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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
TEORÍA POTENCIALEl potencial gravitatorio
Prof. Mg. Juan Mendoza
[email protected] de Posgrado
Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Sesión 1, 2015
Prof. Mg. Juan Mendoza TEORÍA POTENCIAL
Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Índice
1 Campo gravitacional
Intensidad del campo gravitatorio
Potencial gravitatorio
Ecuación de Poisson
2 El campo gravitatorio de la Tierra
La fuerza por unidad de masa
El potencial de la Tierra
Prof. Mg. Juan Mendoza TEORÍA POTENCIAL
Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
El campo gravitatorio
Campo gravitatorio de un masa puntual
La intensidad del campo gravitatorio de una masa puntual M esta
dado por:
~g =−G M
|~x−~x ′ |3(~x−~x ′
)(1)
Donde G = 6,672×10=8 cm3g−1 s−2 .
La fuerza gravitatorial
Dado la intensidad del campo gravitatorio en un lugar del espacio,
la fuerza gravitaroria sobre una masa puntual m en el campo de M
esta dado por:
~F = m~g (2)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
El campo gravitatorio
Campo gravitatorio de una distribución contínua de masa
La intensidad del campo gravitatorio de un cuerpo cuya densidad
de masa esta dado por ρ(~x ′)
~g =−G∫
ρ(~x ′)(~x−~x ′)
|~x−~x ′ |3d3~x ′ (3)
El campo gravitario es un campo vectorial conservativo, por lo que
es posible denir una función potencial escalar V (~x) tal que.
∇V (~x) =~g (4)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
El potencial gravitatorio
El potencial de una distribución contínua de masa
Considerando el operador Laplaciano
V (~x) =−G∫
ρ(~x ′)
|~x−~x ′ |d3~x ′ (5)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
El potencial gravitatorio
Potencial de una esfera de radio R
Para una esfera de radio R cuya masa se distribuye uniformemente.
Para r ′ ≤ R
V (z) =−Gρo
∫r ′2senθ ′dr ′dθ ′dϕ ′√z2 + r ′2−2zr ′cosθ ′
(6)
V (z) =−Gρo
R∫0
r ′2dr ′π∫0
senθ ′dθ ′√z2 + r ′2−2zr ′cosθ ′
2π∫0
dϕ′ (7)
V (z) =4
3πR3Gρo
1
z=
MG
z(8)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
El potencial gravitatorio
Un método numérico para anomalías masivas arbitrarias
El campo gravitatorio de un cuerpo es aproximado por la
superposición del campo de un disco delgado.
4g =−G∫
disco
ρsenθ
r2dV (9)
4g ≈−Gσ
∫disco
senθ
r2dA (10)
4g ≈−Gσ
∫disco
dΩ≈−GσΩ (11)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
Intensidad del campo gravitatorioPotencial gravitatorioEcuación de Poisson
La ecuación de Poisson
Ecuación de poisson
Considerando el Laplaciano con respecto al ~x se demuestra:
∇2V (~x) =−4πGρ(~x) (12)
Ecuación de Gauss
Considerando la ley de Gauss∫S
n ·~g dS =−4πG
∫V
ρdV (13)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
La fuerza por unidad de masaEl potencial de la Tierra
La fuerza que ejerce la Tierra
La fuerza por unidad de masa
Considerando la Tierra como una esfera en rotación de velocidad
angular constante, la fuerzas por unidad de masa, en un punto P
jo sobre su supercie es:
(Fr , Fθ , Fϕ
)=
(−GM
r2, 0, 0
)(14)
(fr , fθ , fϕ
)=(ω2r sen2θ , ω
2r senθ cosθ , 0)
(15)
De este modo el vector gravedad g queda denida como la suma de
estas dos fuerzas.
(g r , gθ , gϕ
)=
(−GM
r2+ ω
2r sen2θ , ω2r senθ cosθ , 0
)(16)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
La fuerza por unidad de masaEl potencial de la Tierra
El potencial de la Tierra
El potencial de la Tierra
Cada una de estas dos fuerza sproduce un potencial escalar, lo que
da un potencial total:
U = V + Φ =GM
r+
1
2ω2r2 sen2θ (17)
El potencial U puede expresarse también yutilizando la latitud φ
U =GM
r2
(1+
m
2cos2φ
)(18)
donde
m =r3ω2
GM(19)
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Campo gravitacionalEl campo gravitatorio de la Tierra
La fuerza por unidad de masaEl potencial de la Tierra
El potencial de la Tierra
El potencial de la Tierra
El vector gravedad es el potencial del potencial.
~g = ∇U (20)
De aqui también se deduce la expresión.
g r =GM
r2
(1−mcos2φ
)(21)
gθ =GM
r2mcosφ senφ (22)
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Actividades
El potencial de la Tierra
El potencial de la Tierra
Para puntos exteriores de la Tierra se cumple:
∇2V = 0 (23)
∇2Φ = 2ω
2 (24)
La solución de la ecuación de Laplace esta dado por:
V (r ,θ) =∞
∑n=0
An
(ar
)n+1
Pn(cosθ) (25)
De este modo:
U =∞
∑n=0
An
(ar
)n+1
Pn(cosθ) +1
2ω2r2 sen2θ (26)
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Actividades
Actividades
1 Determinar el potencial gravitatorio de un hemisferio de radio
R, en un punto sobre su eje axial y en un punto cualquiera que
forme angulo θ , con el eje axial.
2 Determinar el potencial y el campor gravitatorio de dos
cuerpos puntuales a una distancia muy grande comparada con
la distancia de separación entre ellas.
3 Determinar la aceleración gravitatoria en una coordenada
geográca determinada. Considerando solo la atracción
gravitatoria.
4 Determinar la aceleración gravitatoria en una coordenada
geográca determinada, considerando la fuerza gravitatoria y
al fuerza centrífuga.
5 Indagar sobre los elipsoides de referencia y las formulas de
gravedad.
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Actividades
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Actividades
Lecturas complementarias
Lowrie William
Fundamentals of Geophysics. 2da Ed.
USA: Cambridge University Press. 2007.
Vallina, Agustin Udias; Rodriguez, Julio Mezcua
Fundamentos de geofísica. 2da Ed.
Colombia: Ed. Alianza. 1997.
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