tema 2 representació de la informació

2

ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS

1

REPRESENTACIÓ INFORMACIÓ

2.1 Concepte de representació de la informació

2.2 Representació i aritmètica de nombres naturals

2.3 Representació i aritmètica de nombres enters

2.4 Representació de nombres reals

2.5 Altres mètodes de codificació de la informació

Dr. Joaquim Salvi, Dr. Arnau OliverEscola Politècnica Superior

Universitat de Girona

2

REPRESENTACIÓ DE LA INFORMACIÓ


2.1 Concepte de representació de la informació

Informació: conjunt organitzat de dades que constitueixen un missatge capaç de canviar l’estat de coneixement del receptor.

Informar: acció de transmetre informació.

Informàtica: ciència que estudia el tractament automàtic de la informació.

3



Procés d’informar

Canal: Medi a través del que es transmet la informació des de l’origen al destí.

Com que el medi no és perfecte, la informació que arriba al destí normalment no equival a la que ha enviat l’origen degut a pertorbacions externes que anomenem soroll.

Medi natural: ex: aire, poden transmetre ones mecàniques (parla) o ones electromagnètiques (ràdio, TV, 3G)

Medi artificial: ex: cables, poden transmetre electricitat (telèfon)

EMISOR MISSATGE CodificarDecodi-

ficarMISSATGE RECEPTORCANAL

SOROLL

4



Codificació

Apareix la necessitat de codificar el missatge per a poder ser transmès pel medi i reduir l’efecte del soroll.

Alfabet: conjunt de símbols diferents utilitzats en la formació de codis

Base: nombre de símbols diferents d’un alfabet.

Codi: seqüència de símbols que representen un determinat fet o idea (missatge).

5



EGIPCI MAIA

AZTECASUDARÀBIC CUNEIFORME HITITA

FENICI

GREC

6



Codificació

Amb un alfabet de N símbols i un codi de llargada M podem generar fins a NM missatges diferents.

N=2 Codi binari, Codi Morse

N=10 Codi decimal

N=26 Alfabet català

Cada símbol proporciona una quantitat d’informació Q inversament proporcional a la probabilitat d’aparició P.

Q=f(1/P) ex: GRN GIRONA Q 20% (Consonants)

ex: IOA GIRONA Q 5% (Vocals)

Quan tots els símbols són equiprobables, la informació transmesa és màxima i la mida del missatge més eficient.

7



Senyals

La senyal és la portadora d’un missatge a través d’un medi.

Senyals deterministes: poden saber el seu valor en qualsevol instant de temps. Ex: y = cos(t)

Senyals aleatoris: no podem saber el seu valor exacte en un instant de temps, però si una probabilitat. Ex: y = pluja(t)

Senyals continus: el senyal és funció de variables contínues. Ex: temperatura física

Senyals discrets: el senyal és funció de variables discretes. Ex: dies de la setmana

Senyals analògics: el senyal és funció de variables continues dins d’un marge definit. Ex: indicador de velocitat

Senyals digitals: el senyal és funció de variables discretes que només poden prendre dos valors. Ex: interruptor de la llum

8



Sistemes analògics i digitals

Els sistemes digitals són menys propensos a errors, més resistents al soroll i poden implementar sistemes de detecció i correcció d’errors en la transmissió del missatge.

Sistema analògicx(t) y(t)

analògic analògic

Sistema digitalx(t) y(t)

digital digital

Conversor

A / D

x(t) y(t)

analògic digital

Conversor

D / A

x(t) y(t)

digital analògic

9



Sistemes digitals

Sistema digital asíncron: les variacions dels senyals es produeixen sense una cadència determinada

Sistema digital síncron: les variacions dels senyals es produeixen, si es produeixen, seguint la cadència que marca un senyal de clock.

Sistemes digitals combinacionals: Les sortides només depenen de les entrades en cada instant de temps: y(t) = f(x(t))

Sistemes digitals seqüencials: Les sortides depenen de les entrades i de la història d’aquestes entrades (estat del sistema):

y(t) = f(x(t), x(-,t-1)) y(t) = f(x(t), E(t))

asíncron síncron

10



Representació i aritmètica de nombres Naturals

Sistema de numeració: codi emprat per a representar nombres com a cadenes de dígits

Base (B): nombre de símbols de l’alfabet

Símbol: cada un dels diferents elements de l’alfabet

Dígit: Posició d’un determinat símbol dins del codi

Notació posicional:

𝐴𝐵 = 𝐴𝑛𝐴𝑛−1…𝐴0 . 𝐴−1𝐴−𝑝 𝐵 0 ≤ 𝐴𝑖 < 𝐵

Polinomi equivalent: ens permet calcular el nombre en base 10

𝐴10 = 𝐴𝑛𝐵𝑛 + 𝐴𝑛−1𝐵

𝑛−1 +⋯+ 𝐴0𝐵0 + 𝐴−1𝐵

−1 + …+ 𝐴−𝑝𝐵−𝑝

= −𝑝𝑛 𝐴𝑖 𝐵𝑖

11



2.2 Representació i aritmètica de nombres Naturals

Exemples d’utilització del polinomi equivalent:

387.4510 = 3 · 102 +8 · 101 + 7 · 100 +4 · 10−1 +5 · 10−2 = 387.4510

312.45 = 3 · 52 +1 · 51 + 2 · 50 +4 · 5−1 = 82.810

426.36 0 ≤ 𝐴𝑖 < 6 Aquest no és un nombre en base 6

01101.012 = 0 · 24 +1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 0 · 2−1 +1 · 2−2

= 13.2510

12




Càlcul del nombre mínim de dígits que ens fa falta per a representar un nombre N10 a base B.

𝐵𝑛−1 ≤ 𝑁 < 𝐵𝑛

𝑙𝑜𝑔𝐵𝐵𝑛−1 ≤ 𝑙𝑜𝑔𝐵𝑁 < 𝑙𝑜𝑔𝐵𝐵

𝑛

𝑛 − 1 ≤ 𝑙𝑜𝑔𝐵𝑁 < 𝑛

Ex: representa el nombre N = 23510 en base 10

𝑛 − 1 ≤ 𝑙𝑜𝑔10235 < 𝑛

𝑛 − 1 ≤ 2,371 < 𝑛 → 𝑛 = 3 (nombre enter)

13




Canvis de base

Per passar un nombre N en base B a base 10 utilitzarem el polinomi equivalent

𝑁𝐵 → 𝑀10 𝑀10 =

−𝑝

𝑛

𝑁𝑖 𝐵𝑖

Per passar un nombre N en base 10 a base B utilitzarem el mètode de les divisions i els productes successius.

𝑁10 → 𝑀𝐵 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 − 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑢𝑠

Per a convertir un nombre N de base 𝐵1 a base 𝐵2 passarem per base 10.

𝑁𝐵1 → 𝑀10 → 𝑃𝐵2

14




Exemples d’utilització del mètode de divisions–productes successius:

15310 = 2318

1538 = 19 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 = 1

198 = 2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 = 3

2 8 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 = 2

15





0.687510 = 0.10112

0.6875 ∗ 2 = 1.37500.3750 ∗ 2 = 0.75000.7500 ∗ 2 = 1.50000. 5000 ∗ 2 = 1.0000

16





En alguns casos hem de parar d’agafar decimals quan la precisió que aconseguim sigui la desitjada.

0.51310 ≈ 0.406518 l’Error 𝜀 = 0.51310 – (0.406518 → 𝑁10)

0.513 ∗ 8 = 4.1040.104 ∗ 8 = 0.8320.832 ∗ 8 = 6.6560.656 ∗ 8 = 5.2480.248 ∗ 8 = 1.984

...

17





113.25610 = 1110001.012

113 2 0.256 ∗ 2 = 0.512

13 56 2 0.512 ∗ 2 = 1.024

1 16 28 2

0 0 14 2

0 7 2

1 3 2

1 1

18



Sistemes de numeració d’interès en Informàtica

BINARI

Alfabet = 0,1 Base = 2

Cada dígit rep el nom de Bit.

Molt important doncs els sistemes digitals treballen de forma molt eficient emprant dos estats (encès/apagat, cert/fals, 1/0).

Decimal Binari

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

19




OCTAL

Alfabet = 0,1,2,3,4,5,6,7 Base = 8

Decimal Octal

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

Decimal Octal

8 10

9 11

10 12

11 13

12 14

13 15

14 16

15 17

20




HEXADECIMAL

Alfabet = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F Base = 16

Decimal Hexadecimal

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

Decimal Hexadecimal

8 8

9 9

10 A

11 B

12 C

13 D

14 E

15 F

Decimal Hexadecimal

16 10

17 11

18 12

19 13

20 14

21 15

22 16

23 17

21



Canvis de base entre bases que són potència

𝑁𝐵 → 𝑀𝐵𝑝

Per passar un nombre N en base 𝐵 a base 𝐵𝑝, agruparem els dígits de N en grups de p elements a partir del punt decimal, afegint ceros si convé i aleshores convertim independentment cada grup a un dígit de M.

𝑁𝐵𝑝 → 𝑀𝐵

Per passar un nombre N en base 𝐵𝑝 a base 𝐵, transformarem cada dígit de N als P dígits de M que correspongui de forma totalment independent.

22




Exemples de canvis de base 𝑁𝐵 → 𝑀𝐵𝑝 :

1101100111011.0112 → 𝑀16 = 𝑀24

0001 1011 0011 1011.01102 → 1B3B. 616

12021.2123 → 𝑀9 = 𝑀32

01 20 21. 21 202 → 167.769

1101100111011.0112 → 𝑀4 = 𝑀22

01 10 11 00 11 10 11.01 102 → 1230323.124

Base 3 Base 9

00 0

01 1

02 2

10 3

11 4

12 5

20 6

21 7

22 8

Base 2 Base 4

00 0

01 1

10 2

11 3

23




Exemples de canvis de base 𝑁𝐵𝑝 → 𝑀𝐵 :

18F. 3816 → 𝑀218F. 3824 → 0001 1000 1111.0011 10002

18F. 3816 → 𝑀418F. 3842 → 12033.0324

Base 16 Base 4

0 00

1 01

2 02

3 03

4 10

5 11

6 12

7 13

8 20

9 21

A 22

B 23

C 30

D 31

E 32

F 33

24




Mètode de Ruffini: Ruffini es un mètode per transformar nombres Naturals (sense decimals) de 𝑁𝐵 → 𝑀10:

𝑁𝑛 𝑁𝑛−1 𝑁1 𝑁0

𝐵 𝐵 · 𝑁𝑛

𝑁𝑛 𝐵 · 𝑁𝑛 +𝑁𝑛−1 0𝑛𝑁𝑖 𝐵𝑖

25




Exemple d’utilització del mètode de Ruffini:

110102 → 2610 3F16 → 6310

1 1 0 1 0 3 F

2 2 6 12 26 16 48

1 3 6 13 26 3 63

26



2.3 Representació i aritmètica de nombres enters

El nombres enters són nombres naturals amb signe (+/-).

Estudiarem 3 maneres de representar-los:

- Magnitud i signe

- Complement a radical disminuït

- Complement a radical

27



Magnitud i signe

Aquesta és la representació que utilitzem per a representar nombres naturals emprant el sistema decimal. Senzillament afegim una grafia (+/-) per a representar el signe davant del nombre natural.

−31010

En decimal, la grafia (+/-) la representarem amb un bit de signeS = (+→ 0; −→ 1)

−𝑁10= 𝑆𝑀𝑛−1𝑀𝑛−2…𝑀0 = 𝑀2

−310= 1112 +310= 0112

Rang de representació: + 2𝑛−1 − 1 ,− 2𝑛−1 − 1

S Magnitud

n bits

n-1 bits1 bit

28



Complement a radical disminuït

Fer el complement a radical disminuït (CRD) d’un nombre equival a canviar-li el signe de la següent manera:

𝑁𝐵𝐶𝑅𝐷

−𝑁𝐵 = 𝐵𝑛 − 1 − 𝑁𝐵 on 𝑛=nombre de bits de 𝑁𝐵

Ex:

54670010𝐶𝑅𝐷

−54670010= 106 − 1 − 54670010== 999999 − 546700 = 45329910

45329910𝐶𝑅𝐷

−45329910= 106 − 1 − 45329910== 999999 − 453299 = 54670010

38EA16𝐶𝑅𝐷

−38EA16= 164 − 1 − 38EA16= FFFF − 38EA == C71516

29



Complement a 1: C’1

En base 2 el complement a radical disminuït rep el nom de complement a 1: C’1.

Sabrem si un nombre es positiu o negatiu fixant-nos amb el primer bit (0 → +; 1 → −)

Ex:

10110012𝐶′1

−10110012= 27 − 1 − 10110012== 1111111 − 1011001 = 01001102

01001102 = 3810 10110012 = −3810

Fer el C’1 d’un nombre equival a canviar 0 → 1 i 1 → 0.

Rang de representació: + 2𝑛−1 − 1 ,− 2𝑛−1 − 1 =+ 27−1 − 1 ,− 27−1 − 1 = +63,−63

30




La simetria del rang ( + 2𝑛−1 − 1 ,− 2𝑛−1 − 1 ) comporta que tinguem dos representacions del 0: tenim +0 i -0. Això és una ineficiència del CRD que ho resoldrem amb el complement a radical (CR).

Ex: per n=3 el rang de representació és [+3,-3]

C’1 Decimal

000 0

001 1

010 2

011 3

100 -3

101 -2

110 -1

111 -0

31



Complement a radical

Fer el complement a radical (CR) d’un nombre equival a canviar-li el signe de la següent manera:

𝑁𝐵𝐶𝑅−𝑁𝐵 = 𝐵𝑛 − 𝑁𝐵 𝑠𝑖 𝑁𝐵 > 0; 0 𝑠𝑖 𝑁𝐵 = 0

on 𝑛=nombre de bits de 𝑁𝐵

D’aquesta manera el 𝐶𝑅 𝑁𝐵 = 𝐶𝑅𝐷 𝑁𝐵 + 1

Ex:

238910𝐶𝑅−238910= 104 − 238910 = 10000 − 2389 = 761110

238910𝐶𝑅

9999 − 2389 + 1 = 7610 + 1 = 761110

Per 𝑛 = 4 i 010 tenim 010𝐶𝑅−010= 104 − 010 = 10000 − 0 =

10000 = 0000 = 0, tenim doncs una única representació pel 0.

32




En base 2 el complement a radical rep el nom de complement a 2: C’2.

Sabrem si un nombre es positiu o negatiu fixant-nos amb el primer bit (0 → +; 1 → −)

Ex:

10110012𝐶′2

𝐶′1 1011001 + 1 = 0100110 + 1 = 01001112

01001112𝐶′2

𝐶′1 0100111 + 1 = 1011000 + 1 = 10110012

01001102 = 3810 10110012 = −3810

Rang de representació: + 2𝑛−1 − 1 ,−2𝑛−1 = +(27−1 −

33




Ex: per n=3 el rang de representació és [+3,-4]

El C’2 és la forma Standard de representar nombres enters en sistemes digitals.

C’2 Decimal

000 0

001 1

010 2

011 3

100 -4

101 -3

110 -2

111 -1

34



Overflow (Desbordament)

En la representació de nombres amb signe hem de tenir sempre en compte el rang de representació i estendre el signe si no tenim prou dígits per a representar-lo.

Ex: 310 + 1 = 0112 + 1 = 1002 = −4 𝑒𝑛 𝐶′2−3 𝑒𝑛 𝐶′1−0 𝑒𝑛 𝑀𝑆

En cap cas és +4 que és el nombre que buscàvem, degut a un desbordament.

35



Overflow (Desbordament)

Estendrem doncs el 0112 en funció de la representació que utilitzem:

En MS afegirem 0 just desprès del bit de signe:+3 = 0112= 00112−3 = 1112= 10112

En C’1 i en C’2, estendrem el bit de signe+3 = 0112= 00112−3 = 101𝐶′2= 1101𝐶′2 ; −3 = 100𝐶′1= 1100𝐶′1

El bit de signe l’estendrem tantes vegades com sigui convenient per què tots els operants tinguin el mateix nombre de dígits i el resultat estigui dins del rang de representació

36



Aritmètica amb nombres naturals

Si volem sumar dos nombres naturals de 𝑛 bits 𝑁2 i 𝑀2procedirem de la mateixa manera que fem en decimal.

𝑁𝑛−1 𝑁1 𝑁0

+ 𝑀𝑛−1 𝑀1 𝑀0

𝐶𝑛 𝑆𝑛−1 𝐶2 𝑆1 𝐶1 𝑆0

Sumant dos bits 𝑁𝑖 + 𝑀𝑖 obtenim un bit de suma 𝑆𝑖 i un bit de carry 𝐶𝑖+1

Ni Mi Si Ci+1

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

37




Si sumem el bit de carry als bits dels operants tenim la forma tradicional de sumar nombres binaris naturals.

𝐶𝑛−1 𝐶1𝑁𝑛−1 𝑁1 𝑁0

+ 𝑀𝑛−1 𝑀1 𝑀0

𝐶𝑛 𝑆𝑛−1 𝑆1 𝑆0

Ci Ni Mi Si Ci+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

38




Si volem restar dos nombres naturals de 𝑛 bits 𝑁2 i 𝑀2procedirem de la mateixa manera que fem en decimal.


+ 𝑀𝑛−1 𝑀1 𝑀0

𝐶𝑛 𝐷𝑛−1 𝐶2 𝐷1 𝐶1 𝐷0

Restant dos bits 𝑁𝑖 + 𝑀𝑖 obtenim un bit de diferència 𝐷𝑖 i un bit de carry 𝐶𝑖+1

Ni Mi Di Ci+1

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 0

39




Si sumem el bits de carry als bits de 𝑀 tenim la forma tradicional de restar nombres binaris naturals.


𝐶𝑛−1 𝐶1 0−𝑀𝑛−1 𝑀1 𝑀0

𝐶𝑛 𝐷𝑛−1 𝐷1 𝐷0

Ni Mi Ci Di Ci+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

40



Aritmètica amb nombres enters

Tenim dues eines per sumar i restar nombres amb signe: el mètode de la suma i de la resta que hem vist abans.

Sabem, però, que 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)

Podem, per tant simplificar i eliminar el mètode de restar, només canviant el signe dels operants?

41




En Magnitud i Signe:

𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐴 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝐵) 𝐴 + 𝐵

𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐴 ≠ 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐵 𝐴 − 𝐵 𝑜 𝐵 − 𝐴

𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐴 = 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐵 𝐴 − 𝐵 𝑜 𝐵 − 𝐴

𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐴 ≠ 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝐵 𝐴 + 𝐵

No podem prescindir de l’operació de resta i l’algorisme és complex.

42




En C’1, 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵

Estendrem el signe per obtenir dos operants amb el mateix nombre de bits.

Sumarem el bit de carry 𝐶𝑛 del resultat de la suma al propi sumant.

Ex:

110 − 610 = 01𝐶′1 + −0110𝐶′1 = 01𝐶′1+1001𝐶′1 =0001𝐶′1+1001𝐶′1 = 01010𝐶′1 = 1010𝐶′1 + 0 = 1010𝐶′1 = −510

710 + (−310) = 0111𝐶′1 + −011𝐶′1 = 0111𝐶′1+100𝐶′1 =0111𝐶′1+1100𝐶′1 = 10011𝐶′1 = 0011𝐶′1 + 1 = 0100𝐶′1 = 410

43




En C’1, 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵

Si al sumar dos nombres del mateix signe, el resultat té signe contrari aleshores s’ha produït overflow i haurem d’estendre els bits dels operants i repetir l’operació.

Ex:

−710 − 510 = 1000𝐶′1 + −0101𝐶′1 = 1000𝐶′1+1010𝐶′1 =10010𝐶′1 = 0010𝐶′1 + 1 = 0011𝐶′1 = 310 Overflow

= 11000𝐶′1+11010𝐶′1 =110010𝐶′1 = 10010𝐶′1 + 1 = 10011𝐶′1 = −1210

44




En C’2, 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵

Estendrem el signe per obtenir dos operants amb el mateix nombre de bits. Prescindim del bit de carry 𝐶𝑛 del resultat


Ex: −410 − 310 = 1100𝐶′2 + 1101𝐶′2 = 11001𝐶′2 = 1001𝐶′2 = −710

−710 + −610 = 1001𝐶′2 + 1010𝐶′2 = 10011𝐶′2 = +310 Overflow

−710 + −610 = 11001𝐶′2 + 11010𝐶′2 = 110011𝐶′2 = −1310

45




En C’1, 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵


Ex:

−710 − 510 = 1000𝐶′1 + −0101𝐶′1 = 1000𝐶′1+1010𝐶′1 =10010𝐶′1 = 0010𝐶′1 + 1 = 0011𝐶′1 = 310 Overflow

= 11000𝐶′1+11010𝐶′1 =110010𝐶′1 = 10010𝐶′1 + 1 = 10011𝐶′1 = −1210

46



Desplaçaments aritmètics amb nombres naturals

Desplaçament a l’esquerra:

𝑍𝐵 = (𝐴𝐵 ∗ B)= 𝐴𝑛𝐵𝑛 + 𝐴𝑛−1𝐵

𝑛−1 +⋯+ 𝐴0𝐵0 B = 𝐴𝑛𝐵

𝑛+1 +𝐴𝑛−1𝐵

𝑛 +⋯+ 𝐴0𝐵1 equival a desplaçar el nombre A una posició

a l’esquerra afegint un zero a la dreta i eliminant el dígit 𝐴𝑛

Si 𝐴𝑛 = 1 es produeix overflow

Ex:

001102 = 610𝑒𝑠𝑞

0110𝟎2 = 1210𝑒𝑠𝑞

1100𝟎2 = 2410

47



Desplaçaments aritmètics amb nombres naturals

Desplaçament a la dreta:

𝑍𝐵 = (𝐴𝐵/B)= 𝐴𝑛𝐵𝑛 + 𝐴𝑛−1𝐵

𝑛−1 +⋯+ 𝐴0𝐵0 /B = 𝐴𝑛𝐵

𝑛−1 +𝐴𝑛−1𝐵

𝑛−2 +⋯+ 𝐴1𝐵0 equival a desplaçar el nombre A una

posició a la dreta afegint un zero a l’esquerra i eliminant el dígit 𝐴0

No es produeix overflow, però es pot perdre precisió.

Ex:

011012 = 610𝑑𝑟𝑡

𝟎01102 = 310𝑑𝑟𝑡

𝟎00012 = 110

48



Desplaçaments aritmètics amb nombres enters

Desplaçament a l’esquerra: En MS i C’2 es desplaça el nombre 𝐴𝑛−1𝐴𝑛−2…𝐴1𝐴0 una posició a l’esquerra, afegint un 0 a la dreta, mantenint el bit de signe 𝐴𝑛sense desplaçar i per tant perdent el bit 𝐴𝑛−1 En C’1 no es pot utilitzar.

Es produeix overflow quan 𝐴𝑛−1 ≠ 𝐴𝑛

Ex:

001102 = 610𝑒𝑠𝑞

00110𝟎2 = 0110𝟎2 = 1210𝑒𝑠𝑞

01100𝟎2 =0100𝟎2 = 810 Overflow doncs 𝐴𝑛−1 ≠ 𝐴𝑛

1111𝑐′2 = −110𝑒𝑠𝑞

1110𝒄′2 = −210𝑒𝑠𝑞

1100𝑐′2 = −410

1110𝑐′1 = −110𝑒𝑠𝑞

1100𝒄′1 = −310𝑒𝑠𝑞

1000𝑐′1 = −710

49



Desplaçaments aritmètics amb nombres enters

Desplaçament a la dreta:

En MS es desplaça el nombre 𝐴𝑛−1𝐴𝑛−2…𝐴1𝐴0 una posició a la dreta, afegint un 0 entre el signe 𝐴𝑛 i 𝐴𝑛−1, mantenint el bit de signe 𝐴𝑛sense desplaçar i perdent el bit 𝐴0. No es produeix overflow però es pot perdre precisió.

En C’2 es desplaça el nombre 𝐴𝑛𝐴𝑛−1…𝐴1𝐴0 una posició a la dreta, estenen el signe 𝐴𝑛. No es produeix overflow però es perd precisió quan el bit desplaçat és 1.

Ex:

MS: 1101𝑀𝑆 = −510𝑑𝑟𝑡

1𝟎10𝑀𝑆 = −210

C’2:𝟏010𝐶′2 = −610𝑑𝑟𝑡

𝟏101𝐶′2 = −310𝑑𝑟𝑡

𝟏𝟏10𝐶′2 = −210

50



Multiplicació de nombres naturals

Si els nombres tenen signe els passarem a nombres naturals, farem la multiplicació i li re-introduirem el signe al resultat.

𝑍𝐵 =(𝑋𝐵 ∗ 𝑌𝐵) = 𝑋𝐵 0𝑛𝑌𝑖 𝐵𝑖= 0

𝑛𝑋𝐵𝑌𝑖 𝐵𝑖

0 ≤ 𝑋𝐵 ≤ 2𝑛 − 1, 0 ≤ 𝑌𝐵 ≤ 2𝑛 − 1 0 ≤ 𝑍𝐵 < 22𝑛 − 1

Procedirem en binari igual com multipliquem en decimal.

51



Multiplicació de nombres naturals

Ex: 0 1 1 1 1 0 (30)

0 1 0 1 1 1 (23)

0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 (690)

11 01

1 0

= 100

52



Divisió de nombres naturals

Si els nombres tenen signe els passarem a nombres naturals, farem la divisió i li re-introduirem el signe al resultat.

Procedirem en binari igual com dividim en decimal.

Ex:

110,0,1 101

101 101

00101

101

0

53



2.4 Representació de nombres reals

El nombres reals són nombres amb signe i decimals

Estudiarem 2 maneres de representar-los:

- Coma fixa

- Coma flotant

54



Coma fixa

Tenim 𝑛 bits per a representar un nombre 𝑁2 i decidim assignar 1 bit per signe 𝑆, 𝑛𝑒 per la part entera i 𝑛𝑓 bits per la part fraccionària: 𝑛 = 1 + 𝑛𝑒+𝑛𝑓; 𝑁2 = 𝑆𝐴𝑛𝑒−1𝐴𝑛𝑒−2…𝐴0. 𝐴−1…𝐴−𝑛𝑓

Interval de representació i precisió:

Precisió: distancia entre 2 nombres consecutius = 2−𝑛𝑓

−

−𝑛𝑓

𝑛𝑒−1

2𝑖 +

−𝑛𝑓

𝑛𝑒−1

2𝑖

+2−𝑛𝑓−2−𝑛𝑓 0

11...1.1...1 10...0.0..01 00...0.0..01 01...1.1...1

00...0.0...0

+2−𝑛𝑓

55



Coma fixa

Ex:

Quin és l’interval de representació i la precisió per 𝑛𝑒 = 3 i

𝑛𝑓 = 5?

Part entera: de 0002 = 010 fins 1112 = 710

Part fraccionària: de .000012 = 0.0312510 fins .111112 = 0.96875102−1 + 2−2 + 2−3 + 2−4 + 2−5 = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 = 0.9687510

1111.11111 1000.00001 0000.00001 0111.11111

0000.00000

-7.96875 -0.03125 +0.03125 +7.96875

+0.03125

0

56



Coma fixa

Ex:

Quin és l’interval de representació i la precisió per 𝑛𝑒 = 5 i

𝑛𝑓 = 3?

Part entera: de 000002 = 010 fins 111112 = 3110

Part fraccionària: de .0012 = 0. 12510 fins .1112 = 0.875102−1 + 2−2 + 2−3 = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0. 87510

111111.111 100000.001 000000.001 011111.111

000000.000

-31. 875 -0.125 +0.125 +31.875

+0.125

0

57



Coma fixa

Ex:

Quina és la representació en coma fixa del nombre 𝑁10 = −4.327si 𝑛𝑒 = 5 i 𝑛𝑓 = 6? Quin error cometem en la representació?

410 = 001002. 327 ∗ 2 = 0.654. 654 ∗ 2 = 1.308. 308 ∗ 2 = 0.616. 616 ∗ 2 = 1.232. 232 ∗ 2 = 0.464. 464 ∗ 2 = 0.928

0.32710 ≈ 0.0101002 = 0.5 + 0.0625 = 0.312510

Representació: 1 00100 010100

Error: 0.327-0.3125= 0.0145

58



Coma fixa

Ex:

Quin és el mínim nombre de bits per a representar 𝑁10 = 6.465amb un error de representació < 0.01?

610 = 1102. 465 ∗ 2 = 0.93 𝜀 = 0.465 − 0 = 0.465

. 93 ∗ 2 = 1.86 𝜀 = 0.465 − 0.25 = 0.215

. 86 ∗ 2 = 1.72 𝜀 = 0.215 − 0.125 = 0.09

. 72 ∗ 2 = 1.44 𝜀 = 0.09 − 0.0625 = 0.0275

. 44 ∗ 2 = 0.88 𝜀 = 0.0275 − 0 = 0.0275

. 88 ∗ 2 = 1.76 𝜀 = 0.0275 − 0.015625 = 0.011875

. 76 ∗ 2 = 1.52 𝜀 = 0.011875 − 0.0078125 = 0.0040625 < 0.01

Representació: 0 110 0111011, per tant necessitem 11 bits.

59



Coma flotant

Tenim 𝑛 bits per a representar un nombre 𝑁2 i decidim assignar 1 bit per signe 𝑆,i 𝑛𝑒 bits per l’exponent i 𝑛𝑚 per la mantissa : 𝑛 =1 + 𝑛𝑒+𝑛𝑚; 𝑁2 = 𝑆 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎 ∗ 2𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡

L’exponent el representarem en C’2

La mantissa la normalitzarem de manera que la part entera sigui igual a 1. Aquest 1 no s’inclou en la representació.

Interval de representació:

La precisió depèn de cada nombre que representem. Quan major el nombre més petita la precisió i viceversa.

−𝑚𝑎𝑥 · 𝐵+𝑚𝑎𝑥 −𝑚𝑖𝑛 · 𝐵−𝑚𝑎𝑥 +𝑚𝑖𝑛 · 𝐵−𝑚𝑎𝑥 +𝑚𝑎𝑥 · 𝐵+𝑚𝑎𝑥

MNN mNN mNP MNP

60



Coma flotant

Ex: Quina és la representació en coma flotant del nombre 𝑁10 =− 12.25 si 𝑛𝑚 = 9 i 𝑛𝑒 = 4? Determina el rang de representació?

12.2510 = 1100.012 = 1.10001 · 23

310 = 011𝐶′2 = 0011𝐶′2


Interval:

Màxima mantissa = 1.111111111 màxim exponent = 0111 (7)

Mínima mantissa = 1.000000000 mínim exponent = 1000 (-8)

MNP=1.111111111·27=11111111.11=28-1+0.5+0.25=255.75

mNP =1.0·2-8=1/256=0.00390625

MNN=-MNP mNN=-mNP

61



Coma flotant

Ex: Representa el nombre 𝑁10 = 0.0465 en coma flotant si 𝑛𝑚 = 5i 𝑛𝑒 = 4?

N=0.0000101111=1.01111·2-5

-5=-(0101) = 1010+1=1011


.0465 ∗ 2 = 0.093 0.5

. 093 ∗ 2 = 0.186 0.25

. 186 ∗ 2 = 0.372 0.125

. 372 ∗ 2 = 0.744 0.0625

. 744 ∗ 2 = 1.488 0.03125

. 488 ∗ 2 = 0.976 0.015625

. 976 ∗ 2 = 1.952 0.0078125

. 952 ∗ 2 = 1.904 0.00390625

. 904 ∗ 2 = 1.808 0.001953125

. 808 ∗ 2 = 1.616 0.0009765625

62



2.5 Altres mètodes de representació de la informació

Definicions:

Codi continu: Un codi binari és continu quan entre qualsevol dues codificacions de decimals adjacents només canvia 1 bit.

Codi cíclic: Un codi és cíclic si és continu i entre la darrera codificació i la primera codificació només canvia 1 bit.

Codi ponderat: Un codi és ponderat si a cada dígit binari se li assigna un pes en funció de la posició que ocupa el dígit en el codi.

63



Altres codis de representació de la informació

Codi Gray: conegut com a codi reflexat. És continu i cíclic.

1 bit

Decimal Gray

0 0

1 1

2 bits

Decimal Gray

0 0 0

1 0 1

2 1 1

3 1 0

3 bits

Decimal Gray

0 0 00

1 0 01

2 0 11

3 0 10

4 1 10

5 1 11

6 1 01

7 1 00

64




Codi Gray:

Pas de codi binari a codi gray:

𝑁𝑛−1 𝑁𝑛−2… 𝑁2 𝑁1 𝑁0

𝑀𝑛−1 𝑀𝑛−2…𝑀2 𝑀1 𝑀0

Pas de codi gray a codi binari

𝑁𝑛−1 𝑁𝑛−2… 𝑁2 𝑁1 𝑁0

𝑀𝑛−1 𝑀𝑛−2…𝑀2 𝑀1 𝑀0

𝑀𝑖 = 0 𝑁𝑖 = 𝑁𝑖+1

𝑀𝑖 = 1 𝑁𝑖 ≠ 𝑁𝑖+1𝑀𝑛−1 = 𝑁𝑛−1

𝑀𝑛−1 = 𝑁𝑛−1

𝑀𝑖 = 0 𝑁𝑖 = 𝑀𝑖+1

𝑀𝑖 = 1 𝑁𝑖 ≠ 𝑀𝑖+1

65




Ex: convertir 11010111 de binari a Gray i de nou a binari

1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 0 0 Sol: 10111100 en Gray

1 1 0 1 0 1 1 1 Sol: 11010111 en binari

66




Codi Johnson: És continu i cíclic.

1 bit

Decimal Johnson

0 0

1 1

2 bits

Decimal Johnson

0 00

1 01

2 11

3 10

3 bits

Decimal Johnson

0 000

1 001

2 011

3 111

4 110

5 100

67




Codi BCD (Binary Coded Decimal) Natural o BCD 8421: És ponderat. Es tracta de representar cada dígit decimal a binari de forma independent.

Ex: 58910= 0101 1000 1001BCD

Ex: 001110000100BCD=0011 1000 0100=38410

3 bits

Decimal BCD

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

68




Suma en Codi BCD 8421:

Sumem en binari cada grup de 4 bits. Si hi ha overflow sumem 0110 (6) al resultat i afegim 1 bit de carry al següent grup.

Ex: 24+17 = 410010 0100

0001 0111

0011 1011

1 0110

0100 0001

69




Codi BCD Excés 3: Equival al codi BCD 8421 + 0011 (3).

3 bits

Decimal BCD

0 0011

1 0100

2 0101

3 0110

4 0111

5 1000

6 1001

7 1010

8 1011

9 1100

70




També podem representar informació alfanumèrica a partir dels codis:

ASCII : American Standard Code for Information Interchange

EBCDIC: Extended BCD Interchange Code

Ambdós utilitzen grups de 8 bits anomenats bytes per a codificar nombres, lletres, caràcters de control, símbols de puntuació.

Amb 8 bits podem codificar fins a 256 símbols diferents. Els 127 primers són comuns, els altres 127 s’adapten a l’idioma (accents) i altres particularitats.

Actualment l’EBCDIC pràcticament no s’utilitza.

71



Codi ASCII Standard: els 127 primers símbols (7 bits):

72



Més informació:

Estructura i Tecnologia de Computadors, tema 2

https://www.documentauniversitaria.cat/botiga.php?a=llibre&id=809

www.unigrades.eu

Floyd, Thomas L. (2009). Digitals Fundamentals. PearsonInternational. – Capítol 2

Wikipedia: Codi Gray, Codi Johnson, Codi BCD,BCD Aiken i BCD XS3, Codi ASCII i Codi EBCDIC

https://www.documentauniversitaria.cat/botiga.php?a=llibre&id=809

http://www.unigrades.eu/

tema 2 representació de la informació

Education