TEMA XIII: Flexión lateral o pandeo

Introducción. Estabilidad de columnas. 1.El comportamiento de los materiales cuando se les somete a tracción ya ha sido descrito y

estudiado en el tema VIII. Sin embargo, cuando la fuerza axial que se ejerce sobre un prisma mecánico recto es de compresión, el comportamiento es tanto más distante del que corresponde a un esfuerzo de tracción cuanto mayor es la relación entre la longitud y la dimensión de la sección recta, es decir, cuanto más esbelta sea la pieza.

Cuando la carga toma un cierto valor crítico, el eje de la pieza abandona su forma recta y adopta forma curva. Este fenómeno, por el cual la pieza sometida a compresión flexa lateralmente. recibe el nombre de pandeo o flexión lateral.

De lo dicho se deduce que al llegar la carga exterior a alcanzar el valor de la carga crítica, la pieza prismática considerada deja de estar en equilibrio estable, por lo que el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad elástica, entendiendo por estabilidad la propiedad del sistema de conservar las formas de equilibrio que adopta en su estado deformado.

En este tema analizaremos las causas y efectos del pandeo en las piezas rectas, que llamaremos columnas, sometidas a compresión, así como la influencia que tienen los posibles tipos de ligaduras a que se puede ver sometida la pieza. Y puesto que, como hemos dicho, el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad, comenzaremos nuestro estudio con el análisis de ésta.

Sea una columna de sección constante con extremos articulados, sometida a una carga de compresión 𝑷 (figura a). Supondremos que la fuerza 𝑷 está aplicada en el baricentro de la sección extrema, es decir, que la línea de acción de la fuerza 𝑷 es coincidente con el eje longitudinal de la

columna, así como que el plano XY indicado es un plano de simetría, en el que se lleva a cabo cualquier flexión a que se puede someter la columna. Para valores pequeños de la carga 𝑷 la columna permanece recta. La tensión de compresión axial es

𝜎 =𝑃𝐴

siendo 𝑨 el área de la sección recta.

Para analizar la estabilidad del equilibrio se aplica una carga transversal 𝑭 (figura b) que da lugar a que la columna flexe en el plano XY y, seguidamente, se retira la carga 𝑭. En este instante, la solicitación que existe en una sección cualquiera C (figura d) está compuesta por un esfuerzo normal igual a la carga de compresión 𝑷 y por un momento flector 𝑴𝒛 que no depende de la carga 𝑷 sino

solamente de la curvatura de la elástica, en virtud de la relación que se vio en el tema X al obtener la ley de Navier.

𝑀𝑧

𝐼𝑧=𝐸𝜌⇒ 𝑀𝑧 =

𝐸𝐼𝑧𝜌

Analicemos el comportamiento de la columna a partir del momento en que retiramos la carga transversal 𝑭, estudiando el equilibrio de la porción 𝑨𝑪 de la columna. El momento de la solicitación que actúa sobre 𝑨𝐶 respecto del extremo 𝑨 es

𝑀𝐴 = 𝑀𝑧 − 𝑃𝑦

Para que la columna se quedara flexada como estaba antes de ser retirada la carga transversal, es decir, para que la columna se encuentre en una posición de equilibrio indiferente, tendría que ser 𝑴𝑨 = 𝟎, para lo cual se tendría que verificar que 𝑷𝒚 = 𝑴𝒛.

Si 𝑷𝒚 < 𝑴𝒛 el movimiento hará que la columna recupere su forma rectilínea de equilibrio: el equilibrio es estable.

Si por el contrario 𝑷𝒚 > 𝑴𝒛 la columna sigue curvándose progresivamente hasta la rotura: el equilibrio es inestable.

El valor de la carga que hace que el equilibrio de la columna pase de estable a inestable se denomina carga crítica.

Fórmula de Euler. 2.La ecuación de la elástica de la columna del apartado anterior es

𝐸𝐼𝑧𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= −𝑃𝑦

cuya solución general es

𝑦 = 𝐴 sen�𝑃𝐸𝐼𝑧

𝑥 + 𝐵 cos�𝑃𝐸𝐼𝑧

𝑥

Aplicando las condiciones de contorno

𝑥 = 0 𝑦 = 0 ⟹𝐵 = 0

𝑥 = 𝑙 𝑦 = 0 ⟹𝐴 sen� 𝑃𝐸𝐼𝑧

𝑙 = 0 ⟹

⎩⎨

⎧𝐴 = 0 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙

� 𝑃𝐸𝐼𝑧

𝑙 = 𝑛𝜋

El menor valor de 𝑷 (para 𝑛=1) que verifica esta ecuación se denomina carga crítica de pandeo

𝑃 = 𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼𝑧𝑙2

La expresión de la carga crítica es llamada fórmula de Euler.

Cuando la carga 𝑷 adquiere el valor crítico, el equilibrio estable de la pieza recta se convierte en equilibrio inestable o indiferente, ya que la ecuación de la elástica sería

𝑦 = 𝐴 sen �𝜋𝑙𝑥�

Por lo tanto, si la fuerza de compresión que actúa sobre la viga de sección recta constante alcanza la carga crítica de pandeo, la constante 𝑨 de la ecuación de la elástica (que representa la máxima deformación) se puede hacer arbitrariamente grande, lo que produciría inexorablemente la ruina o rotura de la columna.

Carga crítica según la sustentación. Longitud de pandeo. 3.La expresión de la carga crítica (fórmula de Euler) se ha obtenido considerando articulados

los dos extremos de la columna comprimida. Ahora bien, en el caso de modificar las condiciones de articulación de los extremos de la columna podemos utilizar la fórmula citada para calcular la carga crítica de pandeo sustituyendo la longitud 𝒍 por la que llamaremos longitud de pandeo 𝒍𝒌 que es la que existe entre dos puntos de inflexión de la línea elástica.

Así, si consideramos, por ejemplo, la columna empotrada en un extremo y libre en el otro de la figura (a), este sistema elástico es equivalente a una columna biarticulada de longitud 𝒍𝒌 = 𝟐𝒍. Por tanto, la carga crítica de pandeo en este caso sería

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼(2𝑙)2

Asimismo, para los casos de sujeción indicados en las figuras (b) y (c) la longitud de pandeo es 𝒍𝒌 = 𝒍

𝟐� y, por tanto, la carga crítica de pandeo será

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

�𝑙 2� �2

La consideración de la longitud de pandeo 𝒍𝒌 = 𝜷𝒍 nos permite generalizar la fórmula de Euler para calcular la carga crítica de pandeo de una columna comprimida.

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼(𝛽𝑙)2

donde 𝛽 es el coeficiente de reducción de la longitud de la columna, que depende del tipo de sujeción de sus extremos.

El cálculo de la longitud de pandeo de un prisma mecánico recto sometido a compresión,

sujeto en los extremos de una forma arbitraria se hará integrando la ecuación diferencial de la línea elástica. Imponiendo las condiciones de contorno se determinará el valor de la constante

𝑘 = �𝑃 𝐸𝐼⁄

y a partir de ella la carga de pandeo, igualando 𝒌 al menor valor que verifique la ecuación que resulte. Finalmente, identificando con la fórmula de Euler, se obtiene la longitud de pandeo 𝒍𝒌 o si se quiere, el coeficiente de reducción de la longitud 𝜷.

A modo de ejemplo, apliquemos lo dicho al cálculo de la longitud de pandeo de una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro

En este caso, en la expresión del momento habrá que tener en cuenta la reacción 𝑹 de la articulación causada por el momento de empotramiento en el otro extremo. En una sección de abscisa 𝒙, el momento flector es

𝑀 = −𝑃𝑦 + 𝑅(𝑙 − 𝑥)

por lo que la ecuación diferencial de la línea elástica será

𝐸𝐼𝑧𝑦′′ = −𝑃𝑦 + 𝑅(𝑙 − 𝑥)

o bien, dividiendo por 𝐸𝐼𝑧 y haciendo 𝑃 𝐸𝐼𝑧⁄ = 𝑘2

𝑦′′ + 𝑘2𝑦 =𝑅𝐸𝐼𝑧

(𝑙 − 𝑥)

La solución de esta ecuación diferencial es:

𝑦 = 𝐶1 sen𝑘𝑥 + 𝐶2 cos𝑘𝑥 +𝑅

𝐸𝐼𝑧𝑘2(𝑙 − 𝑥)

siendo 𝐶1 y 𝐶2 constantes de integración que determinaremos imponiendo las condiciones de contorno:

𝑥 = 0 ; 𝑦 = 0 ⇒ 𝐶2 +𝑅𝑙

𝐸𝐼𝑧𝑘2= 0

𝑥 = 0 ; 𝑦′ = 0 ⇒ 𝐶1𝑘 −𝑅

𝐸𝐼𝑧𝑘2= 0

𝑥 = 𝑙 ; 𝑦 = 0 ⇒ 𝐶1 sen𝑘𝑙 + 𝐶2 cos𝑘𝑙 = 0

Estas tres ecuaciones constituyen un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. La condición para que el sistema tenga solución distinta a la trivial, que carece de interés, es:

��

0 1𝑙

𝐸𝐼𝑧𝑘2

𝑘 0 −1

𝐸𝐼𝑧𝑘2sen𝑘𝑙 cos𝑘𝑙 0

�� = 0

Desarrollando el determinante, se llega a la ecuación trascendente 𝐭𝐠 𝒌𝒍 = 𝒌𝒍 cuya primera solución es 𝒌𝒍 = 𝟒,𝟒𝟗𝟑𝟒𝟏

Por lo tanto

𝑘𝑙 = �𝑃𝑐𝑟𝐸𝐼𝑧

𝑙 = 4,49341 ⇒ 𝑃𝑐𝑟 =4,493412𝐸𝐼𝑧

𝑙2=

𝜋2𝐸𝐼𝑧

� 𝜋4,49341 𝑙�

2 =𝜋2𝐸𝐼𝑧(0,7𝑙)2

Es decir, la longitud de pandeo es 𝒍𝒌 = 𝟎,𝟕𝒍 y el coeficiente de reducción de la longitud 𝜷 = 𝟎,𝟕.

Hasta ahora hemos analizado la estabilidad de la columna en el plano XY (eje de pandeo Z) y hemos calculado su carga crítica de pandeo a partir de los valores de la sección 𝑰𝒛. Del mismo modo podemos estudiar la carga crítica de pandeo de la columna en el plano XZ (eje de pandeo Y) conociendo el tipo de sujeción de los apoyos en dicho plano y el momento de inercia de la sección 𝑰𝒚. Por lo tanto se definirá una longitud de pandeo para cada plano de pandeo.

𝒍𝒌𝒚: Longitud de pandeo cuyo eje de pandeo es el Y (plano de pandeo XZ)

𝒍𝒌𝒛: Longitud de pandeo cuyo eje de pandeo es el Z (plano de pandeo XY)

Límites de la Fórmula de Euler. 4.Por lo expuesto anteriormente, la carga crítica de pandeo de cualquier columna de sección

constante sometida a compresión, dada por la fórmula de Euler, se puede expresar de la siguiente forma

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼𝑙𝑘2

=𝜋2𝐸𝐴𝜆2

donde 𝝀 es la esbeltez de la columna y se define como el cociente entre la longitud de pandeo de la columna 𝒍𝒌 y el radio de giro de la sección respecto al eje de pandeo.

𝜆 =𝑙𝑖

=𝑙

�𝐼𝐴

Cuando se llega al valor de la carga crítica, el estado tensional simple de la columna viene dado por una tensión crítica 𝝈𝒄𝒓 cuyo valor es

𝜎𝑐𝑟 =𝑃𝑐𝑟𝐴

=𝜋2𝐸𝜆2

Trazando la curva 𝝈𝒄𝒓 en función de 𝝀 en un gráfico, de modo que la línea horizontal represente la plasticidad perfecta 𝝈 = 𝒇𝒚, es interesante observar las zonas idealizadas que representan el fallo por pandeo, el fallo por rebasar el límite elástico y la zona de seguridad.

El punto de intersección 𝑷 de las dos curvas representa el valor teórico máximo de la esbeltez de una columna comprimida para que falle al rebasar el límite elástico. A esta esbeltez límite 𝝀𝑬 se le denomina esbeltez de Euler y representa la esbeltez para la cual la tensión crítica es igual al límite elástico del acero.

𝜆𝐸 = �𝜋2𝐸𝑓𝑦

= 93,91𝜀

donde 𝜺 es el factor de reducción

𝜀 = �235𝑓𝑦

Como todos los aceros empleados presentan el mismo módulo de elasticidad longitudinal, el valor de la esbeltez de Euler depende exclusivamente del límite elástico

𝑆235 ⟶ 𝜆𝐸 = 93,91 ; 𝑆355 ⟶ 𝜆𝐸 = 76,41𝑆275 ⟶ 𝜆𝐸 = 86,81 ; 𝑆450 ⟶ 𝜆𝐸 = 67,87

El comportamiento real de las columnas de acero es bastante diferente del comportamiento ideal que acabamos de describir. Las columnas fallan generalmente por pandeo anelástico antes de alcanzar la carga de pandeo de Euler debido a diversas imperfecciones en la columna

• Falta de rectitud inicial • Tensiones residuales • Excentricidad de cargas axiales aplicadas • Endurecimiento por deformación

Estudios experimentales de columnas reales proporcionan resultados que se muestran en la figura

Autores como Tetmajer o Yasinski propusieron para la zona anelástica la fórmula

𝜎𝑐𝑟 = 𝑓𝑦 − 𝑎𝜆

que para el caso de la fundición toma la forma cuadrática

𝜎𝑐𝑟 = 𝑓𝑦 − 𝑎𝜆 + 𝑏𝜆2

Comparando con las curvas teóricas, el comportamiento real muestra mayores dispersiones en el intervalo de esbelteces medias que en el intervalo de esbelteces elevadas. En la zona de esbelteces medias (que representa a la mayoría de columnas), el efecto de las imperfecciones

estructurales es significativo y debe ser considerado cuidadosamente. La mayor reducción en el valor teórico se produce en la región de la esbeltez de Euler 𝝀𝑬. La curva límite inferior se ha obtenido de un análisis estadístico de los resultados de ensayos y representa el límite seguro para la carga.

Una columna puede ser considerada esbelta si su esbeltez es mayor que la correspondiente al punto de inflexión de la curva límite inferior. La carga última para dichas columnas es similar a la carga crítica de Euler y por lo tanto es independiente del límite elástico.

Las columnas de esbelteces medias son aquellas cuyo comportamiento se desvía más de la teoría de Euler. Cuando se produce el pandeo, algunas fibras ya han alcanzado el límite elástico y la carga última no sólo es una función de la esbeltez.

Cuanto más numerosas son las imperfecciones, mayor es la diferencia entre el comportamiento real y el teórico. La falta de rectitud y la presencia de tensiones residuales son las imperfecciones que presentan un efecto más significativo en el comportamiento de este tipo de columnas.

Ejemplo: Determinar la fuerza crítica para la barra de dos tramos de rigidez diferente. La rigidez de un tramo es cuatro veces mayor que la del otro.

Para los tramos 1 y 2 obtenemos respectivamente las ecuaciones

𝐸𝐼𝑦1′′ + 𝑃𝑦1 = 0 ; 4𝐸𝐼𝑦2′′ + 𝑃𝑦2 = 0

Haciendo

𝑘2 =𝑃

4𝐸𝐼

obtendremos,

𝑦1′′ + 4𝑘2𝑦1 = 0 ; 𝑦2′′ + 𝑘2𝑦2 = 0

de donde hallamos

𝑦1 = 𝐴 sen 2𝑘𝑥 + 𝐵 cos 2𝑘𝑥 ; 𝑦2 =𝐶 sen𝑘𝑥 + 𝐷 cos𝑘𝑥

De la condición de contorno 𝑥 = 0 → 𝑦1 = 0 se deduce que 𝐵 = 0.

Disponemos de tres condiciones más

𝑥 =𝐿2→ 𝑦1 = 𝑦2

𝑥 =𝐿2→ 𝑦1′ = 𝑦2′

𝑥 = 𝐿 → 𝑦2 = 0

Planteamos las tres ecuaciones correspondientes

𝐴 sen𝑘𝐿 = 𝐶 sen𝑘𝐿2

+ 𝐷 cos𝑘𝐿2

2𝐴 cos𝑘𝐿 = 𝐶 cos𝑘𝐿2− 𝐷 sen

𝑘𝐿2

𝐶 sen𝑘𝐿 + 𝐷 cos𝑘𝐿 = 0

Sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para que este tenga una solución distinta de la trivial

��

sen𝑘𝐿 − sen𝑘𝐿2

− cos𝑘𝐿2

2 cos𝑘𝐿 − cos𝑘𝐿2

sen𝑘𝐿2

0 sen𝑘𝐿 cos𝑘𝐿

�� = 0

Por lo tanto

− sen𝑘𝐿 cos𝑘𝐿2

cos𝑘𝐿 − 2 sen𝑘𝐿 cos𝑘𝐿2

cos𝑘𝐿 + 2 sen𝑘𝐿2

cos2 𝑘𝐿 − sen𝑘𝐿2

sen2 𝑘𝐿 = 0

−3 sen𝑘𝐿 cos𝑘𝐿2

cos𝑘𝐿 + (2 − 3 sen2 𝑘𝐿) sen𝑘𝐿2

= 0

−3 �2 sen𝑘𝐿2

cos𝑘𝐿2� cos

𝑘𝐿2�2 cos2

𝑘𝐿2− 1� + �2 − 3 �2 sen

𝑘𝐿2

cos𝑘𝐿2�2

� sen𝑘𝐿2

= 0

sen𝑘𝐿2 �−12 cos4

𝑘𝐿2

+ 6 cos2𝑘𝐿2

+ 2 − 12 �1 − cos2𝑘𝐿2� cos2

𝑘𝐿2 � = 0

sen𝑘𝐿2 �−6 cos2

𝑘𝐿2

+ 2� = 0

El menor valor distinto de cero de 𝑘𝐿2

que satisface la ecuación es

cos2𝑘𝐿2

=13⇒𝑘𝐿2

= 0,9553

Así pues, la carga crítica es

𝑃𝑐𝑟 = 4𝐸𝐼𝑘2 = 16𝐸𝐼 ·0,95532

𝐿2=

14,6021𝐸𝐼𝐿2

Con esta carga crítica podemos calcular el coeficiente de reducción de la longitud de la barra equivalente de longitud 𝐿 y de momento de inercia constante 𝐼1 = 𝐼

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼1(𝛽𝐿)2 ⇒ 𝛽 = �

𝜋2

14,6021=

𝜋4 · 0,9553

= 0,822

Del mismo modo podemos calcular el coeficiente de reducción de la longitud de la barra equivalente de longitud 𝐿 y de momento de inercia constante 𝐼2 = 4𝐼

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼2(𝛽𝐿)2 ⇒ 𝛽 = �

4𝜋2

14,6021=

𝜋2 · 0,9553

= 1,644

También se puede calcular el coeficiente de reducción de la longitud de cada uno de los tramos

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼𝑖

(𝛽𝑖𝐿𝑖)2

14,6021𝐸𝐼𝐿2

=𝜋2𝐸𝐼

�𝛽1𝐿2�

2 ⇒ 𝛽1 = �4𝜋2

14,6021=

𝜋2 · 0,9553

= 1,644

14,6021𝐸𝐼𝐿2

=4𝜋2𝐸𝐼

�𝛽2𝐿2�

2 ⇒ 𝛽2 = �16𝜋2

14,6021=

𝜋0,9553

= 3,289