INTRODUCCIÓN

El análisis de las deformaciones también puede ayudar en la determinación de esfuerzos.

Considerando las estructuras de ingeniería como deformables, será posible calcular las fuerzas que son estáticamente indeterminadas.

Estudiaremos barras cargadas axialmente, y se supondrá que los esfuerzos se encuentran distribuidos de manera uniforme y que permanecen dentro del rango elástico.

GENERALIDADES

La relación entre el esfuerzo y la deformación en un material dado es una característica importante del material.

Se considera que la deformación es constante, si: - La pieza tiene sección transversal constante. - El material es homogéneo. - La fuerza actuante es axial.

ENSAYO DE TRACCIÓN

Antes de realizar el ensayo, se determina el área de la sección transversal A0, la longitud base de la probeta L0. La carga aplicada durante el ensayo tiene un valor igual a P. Al aumentar P, aumenta el alargamiento δ=L-L0

Para cada par de lecturas P y δ, se calcula el esfuerzo σ(P/A0) y la deformación unitaria (δ/L0)

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN (σ - ϵ)

Los diagramas esfuerzo-deformación de los materiales varían. Sin embargo, es posible distinguir algunas características comunes entre los diagramas esfuerzo-deformación de distintos grupos de materiales

MATERIALES DÚCTILES

Pueden estar sometidos a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura

ESTRICCIÓN

σY resistencia o punto de fluencia o cedencia del material σU resistencia última σB resistencia a la fractura.

MATERIALES FRÁGILES

La fractura ocurre sin un cambio notable previo de la tasa de alargamiento. σU = σB; resistencia última = resistencia a la fractura

NO HAY ESTRICCIÓN

DIVERSIDAD EN EL COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES DÚCTILES

MÉTODO DE DESVIACIÓN

Por este método se determina la resistencia a la cedencia con una desviación del 0.2%. Se obtiene dibujando por el punto del eje horizontal de abscisa ϵ = 0.2% (o ϵ = 0.0022), una línea paralela a la porción inicial en línea recta del diagrama de esfuerzo-deformación

MEDIDA DE LA DUCTILIDAD

PORCENTAJE DE ALARGAMIENTO:

Porcenaje de alargamiento = 100LB − L0L0

L0 Longitud inicial de la probeta para ensayo de tensión LB Longitud final a la ruptura PORCENTAJE DE REDUCCIÓN DE ÁREA:

Porcenaje de reducción de área = 100A0 − ABA0

A0 Área inicial de la sección transversal de la probeta AB Área de sección transversal a la fractura * Para aceros, normalmente 20% de alargamiento y 60% reducción de área

ENSAYO DE COMPRESIÓN

Para un acero, la resistencia a la fluencia es la misma tanto a tensión como a compresión. No puede ocurrir estricción a compresión. Para la mayoría de los materiales dúctiles, se encuentra que la resistencia última a compresión es mucho mayor que la resistencia última a la tensión. Un material frágil con diferentes propiedades a tensión y a compresión es el concreto:

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN VERDADEROS

La diferencia entre el esfuerzo ingenieril y el esfuerzo real se vuelve aparente en los materiales dúctiles después de que ha aparecido la cedencia.

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN VERDADEROS

Muchos científicos utilizan una definición de deformación diferente de la deformación ingenieril, utilizan todos los valores sucesivos de L que han registrado. Se obtiene la deformación unitaria elemental Δϵ = ΔL/L. Sumando los valores sucesivos de Δϵ, se define la deformación unitaria real ϵt:

ϵt = ∆ϵ = (∆L

L)

Los ingenieros, utilizan un diagrama basado sobre el esfuerzo ingenieril σ = P/A0 y sobre la deformación unitaria ingenieril ϵ = δ/L0, ya que estas expresiones involucran datos disponibles para ellos, como el área de la sección transversal A0 y la longitud L0 del elemento en su estado sin deformar.

ESFUERZOS LÍMITES

ESFUERZOS LÍMITES

- Límite de proporcionalidad, el esfuerzo es proporcional a la deformación. Establece el esfuerzo admisible que un material dado puede soportar. - Límite elástico, o límite de elasticidad es el esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado. - Punto de fluencia, es aquel en el que aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga. * El límite aparente de proporcionalidad al 0.2%, está estrechamente asociado al punto de fluencia. - Esfuerzo último, o límite de resistencia, es la máxima ordenada de la curva esfuerzo-deformación. - Punto de ruptura, o esfuerzo en el punto de ruptura (que en

ocasiones es menor que el esfuerzo último) *Supondremos que el punto de fluencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad coinciden todos ellos, a no ser que es establezca de otra manera.

MANERAS EN QUE EL MATERIAL SE COMPORTA

Comportamiento elástico El material responde elásticamente. Fluencia Un ligero esfuerzo más allá del límite elástico provocará un colapso del material y causará que se deforme permanentemente. El punto superior de fluencia ocurre primero y cuando se alcanza el punto inferior de fluencia el material se dice que está en un estado perfectamente plástico. Endurecimiento por deformación Se produce cuando la fluencia ha terminado y aún puede aplicarse más carga a la probeta hasta llegar a un esfuerzo máximo, llamado esfuerzo último, σU. El área de su sección transversal disminuirá uniformemente. Formación del cuello o estricción En el esfuerzo último, el área de la sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta, esta área pequeña puede soportar sólo una carga siempre decreciente.

MANERAS EN QUE EL MATERIAL SE COMPORTA

El esfuerzo σ es directamente proporcional a la deformación ϵ

E (Pa): Módulo de elasticidad del material o módulo de Young El máximo valor de esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material dado es el límite de proporcionalidad

Hipótesis que se han de cumplir: - La carga ha de ser axial. - La barra debe ser homogénea y de sección constante. - El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad.

LEY DE HOOKE – MÓDULO DE ELASTICIDAD

𝛔 = 𝐄𝛜

LEY DE HOOKE – MÓDULO DE ELASTICIDAD

La estructura tendrá un incremento en su capacidad de carga, pero su rigidez permanecerá sin cambio

Por la ley de Hooke: ϵx = σx/E Pero, la elongación que produce una fuerza axial, se acompaña de una contracción en cualquier dirección transversal.

Se supondrá que todos los materiales considerados son homogéneos e isotrópicos. Entonces la deformación lateral será ϵy = ϵz.

RELACIÓN DE POISSON

Los valores de ϵy y ϵz se les conoce como deformaciones laterales.

𝜈 = −deformación unitaria lateral

deformación unitaria axial

Las deformaciones axiales y laterales de todos los materiales de ingeniería tienen signos opuestos. 0 < 𝜈 < 0.5.

Por lo tanto:

ϵx =σxE

ϵy = ϵz = −νσxE

RELACIÓN DE POISSON

𝛎 = −𝝐𝒚

𝝐𝒙= −𝝐𝒛𝝐𝒙

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

𝝐𝒙 = +𝝈𝒙𝑬−𝝂𝝈𝒚

𝑬−𝝂𝝈𝒛𝑬

𝝐𝒚 = −𝝂𝝈𝒙𝑬+𝝈𝒚

𝑬−𝝂𝝈𝒛𝑬

𝝐𝒛 = −𝝂𝝈𝒙𝑬−𝝂𝝈𝒚

𝑬+𝝈𝒛𝑬

En ambos casos, el valor del esfuerzo es el mismo: σ = P/A

DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

Deformación unitaria: Si la barra tiene una sección transversal uniforme con área A, puede suponerse que el esfuerzo normal σ tiene un valor constante P/A

DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

𝛜 = 𝛅

𝐋

En el caso de un elemento de área variable de sección transversal A, Es necesario definir la deformación unitaria en un punto dado Q

ϵ = lim∆x→0

∆δ

∆x=dδ

dx

DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

Las deformaciones unitarias normales que ocurran dentro del material serán muy pequeñas comparadas con la unidad, ϵ << 1 La deformación normal es una cantidad adimensional.

Aplicando la ley de Hooke se escribe 𝜎 = 𝐸𝜖

de donde sigue que

𝜖 =𝜎

𝐸=𝑃

𝐴𝐸

Recuerde que la deformación ϵ se definió como ϵ = δ/L, se tiene que

𝛿 = 𝜖𝐿 y sustituyendo ϵ *Varilla homogénea de sección transversal uniforme

DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

𝛅 =𝐏𝐋

𝐀𝐄

Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de una región de barra a la siguiente, la ecuación puede aplicarse a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes.

DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

Una varilla con sección transversal variable, la deformación depende de la posición del punto Q donde se le calcula y se define como ϵ=dδ/dx

𝛅 = 𝑷𝒊𝑳𝒊𝑨𝒊𝑬𝒊𝒊

𝛅 = 𝑷𝒅𝒙

𝑨𝑬

𝑳

𝟎

En donde no es posible determinar las fuerzas internas usando sólo la estática Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con relaciones que involucran las deformaciones obtenidas considerando la geometría del problema. Las condiciones del problema no pueden cambiarse arbitrariamente

PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

FB + FA – P = 0 δA/B = 0

La solución de un problema estáticamente indeterminado se puede obtener considerando, en forma separada, las deformaciones producidas por las cargas dadas y por la reacción redundante y sumando —o superponiendo— los resultados obtenidos.

Se deben cumplir las siguientes dos condiciones:

a) La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento que va a determinarse. Por ejemplo, las ecuaciones σ=P/A y δ=PL/AE implican una relación lineal entre P, σ y δ.

b) La carga no debe cambiar significativamente la geometría original o configuración del miembro.

Pd≠P1d1 + P2d2

porque d1≠ d2 ≠d

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

CAMBIOS DE TEMPERATURA

Si ΔT aumenta, la varilla se alarga por una cantidad δT

α: coeficiente de expansión térmica. (°C-1 o °F-1)

varilla homogénea AB con sección transversal uniforme, que descansa libremente en una superficie horizontal lisa.

𝛅𝐓 = 𝛂 ∆𝐓 𝐋

CAMBIOS DE TEMPERATURA

Si el cambio de temperatura varía sobre toda la longitud del miembro, esto es, ∆T = ∆T(x), o si α varía a lo largo de la longitud: Con la deformación δT debe asociarse una deformación ϵT=δT/L.

ϵT : deformación unitaria térmica

𝛅𝐓 = 𝛂∆𝐓𝐝𝐱𝐋

𝟎

𝛜𝐓 = 𝛂∆𝐓

CAMBIOS DE TEMPERATURA – PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

No existe esfuerzo ni deformación en esta condición inicial. Si se eleva la temperatura en ΔT, la varilla no puede deformarse. Por lo tanto δT = 0, y ϵT = 0. Después de que se haya elevado la temperatura, los soportes ejercerán fuerzas para evitar que se elongue.

CAMBIOS DE TEMPERATURA – PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

Utilizando el método de superposición:

1. Se libera la varilla de su apoyo B y se le permite alargarse libremente. (δT = α ∆T L)

2. Se aplica en B la fuerza P y se obtiene

la segunda deformación. (δ =PL

AE)

3. Expresando que la deformación total δ debe ser cero.

δ = δT + δP = α ∆T L +PL

AE= 0

donde:

P = -AEα(ΔT); y σ =P

A= −Eα(∆T)

*Este caso sólo se aplica al caso de una varilla homogénea con sección transversal uniforme.

CAMBIO DE VOLUMEN – DILATACIÓN DEL MATERIAL

O también llamado Módulo de Compresibilidad

Estado no esforzado: cubo de volumen unitario

Bajo los esfuerzos σx, σy y σz: se deforma en un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es:

𝜐 = (1 + 𝜖𝑥)(1 + 𝜖𝑦)(1 + 𝜖𝑧)

𝜐 = 1 + 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧

CAMBIO DE VOLUMEN – DILATACIÓN DEL MATERIAL

e: cambio de volumen (dilatación del material) e = υ − 1

e = ϵx + ϵy + ϵz

Sustituyendo ϵx, ϵy y ϵz de las ecuaciones de la Ley de Hooke generalizada en esta ecuación, se tiene que:

𝒆 =𝟏 − 𝟐𝝂(𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 + 𝝈𝒛)

𝑬

CAMBIO DE VOLUMEN – DILATACIÓN DEL MATERIAL

Caso especial: cuerpo sujeto a una presión hidrostática uniforme p

𝑒 = −3(1 − 2𝜈)

𝐸𝑝

Introduciendo la constante k:

𝑘 =𝐸

3(1 − 2𝜈)

entonces:

𝑒 = −𝑝

𝑘

k(Pa): Módulo de elasticidad volumétrico o módulo de compresibilidad del material

CAMBIO DE VOLUMEN – DILATACIÓN DEL MATERIAL

Caso especial: cuerpo sujeto a una presión hidrostática uniforme p

𝑒 = −3(1 − 2𝜈)

𝐸𝑝

Introduciendo la constante k:

𝑘 =𝐸

3(1 − 2𝜈)

entonces:

𝑒 = −𝑝

𝑘

k(Pa): Módulo de elasticidad volumétrico o módulo de compresibilidad del material

La dilatación e es negativa y k es una cantidad positiva.

1-2ν>0 0 < ν < 1/2

DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE

Los esfuerzos cortantes τxy, τyz y τzx y sus correspondientes τyx, τzy y τxz estarán siempre presentes. Los esfuerzos cortantes tienden a deformar un elemento cúbico de material hacia la forma de un paralelepípedo oblicuo.

DEFORMACIÓN UNITARIA A CORTANTE

τxy = τyx

El elemento se deforma en un romboide con lados iguales a uno.

DEFORMACIÓN A CORTANTE EN LAS DIRECCIONES XY

Cuando la deformación involucra una reducción del ángulo formado por las dos caras orientadas respectivamente hacia los ejes x e y positivos, se dice que la deformación a corte γxy es positiva

DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN A CORTANTE

Los valores obtenidos para la resistencia de cedencia, resistencia última, etc., de un material dado son aproximadamente la mitad de los valores en corte que sus equivalentes en tensión.

Ley de Hooke para esfuerzo y deformación a cortante: τxy = Gγxy

G: Módulo de rigidez o módulo de cortante

DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN A CORTANTE

Los valores obtenidos para la resistencia de cedencia, resistencia última, etc., de un material dado son aproximadamente la mitad de los valores en corte que sus equivalentes en tensión.

Ley de Hooke para esfuerzo y deformación a cortante:

G(Pa): Módulo de rigidez o módulo de cortante γxy: Deformación angular en radianes (adimensional)

𝝉𝒙𝒚 = 𝐆𝜸𝒙𝒚

DEFORMACIÓN A CORTANTE

𝝉𝒚𝒛 = 𝑮𝜸𝒚𝒛

𝝉𝒛𝒙 = 𝑮𝜸𝒛𝒙

Se obtiene el siguiente grupo de ecuaciones que representan la ley de Hooke generalizada para un material isotrópico homogéneo bajo la condición más generalizada de esfuerzos.

Siendo la relación entre E y G:

DEFORMACIÓN UNITARIA

𝐄

𝟐𝐆= 𝟏 + 𝛎

𝝐𝒙 = +𝝈𝒙𝑬−𝛎𝝈𝒚

𝑬−𝛎𝝈𝒛𝑬

𝝐𝒚 = −𝝂𝝈𝒙𝑬+𝝈𝒚

𝑬−𝛎𝝈𝒛𝑬

𝝐𝒛 = −𝝂𝝈𝒙𝑬−𝛎𝝈𝒚

𝑬+𝝈𝒛𝑬

𝜸𝒙𝒚 =𝝉𝒙𝒚

𝑮𝜸𝒚𝒛 =

𝝉𝒚𝒛

𝑮𝜸𝒛𝒙 =

𝝉𝒛𝒙𝑮