfcf

cx.

Por hipótesis, la función es derivable en c, luego estos dos límites existen y son iguales a ( )cf ´ . Luego ( ) 0´ =cf . En el caso de que f tenga un mínimo en c, basta considerar la función opuesta –f. Si f tiene un mínimo en c entonces –f tiene un máximo en c y como –f es derivable en c ( pues f es derivable en c), por el caso anterior ( ) 0´ =− cf y, por tanto, ( ) 0´ =cf .

Observaciones:

1) La función f puede tener un máximo o un mínimo en puntos en donde f no es derivable. Por ejemplo, la función ( ) xxf = tiene un mínimo en c = 0, sin embargo, f no es derivable en 0.

2) La condición es necesaria pero no suficiente, es decir, puede ser que ( ) 0´ =cf sin que f tenga máximo ni mínimo en c. Por ejemplo, la función ( ) 3xxf = se tiene que ( ) 23´ xxf = y ( ) 00´ =f , y sin embargo, f no tiene máximo ni mínimo en 0.

La condición f´(x)=0 no implica que x sea un punto máximo o mínimo relativo de f, aunque sea un claro candidato pues la tangente en esos puntos es paralela al eje de abscisas. Precisamente por esta razón, se ha adoptado una terminología especial para describir los números x que satisfacen la condición f´(x)=0. Definición: Se llama punto singular o punto crítico de una función f a todo número real x tal que f´(x)=0. Al número f(x) se le llama valor singular o valor crítico de f. Consecuencia: A la vista de las observaciones hechas, para hallar el máximo o el



mínimo de f en un intervalo cerrado [ ]ba, (evidentemente, si f es continua en [ ]ba, podemos estar seguros de que existe un máximo y un mínimo en [ ]ba, ), se deben considerar tres clases de puntos:

1) Los puntos x de [ ]ba, donde f no es derivable en x. a b

2) Los puntos singulares de f en ( )ba, , es decir, los puntos ( )bac ,∈ tales que ( ) 0´ =cf .

a b 3) Los extremos del intervalo a y b.

b a Condiciones suficientes de extremo:

Veamos varios criterios para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: Criterio 1. Variación de la función en un entorno del punto: Sea x=a un punto donde puede existir un máximo o un mínimo relativo. Si sustituimos en la función x por ha ± , para un valor de h>0 suficientemente pequeño, y se verifica:



( ) ( )afhaf ≤± , entonces la función f tiene un máximo relativo en x=a. ( ) ( )afhaf ≥± , entonces la función f tiene un mínimo relativo en x=a. Este criterio es, en realidad, la aplicación directa de la definición de máximo y mínimo relativo. Evidentemente, dada su generalidad, se puede aplicar a puntos no derivables de la función. Criterio 2. Variación del signo de la primera derivada en un entorno del punto: Proposición: Sea f una función definida en una entorno de un punto

IRa∈ . Si 0)´( >af en un intervalo a la izquierda de a y 0)´( <af en un intervalo a la derecha de a, entonces f tiene un máximo relativo en a (la función pasa de creciente a decreciente). Análogamente, si 0)´( <af en un intervalo a la izquierda de a y 0)´( >af en un intervalo a la derecha de a, entonces f tiene un mínimo relativo en a (la función pasa de decreciente a creciente). Demostración: En el primer caso, existe un 0>δ tal que f es estrictamente creciente en ( ]aa ,δ− y estrictamente decreciente en [ )δ+aa, y, por tanto, ( ) ( )afxf < para todo ( )δδ +−∈ aax , , es decir, f tiene un máximo relativo en a. En el segundo caso, existe un 0>δ tal que f es estrictamente decreciente en ( ]aa ,δ− y estrictamente creciente en [ )δ+aa, y, por tanto, ( ) ( )afxf > para todo ( )δδ +−∈ aax , , es decir, f tiene un mínimo relativo en

a. Criterio 3. Valor de la derivada segunda en el punto: Proposición: Supongamos que f´(a)=0. Si f´´(a)<0, entonces f tiene un máximo relativo en a; si f´´(a)>0, entonces f tiene un mínimo relativo en a. Demostración: Si f´´(a)<0, la función f´ es estrictamente decreciente en un entorno del punto a, y como f´(a)=0, en un intervalo a la izquierda de a, f´ es positiva (f es decreciente) y en un intervalo a la derecha de a, f´ es negativa (f es creciente). Luego f tiene un máximo relativo en a. La demostración para f´´(a)>0 es análoga. El siguiente criterio, es una generalización de éste:



Criterio 4. Valor de la derivada de orden par en el punto: Proposición: Supongamos que f es una función derivable hasta el orden n y con derivadas finitas en un punto a, y supongamos que

( ) 0)(...)´´()´( 1 ==== − afafaf n y que ( ) 0)( ≠af n . Entonces:

a) Si n es par y ( ) 0)( >af n entonces f tiene un mínimo relativo en a. b) Si n es par y ( ) 0)( <af n entonces f tiene un máximo relativo en a. c) Si n es impar entonces f no tiene máximo ni mínimo relativo en a.

Demostración: Consideremos el polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f

en a ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nn

nn

n axn

afafaxn

afaxafafxP −+=−++−+=!!

...´)( .

Sabemos que ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

−=

−=

→→→ !)()(lim

)()(lim

)(lim0

naf

axafxf

axxPxf

axxE n

naxnn

axnn

ax, s

decir, en un entorno reducido E*(a) se tiene que ( )nax

afxf−− )()( tiene el

mismo signo que ( ) ( )

!naf n

.

Por tanto, si n es par, entonces ( ) 0>− nax . Luego para cada

{ }( )aaEx −∈ )( se tendrá que si ( ) 0)( >af n entonces f(x)-f(a)>0, es decir, f tiene un mínimo relativo en a; y si ( ) 0)( <af n entonces f(x)-f(a)<0, es decir, f tiene un máximo relativo en a. Supongamos que n es impar, entonces ( )nax − es positivo o negativo según sea x>a o x<a y por tanto ( ) ( )afxf − tiene signos distintos según sea x>a o x<a, luego la función f no tiene máximo ni mínimo relativo en a. 9. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD. Definición 1: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo

Iba ∈, , el segmento que une (a,f(a)) con (b,f(b)) queda encima de la gráfica de f en ( )ba, . Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo Iba ∈, , el segmento que une (a,f(a)) con (b,f(b)) queda debajo de la gráfica de f en



( )ba, . f(b) f(b) f(a) f(a) a b a b f convexa f cóncava Esta condición geométrica se puede expresar de una forma analítica, más útil en las demostraciones: La recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de f es la gráfica de la función g definida por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax

abafbfafxg −

−−

+= .

Esta recta queda por encima de la gráfica de f, si para todo Ixba ∈,, tal que bxa << , se tiene que g(x)>f(x), es decir, si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfax

abafbfaf >−

−−

+ o ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afxfaxab

afbf−>−

−− o

( ) ( ) ( ) ( )ax

afxfab

afbf−−

>−− .

De forma análoga, se obtiene que la recta queda por debajo de la gráfica de f, si para todo Ixba ∈,, tal que bxa << , se tiene que g(x)<f(x),

es decir, si ( ) ( ) ( ) ( )ax

afxfab

afbf−−

<−− , con lo que se tiene, por tanto, una

definición equivalente de convexidad y concavidad. Definición 2: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo

Ixba ∈,, tal que bxa << , se tiene ( ) ( ) ( ) ( )ax

afxfab

afbf−−

>−− .

Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo Ixba ∈,, tal que

bxa << , se tiene ( ) ( ) ( ) ( )ax

afxfab

afbf−−

<−− .

Dado que los puntos de ( )ba, son de la forma ( )bax λλ −+= 1 con 10 << λ , sustituyéndolo en la definición anterior, se obtiene otra definición equivalente a las anteriores. Definición 3: Una función f es convexa en un intervalo I, si para todo

Iba ∈, y para todo ( )1,0∈λ , se verifica ( )( ) ( ) ( ) ( )bfafbaf λλλλ −+<−+ 11 .



Una función f es cóncava en un intervalo I, si para todo Iba ∈, y para todo ( )1,0∈λ , se verifica ( )( ) ( ) ( ) ( )bfafbaf λλλλ −+>−+ 11 . Observaciones:

1) A veces, se utiliza la nomenclatura de cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para expresar funciones convexas y cóncavas respectivamente; no obstante, en la literatura, pueden aparecer cambiados los conceptos de función convexa y cóncava definidas aquí.

2) Es fácil ver que f es convexa si y sólo si –f es cóncava. Este hecho nos permite obtener las propiedades de las funciones cóncavas a partir de las funciones convexas.

Proposición: Si f es derivable en Ia∈ y Ib∈ , y f es convexa en I entonces para cada Iba ∈, tal que ba < , se verifica ( ) ( )bfaf ´´ < . Demostración: Supongamos que f es convexa, veamos previamente los siguientes casos: 1. si 210 hh << , entonces ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

1

1

hafhaf

hafhaf −+

<−+ , es decir, los

valores de ( ) ( )h

afhaf −+ decrecen cuando +→ 0h . Por tanto

( ) ( ) ( )h

afhafaf −+<´ para h>0.

2. si 012 << hh , se tiene que ahaha <+<+ 12 , entonces

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1

1

hafhaf

hafhaf −+

<−+ es decir, los valores de ( ) ( )

hafhaf −+

crecen cuando −→ 0h . Por tanto ( ) ( ) ( )h

afhafaf −+>´ para h<0. Así,

por ser b-a>0 se tiene que ( )( ) ( ) ( ) ( )ab

afbfab

afabafaf−−

=−

−−+<)´( , y por

ser a-b<0, ( )( ) ( ) ( ) ( )ba

bfafba

bfbabfbf−−

=−

−−+>)´( , con lo que combinando

estas dos desigualdades obtenemos ( ) ( )bfaf ´´ < . Análogamente se demuestra la siguiente:

Proposición: Si f es derivable en Ia∈ y Ib∈ , y f es cóncava en I entonces para cada Iba ∈, tal que ba < , se verifica ( ) ( )bfaf ´´ > . Veamos varios criterios para decidir si una función es convexa o cóncava:



Criterio 1. Derivada primera: Proposición: Si f es derivable en I. Entonces f´ es creciente en I si y sólo si f es convexa. Demostración: ⇐ El recíproco es consecuencia de la propiedad anterior. ⇒ Sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. Los puntos de ( )ba, son de la forma ( )bax λλ −+= 1 con 10 << λ y probemos que ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )bfafbafxf λλλλ −+<−+= 11 . Como ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxf λλ −+= 1 , la

desigualdad a demostrar es ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )xfbfafxf −−<− λλ 1 . Pero, por el teorema del valor medio aplicado a f en los intervalos [ ]xa, y [ ]bx, , existen puntos ( )xac ,∈ y ( )bxd ,∈ tales que ( ) ( ) ( )( )axcfafxf −=− ´ y ( ) ( ) ( )( )xbdfxfbf −=− ´ . Como f´ es creciente en I y Idc ∈, siendo tales que

c<d, entonces f´(c)<f´(d), y como ( ) ( )( )xbax −−=− λλ 1 , se tiene que ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )xfbfxbdfaxdfaxcfafxf −−=−−=−<−=− λλλλλ 11´)´()´( ,

como queríamos demostrar. Análogamente: Proposición: Si f es derivable en I. Entonces f´ es decreciente en I si y sólo si f es cóncava. Como consecuencia del anterior teorema se tiene otra caracterización de las funciones convexas y cóncavas siguiente: Corolario: Si f es derivable en I, f es convexa en I si y sólo si para cada

Iax ∈, se verifica ( ) ( ) ( )( )axafafxf −+≥ ´ , es decir, la gráfica de f queda por encima de la tangente a la curva en el punto a, excepto en el punto de contacto.

Demostración: Si f es convexa y si 210 hh << , entonces

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1

1

hafhaf

hafhaf −+

<−+ , es decir, los valores de ( ) ( )

hafhaf −+



decrecen cuando +→ 0h . Por tanto ( ) ( ) ( )h

afhafaf −+<´ para h>0, pero

esto significa que para h>0 la secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y

(a+h,f(a+h)) tiene pendiente mayor que la tangente, y por tanto el punto

(a+h,f(a+h)) con h>0 queda por encima de la tangente.

Una situación parecida se presenta para h negativo: si 012 << hh , se

tiene que ahaha <+<+ 12 , entonces ( ) ( ) ( ) ( )2

2

1

1

hafhaf

hafhaf −+

<−+ es

decir, los valores de ( ) ( )h

afhaf −+ crecen cuando −→ 0h . Por tanto

( ) ( ) ( )h

afhafaf −+>´ para h<0, de modo que el punto (a+h,f(a+h)) queda

por encima de la tangente si h<0. Veamos el recíproco:

Sean a y b dos puntos arbitrarios de I tales que a<b. La tangente a la gráfica de la función f en (a,f(a)) es la función ( ) ( ) ( )( )axafafxg −+= ´ , y como el punto (b,f(b)) queda por encima de la tangente, tenemos ( ) ( ) ( )( )abafafbf −+> ´ . (1)

Análogamente, la tangente a la gráfica de la función f en (b,f(b)) es la función ( ) ( ) ( )( )bxbfbfxh −+= ´ , y como el punto (a,f(a)) queda por encima de la tangente, tenemos ( ) ( ) ( )( )babfbfaf −+> ´ . (2) De las desigualdades (1) y (2) se sigue que f´(a)<f´(b), con lo que f´ es creciente en I y por tanto f es convexa. Por la observación 2ª, como f es convexa si y sólo si –f es cóncava, se tiene el siguiente: Corolario: Si f es derivable en I, f es cóncava en I si y sólo si para cada

Iax ∈, se verifica ( ) ( ) ( )( )axafafxf −+≤ ´ , es decir, la gráfica de f queda por debajo de la tangente a la curva en el punto a, excepto en el punto de contacto. También como consecuencia inmediata de la proposición anterior, se tiene el siguiente: Criterio 2. Derivada segunda: Proposición: Si f tiene derivada segunda en I y si f´´>0 en I, f es convexa



(al ser f´ estrictamente creciente). Si f´´<0 en I, f es cóncava (al ser f´ estrictamente decreciente). 10. PUNTOS DE INFLEXIÓN. Definición: Un punto de inflexión de f es un punto )(0 fDomx ∈ tal que la función pasa de convexa a cóncava o viceversa, es decir, la curva es convexa en ( )00 , xx δ− y cóncava en ( )δ+00 , xx , o viceversa, para algún

0>δ . Nota: Si la función tiene tangente en x0 y x0 es un punto de inflexión, la tangente corta a la gráfica. Condición necesaria de punto de inflexión: Proposición: Si f tiene un punto de inflexión en a y es derivable dos veces en x=a, entonces f´´(a)=0. Demostración: Supongamos que 0)´´( ≠af , entonces en un entorno de a la función es convexa o cóncava, y por tanto no es punto de inflexión. Condiciones suficientes de punto de inflexión: Veamos varios criterios para decidir si un punto es de inflexión, los cuales son similares a los estudiados para máximos y mínimos: Criterio 1. Variación del signo de la derivada segunda en un entorno del punto: Proposición: Sea f una función definida en un entorno de un punto IRa∈ . Si 0)´´( >af en un intervalo a la izquierda de a y 0)´´( <af en un intervalo a la derecha de a, entonces f tiene un punto de inflexión en a (la función f´ pasa de creciente a decreciente). Análogamente, si 0)´´( <af en un intervalo a la izquierda de a y 0)´´( >af en un intervalo a la derecha de a, entonces f tiene un punto de inflexión en a (la función f´ pasa de decreciente a creciente). Criterio 2. Valor de la derivada tercera en el punto: Proposición: Supongamos que f´´(a)=0. Si f´´´(a)<0 o f´´´(a)>0, entonces f tiene un



punto de inflexión en a. El siguiente criterio es la generalización del anterior: Criterio 3. Valor de la derivada de orden impar en el punto: Proposición: Supongamos que f es una función derivable hasta el orden n y con derivadas finitas en un punto a, y supongamos que ( ) 0)(...)´´( 1 === − afaf n y ( ) 0)( ≠af n .

a) Si n es par y ( ) 0)( >af n entonces f es convexa en a. b) Si n es par y ( ) 0)( <af n entonces f es cóncava en a.

c) Si n es impar entonces f tiene un punto de inflexión en a . Demostración: Consideremos el polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f en a

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )nn

nn

n axn

afaxafafaxn

afaxafafxP −+−+=−++−+=!

´!

...´)( , y

consideremos también la recta tangente a la curva en el punto (a,f(a)) ( )axafafyt −+= )´()( .

Sabemos que

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−+−

=−

−=

−=

→→→ !´)()(lim

)()(lim

)(lim0

naf

axaxafafxf

axxPxf

axxE n

naxnn

axnn

ax,

es decir, en un entorno reducido E*(a) se tiene que ( )( )( )

( )naxaxafafxf

−−+− ´)()( tiene el mismo signo que

( ) ( )!naf n

. Por tanto, si n es

par, entonces ( ) 0>− nax . Luego para cada { }( )aaEx −∈ )( se tendrá que si ( ) 0)( >af n entonces f(x)- yt>0, es decir, la gráfica de f permanece por encima de la recta tangente, con lo que la función f es convexa en x=a; y si ( ) 0)( <af n entonces f(x)-yt<0, es decir, la gráfica de f permanece por debajo de la recta tangente, con lo que la función f es cóncava en x=a. Supongamos que n es impar, entonces ( )nax − es positivo o negativo según sea x>a o x<a y por tanto f(x)-yt tiene signos distintos según sea x>a o x<a. Así pues la gráfica de f atraviesa a la recta tangente en x=a y el punto (a,f(a)) corresponde a un punto de inflexión.



a 11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES. • APÓSTOL, TOM M. Calculus. Volumen I. Ed. Reverté, S.A.

• SPIVAK, M. Calculus. Cálculo infinitesimal. Ed. Reverté, S.A.

• APÓSTOL, TOM M. Análisis Matemático. Ed. Reverté, S.A.

• FERNÁNDEZ NOVOA, J. Análisis Matemático I. Ed. U.N.E.D.

• GARCÍA LÓPEZ, A., DE LA VILLA CUENCA, A. Y OTROS. Cálculo I, 2ª edición. Ed. Clagsa.

• VIZMANOS, J.R., ANZOLA,M. Matemáticas I. Ed. S.M.



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