TEMA II HIDROSTATICA

Es la rama de la Hidráulica que estudia las presiones y fuerzas producidas por el peso de un fluido en reposo.

PRESION DE UN FLUIDO

Presión es la fuerza por unidad de área que obra sobre una superficie real o imaginaria situada dentro de un fluido

A

FP =

Sistema absoluto

2

211

002

211

ms

KgTLM

TML

TMLP === −−

−

Sistema gravitacional

2

021

020

001

m

KgfTLF

TLF

TLFP === −

La presión en un punto cualquiera de un fluido actúa con igual intensidad en todas direcciones. La fuerza resultante de la presión de un fluido sobre una superficie, es normal a ésta en todos sus puntos.

Las variaciones de presión, en función de la profundidad del punto estudiado por debajo de la superficie de un

líquido, pueden evaluarse considerando las fuerzas que actúan sobre un prisma vertical cuya altura es ∆h y

en el que el área de la sección transversal es ∆a. La suma algebraica de todas las fuerzas, ejercidas sobre

el prisma, tanto vertical como horizontalmente, o en otra dirección cualquiera, es necesariamente igual a cero, porque en otro caso no habría hidroestabilidad.

Las fuerzas verticales son, simplemente, el peso, o sea, la altura o profundidad multiplicada por el peso específico. Y la fuerza debida a la presión, ejercida perpendicularmente a la superficie, (P 1), es mínima en la parte superior (cero en la superficie del líquido), y (P2), máxima en el fondo o punto más bajo. La suma de estas fuerzas vale:

P2 ∆a = P1∆a+ γ∆h∆a……….(1)

despejando a P2

P2= P1 + γ∆h…………………(2)

Tomando como positiva la dirección de h hacia abajo y despejando ∆h

γγγ1212PPPP

h −=−

=∆

Si se toma P1 como la presión en la superficie libre del líquido, ∆h se transforma en h, o sea, la distancia vertical de la superficie libre al punto en que la presión es P. Además, cuando la presión en la superficie libre

es la atmosférica (Pa), P2 es la presión absoluta en ese punto. De (2) se deduce la expresión siguiente para la presión absoluta, Pab:

Pab = γh+ Pa

Lo más común en problemas de ingeniería hidráulica es considerar la presión manométrica, P. La escala de las presiones manométricas se obtiene designando o considerando a la presión atmosférica como nula (Pa=

0) en cuyo caso la presión manométrica o relativa vale P = γh y en consecuencia γP

h = , donde h recibe el

nombre de carga de presión. Esta expresa la profundidad, en metros, de un líquido de peso especifico γ necesaria para producir una presión P. Los valores de la presión absoluta son siempre positivos, mientras que la presión manométrica puede ser positiva o negativa, según sea mayor o menor que la atmosférica. Las presiones manométricas negativas indican que existe un vació parcial

Dispositivos para la medición de presiones hidrostáticas

Se han utilizado varios dispositivos para la medición de las presiones producidas por un líquido en reposo con

base en p = Pa + γ (Zo - Z), llamados comúnmente manómetros.

Manómetros simples

Los más importantes son el barómetro y el tubo piezométrico. El primero es un dispositivo para medir la presión atmosférica local; consiste en un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo cerrado y el otro abierto, sumergido dentro de un recipiente que contiene dicho elemento.

∆h

peso

P2 ∆a

P1 ∆a

γ∆h∆a =peso

h

Mercurio (Hg)

Presión atmosférica Pa

Vacio

Barómetro

La presión atmosférica, ejercida sobre la superficie del mercurio en el recipiente, lo fuerza a elevarse dentro del tubo hasta alcanzar la columna una altura h que se equilibra, la presión atmosférica; se expresa así:

Pa = γHg h

Donde γHg es el peso específico del mercurio (13595 kg/m3 ). A nivel del mar y a la temperatura de 15 °C la

presión atmosférica es de 10333 kg/m2; entonces, la correspondiente altura barométrica del mercurio es

mh 76.013595

10333 ==

El tubo piezométrico se utiliza para medir presiones estáticas moderadas de un líquido que fluye dentro de una tubería; consiste en un tubo transparente de diámetro pequeño, conectado al interior de la tubería mediante un niple y con el otro extremo abierto a la atmósfera. La altura h de la columna piezométrica, multiplicada por el peso específico del líquido en la tubería, determina la presión en la misma para el punto de contacto con el piezómetro.

Manómetros diferenciales

El manómetro diferencial abierto consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un líquido pesado (comúnmente mercurio). Uno de sus extremos se conecta de manera perpendicular a la pared que confina el flujo del recipiente que lo contiene. El otro extremo puede estar abierto a la atmósfera o bien con otro punto de la pared, en cuyo caso el manómetro mide la diferencia de presiones entre los dos puntos. La diferencia de niveles de la columna del líquido en el manómetro diferencial indica la diferencia de las cargas de presión ejercidas sobre los extremos de la columna. Por ejemplo en la figura siguiente el peso

específico del líquido en el recipiente es γ1 y el del líquido en el manómetro γ2. Siendo Pa la presión manométrica en el punto A del recipiente, la presión en la sección de contacto B de los líquidos es

PB = PA + γ1 Z1

Por otra parte, PB = γ2 Z2 y, al igualar ambas ecuaciones, resulta PA = γ2 Z2 - γ1 Z1

Z1

γ1

paZ2

γ2

B

A

Hay también manómetros cerrados, aparatos comerciales provistos de un sistema mecánico de aguja y carátula graduada donde se leen directamente las presiones.

Ley de Pascal

Examinemos la ecuación principal de la hidrostática p=p0 + ρgh. De ésta se desprende que la presión p en cualquier punto del líquido en reposo se compone de la presión excesiva ρgh, que depende de la densidad del líquido y la profundidad, y la presión en la superficie libre p0, que como si se transmitiera automáticamente a cualquier punto del líquido. En cuanto varía la presión en la superficie libre, este nuevo valor de p 0 se manifiesta en cualquier punto del líquido. En la confirmación de esta propiedad consiste la ley de Pascal que puede formularse del modo siguiente: la presión que actúa sobre el líquido se transmite a todas las partículas de este líquido en todas las direcciones sin variación.

En la ley de Pascal se funda el principio de funcionamiento de ciertos dispositivos hidráulicos, tales como la prensa hidráulica, el acumulador hidráulico y el gato hidráulico.

Presión absoluta y excesiva o relativa y altura de presión.

Volvamos a la ecuación principal de la hidrostática p=p0 + ρgh. Aquí p es la presión total o absoluta; p0, la

presión en la superficie libre. En el caso de un tanque abierto p0 = pat =98 kPa, lo que corresponde a 10 m de

H2O; ρgh es la presión creada por el peso del líquido y denominada presión excesiva. Por consiguiente,

atpabsp

excpatpabsp

−=

+=

excp

:donde de

Aclarémoslo en un ejemplo. Supongamos que es necesario hallar la presión excesiva en el fondo de un depósito con una profundidad h = 13 m:

MPa

ghpghpppp atatatabsexc

128013819103 .. =⋅⋅=

=−+=−= ρρ

Para la medición de la presión sirven tubos de vidrio con una escala, los llamados piezómetros de líquido, o bien los manómetros. Los manómetros de producción fabril, por sus particularidades de construcción, son capaces de medir (como regla) sólo la presión excesiva, por eso está a veces se llama manométrica.

Supongamos que a un recipiente se han conectado dos tubos (ver figura). El tubo izquierdo tiene el extremo superior soldado y la presión en éste es igual a cero, mientras que el tubo derecho está abierto, la presión en

éste atpP =0'

Los puntos A y B se encuentran en un mismo plano horizontal, es decir, a un mismo nivel, a la profundidad h de la superficie del agua en el recipiente y más arriba del plano horizontal 00 en z.

Determinemos la altura de elevación del agua en el tubo derecho hm. La presión en los puntos A y B será una

misma e igual a pA = pB =p0 + ρghm. Entonces la presión en el punto B que actúa a la izquierda se equilibra por la presión a la derecha, debida al peso del líquido en el piezómetro (manómetro de agua)

mB ghpp ρ+='0'

Sustituyendo en la ecuación obtenida los valores de pA, tendremos ,0 mat ghpghp ρρ +=+ de donde

( ) ( ) ./0 hgpph atm +−= ρ La altura de elevación del agua en el piezómetro con respecto al plano de

referencia 00 será:

zhg

pphzh at

mp++

−=+=

ρ0

(2.7)

es decir, es un valor constante para cualquier punto del líquido que se halla en el recipiente. Como (p0 – pat)/ρg es constante, lo es también el valor de (z + h) con respecto a 00.

La magnitud hp se denomina altura piezométrica o carga piezométrica.

La altura de elevación en el tubo izquierdo se deduce análogamente: pA=p0+ρgh=0+ρghder, de donde:

hg

p

g

ghphder +=

+=

ρρρ 00

La altura de elevación del agua en el tubo izquierdo es en pat/ρg mayor que en el derecho. La suma de las alturas z + hder es también constante para cualquier punto del líquido que se halla en el recipiente y se denomina altura hidrostática:

g

phzH

ρ0++=

Si p0 = pat, o sea el recipiente está abierto, las alturas piezométrica e hidrostática serán respectivamente iguales a:

hp = z + h = const;

.constzhg

pH at =++=

ρ

La ecuación hp = z + h = const muestra que en un recipiente abierto lleno de líquido, z y h pueden escogerse arbitrariamente, pero de tal modo que su suma sea igual, es decir,

z1 + h1 =z2 +h2 = const.

De acuerdo con pexc =ρgh la altura h puede expresarse a través de la presión: h1 = p1 / (ρg); h2 = p2 / (ρg),

entonces, constg

pz

g

pz =+=+

ρρ2

21

1

Desde el punto de vista de la energética, z + p / (ρg) puede considerarse como la energía potencial Ep de la unidad de peso del líquido. Efectivamente, un líquido con masa m, kg, tiene una energía potencial igual a mg(z+ p / (ρg)), N·m, ya que z + p / (ρg) tiene dimensión lineal. Dividiendo la última expresión por mg (peso del líquido), obtendremos la energía potencial por unidad de peso o la energía potencial específica.

FIGURA

∗ DIAGRAMAS DE LA PRESION HIDROSTATICA

La presión del líquido en cualquier punto siempre está dirigida por la normal interior al plano que actúa y se calcula por la fórmula

Pi= Po + ρghi

La presión manométrica en un punto depende de la profundidad de éste por debajo del nivel de la superficie libre y es igual numéricamente a:

Pm =ρghi.

La representación gráfica (en escala) de la variación de la presión hidrostática sobre cualquier superficie en función de la profundidad se llama Diagrama de presión.

Para construir el diagrama de presión hidrostática del agua sobre una superficie plana, en cada punto de ésta, se levantan las perpendiculares y, colocando en ellas en escala los valores de la presión manométrica (de la profundidad), se unen los extremos de las perpendiculares con una línea. Como resultado de la construcción obtenemos el diagrama de presión manométrica sobre la superficie dada. La dirección de la presión se indica con una flecha.

Para construir el diagrama de presión total y excesiva sobre la compuerta plana vertical de retención del agua OA que obtura un canal (figura 2.12 a). Fijemos el origen de coordenadas en el punto o, dirijamos a la derecha el eje las presiones p y hacia abajo, el eje de profundidades h. Las presiones total y excesiva en el origen de coordenadas serán respectivamente p = pat y pexc = 0. La presión total se expresa por el

segmento DO. La presión total y excesiva en el punto A serán p = pat+ ρgH; pexc = ρgH. En la figura 2.12-

a están presentadas respectivamente por los segmentos CA y BA. La presión excesiva en el punto e se representa con el segmento ke, la presión total en el punto f, con el segmento nf. Por la derecha sobre la compuerta actúa la presión atmosférica dirigida en sentido contrario a la presión hidrostática; por eso el diagrama que realmente actúa sobre la compuerta sigue siendo el diagrama OAB.

En la figura 2.12.b de la superficie plana inclinada está construido el diagrama de presión hidrostática excesiva. La presión hidrostática siempre está dirigida por la normal a la superficie, por eso para construir el diagrama, del punto A se levanta una perpendicular a la superficie OA y se coloca en valor ρgh; el punto B así

obtenido se une con el origen de coordenadas. El segmento f-e del diagrama representa el valor y la dirección de la presión hidrostática excesiva en el punto e.

En la figura 2.12 c, está construido el diagrama de presión hidrostática excesiva sobre la superficie plana quebrada OABCD. En el punto A se levantan dos perpendiculares, una a la línea OA y otra a la línea AD, colocando en éstas en escala ρgh; se obtienen los puntos A’, AA’’. En el punto D también se levanta una perpendicular a AD y, colocando ρgh, se obtiene el punto D’. Uniendo el punto A’ con O, y A’’ con D’ se obtiene el diagrama de presión sobre la compuerta. El diagrama de presión sobre la parte de la compuerta BC será el trapecio BCC’B’.

En la figura 2.12-d está construido el diagrama de presión del agua sobre un muro vertical, existiendo el agua a la izquierda y la derecha de éste; en la figura 2.12-e, el diagrama de presión sobre una compuerta de profundidad.

∗ PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Examinemos la acción de las fuerzas de presión sobre el cuerpo ABCD de volumen V sumergido en un líquido.

G

A

D

F

B

c

E

C

FIGURA 2-12

Sobre el cuerpo ABCD actúan las fuerzas superficiales de presión PAB, PBC, PCD.y PAD cuyos valores corresponden a las áreas de los diagramas de presión hidrostática. Las fuerzas horizontales de presión que actúan sobre las superficies laterales del cuerpo BC y AD están mutuamente equilibradas: P BC = PAD. Las fuerzas verticales de presión que actúan sobre las superficies AB y CD son iguales al peso del líquido en el volumen del cuerpo de presión correspondiente:

PAB= ρg (V AEFB); PCD = ρgVDEFC

Siendo:

ρ= densidad de líquidoV= volumen del cuerpo de presión correspondiente

La resultante de esas fuerzas:

P=PCD - PAB = ρg (VDEFC - VAEFB) = ρg (VABCD)

Se llama fuerza de Arquímedes y esta dirigida hacia arriba.

La formula expresa el principio de Arquímedes que reza: todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical igual al peso del volumen del líquido que desaloja.

La fuerza P se llama también fuerza de suspensión, fuerza sustentadora o desplazamiento, mientras que el punto de su aplicación al cuerpo que corresponde al centro de presión se denomina centro empuje.

Al sumergirse completamente el cuerpo en un líquido homogéneo, la fuerza P no depende de la profundidad de inmersión, sino que depende sólo de la densidad del líquido ( si ρ = const) y del volumen del cuerpo.

La línea de acción de la fuerza de Arquímedes P pasa a través del centro de gravedad del volumen del líquido desplazado.

Fuerzas de presión sobre superficies planas.

En la figura “A”, LM representa una superficie plana sumergida que al prolongarse corta a la superficie libre en O bajo un ángulo θ . Considerando O como origen y OM como el eje de las y, la fuerza de la presión dP sobre un área elemental dA es whdA= w y senθ dA. La fuerza total de la presión o empuje, que obra sobre el área LM, es entonces

ydAwsenP ∫= θ

Si y es la distancia del centro de gravedad de la superficie a O,

yAydA =∫

y

θAsenywP =

y con θsenyh = ,

AhwP = (Empuje hidrostático)

El centro de presión es el punto de la superficie sumergida en que actúa la resultante de la presión. Como la intensidad de la presión aumenta con la profundidad, el centro de presión se encuentra debajo del centro de

gravedad. La distancia, yp, desde O a la proyección sobre OM del centro de presión, paralelamente a la superficie libre, se halla partiendo de la suma de los momentos de las fuerzas elementales, respecto a dicho eje, como sigue:

P

ydPyp

∫=

La cual, por lo anterior, puede escribirse en la forma

ydA

dAy

ydA

dAy

wsen

wsenyp ∫

∫=∫∫=

22

θθ

(A)

El numerador de la fracción anterior es el momento de inercia de la superficie LM respecto al eje perpendicular al plano del dibujo que pasa por O. Este momento de inercia es igual a

22 yAAk + , siendo k el radio de giro de la superficie. El denominador es igual a Ay. Substituyendo estos valores en la ecuación (A) y reduciendo,

y

kyy

p

2

+=

K2 cuadrado del radio de giro.

Figura “A”. Fuerzas de presión sobre superficies planas

En la tabla 2.1 se presentan la posición del centro de gravedad, el área y el radio de giro de las figuras más usuales.

Fuerzas de presión sobre superficies curvas.

La resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza pdA normales a la superficie. La magnitud y posición de la resultante de estas fuerzas elementales, no puede determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la resultante para luego combinarlas vectorialmente.

Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de liquido ilustrada en la figura “B”, limitado por la superficie libre ao, por la superficie vertical plana ob, y por la superficie curva ab. El peso de este volumen es una fuerza W vertical hacia abajo, y actuando de derecha a izquierda sobre ob está la fuerza horizontal

AhwpH

= , en donde A es el área de la superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva ab. Se deduce, en consecuencia, que la componente horizontal de la resultante total de las presiones sobre una superficie curva, es igual, y esta aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por otra parte, la componente vertical de dicha resultante total sobre la superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y esta aplicada en el centro de gravedad del volumen liquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen imaginario de líquido que se encontraría encima de la superficie, y está aplicada hacia arriba pasando por su centro de gravedad

Figura “B”. Fuerzas de presión sobre superficies curvas

G

P=wh

P

L

θ

hh

O

M

dA

C

G

L

M

yP

y

y

PH

W

o

b

a

TABLA 2.1 Centro de gravedad, área y radio de giro de las figuras más usuales