tema 1. els nombres reals€¦ · nombres realserrors, aproximacions i acotaci ointervalsnotaci o...

Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes

Tema 1. Els nombres reals

Carlos Gimenez Canadas

19 de setembre de 2018


Index

1 Nombres reals

2 Errors, aproximacions i acotacio

3 Intervals

4 Notacio cientıfica

5 Radicals

6 Logaritmes


Nombres naturals i enters

Els nombres naturals son els que es fan servir per comptar.Es un conjunt que es representa per la lletra N

Exemple

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }

Els nombres enters son un conjunt que conte els nombres enterspositius, els negatius i el zero. Es representa per la lletra Z

Exemple

Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }


Nombres racionals

Els nombres racionals contenen:

Els decimals exactes son els que tenen un nombre finit dexifres decimals, es poden expressar com fraccions posantpotencies de 10 al denominador.

Els decimals periodics purs son aquells decimals infinits quetenen una part decimal que es repeteix indefinidament(perıode).

Els decimals periodics mixtes son aquells decimals infinitsque tenen una part no periodica abans del perıode.


Nombres racionals

Tots aquests decimals es poden expressar com fraccio. El conjuntes representa per la lletra Q.Cada conjunt de fraccions representa el mateix nombre racional, ise’n diu representant a qualsevol d’elles. La fraccio irreductible esel representant canonic.


Nombres racionals

Exemple

El nombre 3.47 es un decimal exacte.

3.47 =347

100

El nombre 2.17171717 . . . es decimal periodic pur.

2.17171717 · · · = 2.ı17 =217− 2

99=

215

99

El nombre 7.834512121212 . . . es decimal periodic mixt.

7.8312121212 · · · = 7.83ı12 =78312− 783

9900


Nombres irracionals

El conjunt I dels nombres irracionals esta format pels nombresque no es poden expressar com a fraccio. L’expressio decimal te unnombre infinit de decimals no periodics.

Exemple

Alguns exemples son les arrels no exactes:√

2,√

7, . . . . Tambe enconeixem alguns irracionals caracterıstics: el nombre pi,

π = 3.14159265 . . . , el nombre auri Φ = 1+√

52 = 1, 6180339 . . . , o

be el nombre e e = 2.71828182 . . .

Un nombre irracional sumat per un nombre qualsevol, o multiplicatper un nombre racional qualsevol, tambe es irracional.


Nombres reals

El conjunt dels nombres reals esta format pels irracionals i elsracionals, i esta representat per R. La recta que representa elsnombres reals s’anomena recta real.


Index

1 Nombres reals


3 Intervals


5 Radicals

6 Logaritmes


Aproximacions

Per treballar amb alguns nombres, els aproximem a valors propersque simplifiquin els calculs. Podem fer:

Per truncament: S’eliminen les xifres a partir d’un certdecimal. Per exemple, si passem de 7.23546 a 7.23 (dosdecimals)

Per exces: S’eliminen les xifres a partir d’un cert decimalpero s’augmenta en una unitat el darrer decimal que deixem.Per exemple, si passem de 8.157 a 9 (enter)

Arrodoniment: S’agafa la millor aproximacio de les dues.Per exemple, amb el nombre 4.6, les dues possibilitats peraproximar a enters serien el 4 i el 5, pero el 5 esta mes proper.


Errors

En fer aquestes aproximacions, es comet un error de representacio.Error absolut Es la diferencia, en valor absolut, entre el valor reali l’aproximacio.Error relatiu es el quocient entre l’error absolut i el valor real:

Ea = |Vreal − Vapr |

Er = | Ea

Vreal

Exemple

Per exemple, si fvolem aproximar el nombre 4.635, i ho fem perarrodoniment als centessims, agafem 4.64. L’error absolut EsEa = 4.64− 4.635 = 0.005, i l’error relatiu esEr = |0.005

4.635 | = 0.00108


Acotacio d’errors

Ens interessa acotar l’error, es a dir, donar un valor maxim del’error de representacio. Quan arrodonim un nombre fins a ordre n,l’error absolut que es comet esta sempre per sota d’una cotad’error absolut εa

Ea <1

2 · 10n= εa

De la mateixa manera passa amb l’error relatiu, que sempre estaper sota de la cota d’error relatiu εr .

Er <εa

Vapr − εa= εr


Acotacio d’errors

Exemple

Aproximem el nombre√

2 als centessims.

√2 = 1, 4142135623 · · · → 1, 41

Ea < |√

2− 1, 41| < 0, 005 =1

2 · 102

Er <εa

Vapr − εa= 0, 00356


Index

1 Nombres reals


3 Intervals


5 Radicals

6 Logaritmes


Intervals

Un interval es un conjunt de nombres reals i es representenmitjancant un segment o una semirecta de la recta real. Cadainterval es representa els seus extrems, dos en cas dels segments iun en el cas de les semirectes. Si hi ha o no els extrems, es diu queels intervals son tancats, semioberts o oberts.

Interval obert: (a, b) = {x : a < x < b}Interval tancat: [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}Interval semiobert: (a, b] = {x : a < x ≤ b}Interval semiobert: [a, b) = {x : a ≤ x < b}Semirecta oberta: (a,+∞) = {x : a < x}Semirecta tancada: [a,+∞) = {x : a ≤ x}Semirecta oberta: (−∞, b) = {x : x < b}Semirecta tancada: (−∞, b] = {x : x ≤ b}


Intervals

S’anomena entorn de centre a i radi r , i es representa per Er (a) al’interval obert d’extrems a + r i a− r .

Er (a) = (a− r , a + r)

La unio de dos conjunts A i B, es el conjunt format pels elementsque estan a A o a B, i es representa per A ∪ BLa interseccio de dos conjunts A i B, es el conjunt format pelselements que estan a A i tambe a B, i es representa per A ∩ BLa diferencia de dos conjunts A i B es el conjunt format pelselements que estan a A i no estan a B, i es representa per A \ B


Index

1 Nombres reals


3 Intervals


5 Radicals

6 Logaritmes


Notacio cientıfica

Quan volem expressar nombres molt grans o be molt petits, femservir la notacio cientıfica. Aixo es fa fent servir un nombre entre 1i 10, multiplicat per una potencia de 10. Si es tracta d’un nombrepetit la potencia de 10 sera negativa.

Exemple

5.250.000.000.000 = 5, 25 · 1012

0, 000000000035 = 3, 5 · 10−11


Notacio cientıfica

Per escriure un nombre en notacio cientıfica l’escrivim de la formaa · 10b, on a, es un nombre decimal de l’interval [1, 10), i b, es unnombre enter.

Exemple

Per exemple, escriure el nombre 354.000 en notacio cientıfica es3, 54 · 105, i escriure el nombre 0, 0027 es fa de la forma 2, 7 · 10−3.


Operacions amb notacio cientıfica

Per sumar i restar nombres en notacio cientıfica, han de tenir lamateixa potencia de 10. Llavors, es sumen els nombres de davantde les potencies.

Exemple

6, 5 · 105 − 3 · 105 + 9, 25 · 105 = 12, 75 · 105 = 1, 275 · 106

Si no tenen el mateix exponent, s’han de posar de manera quetinguin el mateix, per poder sumar, posant zeros alla on calgui.

Exemple

3, 2·1010+1, 2·1012 = 3, 2·1010+120·1010 = 123, 2·1010 = 1, 232·1012

Fixeu-vos que, al final de tot, els nombres s’han de convertir anotacio cientıfica.


Operacions amb notacio cientıfica

Per multiplicar i dividir, haurem de multiplicar els nombres perseparat i les potencies de 10 tambe, tot aplicant les propietats deles potencies.

Exemple

6, 5 ·105 ·−3 ·107 = 6, 5 ·(−3) ·105+7 = −19, 5 ·1012 = −1, 95 ·1013

3, 2 · 1010

1, 2 · 1012=

3, 2

1, 2· 1010−12 = 2, 66 · 10−2


Index

1 Nombres reals


3 Intervals


5 Radicals

6 Logaritmes


Radicals. Definicio

Donat un nombre real a, la seva arrel n-essima, son els nombresreals b que compleixen que bn = a. S’escriu n

√a = b. Es l’operacio

inversa de la potencia.Quan calculem el valor numeric d’un radical, ens podem trobardiversos casos:

Si a > 0 i n es imparell, nomes tenim 1 arrel positiva.

Si a > 0 i n es parell, tenim dues arrels, una positiva i unanegativa oposada.

Si a = 0, aleshores l’arrel es 0.

Si a < 0 i n es imparell, nomes tenim 1 arrel negativa.

Si a < 0 i n es parell, no existeix cap arrel real.


Radicals. Potencies fraccionaries

Una potencia d’exponent fraccionari es un radical d’ındex n iradicand am, s’escriu a

mn = n√am. Per tant, dos radicals son iguals

si, en expressar-los en exponent fraccionari, les fraccions sonequivalents i les bases iguals:

amn = a

pq ⇔ m

n=

p

q

Es poden simplificar els radicals si traiem de l’arrel els factorspossibles.

Exemple

Simplificar el radical 4√

64

4√

64 =4√

26 = 264 = 21+ 1

2 = 2√

2


Radicals. Operacions

Per poder operar amb radicals, els reduirem a ındex comu. Aixo esfa trobant radicals equivalents amb el mateix ındex.

Exemple

Reduir a radical comu 6√

13 i 5√

5.En primer lloc, es calcula el mınim comu multiple dels ındexs:mcm(6, 5) = 30.Despres, s’expressen amb la forma equivalent: 6

√13 =

30√

135,5√

5 =30√

56.



Per operar amb els radicals, ho farem de la manera seguent:

Per sumar i restar, han de tenir ındex i radicand comu.

Per multiplicar i dividir, els reduım a ındex comu.

Per fer la potencia o l’arrel, transformem el radical enpotencia i operem.



Exemple

Operar i simplificar: 2√

12− 3√

75 +√

27

2√

12− 3√

75 +√

27 = 2√

22 · 3− 3√

3 · 52 +√

33 =

= 4√

3− 15√

3 + 3√

3 = −8√

3



Exemple

Operar i simplificar:√

12 · 3√

36Reduırem a ındex comu dels dos radicals, que en aquest cas seraındex 6

√12 · 3√

36 =6√

123 · 6√

362 =6√

123 · 362 =

= 6»

(22 · 3)3 · (22 · 32)2 =6√

26 · 33 · 24 · 34 =

=6√

210 · 37 = 66√

24 · 3 = 66√

48



Exemple

Operar i simplificar:3√

4√2

Reduırem a ındex comu que es el 6

3√

4√2

=6√

42

6√

23=

6√

24

6√

23=

6√

2


Radicals. Racionalitzacio

Racionalitzar consisteix a transformar fraccions amb radicals aldenominador en fraccions que no en tinguin.Per racionalitzar fraccions del tipus a

n√b

, ho fem multiplicant

numerador i denominador pern√bn−1

Exemple

Racionalitzar 1√2

1√2

=1 ·√

2√2 ·√

2=

√2

2


Radicals. Racionalitzacio

Per racionalitzar fraccions del tipus a√a+√b

, multipliquem i dividim

pel conjugat del denominador, on el conjugat d’una expressioa + b es a− b.

Exemple

Racionalitzar l’expressio 1√6−√

9

1√6−√

9=

√6 +√

9

(√

6−√

9) · (√

6 +√

9)=

=

√6 +√

9√62 −

√92

=

√6 +√

9

6− 9=

=

√6 + 3

−3= −1−

√6

3


Index

1 Nombres reals


3 Intervals


5 Radicals

6 Logaritmes


Logaritmes. Definicio

Donats dos nombres reals positius a, b, amb a 6= 1, el logaritmeen base a de b es l’exponent pel qual s’ha d’elevar a perque elresultat sigui b:

loga b = c → ac = b

Si la base es 10, es diu logaritme decimal i no s’escriu la base. Si labase es el nombre e = 2, 718281 . . . , se’n diu logaritme neperia, is’escriu ln b.

Exemple

Aquı tenim alguns exemples de logaritmes:

log2 8 = 3, ja que 23 = 8

log 10000 = 4, perque 104 = 10000

ln e3 = 3


Logaritmes. Propietats

El logaritme de 1 sempre es 0, i el logaritme de la base es 1:

loga 1 = 0, loga a = 1

El logaritme d’un producte es la suma de logaritmes:

loga(b · c) = logab + logac

El logaritme d’un quocient es la diferencia de logaritmes:

loga

Åb

c

ã= logab − logac



El logaritme d’una potencia es l’exponent multiplicat pellogaritme de la base de la potencia:

loga bn = n · loga b

El canvi de base als logaritmes es aixı:

loga b =logc b

logc a



Exemple

Si ln p = 3 ln a + ln b + 2 ln c − 4 ln d

5, quant es p?

ln p = 3 ln a+ ln b + 2 ln c − 4 ln d

5= ln a3 + ln b + ln c2− ln

5√d4 =

= ln(a3 · b · c2)− ln5√d4 −→ p =

a3 · b · c2

5√d4



Exemple

Fent un canvi de base, calcular log2 23Fent servir la propietat del canvi de base, podem fer servir algunlogaritme que poguem posar a la calculadora, com la base 10.Llavors,

log2 23 =log 23

log 2= 4.52

tema 1. els nombres reals€¦ · nombres realserrors, aproximacions i acotaci ointervalsnotaci o...

Documents