tema 2
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TEMA 2
• Desigualdades con valor absoluto.
• Desigualdades, e inecuaciones
• Valor Absoluto
Repaso general
Desigualdad Notación Gráfica
a x b
a x b
a x b
a x b
[ a ; bx
[a ; b)x
(a ; b x
(a ; b)x
a
b
a
b
a
b
a
b
Intervalos
Desigualdad Notación Gráfica
a ; )x
(- ; ax
a
a
a
a
a ; )x(
(- ; a)x
ax
ax
ax
ax
Unión e Intersección
-3 0 7
-3 0 7
AB
AB
Sean: A= (-3; 7] y B = [0; )
AB
AB
Desigualdades e inecuaciones
Desigualdad
Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual.
El término “DISTINTO” (signo ≠) es diferente del término “DESIGUALDAD”, para el primero, basta que un elemento se distinga de otro (ejemplo: 4≠5, que se lee 4 es distinto o diferente de 5 o viceversa); mientras que el segundo representa en matemáticas la característica específica de diferenciación o distinción.
La “DESIGUALDAD” puede representarse simbólicamente de la siguiente manera:
Mayor que Menor que
Mayor o igual que ≥ Menor o igual que ≤
0;0
0;0
baxbax
baxbax
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Definición
Una inecuación de primer grado es aquella inecuación que admite como forma general a:
Características
•Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno.•Se resuelven con un procedimiento muy similar al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando las variables a un lado y los números al otro, pasando a efectuar la operación contraria.•Se debe invertir la desigualdad si se pasa un número negativo a multiplicar o dividir.
4( 1) 2 8x x 4 4 2 8x x 4 2 8 4x x 2 12x
12
2x
6x
, 6S
-6
Ejemplo
Hallar el campo de solución de las siguientes inecuaciones tanto en forma de intervalo como de manera gráfica y si es posible verifique la solución.
Ecuación 1 Solución en forma de intervalo
Solución gráfica
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
2 1 1 3 51
3 2 22 2 1 3 6 3 3 5
6 64 2 3 6 9 15
4 15 6 9 2 3
11 8
8
11
x x
x x
x x
x x
x
x
8,
11S
811
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Ecuación 2
Solución en forma de intervalo
Solución gráfica
Cuando en una inecuación se pasa a multiplicar o a dividir un número negativo al otro lado, se debe invertir la desigualdad.
Valor absoluto
Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo.
Simbólicamente
Ejemplo
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
|15| = 15
|-4| = -(-4) = 4
Valor absoluto
Otros ejemplos
1.- Desarrolla la expresión: – |x – 5| y calcula su valor para x= - 3, para x = 0 y para x = 7
•Para x < 5 – ( – (x – 5 )) = x – 5
•Para x > 5 – ( (x – 5)) = 5 – x
•Para x = - 3 (-3) – 5 = – 3 – 5 = – 8
•Para x = 0 0 – 5 = – 5
•Para x = 7 5 – 7 = – 2
Valor absoluto
Otros ejemplos
2.- Desarrolla la expresión: x – |2 – x| y calcula su valor para x= - 3, para x = 0 y para x = 5
•Para x < 2 x – (2 – x) = x – 2 + x = 2.x – 2
•Para x > 2 x – (– (2 – x)) = x + 2 – x = 2
•Para x = - 3 2.(-3) – 2 = – 6 – 2 = – 8
•Para x = 0 2.0 – 2 = 0 – 2 = – 2
•Para x = 5 2
Valor absoluto
Otros ejemplos
3.- Desarrolla la expresión: |x – 2| + |3 – 2x| y calcula su valor para x= - 3, para x = 0 y para x = 5
•Para x < 2 |x – 2| = – x + 2•Para x > 2 |x – 2| = x – 2
•Para x < 1,5 |3 – 2x| = 3 – 2x•Para x > 1,5 |3 – 2x| = – 3 + 2x
Continua…
Combinando ambas expresiones:
Para x < 1,5 – x + 2 + 3 – 2x = 5 – 3x Para 1,5 < x < 2 – x + 2 + (– 3 + 2x) = x – 1Para x > 2 x – 2 + ( – 3 + 2x) = 3x – 5
Para x = - 3 5 – 3(-3) = 5 + 9 = 14 Para x = 0 5 – 3.0 = 5 – 0 = 5Para x = 5 3,5 – 5 = 15 – 5 = 10
Valor absoluto
Otros ejemplos
Continuación…
Propiedades
1.- |a| = |-a|
Ejemplo: |3| = |-3| → 3 = 3Ejemplo: |4,13| = |- 4,13| → 4,13 = 4,13Ejemplo: |e| = |-e| → e = e
2.- |a.b| = |a|.|b|
Ejemplo: |3.(-2)| = |3|.|-2| → |-6| = 3.2 → 6 = 6Ejemplo: |(-3).5| = |-3|.|5| → |-15| = 3.5 → 15 = 15Ejemplo: |e.(-π)| = |e|.|-π| → |- e.π| = |- eπ| → e.π = e.π
Valor absoluto
Propiedades
3.- |a+b| ≤ |a|+|b|
Ejemplo: |3+(-2)| ≤ |3|+|-2| → |1| ≤ 3+2 → 1 ≤ 5Ejemplo: |(-5)+(-2)| ≤ |-5|+|-2| → |-7| ≤ 5+2 → 7 ≤ 7Ejemplo: |π+(-e))| ≤ |π|+|-e| → |π-e| ≤ π+e → π-e ≤ π+e
4.- Si |a|<k, entonces -k < |a| < k
Ejemplo: |-2| < 3 → - 3 < 2 < 3Ejemplo: |3| < 5 → - 5 < 3 < 5Ejemplo: |-π| < 4 → - 4 < π < 4
Valor absoluto
Desigualdades con valor absoluto
Propiedades
Implicación
1) a b b a b 1 2.C S S S Recuerda:
2) a b a b a b Recuerda:
1 2.C S S S
Nota: Se aplican las mismas propiedades
para > y <
Desigualdades con valor absoluto
2 4 3
3 2 4 3
3 4 2 3 4
7 2 1
7 1
2 2
x
x
x
x
x
-7/2 -1/2
7 1( , )
2 2S
Desigualdades con valor absoluto
EjemplosHallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y expresar dicha solución en forma de intervalo y gráfica
Ecuación 1 Solución en forma de intervalo
Solución Gráfica
1 2
2 1 2
2 1 2 1
1 3
x
x
x
x
-1 3
1,3S
Desigualdades con valor absoluto
Ecuación 2
Solución en forma de intervalo
Solución Gráfica
Desigualdades con valor absoluto
Ecuación 3
2 3 1x
2 3 1x 2 1 3x 2 2x
2
2x
1x
2 3 1x 2 1 3x 2 4x
4
2x
2x
-2 -1
1x 2x
( , 2) ( 1, )S U
Desigualdades con valor absoluto
Solución en forma de intervalo
Solución en forma de ecuación
6 92
3
x
6 92
32 3 2
2 2 3
2 1
1
2
x
x
x
x
x
6 92
32 3 2
2 2 3
2 5
5
2
x
x
x
x
x
Desigualdades con valor absoluto
Ecuación 4
-5/2 -1/2
5
2x
1
2x
5 1, ,
2 2S U
Desigualdades con valor absoluto
Solución en forma de intervalo
Solución en forma de ecuación
Ahora se te invita a participar en el FORO II, a probar tus conocimientos en el cuestionario práctico del tema 2 y a realizar los ejercicios de la guía 2
Elaborado por:
Profesora Dorenis Mota ([email protected])Profesor Ricardo Valles
Departamento de Formación General y Ciencias Básicas