tema 2. comprensión de conceptos y descubrimiento de ... · el tema 2, está compuesto por los...

1 D.R Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2008

Prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

Módulo 1- Procesos básicos para el aprendizaje efectivo de las matemáticas

Tema 2. Comprensión de conceptos y descubrimiento de relaciones

El tema 2, está compuesto por los siguientes subtemas:

1. La construcción del pensamiento matemático. - Etapas en la construcción del pensamiento matemático.

2. Habilidades de pensamiento para el aprendizaje de las matemáticas. 3. El desarrollo y consolidación de habilidades de pensamiento. 4. Identificación de las características básicas y clasificación de los conceptos

matemáticos - El proceso intelectual del aprendizaje de conceptos y relaciones - Relación de materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas - Generalización de conceptos - Transferencia del conocimiento conceptual al procedimiento - Relación de representaciones de conceptos o procedimientos - Uso de las matemáticas en distintas áreas del conocimiento

5. El papel de la secuenciación didáctica para el aprendizaje de relaciones entre conceptos nuevos e información previa.

Subtema1-La construcción del pensamiento matemático.

Las ideas están construidas sobre conceptos. Los conceptos existen de todos tipos y algunos son más significativos que otros. A lo largo de un día cualquiera, se emplean cientos y quizás miles de ellos. Cuando un ser humano aprende y experimenta cosas nuevas, ordena y aumenta progresivamente su “banco conceptual”. Constantemente se emplean viejos conceptos y, en el proceso, con frecuencia se aumentan y adquieren nuevos, que necesariamente se relacionan con los anteriores. Esta secuencia de eventos, que es continua mientras se tiene la habilidad de pensar, es cien por ciento aplicable al aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, al ser una ciencia exacta y abstracta, es importante reconocer que los conceptos matemáticos no están contenidos en los objetos, sino que se refieren a ellos y además, que la construcción del conocimiento matemático se basa en la comprensión de los mismos y su vinculación con la realidad.

Veamos un ejemplo de cómo puede ocurrir esta vinculación:



Para ver la animación, acceda a la página del curso.

Esta complejidad debe llevar al profesor de matemáticas a cuestionarsE hasta qué grado la matemática debe ser aprendida exclusivamente como una forma de conocimiento abstracto, que se soporta a sí misma en conceptos y lenguajes más formales y hasta que grado deben ser aprendida como conceptos concretos que permiten su expresión e identificación con la realidad. Tradicionalmente, quienes se han ocupado de la didáctica de la matemática han insistido también en la idea de que el conocimiento matemático debe ser aprendido por el estudiante pieza a pieza, de forma significativa sobre la base de experiencias anteriores y de concepciones que son fundamentalmente contextuales. A su juicio, el único modo del que los alumnos aprendan matemáticas es que reconstruyan los conceptos básicos de la matemática de un modo personal y relacionado con su entorno inmediato.



Etapas en la construcción del pensamiento matemático.

Es necesario conocer la forma en que el pensamiento matemático se construye y las etapas por las que atraviesa. Cada una de ellas corresponde a tres niveles diferentes de construcción, razón por la cual es muy importante que el profesor que promueve el aprendizaje ubique de forma eficiente el nivel en el que debe de trabajar: Los niveles son los siguientes:

Matemática pura.

El tercer nivel corresponde a la Matemática pura (la Ciencia Matemática). En este plano los procesos son plenamente formales, es decir, el avance es independiente de toda aplicación a la solución de problemas reales, lo cual no quiere decir que en un momento dado no puedan tener aplicaciones en el ámbito de las ciencias de la naturaleza y de la sociedad conforme estas se desenvuelven. Educativamente este nivel sólo corresponde a la formación de matemáticos profesionales en el ciclo universitario. Estos tres niveles de construcción se corresponden aproximadamente con tres etapas de desarrollo del pensamiento matemático en el proceso de evolución cognitiva del individuo. Las preguntas que se nos imponen ahora son:

• ¿Cuál de esos tres planos de la matemática debemos fomentar en la educación básica? • ¿Cuál es el momento para trabajar con los alumnos en los diferentes planos? • ¿Debemos olvidarnos de la educación en el plano de la matemática natural? • ¿Lo que importa es que los alumnos aprendan la Matemática pura desde la primaria? • ¿O lo que conviene para el conjunto de la población estudiantil es trabajar con ellos

esencialmente en el plano de la matemática aplicada?

Matemática aplicada

El segundo nivel es el de la matemática aplicada, es decir, en este plano el sujeto usa elementos del lenguaje y técnicas matemáticas desarrolladas socialmente y que se han convertido en convencionales (formas de notación, algoritmos, fórmulas estandarizadas para



buscar la solución de cierto tipo de problemas, etc.). Educativamente, este plano tiene que ver con la apropiación de algunas herramientas matemáticas convencionales específicas para la solución de problemas específicos en contextos específicos. Un ejemplo de ello es la utilización del conocimiento para la resolución efectiva de problemas o bien la utilización de las propiedades de los números para resolver problemas físicos o químicos.

Matemática natural

La matemática natural es el primer nivel de construcción cognitiva de las operaciones matemáticas, el sujeto las aprende (las construye) espontáneamente en su interacción con el medio natural y social en el que se desenvuelve (son procesos cognitivos tales como“reunión”, “separación”, seriación”, “desplazamiento”, “aumento”, disminución, “seriación”, etc.). El niño avanzará en la construcción de las mismas en la medida en que el medio en el que se desenvuelve sea estimulante y le dé un margen a la exploración viva los fenómenos y conceptos matemáticos. Comprender este punto es esencial en la educación, porque en las etapas primarias de este desarrollo el maestro sólo tiene que preocuparse porque el ambiente en que están los educandos sea suficientemente estimulante, y dentro de ello, que aquél les plantee retos adecuados a su edad, y los niños elaborarán sus estructuras y operaciones lógico-matemáticas por sí mismos. Un ejemplo lo constituye el ambiente de aprendizaje del modelo de educación Montessori, el cual está basado en la teoría de la observación de la naturaleza del niño. A través de este



modelo, se pretende promover la independencia a través del desarrollo de habilidades que le permiten al niño ir haciendo las cosas por él mismo, la libertad responsable a través de límites claros y consistentes, respeto por sí mismo, por el ambiente y por sus compañeros así como el desarrollo paulatino de la voluntad que se logra a través de la libre elección en el trabajo. El material Montessori ayuda a la construcción de la mente y desarrolla las habilidades del cuerpo logrando un equilibrio entre ambas. Se pretende que el niño adquiera por iniciativa propia nuevos conocimientos y conquiste las demandas internas de su propio desarrollo.

Ejemplo de Resolución de problemas: Resuelva el problema completando la gráfica.

Realiza esta gráfica Animales Gallinas

Vacas

Los conceptos básicos cuantitativo-numéricos que un niño de 3 a 6 años debe manejar, aparecen en la tabla siguiente:

3 ½ a 4 años 4 años 5 años 6 años Contar Un/uno

Dos Tres

Cuatro Cinco

Cero Seis Siete

Cocho

Nueve Diez Once doce

Operar sumando y restando

Uno más uno Dos más uno

Tres más uno Cuatro más uno Uno menos uno Dos menos uno Tres menos uno

Dos mas dos

Cuatro menos unoTres menos dos

Cuatro menos dosCuatro menos tres

Dos menos dos Tres menos tres

Tres más tres Cálculo hasta diez

Comparar cantidades

Más Menos

Mucho/muy Poco

Ninguno

Entero Partido

Parte de Pedazo de Casi nada

Además de También

Solamente/sólo Igual número de…de que

Tampoco Medio/mitad

Mitad de… de queÚnicamente

De tres en tres



Alguno/uno Ni un/ o de uno

en uno

Casi todo Varios

Mas… que Menos … que

Ni un/ o de De uno en uno

Mismo número de… de que

tantos como de dos en dos Bastantes

Los otros Algunos, pero no

muchos Un… en cada Por lo menos

Comparar magnitudes

Grande Pequeño Gigante Enano

Delgado Gordo Largo Corto Alto

Bajo(estatura) Casi vacío Casi lleno

Mayor que Mediano

Menor que Desigual número

Flaco

Lleno , aunque no del todo

Máximo tamaño Completo/mente

Incompleto Ancho

Estrecho Conjunto

Poco a poco (espacio)

Discriminar numerales

1 2

3 4 5

0 6 7 8 9

10 11

12….

Discriminar símbolos

aritméticos

+ + - =

Investigaciones realizadas responden a estas preguntas de la siguiente manera:

La matemática natural, que es corporal (porque el sujeto la va construyendo a partir de su interacción sensorio-motora con los objetos del medio), y es concreta (porque se usan objetos concretos como contenidos sobre los que se aplican las operaciones), debe ser fomentada en los alumnos, porque mientras más solidez adquieran las operaciones y estructuras de la matemática corporal, mejor se constituirá la base para el uso funcional de estas herramientas y para su ulterior desarrollo en los otros dos planos. Pedagógicamente lo que corresponde a este plano es, como se señaló arriba, que se ubique a los educandos en un ambiente estimulante, en el que ejecuten actividades diversas y con diversidad de materiales, que se les planteen problemas prácticos que, a través del desarrollo de habilidades y coordinaciones corporales, los induzcan a mejorar sus recursos lógico-matemáticos naturales.



En esta etapa no se trata de enseñar aún las técnicas ni el lenguaje convencional de la Matemática a los educandos, aunque el maestro tiene que saber en cada caso qué operaciones son las que deberá estimular, o qué estructuras deberá ayudar a constituir el conocimiento. El trabajo pedagógico que se haga en este nivel no debe reducirse al ciclo preescolar, como sucede ahora, es necesario que se continúe con él tanto tiempo como sea posible (al menos hasta que culmine el crecimiento corporal), independientemente del momento en el que, paralelamente, haya que empezar a trabajar con el segundo plano. El uso de materiales concretos puede ser una ayuda efectiva para el desarrollo del pensamiento de los alumnos y para lograr el éxito en el aprendizaje. Pero esa efectividad depende de lo que el maestro trate de conseguir. Para lograr el máximo beneficio del uso de los materiales concretos el profesor debe hacerse continuamente la pregunta: «¿Qué quiero que mis alumnos comprendan?». A continuación se presentarán algunos ejemplos utilizando materiales concretos para favorecer el aprendizaje de las matemáticas: Una forma de explicar las fracciones utilizando objetos concretos es la siguiente:

Ejemplo:

Otra forma común de enseñar las fracciones es hacer que los alumnos consideren una colección de objetos, algunos de los cuales sean distintos del resto, como se muestra en la siguiente figura:

¿Qué significa esta colección?

Si un alumno tuviera una colección como ésa, sería ciertamente algo concreto para él. Pero, ¿qué verían en esa colección? ¿Tres círculos de un total de cinco? En ese caso, verían una parte y el todo, pero no una fracción. ¿Tres quintos de uno? Quizás. Pero dependiendo de cómo piensen sobre los círculos y las colecciones, podrían ver también tres quintos de cinco, cinco tercios de uno, o cinco tercios de tres. Podrían ver también la figura 1 como una muestra de que:



Ya que dentro de 1 hay a la vez tres quintos, y otros dos tercios de otros tres quintos, o una prueba de que:

Ya que dentro de cinco hay una vez tres y dos tercios de otros tres Por último, podrían ver en la figura 1 que

es decir, que cinco tercios de tres quintos de uno es uno: Varias formas de pensar sobre los círculos y las colecciones de la figura 1:

1. Si vemos como una colección, entonces un es un quinto de 1, por

lo tanto son tres quintos de 1.

2. Si vemos como una colección, entonces es un tercio de uno, por lo tanto

son cinco tercios de uno.

3. Si vemos como un círculo, entonces son tres círculos, por tanto es un

tercio de tres y son cinco tercios de tres.

Es un error pensar que un material o ilustración particular muestra por sí mismo, y de manera inequívoca, una idea. Las matemáticas, como la belleza, están en el ojo del observador y el ojo ve lo que la mente concibe.

Los profesores, a veces, entienden la discusión de la figura 1 y la figura 2 como una forma de decir que debemos tener cuidado de que los alumnos «vean» la interpretación correcta de los



materiales concretos, es decir, aquella que nosotros intentamos que se formen. De hecho, se trata de lo contrario.

El objetivo debería ser que los alumnos pudieran construir, en principio, todas las interpretaciones posibles. El profesor debe ser consciente de las múltiples interpretaciones, para poder deducir cuál se están formando los alumnos. Sin esa consciencia, es fácil presumir que los alumnos ven lo que se trata de hacerles ver, y la comunicación entre profesor y alumnos puede romperse si éstos ven otra cosa distinta a lo que pensamos.

Es importante que los alumnos puedan crear múltiples interpretaciones de los materiales. Sus facultades se potencian cuando reconocen la multiplicidad de puntos de vista desde los cuáles pueden hacer interpretaciones válidas, ya que entonces están alerta para escoger entre ellas la más apropiada a la situación actual. Sin embargo, es responsabilidad del profesor estimular esa posibilidad. Probablemente no ocurrirá si el profesor no es consciente de las múltiples interpretaciones o piensa que las ideas «están» en los materiales. La figura 1 se ha ofrecido largo tiempo por profesores y libros de texto para ilustrar el concepto de la fracción ⅗.

De hecho, raramente se encuentran libros o profesores que discutan la diferencia entre pensar en ⅗ como «tres de un grupo de cinco» o «tres veces un quinto». Cómo el alumno entiende la figura 1 en relación ⅗ puede tener graves consecuencias. Cuando los alumnos piensan en fracciones como «tantos sacados de un grupo mayor de tantos», es lógico que se asombren con fracciones como 6/5 ¿Cómo se pueden sacar seis de un grupo de cinco?

El segundo ejemplo sigue la discusión sobre fracciones y pone de manifiesto que nuestras ideas sobre los ejemplos concretos en una cierta situación, pueden tener consecuencias sobre las acciones que realicemos con ellos. Supongamos, que la colección de arriba es un ejemplo de ⅗ y la de debajo de y la de abajo lo es de ¾

Combine las dos colecciones. ¿Es la combinación resultante un ejemplo de ⅗ + ¾? Sí y no. Si pensamos en ⅗ y ¾ como ratios (tantos sacados de un cierto grupo) entonces tenemos que



⅗ + ¾ = 6/9 ya que tres sacados de un grupo de cinco combinados con tres sacados de un grupo de cuatro nos dan seis sacados de un grupo de nueve.

Ambas respuestas (6/9 y «no tiene sentido») son correctas, cada una referida a una forma particular de entender el material concreto.

Si entendemos ⅗ y ¾ como fracciones no tiene sentido hablar de combinarlas. Sería como preguntar: «Si combinamos ⅗ de una pizza grande y ¾ de una pequeña, ¿cuánta pizza tenemos?» ¿Cuánta de qué tipo de pizza? Solamente tiene sentido combinar cantidades medidas como fracciones cuando ambas están medidas según las mismas unidades.

La siguiente etapa, la de la matemática aplicada, implica que los alumnos comiencen a apropiarse de las técnicas y el lenguaje convencionales de la Matemática, pero es muy importante entender que la apropiación de esas herramientas y lenguaje no son el fin, sino sólo un medio para ayudarse en la solución de problemas reales, vitales y significativos y de interés. En este plano se puede empezar a trabajar a partir de la primaria, en el entendido de que en este ciclo sólo se les enseñen las técnicas y lenguaje necesarios para resolver problemas del interés de los alumnos, aunque parezca que todo se queda en un nivel muy elemental. Para el nivel de secundaria debe seguir rigiendo el criterio de ofrecer sólo las técnicas y lenguaje necesarios para resolver los problemas del interés vital de los estudiantes y propios de la edad respectiva. En lo que se refiere al ciclo preuniversitario, el criterio para seleccionar los elementos de la matemática que conviene incluir, deberá transitar gradualmente del mencionado para los ciclos precedentes hacia uno basado en las herramientas matemáticas requeridas por el tipo de actividades que caracterizan a las distintas carreras (aquí seguimos estando en el plano de la matemática aplicada, aunque con un creciente nivel de complejidad en cuanto a las técnicas y lenguaje utilizado). Si bien la esta etapa se caracteriza por la adquisición de técnicas y de lenguaje matemático, no hay que perder de vista que muchos conceptos, relaciones y generalizaciones matemáticas son más fácilmente aprendidas a través de la utilización de ejemplos más heurísticos. (Se denomina 'heurística' a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines). Un ejemplo de lo anterior es el siguiente:

Si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce. La simple suma de volúmenes es apropiada para la



primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Es decir utilizando el proceso básico de pensamiento de la observación. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan.

El tercer nivel, el de la Matemática pura, únicamente concierne a quienes se dedicarán profesionalmente a esta disciplina, o a aquellos que tengan afición por ella (o bien a ciertos posgrados especializados). De manera que el criterio de seleccionar los contenidos con base en lo que es importante para la Matemática como disciplina sólo tiene cabida en el nivel universitario y en algunas asignaturas del nivel preuniversitario (para mostrar a los estudiantes la opción profesional de la Matemática pura y como preparación para quienes se decidan por esta ruta). Es en el ciclo medio superior, por ser el ciclo preparatorio para el ingreso a la universidad, en el que podrían introducirse conocimientos o técnicas matemáticas más elevados (álgebra, trigonometría, estadística, etc.) en función de lo que es útil para las profesiones que las utilizan (ingenierías, física, sociología, etc.). Este tendría que ser el principal criterio de selección de contenidos en este ciclo, y dejar espacios opcionales de Matemática pura para aquellos cuyo interés se incline por ello. Sólo tiene sentido elegir contenidos para la enseñanza de las matemáticas según un criterio basado en lo que es importante para la disciplina Matemática, cuando tal enseñanza se dirija a los que eligieron la Matemática pura como profesión, o a los que tienen particular afición por ello. Un ejemplo de lo anterior es el siguiente

Resolver el siguiente triángulo oblicuángulo:



Conocer la sucesión de niveles de construcción de los conocimientos matemáticos puede ser de mucha utilidad para comprender los elementos cognitivos con los que cuenta cada nivel de enseñanza. De acuerdo con Von-Glaserfeld (1987), los conceptos matemáticos han de ser construidos de forma individual utilizando como base las concepciones propias del alumno basadas en su conocimiento previo, el cual ha adquirido pasando por cada uno de los niveles de tal suerte que a lo largo del proceso, los conflictos cognitivos adoptan un papel preponderante para la creación de desequilibrios que resultan ser, de acuerdo con Piaget (1974) uno de los mecanismos más relevantes para la construcción cognitiva. De ello, resulta importante revisar los procesos y habilidades básicos del pensamiento que son utilizados para la generación del conocimiento.



Subtema 2- Habilidades de pensamiento para el aprendizaje de las matemáticas.

En la construcción del conocimiento matemático, es muy importante determinar la forma en la que el conocimiento es adquirido. Para ello, es necesario establecer la naturaleza del conocimiento y la forma en la que este se relaciona con los procesos y habilidades de pensamiento para construir el conocimiento matemático. El conocimiento puede ser de dos tipos:

Como puede verse en el esquema, los procesos de pensamiento representan el soporte que sustenta un pensamiento capaz de criticar, juzgar y evaluar un conocimiento o situación determinada. Los procesos de pensamiento, a su vez, se componen de habilidades de pensamiento, las cuales determinan la secuencia de actividades intelectuales básicas que sustentan al proceso.

Un proceso de pensamiento es un operador intelectual capaz de transformar un estímulo externo o una representación mental en otra representación que puede ser completamente abstracta, un conocimiento semántico o procedimental o bien en una acción motora:



Es lógico pensar que si se logran desarrollar de forma eficiente cada uno de los procesos y habilidades de pensamiento, es muy factible lograr el aprendizaje de conocimientos, actitudes y valores, ya que las habilidades y procesos del pensamiento representan los peldaños que se tienen que escalar para lograr un aprendizaje efectivo y perdurable de las matemáticas. La práctica de procedimientos, bajo condiciones controladas, genera habilidades de pensamiento. Hay que recordar que el proceso existe por sí mismo, independientemente de la persona que lo ejecute. El procedimiento proviene de la operacionalización del proceso y la habilidad es una facultad de la persona, cuyo desarrollo requiere de un aprendizaje sistemático y deliberado. Los procesos, procedimientos y habilidades se relacionan de la siguiente manera:

Los procesos de pensamiento han sido clasificados de diferentes formas por muchos autores. Cada una de estas clasificaciones trata de hacer explícita la importancia de los procesos de pensamiento en diferentes situaciones. Algunas de las clasificaciones son las siguientes:



Cada una de estas clasificaciones ayudan a entender cómo los procesos de pensamiento se integran en el aprendizaje de las matemáticas. Resulta conveniente revisar cada uno de ellos por separado para posteriormente ilustrar cómo estos procesos determinan la adquisición del aprendizaje de conceptos y habilidades.

De acuerdo al ritmo de aplicación, los procesos de pensamiento se clasifican en:



Esta clasificación permite percatarse de que algunos de los procesos de pensamiento pueden ser aplicados para una buena parte de las actividades intelectuales y cotidianas independientemente de la cultura o del grado de escolarización o madurez intelectual y otros, debido a su propia naturaleza más compleja y abstracta, pueden ser utilizados para resolver problemas que requieran de mecanismos de pensamiento mentales más elaborados.

Otra forma de clasificación de los procesos de pensamiento es de acuerdo a sus niveles de complejidad y abstracción:

Procesos básicos. Constituidos por seis operaciones elementales (observación, comparación, relación, clasificación simple, ordenamiento y clasificación jerárquica) y tres procesos integradores (análisis, síntesis y evaluación. Estos procesos son pilares sobre los cuales se apoyan la construcción y la organización del conocimiento y el razonamiento.

Procesos superiores. Son estructuras procedimentales complejas de alto nivel de abstracción como los procesos directivos (planificación, supervisión, evaluación y retroalimentación), ejecutivos, de adquisición de conocimiento y discernimiento.

Metaprocesos. Están constituidos por estructuras complejas de nivel superior que rigen el procesamiento de la información y regulan el uso inteligente de los procesos.

En esta clasificación, los niveles de pensamiento están secuenciados, cada nivel, a partir del primero, sirve de base para construir y desarrollar los niveles que le siguen.



Los procesos básicos del pensamiento, son todos aquéllos procesos que sirven de base para poder desarrollar los procesos de pensamiento más elevados. Si bien el acto de pensar no es necesariamente consciente, es importante automatizar todos y cada uno de los procesos con la finalidad de que consuman la menor cantidad de energía intelectual que puede ser ocupada en otras tareas. Para los propósitos de este diplomado, se revisarán a profundidad los procesos básicos del pensamiento. En la sección de Recursos de apoyo, encontrará bibliografía y sitios de interés que le pueden dar más información de este tema. De forma integrada, los procesos básicos del pensamiento se interrelacionan en una secuencia. En la siguiente gráfica encontrará todos los procesos básicos. Al dar clic en cada uno de ellos se abrirá una nueva ventana que mostrará las habilidades de pensamiento que sostienen al proceso ilustradas con un ejemplo para su mejor comprensión.

Para desplegar la información contenida en el gráfico siguiente, acceda a la página del curso.



Cada una de esta las habilidades básicas de pensamiento conforman un armamento que todos los alumnos, llevan consigo, pero con diferentes grados y alcances, hecho relacionado con el capital cultural acumulado en el ambiente familiar y en las experiencias académicas previas. A lo largo de su trayectoria escolar, los estudiantes recurren a su armamento y, para quienes resulta escaso, se allegan de otros elementos para sobrevivir durante su formación académica, aunque requieren de un alto grado de dedicación y esfuerzo.

La tercer y última clasificación es la propuesta por Priestley(1996) quien agrupa los procesos de pensamiento en tres grupos que permiten visualizar las interconexiones existentes entre las habilidades y las etapas de adquisición del conocimiento matemático:

Para ver la descripción de cada cuadro acceda a la página del curso.



¿Qué puedo hacer con?

Para ver la descripción de cada cuadro acceda a la página del curso

De acuerdo con Priesltey (1996), cada uno de los niveles en los que se engloban las habilidades del pensamiento, se corresponden en mayor o menor grado con los niveles de construcción del conocimiento matemático. Sin embargo, esto no es tan literal. Existen factores que influyen en el grado de efectividad para construir el conocimiento matemático:

1. La competencia en el uso de los procesos 2. La confianza del alumno en su uso. 3. El conocimiento de los contenidos matemáticos.

Cabe suponer que los procesos de pensamiento constituyen un importante objetivo de la educación y que las escuelas y por supuesto los maestros no tendrían que escatimar esfuerzos para proporcionar a los alumnos las oportunidades para pensar.

El conocimiento de las habilidades y procesos de pensamiento ,así como la secuenciación natural y la interrelación con las etapas de adquisición del conocimiento matemático, permite conocer cómo el alumno procesa la información que percibe, lo que en el área de matemáticas permitirá establecer estrategias que permitan facilitar el aprendizaje de forma más efectiva. Si lo que se desea es el aprendizaje de las matemáticas hay que tomar en cuenta ciertos principios relacionados con el desarrollo de habilidades de pensamiento y la transferencia de los procesos de aprendizaje a la adquisición de nuevos conocimientos:



Para ver la descripción de cada cuadro acceda a la página del curso

Resolver un problema es un acto reflexivo que requiere de atención y concentración mental en armonía con las destrezas psicomotoras para que las operaciones intelectuales ocupen un primer plano consciente, particularmente las que son útiles para que se de la respuesta de una determinada situación no resuelta, y se tenga como consecuencia de los procesos de pensamiento que ocurren en los centros especializados de la corteza cerebral.

La secuencia general de procesos de pensamiento que entran en escena para llegar a la solución de un problema es la siguiente:



El proceso en sí no sería complicado de no ser por que en matemáticas existen problemas por resolver y problemas por demostrar. El sentido común sugiere cierta conducta que debe presentarse en forma natural en la mente del sujeto con un serio deseo de resolver el problema, buscando imitaciones, analogías, asociaciones, poniendo en funcionamiento su facultad intuitiva para que le proporcione indicios que le permitan formular un plan de acción y saber por donde empezar y continuar un procedimiento correcto, cuidándose de los indicios engañosos que por su apariencia conducen a soluciones erróneas. Desde luego que para resolver un problema en donde se ponga de manifiesto la habilidad de razonar no sólo basta tratar de establecer las relaciones interactuantes entre los datos y la incógnita a resolver. Sino que se requiere de previos conocimientos básicos subyacentes, aplicables a la situación problemática y cierto dominio sobre procesos más básicos para tratar de comprender el método que conduce a la solución de los problemas. Las experiencias previas de formación progresiva sobre situaciones análogas son básicas para aplicar un sistema de solución programada desde el conocimiento de los datos, su significado y el análisis de las relaciones propuestas, hasta formular un plan lógico de respuesta que conduzca a la solución numérica. Solo cuando se posee la habilidad de reunir las experiencias previas dentro de un conjunto de respuestas inmediatas, podrían tenerse los indicios necesarios para llegar a la solución. En los siguientes temas se revisarán el desarrollo y consolidación de habilidades de pensamiento, para después pasar al estudio de los procesos involucrados en el aprendizaje de conceptos y relaciones.

Subtema 3- El desarrollo y consolidación de habilidades de pensamiento.



Para lograr guiar el camino en la construcción de conocimientos matemáticos, Mason (1997) sugiere que el alumno se guíe por los siguientes aspectos

Preguntar

Yo puedo Identificar problemas

Poner en duda mis afirmaciones

Preocuparme por el significado de los términos

Desafiar

Yo puedo Hacer conjeturas

Buscar argumentos que los justifique o refute

Comprobar, modificar y alterar.

Reflexionar

Yo puedo Ser autocrítico

Suponer y evaluar distintos enfoques

Variar, redefinir o cambiar de dirección

Haciendo este ejercicio reflexivo, el alumno puede abrirse el camino para pensar y actuar como buen matemático Con toda esta secuencia, lo que se está proponiendo es apostarle a la autorregulación, dejar de lado la enseñanza de las matemáticas tradicional y adentrarse en la posibilidad de centrar el aprendizaje en el alumno. Uno de los principales problemas del aprendizaje de las matemáticas es que los conocimientos se dan en forma expositiva, memorística, tradicional, sin incentivar la reflexión crítica y de no proporcionar la oportunidad de aplicar dichos conocimientos en problemas afines a la realidad del alumno. Es momento innovar de la metodología, estableciendo y reconociendo la importancia que juega el que el alumno tome las riendas de su propio aprendizaje.



Conocer a profundidad los procesos de pensamiento involucrados en el aprendizaje de las matemáticas, permitirá al profesor aplicar los contenidos bajo un enfoque de aprendizaje que tome en cuenta los procesos de pensamiento. Esta oportunidad propone la aplicación de los procesos como instrumentos para dos propósitos fundamentales:

o El manejo del conocimiento. o El diseño de una didáctica centrada en el alumno que conduzca a obtener el

resultado de aprendizaje.

El conocimiento de los procesos permiten seleccionar y organizar los conocimientos que se van a impartir y ayudan a conceptuar y operacionalizar una metodología de aprendizaje activo, significativo y centrado tendiente a desarrollar el potencial para aprender y aprender a aprender. El alumno juega un papel muy importante en el proceso de aprendizaje. Su participación, además de activa, debe ser voluntaria; la persona debe tener el deseo de desarrollar su mente y tener actitud positiva hacia el aprendizaje.

La utilización de los procesos de pensamiento involucrados en el aprendizaje de las matemáticas implica en sí misma el desarrollo intelectual de las personas. Este desarrollo da lugar a la generación de las estructuras cognitivas indispensables para construir, extender y transferir el conocimiento y para establecer las generalizaciones que correspondan. Una vez afianzados los procesos, estos pueden ser aplicados en variedad de ámbitos, situaciones y áreas del saber, con el objeto de construir conceptos y sistemas conceptuales, así como procesos y procedimientos propios para cada disciplina, aplicar conceptos y procesos en el aprendizaje de diferentes disciplinas o áreas del conocimiento, construir y validar modelos de procesamiento y resolver problemas para controlar el desarrollo personal en lo intelectual y emocional.

La consolidación de los procesos básicos del pensamiento y su uso posterior en actividades intelectuales más complejas como los procesos superiores y los metaprocesos se realiza siempre y cuando se establezca un estímulo constante para que el alumno logre niveles de eficiencia y profundidad cada vez mayores. Es importante recordar que los procesos de pensamiento se escalan unos a otros durante toda la vida, hasta que en la edad adulta es posible contar con procesos básicos automatizados y procesos intelectuales superiores para resolver problemas complejos que requieran mecanismos mentales más elaborados.



Subtema 4- Identificación de las características básicas y clasificación de los conceptos matemáticos

En educación, los conceptos se refieren a las categorías dentro de las cuales se agrupa el conocimiento y su experiencia. Una vez que se han formado, estas categorías actúan como imanes intelectuales que atraen y ordenan pensamientos y experiencias que están relacionados. De esta manera, se puede hablar simultáneamente de los conceptos como:

1. Categorías dentro de las cuales se organizan los conocimientos y experiencias 2. Red de relaciones entre ideas que se construye a través de la categorización.

El mundo cognitivo comprende millones de fragmentaciones de conocimiento de todas las áreas . Si cada una de estas unidades necesitara una categoría separada en la cadena conceptual, la recuperación de información sería extremadamente difícil. De esta manera, los conceptos permiten organizar y almacenar fragmentos iguales de información de manera eficiente. En cierto modo, los conceptos son “ganchos” en los cuales se cuelgan nuevas experiencias y los revisten de significado. La analogía del gancho, sirve para explicar el porque cuando un alumno se enfrenta a una situación suficientemente novedosa para la cual no se tienen ganchos pueden suceder dos cosas:

1. Se trata de acomodar la información en un gancho incompatible



2. Se trata de crear un gancho nuevo

Esta noción, permite al profesor jugar con los conceptos y conocimientos nuevos para establecer estrategias que permitan al alumno construir un conocimiento matemático sólido y categorizado, además de que sea fácil de recuperar y de aplicar en la resolución de problemáticas novedosas o que impliquen reto.

El aspecto más útil de los conceptos descansa en su capacidad intrínseca de acelerar y simplificar la comunicación. Dado que las personas comparten conceptos similares, se pueden comunicar fácilmente sin necesidad de que se tenga que explicar con detalle cada idea.

En este punto, surge una pregunta.: ¿qué es lo que hace que un concepto sea fácil o difícil de comprender?

Hay muchas bases diferentes por medio de las cuales clasificar los conceptos en fáciles o difíciles de aprender. Un criterio de dificultad que se cita con frecuencia es la medida en la que se les percibe como concretos ó abstractos. CONCRETO: Que se puede percibir por los sentidos ABSTRACTO: Se adquiere de manera indirecta a través de los sentidos. Para entender la diferencia entre ambas, usemos un par de ejemplos: CONCRETO: vaso, silla árbol. / Manzanas, peras, piñas



ABSTRACTO: Belleza, libertad, justicia. /cinco, diez, veinticinco.

Otra manera de ver os conceptos es examinar si es mas frecuente que se aprendan en contextos formales o informales. Muchos conceptos se adquieren a través de canales informales de experiencia (coche, casa, televisión, fuego) mientras que otros se obtienen a través de canales de instrucción sistemáticos como las escuelas, los programas de capacitación (legislatura, hidrógeno, preposición, paralelogramo) Una tercera perspectiva sobre los tipos de conceptos los divide en tres clases: CONJUNTIVOS: Si tiene plumas, pico y vuela es un ave.

DISYUNTIVOS: Si es miembro nativo o naturalizado de un estado o nación y le es leal a su gobierno es un ciudadano

RELACIONALES: Si es más claro que el azul marino, entonces es celeste



BLANCO CELESTE AZUL MARINO

De acuerdo con este marco de referencia, un concepto conjuntivo es menos difícil de aprender porque tiene un conjunto único de cualidades características. Un ejemplo de concepto conjuntivo en matemáticas es el concepto de conjunto: Totalidad de los elementos que tienen una característica o propiedad que los distingue de otros: el conjunto de los números pares; un conjunto vacío es aquel que no tiene ningún elemento.

Un concepto disyuntivo es ligeramente más complicado. Para aprender dos o más conjuntos de condiciones alternativas bajo las cuales aparece el concepto. En matemáticas un ejemplo de concepto disyuntivo es el concepto de número primo, cuyas características esenciales es que es divisible exactamente entre sí mismo y uno.

El tipo de concepto más difícil de aprender es el relacional, ya que su significado proviene de la comparación o relación entre objetos o eventos. En matemáticas, por ejemplo, un segmento o un objeto no puede valorarse como paralelo sin hacer referencia a algo específico acerca de sus relaciones con otra línea u objeto. Como puede verse, este tipo de conceptos describen las relaciones entre los objetos. Un segmento que en ocasiones puede ser perpendicular, únicamente su relación particular con otro segmento lo puede hacer perpendicular o paralelo.

A ES PERPENDICULAR A B C ES PARALELA A D

En resumen:



Otro sistema más para clasificar los conceptos, tiene que ver con el medio dominante a través del cual se representan conforme se desarrollan cronológicamente el alumno. De acuerdo con Jerome Bruner, existen tres medios de representación para adquirir conceptos: ACTIVO: Se aprende haciéndolo ICONICO: Se aprende por medio de una fotografía o imagen del mismo SIMBOLICO: Se aprende por medio de símbolos como el lenguaje o las representaciones numéricas.

De esta manera, se puede aprender el concepto natación llevándola a la práctica (ACTIVO), viendo una película sobre las técnicas de natación (icónico) o a través de una lectura del libro sobre el tema (simbólico). En este apartado es muy importante dejar clara una cosa: El hecho de aprender el concepto natación, no implica necesariamente ser un nadador experto, en este caso el saber nadar en la práctica, solo puede aprenderse (en términos de acción), practicando la natación. Estas tres formas de representación conceptual en la vida de un niño aparecen en ese orden y cada una parte de la anterior para desarrollarse y cada una de ellas permanece más o menos intacto a lo largo de la vida. La representación activa domina durante la infancia y la niñez temprana; la representación icónica se convierte en la norma a lo largo de la preadolescencia ; a partir de entonces domina la representación simbólica. Desde la perspectiva del maestro, los conceptos se pueden analizar con respecto a la forma de representación activa, icónica o simbólica que aparezca más apropiada para el concepto a aprender. Desde un punto de vista educativo, lo importante es que el maestro de matemáticas trate de:

1. Determinar los conceptos que con mayor probabilidad presentarán dificultades para su aprendizaje.

2. Identificar los problemas potenciales que podrían presentarse 3. Utilizar los datos para construir una ayuda sistemática en las actividades de aprendizaje



Hay que recordar que no todos los conceptos se aprenden de la misma manera, y en la medida en que se refleje este hecho, lo aprendido en este tema será más o menos eficaz.

El proceso intelectual del aprendizaje de conceptos y relaciones.

El proceso de construcción del conocimiento matemático requiere de procesos mentales directamente relacionados con los procesos de construcción del pensamiento lógico. Para que un estudiante pueda progresar en las matemáticas, es necesario que el estudiante comprenda y desarrollo algunas habilidades entre las que se encuentran:

• La habilidad de formar y hacer asociaciones (por ejemplo el concepto de número o el significado de los símbolos),

• La habilidad de realizar generalizaciones (como en la aplicación de las matemáticas en la vida diaria),

• La habilidad de ligar el conocimiento conceptual con el concreto, • El conocimiento del lenguaje matemático (desde conceptos como la medición hasta

vocabulario técnico como “paralelogramo” o “denominador”), • El entendimiento de las relaciones y procedimientos involucrados en las operaciones

numéricas, y • La aplicación de las matemáticas en otras áreas del conocimiento.

Las experiencias y materiales concretos (matemática natural) proporcionan las bases para que los estudiantes puedan entender los conceptos y así mismo construir significados. Los estudiantes deben de entender así, que la matemáticas tienen sentido y que no son sólo un conjunto de procedimientos y reglas que deben de memorizar. Por lo anterior, el maestro necesita propiciar experiencias de aprendizaje que permitan al alumno explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, y no sólo limitarse a seguir o repetir un libro de texto. El alumno necesita entonces aprender a plantear y justificar sus ideas aplicando procesos de razonamiento diversos que le permita llegar a conclusiones lógicas y coherentes.

Relación de materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas.

El ser humano siempre tiende a actuar y a pensar apoyándose en “cosas” significantes, que le remitan hacia otras. Esta especie de dualidad es una característica humana: operamos con representaciones de objetos que nos remiten a los objetos mismos. Estas representaciones pueden ser visibles y/o audibles, de manera que se hacen presentes a través de nuestros sentidos. Es así como estos signos cobran significado y hacen posible el pensamiento conceptual y la comunicación. Es evidente que el elemento específico del desarrollo humano es su capacidad simbólica. Esta capacidad confiere la posibilidad de representar la realidad, valorarla, modularla virtualmente, transformarla, y comunicar sus transformaciones y valoraciones. La construcción humana de significados se encuentra estrechamente ligada a la capacidad de



simbolización. Por otra parte, parece también evidente que los individuos humanos nacemos predispuestos a desarrollar fácilmente dicha capacidad simbólica. Pérez Gómez (1998, citado por Alcalá, 2002, p.21)

Mediante la ayuda de simbolizaciones de objetos (a través de íconos, imágenes, gráficas, diagramas, etc.), el estudiante puede desarrollar el proceso de conceptualización y el pensamiento representacional. Mismos que le dan la capacidad de expresar algo y de razonar.

Los símbolos carecerían de importancia si no es porque son la representación de algo que no es visible: el pensamiento matemático. Se puede decir que estas simbolizaciones son la punta de un iceberg, ya que son un pequeño fragmento de una enorme masa flotante: el significado. Por lo tanto, la relación entre símbolo y significado son parte sustancial del aprendizaje y forman un solo cuerpo.

Para que el alumno pueda tener un mejor entendimiento de las matemáticas es importante que desarrolle la habilidad para discutir, escribir, leer y escuchar del tema. Todo lo anterior lleva consigo la idea de comunicar ideas matemáticas, es decir, que los estudiantes puedan desarrollar la comunicación matemática de maneras diversas. Entre algunos ejemplos: relacionar activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas, establecer la relación entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos, reflexionar sobre éstas y el clarificar su pensamiento, y discutir sus ideas con otros compañeros. Por ejemplo, al hablar del tema de medición y unidades, es más fácil que el alumno comprenda y construya sentido numérico y operativo al realizar mediciones y estimaciones de medidas con una actividad en la que participe activamente en su entorno.. Por ejemplo, usar una cinta métrica para medir la estatura de sus compañeros, una cinta de tela para medir el contorno de la cabeza, una regla para medir la uña del dedo pulgar, entre otros, y luego pedirles que escriban sus mediciones en distintas unidades. Este es sólo un ejemplo simple de cómo



relacionar un material físico con una idea matemática. A través de estas relaciones, el alumno puede adquirir con mayor facilidad los conceptos matemáticos y obtener así un aprendizaje que sea significativo, partiendo de la base de que es mucho más sencillo el establecimeinto de la relación.

La visualización es una de las herramientas que ayuda a los estudiantes a hacer conexiones. En las aulas de matemáticas y ciencias, los estudiantes deben tener buenas habilidades de visualización para que puedan ser capaces de interpretar, detectar patrones, y comunicar sus ideas de una manera creativa. Una de las principales causas del bajo rendimiento de los estudiantes en las matemáticas es su inhabilidad para visualizar y verbalizar los conceptos que involucran los procesos matemáticos. Utilizar herramientas visuales, como las cámaras digitales, paquetes gráficos, diagramas, imágenes, video, y algunos otros dispositivos de multimedia permite a los estudiantes a pensar en modelos que puedan probar las teorías y a explorar relaciones entre las ideas, objetos, y eventos. Por lo anterior, es esencial abrir diferentes oportunidades de aprendizaje para los estudiantes al utilizar los medios visuales para la enseñanza. Los modelos físicos o matemáticos pueden ayudar al alumno a visualizar y construir su conocimiento matemático. Al utilizar modelos físicos, o manipulables, y actividades tal vez con la ayuda de una computadora, los estudiantes pueden tener la oportunidad de tener una experiencia concreta para la resolución de problemas. Por otra parte, al utilizar los modelos matemáticos se pueden describir problemas reales ya sea en la ciencia, economía, arquitectura, deporte, entre otros.

En el desarrollo del conocimiento de los conceptos matemáticos, los estudiantes deben entrelazar sus habilidades de pensamiento no verbales. El pensamiento no verbal involucra el uso de procesos espaciales y visuales acerca de un problema o concepto. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej. física, verbal, numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograr lo anterior, el profesor debe apoyar al alumno para que pueda experimentar con cada una de ellas para que así pueda entender cómo es que estas representaciones están conectadas.

Generalización de conceptos.



La generalización es un proceso en el que se realizan inferencias o se desarrollan conclusiones generales a partir de situaciones específicas. Uno de los retos más importantes del maestro es ayudar a los estudiantes a que puedan correlacionar sus ideas y promover en ellos la abstracción y la generalización mediante la reflexión y la experimentación, en vez de limitarse a ser el único en exponer y explicar algún tema. El reto entonces es lograr que los estudiantes, con el maestro como facilitador, puedan ser capaces de discutir, sacar conclusiones, defender y escribir sus ideas de una manera estructurada. Las matemáticas son una ciencia de patrones, relaciones y funciones. Las relaciones son centrales para el entendimiento matemático. El estudio de patrones regularmente indica la presencia de una relación matemática. El estudiar relaciones permite a los estudiantes hacer generalizaciones y predicciones acerca de los fenómenos y de las situaciones planteadas. Es así como los estudiantes aprenden a realizar generalizaciones y reglas cuando comienzan a reconocer y a entender los patrones y las relaciones en las matemáticas.

Bruner (citado por Mesa, 2001, p.24), quien fue un investigador formado en la escuela de Piaget, asume el problema de cómo enseñar y mantiene que los alumnos cuyas estructuras cognitivas no alcancen los grados de complejidad adecuados para asimilar “las estructuras matemáticas”, pueden acceder a ellas de forma intuitiva e, incluso, emprender generalizaciones y abstracciones aun cuando sólo perciban parte de lo relacionado y lo generalizado. Poco a poco los alumnos comenzaran a hacer conexiones entre conceptos y habilidades, y serán capaces de explicar cómo surgen esas conexiones, cómo funcionan los procedimientos, y finalmente a realizar generalizaciones matemáticas significativas. Los procesos de formación, desarrollo y generalización de conceptos son de mucha importancia para el aprendizaje. Estos procesos, independientemente de sus singularidades, tienen una extraordinaria relación y unidad.. En el siguiente diagrama se ilustra como se relacionan algunos de los procesos que intervienen en los procesos de formación y de las primeras generalizaciones del concepto:



Algunas acciones que son útiles para que los estudiantes participen en estos procesos son las siguientes:

• Se le presenta a los estudiantes cierto número de objetos, especialmente seleccionados, con el objetivo que los analicen y los comparen.

• Se ayude (estimule) a los estudiantes para que seleccionen propiedades de cada objeto, los comparen con los otros objetos y eliminen propiedades no comunes.

• Determinar finalmente un conjunto de propiedades comunes a todos los objetos analizados.

• Del conjunto de propiedades comunes se debe seleccionar un conjunto mínimo de propiedades (esenciales), a partir de las cuales se puedan obtener todas las demás propiedades comunes.

• Utilizar una palabra para nombrar la clase de todos los objetos que cumplen las propiedades esenciales.

Swenson (1958, citado por Resnick & Ford, 1998, p. 33) realizó un experimento en el que comparó tres métodos de enseñanza de las combinaciones de la suma a los niños de segundo curso. El método de los ejercicios de práctica se aplicó con diferentes ejercicios; se evitó una repetición excesiva de los errores, y se aplicó una práctica adicional a las combinaciones más difíciles. El método de la generalización animaba a los niños a aplicar lo que ya sabían a nuevos problemas en cada etapa, y les permitía utilizar procedimientos de resolución basados en contar con los dedos y similares hasta que eran capaces de aplicar el recuerdo directo con confianza. El método de los ejercicios de práctica ampliados combinaba los ejercicios de práctica con algo de instrucción con significado práctico: las combinaciones numéricas se verificaban por conteos y por manipulaciones concretas; se reunían en grupos que daban la misma solución, para poner de manifiesto los esquemas matemáticos. El método de generalización resultó ser el más efectivo para potenciar tanto el aprendizaje del material como la transferencia a material nuevo; los ejercicios de práctica ampliados resultaron ser menos eficientes, y la práctica pura fue el método menos eficiente.

Transferencia del conocimiento conceptual al procedimiento.

Cuando un profesor enseña matemáticas su objetivo es que todos los estudiantes puedan lograr desarrollar capacidad matemática. Para lo anterior, es primordial que los estudiantes desarrollen primeramente la comprensión de los conceptos, mismos que serán la base para la comprensión de los procedimientos matemáticos. Es así que cuando se da una comprensión adecuada de los conceptos y procedimientos matemáticos, los alumnos son más capaces de aplicar su conocimiento a situaciones nuevas. Una de las cuestiones importantes en este sentido, es que el profesor debe fomentar en los alumnos la capacidad de ver y creer que las matemáticas tienen sentido y que son de gran utilidad para su vida diaria. Los alumnos deben reconocer que la habilidad matemática es algo



que se puede desarrollar en todas las personas, y no sólo en algunos cuantos. Por otra parte, el estudiante debe entender que aunque no vaya a estudiar ingeniería, economía, estadística, o arquitectura, el adquirir el conocimiento conceptual de las matemáticas le ayudará a resolver problemas a los que se enfrentará en su diario vivir.

Relación de representaciones de conceptos o procedimientos.

Al hablar del aprendizaje de las matemáticas, se va más allá de sólo los conocimientos instrumentales programados y se hace referencia a aquellos hábitos y virtudes que las matemáticas aportan en el proceso de enseñanza; valores que son inherentes en la práctica matemática. Como dice Bishop (1999, citado por Alcalá, 2002, p. 14):

“Educar matemáticamente a las personas es mucho más que enseñarles simplemente algo de matemáticas. Es mucho más difícil de hacer y los problemas y las cuestiones pertinentes constituyen un reto mucho mayor. Requiere una conciencia fundamental de los valores subyacentes en las matemáticas y un reconocimiento de la complejidad de enseñar estos valores a los niños. No basta simplemente con enseñarles matemáticas: también debemos educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas.”

Es así como los estudiantes deben de desarrollar la capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación dada para plantear o resolver problemas que no son rutinarios o comunes; es decir, problemas en los cuales es necesario inventarse una nueva forma de enfrentarse a ellos. Las representaciones son medios utilizados por el profesor para transmitir el conocimiento matemático a los estudiantes. La manipulación, por parte del estudiante, de representaciones matemáticas les proporciona los medios para construir imágenes mentales de un objeto o concepto matemático, y la riqueza de la imagen conceptual construida dependerá de las representaciones que el estudiante haya utilizado. De ahí la importancia que debe darse al uso de diversas representaciones matemáticas en la enseñanza de las matemáticas y en los libros de texto.

Un ejemplo claro de la formación de representaciones es la graficación de ecuaciones en un plano cartesiano:

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma f(x)= ax2+bx+c donde a,b y c son constantes y a # 0 La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.



A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.

f(x)= x2 - 5x + 4 f(x)= - x2 - 5x + 4 f(x)= - 2x2 - 5x + 4

x f(x) 0 4 1 0 2 -2 4 0 5 4

x f(x) -6 -2 -5 4 -1 8 0 4 1 -2

x f(x) -5/2 4 -2 6 -1 7 0 4 1 3

Observación. Notemos que la función f(x)=1/x2 no es cuadrática porque no se puede expresar de la forma f(x)=ax2 + bx +c.

Uso de las matemáticas en distintas áreas del conocimiento.

Las matemáticas no son un conjunto de temas aislados, sino que son una serie de tópicos que se van ligando uno con otro formando un todo. La conexión de conceptos matemáticos incluye enlazar ideas nuevas con ideas relacionadas aprendidas anteriormente, lo cual ayuda a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente interconectadas. El que el estudiante pueda entender las relaciones entre los distintos temas de las matemáticas constituye una habilidad o competencia matemática de gran trascendencia. Los alumnos requieren entender estas conexiones entre conceptos y diferentes ramas de la ciencia matemática para que a medida que vayan relacionando las ideas y sus conocimientos



puedan darse cuenta de la gran utilidad de las matemáticas. Es así como las matemáticas pueden considerarse como campos de conceptos entrelazados entre ellos y que se consolidan mutuamente: de ahí la idea de proponer a los alumnos una diversidad de problemas que permitan la construcción de estas redes de conceptos.

Wiener es uno de los muchos grandes científicos que rompieron paradigmas a fin de crear áreas de interés completamente nuevas para los matemáticos. Cada descubrimiento permite el surgimiento de nuevos campos de los que se puede hacer un estudio más profundo. Tan sólo en el siglo pasado, el número de disciplinas matemáticas se incrementó exponencialmente y lo sigue haciendo hoy en día al incursionar en nuevos campos y al generar nuevas aplicaciones. La pauta de este crecimiento no han sido ni los cálculos ni las fórmulas, si no los patrones y las relaciones.

Tradicionalmente, las matemáticas se describen como la ciencia del número y la forma, más con el surgimiento de nuevos territorios explorados por los matemáticos, los límites históricos de las matemáticas casi han desaparecido (Steen, 2004). Por otra parte, los límites en sus aplicaciones también lo han hecho, ya que el lenguaje matemático dejó de ser exclusivo para la física y la ingeniería, y formando ahora también parte de las ciencias sociales, la medicina, las finanzas, etc. Cuando se contemplan en este contexto más amplio, se puede ver que las matemáticas no tratan sólo de números y formas sino de patrones y relaciones de orden de todas las clases.

Los conceptos y procedimientos matemáticos pueden ser aplicados al estudio de muchas áreas. El profesor puede encontrar lecciones que conecten la instrucción matemática con problemas prácticos y situaciones que los estudiantes enfrentan en sus vidas diarias. Las matemáticas permiten resolver problemas en diversas áreas del conocimiento, como el científico, el técnico, el artístico y la vida diaria. Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencia, tecnología, economía, estadística, finanzas, ciencias sociales, geografía, hasta incluso la música). En dichas disciplinas los estudiantes deben de aprender los conceptos matemáticos. Es en estos casos en los que los estudiantes deben de establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos apropiados de la vida real.

Difícilmente se podrá encontrar algún aspecto en la vida que no sea afectado, en mayor o menor grado, por la ciencia de los patrones y las relaciones, las matemáticas. Para que el estudiante pueda comprender y aplicar los conceptos vistos en clase, es importante que éste comience a hacer conexiones entre lo que está estudiando y lo que está viviendo. A través de los años, las estrategias de aprendizaje han ido evolucionando conforme a las demandas de la sociedad. Hoy en día ya no es efectivo el que un profesor pretenda ayudar a los estudiantes a desarrollar su capacidad matemática sólo hablándoles de matemáticas, asignándoles tareas, y pidiéndoles que memoricen procedimientos o fórmulas. Los jóvenes ahora requieren de actividades que promuevan su participación activa en el proceso de enseñanza-aprendizaje y donde puedan aplicar sus conocimientos matemáticos en situaciones reales y en diferentes áreas de estudio.



Los profesores entonces deben de propiciar ambientes de aprendizaje que fomenten la exploración, la discusión, el cuestionamiento, y el juicio crítico de los estudiantes en el aula.

Polya (1965, citado por Vila Corts & Callejo de la Vega, 2004, p. 19) consideraba que un profesor de matemáticas tiene en sus manos una gran oportunidad: si utiliza su tiempo en ejercitar a sus alumnos en operaciones rutinarias matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual; pero si estimula en ellos la curiosidad podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente.

En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes se gradúen y formen parte de la fuerza laboral e incluso lleguen a formar una familia, es cada vez más probable que usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria: para operar equipos de computo, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, planear gastos, administrar las finanzas personales y ejecutar otras tareas para resolver problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.

Las compañías, hoy en día, quieren trabajadores que estén dispuestos a resolver problemas y sepan hacerlo, colaborar con sus compañeros de trabajo y explicar lo que piensan. Los jóvenes necesitan prepararse para un mercado de trabajo y una sociedad tecnológica que están en cambio constante. El que los estudiantes puedan tener la capacidad de utilizar las matemáticas en diferentes ámbitos les dará la pauta y la flexibilidad para poder resolver problemas diversos. De ahí la importancia de que los estudiantes puedan realizar conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas. Cuando se realizan estas conexiones es más fácil que el alumno entienda mejor las matemáticas y que las pueda ver como algo práctico y aplicable en la cotidianidad.

Subtema 5- El papel de la secuenciación didáctica para el aprendizaje de relaciones entre conceptos nuevos e información previa.

Cada contenido forma parte de un plan curricular, que necesariamente cuenta con una secuenciación establecida que tiene como finalidad dosificar la revisión de conceptos de los más simples a los más complejos. Esta secuencia de contenidos, transformadas en secuencias didácticas y traducidas operativamente en secuencias de tareas de enseñanza, permitirá al alumno ascender a lo largo y ancho del currículo. Una secuencia didáctica se refiere a la organización de las actividades del currículum de simples y generales hasta complejas y particulares a medida que los estudiantes avanzan. Cuando un docente ordena en una secuencia lógica las tareas de enseñanza, se parte de la



base de que el estudiante podrá dominar con mayor eficiencia cualquier materia o cuerpo organizado de conocimientos. Por otro lado, también se asume que el aprendizaje de habilidades o conocimientos planeada de una forma interrelacionada permite que el alumno desarrolle otras habilidades relacionadas con el procesamiento de información, es decir, habilidades fundamentales del pensamiento.

La secuenciación como tal, tiene dos propósitos básicos:

1. Extraer el conocimiento (un concepto, una generalización, hecho o principio) para que el alumno pueda determinar sus características propias; dicho de otro modo, aislar un proceso de pensamiento para que el alumno logre dominarlo y posteriormente contextualizarlo y ejercer control sobre él en situaciones diversas o cambiantes, diferentes a la original.

2. Relacionar el conocimiento o proceso aprendido con el cuerpo organizado de conocimientos más amplios.

Si un maestro de matemáticas de secundaria para el curso de primer grado, desea enseñar cómo calcular el perímetro y área de un triángulo, enseña, en primera instancia las características del triángulo mediante dibujos en el pizarrón. Este proceso proporciona a los estudiantes una cantidad manejable de información, llevándolos al mismo tiempo, al meollo de lo que deben estudiar. A continuación, pasa a los conceptos perímetro y área y emplea el mismo proceso. Una vez que el profesor se haya asegurado de que los alumnos hayan dominado los tres conceptos, es factible ejemplificar como es que los tres conceptos (características del triángulo, perímetro y área).se conjuntan en un cuerpo de conocimientos mayor explicitando la relación entre el contenido de la clase (perímetro y área) con el conocimiento más amplio (el estudio geométrico del triángulo)

Este mismo ejemplo también permite visualizar las relaciones entre la secuenciación y las jerarquías de conocimiento. Una jerarquía está relacionada con el contenido en el sentido de que representa las relaciones entre las diferentes partes de información, mientras que una secuencia está relacionada con los procesos en el sentido de que establece un programa para el aprendizaje de las diferentes partes o elementos del contenido. En una materia como matemáticas, en donde existe una jerarquía aceptada de conocimientos, la secuencia y la jerarquía son muy parecidas porque las relaciones del contenido prácticamente dictan de forma natural la secuencia de las actividades de aprendizaje. En otras materias, en donde no existe un acuerdo para la jerarquización de la información, la secuencia de aprendizaje generalmente se realiza con base en la experiencia del profesor o en función de su interés.

Si existe una jerarquía del aprendizaje, ésta necesariamente tiene influencia en la secuencia de enseñanza. Si no existe una jerarquía de aprendizaje establecida, las secuencias de aprendizaje establecen un entramado débil para el estudiante, quien será incapaz de determinar las relaciones existentes entre diferentes elementos de un cuerpo de conocimientos.



En la realidad áulica, la secuencia planeada de una clase con frecuencia se convierte en algo impreciso durante el proceso interactivo de la enseñanza ya que existen diversos factores tales como el conocimiento previo del alumno, las condiciones ambientales y los programas escolares oficiales que pueden alterar o impliquen ajustar continuamente los planes preparados con anterioridad. La secuenciación también debe tomar en cuenta a los objetivos de aprendizaje, los cuales deben ser ordenados en una secuencia que permita dilucidar de forma natural las relaciones entre las diferentes partes del currículum para que las condiciones establecidas como requisito o como nivel inicial en términos de capacidades puedan ser identificadas y enseñarse en al etapa apropiada.

Para el programa de matemáticas para escuelas secundarias, una forma gráfica de representar la propuesta de la Reforma Educativa es la siguiente:

Como puede observarse, la secuenciación de contenidos, utilizando los ejes temáticos, permite la creación de bloques, equiparables a unidades generales de instrucción que contienen temas y subtemas, de tal suerte que todos los contenidos son revisados de forma gradual y paralela, lo cual permite fortalecer el vínculo entre los diferentes contenidos matemáticos. En esta propuesta, los contenidos organizados en bloques, se denominan conocimientos y habilidades, lo que propicia la construcción de significados y de herramientas matemáticas por parte de los alumnos, basados en el contexto de resolución de problemas.

Un ejemplo específico de cómo se pueden revisar cada uno de los bloques en el aula es el siguiente:



A partir de esta visión, y de cualquier otro enfoque de organización curricular, el docente debe planificar cada una de las clases durante todo el ciclo lectivo. En el curso 2 que abarca las competencias docentes para el aprendizaje efectivo de las matemáticas, se revisarán los lineamientos para el diseño de planes de clase, utilización de secuencias didácticas, unidades didácticas y actividades.

Todos los docentes que realizan enseñanza presencial hacen cotidianamente, y de manera más o menos consciente, diseño instruccional. Por ejemplo, buscan conocer el perfil de sus estudiantes, formulan objetivos de aprendizaje, preparan su material pedagógico, ajustan sus planificaciones a medida que se presentan necesidades emergentes, etc. Evidentemente hay mucha intuición y creatividad presentes cuando se concibe un sistema de aprendizaje (curso, programa o actividad). Pero los investigadores en el dominio del Diseño Pedagógico creen que el hecho de seguir un método mas o menos consistente de diseño pedagógico, tiene un gran valor en el sentido de la planeación, considerando las necesidades de formación cada vez más complejas que exige la sociedad. En los temas subsiguientes se abordará el tema del diseño de forma más profunda.

Sería demasiado ambicioso el suponer que los contenidos, tal y como son presentados en un plan curricular pueden cubrir las expectativas, características e idiosincrasia de cada uno de los estudiantes que llevarán el curso. Por lo tanto, es responsabilidad del maestro asegurarse de que todos esos contenidos sean los más adecuados.



Dentro de la libertad de su cátedra, el docente cuenta con la posibilidad de desarrollarlos y adaptarlos a las características de sus alumnos y amoldarlos a la forma personal para abordarlos de acuerdo con sus propias habilidades y características de enseñanza. Sin embargo, no hay que pensar que estas modificaciones se pueden realizar de forma arbitraria, amontonando contenido sobre contenido, sino por el contrario, se trata de elegir los más idóneos para desarrollar los conceptos, habilidades y actitudes que se pretenden alcanzar. Hay que recordar que para que el aprendizaje sea significativo, las actividades de aprendizaje propuestas para una secuencia de aprendizaje, deben estar encaminadas a trabajar con contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales, a fin de que los estudiantes dominen conceptos, procedimientos, técnicas, desarrollen actitudes y practiquen valores. Una secuencia de contenidos ideal, es necesariamente un proceso gradual que contiene actividades con ayudas de diferente gradualidad y práctica guiada, así como actividades que den oportunidad a todos los estudiantes de mostrar el dominio del contenido aprendido. Por lo general estas secuencias de contenidos se distinguen por una característica básica: la secuencia de los contenidos es congruente con la secuencia de objetivos.

Para finalizar, hay que recordar que organizar una secuencia didáctica supone respetar las etapas en la adquisición de los conocimientos y una verificación constante acerca de la marcha de ese proceso. En este módulo hemos revisado el uno de los procesos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas. Es importante recalcar que los procesos deben verse siempre interrelacionados. En los siguientes módulos se verán a profundidad el resto de los procesos para que al final se tenga una visión general y particular de los procesos mentales que debe realizar el alumno para un aprendizaje efectivo de las matemáticas.

tema 2. comprensión de conceptos y descubrimiento de ... · el tema 2, está compuesto por los...

Documents