Tema 1.- Correlación Lineal

3.1.1. Definición

El término “correlación” literalmente significa relación mutua; de este modo, el

análisis de correlación mide e indica el grado en el que los valores de una variable

se relacionan con los valores de otra.

Más exactamente, el análisis que se ocupa de medir la relación entre una sola

variable independiente y la variable dependiente se llama análisis de correlación

simple.

Muchos son los casos que se pueden mencionar como ejemplos en los que puede

existir una relación posible entre dos variables podrían ser:

¿Tienden a tener mayor escolaridad las personas con altos ingresos, en

comparación con las de bajos ingresos?

¿Puede el éxito en el trabajo pronosticarse a partir de las calificaciones obtenidas

en los exámenes de selección?

¿Entre mayor preparación se tenga tus habilidades de liderazgo serán mayores?

Estos y problemas semejantes se prestan a un análisis de correlación. El resultado

de un análisis de este tipo es un coeficiente de correlación, valor que cuantifica

el grado de correlación.

Ahora dicho análisis de correlación parte de la base del estudio que podemos

hacer de dos variables estadísticas y que se denomina Distribución Bidimensional:

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Cuando sobre una población estudiamos simultáneamente los valores de dos variables

estadísticas, el conjunto de los pares de valores correspondientes a cada individuo se denomina

distribución bidimensional.

NUBE DE PUNTOS O DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

La primera forma de describir una distribución bidimensional es representar los pares de valores en el plano cartesiano. El gráfico obtenido recibe el nombre de nube de puntos o diagrama de dispersión

En este caso podemos observar que empíricamente podemos saber sí existe o no

una correlación entre dos variables estadísticas, como Licenciado en

Administración en ocasiones el análisis de los datos tendrá que pasar por

comparar uno con otro para saber si existe dicha correlación por ejemplo

determinar cual de los gastos que tiene una empresa es que mayor influencia

tiene sobre las utilidades; o si el horario en que labora un trabajador depende de la

productividad en una planta ensambladora. Sin embargo aunque observando la

gráfica podemos definir cierto comportamiento; no sabremos a ciencia cierta si

esta correlación es fuerte, débil o nula; o dar un dato cuantitativo sobre ella.

RECTA DE REGRESIÓN.

Cuando observamos una nube de puntos podemos apreciar si los puntos se agrupan cerca de alguna curva. Aquí nos limitaremos a ver si los puntos se distribuyen alrededor de una recta. Si así ocurre diremos que hay correlación lineal.

La recta se denomina Recta de regresión.

Este grado o intensidad de relación entre dos variables continuas, se resume

mediante un coeficiente de correlación que se conoce como “r de Pearson” en

honor del matemático Karl Pearson (el mismo del coeficiente que mide la

asimetría). Dicha técnica es válida solamente si es posible establecer los

siguientes supuestos:

• La relación entre las dos variables es lineal

• Ambas variables son variables aleatorias

• Los valores observados (muestreados) de cada variable son

independientes de los demás valores observados de esa variable

• Las distribuciones condicionales de cada variable, dados los

diferentes valores de la otra variable, son distribuciones normales.

3.1.2. Fórmula

Para calcular el coeficiente de Pearson se usa la siguiente fórmula:

3.1.3. Interpretación

El coeficiente de correlación así calculado presenta dos propiedades que

establecen la naturaleza de la relación entre dos variables, estas son

• Su signo (+ ó – ), este es igual al de la pendiente de una recta que podría

“ajustarse” a los datos si éstos se graficaran en el llamado diagrama de dispersión

y que se muestra en el ejemplo más adelante

• Su magnitud, ésta indica qué tan cerca están de la “recta” los puntos que en

el diagrama de dispersión resultan de graficar los valores de las dos variables

analizadas.

Por ejemplo, los valores próximos a -1.00 ó +1.00 indican que los valores están

bastante cerca de la recta o sobre ella, mientras que los valores próximos a 0

sugieren mayor dispersión dando lugar a la siguiente interpretación:

O de otra forma:

Ejemplo Cálculo de Coeficiente de Correlación de Pearson

Has sido nombrado Jefe del Departamento de Ventas de una compañía que

manufactura dispositivos electrónicos automotrices para el mercado mexicano.

Una de tus estrategias para lograr el aumento en la colocación de pedidos por

parte de tus clientes es el contacto telefónico con ellos.

Para fundamentar tu estrategia has decidido hacer notar a tus superiores la

importancia de hacer llamadas extras cada día. En tal virtud, has reunido cierta

información acerca de la relación entre el número de llamadas y el número de

productos vendidos, estos datos se muestran en la tabla siguiente:

¿Qué comentarios puedes hacer respecto a la relación entre el número de llamadas y la cantidad de productos vendidas?

Solución:

Paso 1. Construir Diagrama de Dispersión

Se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos a la representación, en un sistema de ejes cartesianos (X, Y), de los valores observados de las variables, en el que a cada par (xi,yj) se le asocia su frecuencia conjunta de observación nij.

Paso 2. Construir cuadro para cálculos:

Un diagrama de dispersión ofrece una idea bastante aproximada

sobre el tipo de relación existente entre dos variables. Pero, además,

un diagrama de dispersión también puede utilizarse como una forma

de cuantificar el grado de relación lineal existente entre dos

variables: basta con observar el grado en el que la nube de puntos se

ajusta a una línea recta.

Paso 3. Sustituir valores en la fórmula:

Paso 4. Interpretar el resultado:

El signo positivo indica que hay una relación directa entre el número de llamadas a

clientes y la cantidad de productos vendidos. El valor 0.759 está bastante

cercano a 1.00, por lo que se concluye que la relación es fuerte.

Dicho de otra forma, un aumento de 25% en las llamadas posiblemente

representaría un aumento de 25% en las ventas.

Como se puede apreciar el coeficiente de correlación no tiene unidades y su

interpretación queda en términos de fuerte, media o débil relación, lo cual puede

no ser suficiente; para completar la interpretación existe el llamado:

Coeficiente de determinación, este se obtiene elevando al cuadrado a r, y se

interpreta como proporción o porcentaje de variación de la variable

dependiente que se explica por la variación en la variable independiente.

Es decir:

Para el ejemplo anterior, este coeficiente de determinación resultaría r2 = (0.759)2 = 0.576 que se interpretaría como sigue: 57.6% de la variación en el número de artículos vendidos se explica por la variación en el número de llamadas.

Actividad Preliminar 1: (Recuerda que estas actividades son opcionales y será

tu asesor quien defina aquellos que serán evaluados en tu curso. Sin embargo te

recomiendo que las realices para verificar efectivamente el nivel de aprendizaje

logrado)

Resuelve los siguientes problemas:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y DE DETERMINACIÓN

No. Problema

1 Se desea saber si el aprovechamiento escolar de nivel universitario está relacionado con el aprovechamiento respectivo a nivel de bachillerato. Parecería razonable esperar que los alumnos tiendan a obtener aproximadamente las mismas calificaciones en la universidad que en la preparatoria. Para medir esto, supón que cuentas con la información que se muestra en la tabla siguiente:

ESTUDIANTE CALIFICACIÓN EN PREPARATORIA

CALIFICACIÓN EN UNIVERSIDAD

1 8.7 2.1

2 8.8 1.7

3 8.2 1.0

4 9.8 4.0

5 9.1 2.7

6 8.0 1.0

7 9.1 2.4

8 8.8 2.0

9 9.1 2.4

10 9.6 3.6

11 9.4 3.9

12 9.2 3.0

a) Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente b) Construir diagrama de dispersión c) Calcular coeficiente de correlación e interpretar resultado d) Calcular coeficiente de determinación e interpretar resultado

2 En un empleo que consiste en conectar componentes electrónicos en miniatura, se tomó una muestra de 12 trabajadores a los cuales se les preguntó la experiencia que en semanas tienen realizando dicho trabajo así como el número de componentes que les fueron rechazados en su última jornada de trabajo. Tales datos se presentan en la siguiente tabla:

Obrero muestreado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Semanas de experiencia

7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8

Número de rechazos

26

20

28 16 23 18 24 26 38 22 32 25

a) Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente b) Construir diagrama de dispersión c) Calcular coeficiente de correlación e interpretar resultado d) Calcular coeficiente de determinación e interpretar resultado