tema 1.- cońicas y cuádricas. · en primer lugar vamos a estudiar los aspectos básicos de las...

Ingenierıa Quımica.Matematicas I. 2013-2014.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

1.1.- Las conicas. Ecuaciones reducidas.

Definicion metrica y sus elementos notables.Las secciones conicas.Ecuacion reducida de una conica no girada.

1.2.- Las cuadricas. Ecuaciones reducidas.

Ecuacion reducida de una cuadrica no girada.Los elipsoides.Los hiperboloides y el cono.Los paraboloides.Los cilindros y las cuadricas degeneradas.

1.3.- Ejercicios.

Enunciados.Soluciones.

1.1.- Las conicas. Ecuaciones reducidas.

En primer lugar vamos a estudiar los aspectos basicos de las conicas no degeneradas(parabola, elipse e hiperbola), considerando la definicion de estas como el lugar geometricode todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad.

1.1.1.- Definicion metrica y sus elementos notables.

Vamos a definir (cada una de) las conicas como el conjunto de puntos del plano queverifican una determinada propiedad metrica (referida a distancias). Adoptando un sistemade referencia adecuado, obtendremos la ecuacion implıcita correspondiente y las coordenadasy ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso.

• La parabola.Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la grafica de una funcion

polinomica de segundo grado y = f(x) = ax2 + bx+ c y como la trayectoria descrita por unproyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista.

Parabola. Dada una recta L y un punto F (que no este en L), se denomina parabola de focoF y directriz L al lugar geometrico de los puntos P (del plano determinado por la directrizy el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F ,

d (P, L) = d (P, F ).

1

2 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

Ejercicio. ¿Que sucede si el punto F esta en la recta L?

Ecuacion de la parabola. Vamos a considerar un sistema de referencia adecuado, de formaque la ecuacion que caracterice a los puntos de la parabola sea lo mas sencilla posible. Comoeje OX , de la variable independiente, vamos a tomar la recta que pasa por el foco F y esperpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de referencia tomamos el punto Ode dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por ultimo, como eje OY de nuestrosistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y es paralela a la directriz.

En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco seran dela forma F = (p

2, 0) y la ecuacion de la directriz sera L ≡ x = −p

2. U n punto P = (x, y)

pertenecera a la parabola definida si y solo si

d (P, L) =∣

∣

∣x+

p

2

∣

∣

∣= d (P, F ) =

√

(x− p

2)2 + y2.

De aquı es facil obtener que los puntos(x, y) que estan en la parabola estancaracterizados por la ecuacion

y2 = 2p x |p| = d (F, L).

La recta y = 0 (el eje OX) es eje desimetrıa de la parabola anterior y elvertice (el punto de corte del eje desimetrıa con la parabola) es el origende coordenadas O = (x = 0, y = 0).

y2 = 2p x

X

Y

Foco

Eje de simetrıa

F = (p

2, 0)

x = −p

2

directriz

VerticeO

P = (x, y)

El eje de simetrıa de una parabola tambien se suele llamar eje focal. La recta que pasapor el vertice y es perpendicular al eje de simetrıa se suele llamar eje secundario de laparabola. Resumiendo

Elementos notables de la parabola.

-Eje de la parabola. Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. En estecaso corresponde al eje OX .

-Vertice Es el punto de interseccion de la parabola con dicho eje. En este caso es el origende coordenadas.

Variantes en la ecuacion de la parabola. Una ecuacion del tipo x2 = 2q y define unaparabola con eje de simetrıa el eje OY y vertice en el origen de coordenadas.

Matematicas I. Ingenierıa Quımica

1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 3

Si cuando hemos obtenido la ecuacion de laparabola, y2 = 2p x, hubieramos adoptadoun sistema de ejes paralelo al que hemosadoptado (o lo que es lo mismo si hacemosuna traslacion del sistema de coordenadas),en el cual el eje OX sea paralelo al eje desimetrıa de la parabola (dicho eje de simetrıatendrıa como ecuacion y = β) y el vertice tu-viera como coordenadas (α, β), la ecuacionde la parabola en dicho sistema de coorde-nadas serıa de la forma

(y − β)2 = 2p (x− α). X

Y

Vertice (α, β)

O

Eje

x = α

y = β(y − β)2 = 2p (x− α)

Ejercicio. Determina el vertice, el eje de simetrıa, el foco y la directriz de las parabolas

(y − β)2 = 2p (x− α), (x− α)2 = 2q (y − β).

Las ecuaciones anteriores cubren todos los casos en los que el eje de la parabola es paraleloa uno de los ejes coordenados.

• La elipse.

Elipse. Dados dos puntos F1 y F2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que ladistancia entre los focos), se llama elipse de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar geometricode los puntos, P , cuya suma de distancias a F1 y F2 es 2a,

d (P, F1) + d (P, F2) = 2a.

Ejercicio. ¿Que sucede si 2a es igual a la distancia entre los focos? ¿y si es menor? ¿Que su-cede si F1 = F2?

Ecuacion de la elipse. Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual laelipse estara caracterizada por una ecuacion lo mas simple posible. Tomamos como eje OX larecta que une los focos F1 y F2 y como eje OY la recta perpendicular en el punto medio de losfocos, punto que sera por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respectode este sistema de referencia los focos vendran dados mediante F1 = (c, 0) y F2 = (−c, 0).

Un punto P = (x, y) estara en la elipse si y solo si

d(P, F1) + d(P, F2) =√

(x− c)2 + y2 +√

(x+ c)2 + y2 = 2a.

Sin mas que hacer operaciones llegamos a

x2

a2+

y2

b2= 1, siendo b2 = a2 − c2,

y, por tanto, b < a.

Matematicas I. 2013-2014


x2

a2+

y2

b2= 1

X

Y

F1 = (c, 0)F2 = (−c, 0)

(a, 0)

(−a, 0)

(0, b)

(0,−b)

P = (x, y)

O

a

bc

Es facil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicularen el punto medio de los focos) son ejes de simetrıa de la elipse y su punto de corte (elorigen de coordenadas) es centro de simetrıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica laecuacion de la elipse, los puntos

(±x,±y) : (x, y), (x,−y), (−x, y), (−x,−y)

tambien verifican dicha ecuacion. El eje de simetrıa que pasa por los focos suele denominarseeje focal.

Elementos notables de la elipse.

-Centro de la elipse. Es el punto medio de los focos que en este caso es el origen de coorde-nadas.

-Ejes de la elipse. Son dos, por un lado la recta que une los focos (eje focal) y, por otro, larecta perpendicular a esta que pasa por el centro. En este caso corresponde al eje OX y aleje OY respectivamente.

-Vertices. Son los puntos en los que los ejes de simetrıa cortan a la elipse y que en este casocorresponden a(±a, 0) y (0,±b).

-Semiejes de la elipse. Son las distancias del centro de la elipse a los vertices, es decir, a > 0y b > 0. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor distancia de un punto de laelipse a su centro.

Cuando hay un unico foco, F1 = F2, la definicion de elipse corresponde a la circunferenciade centro F1 = F2 y radio r = a > 0. En este caso tenemos que 2c = d (F1, F2) = 0, b2 = a2 yla ecuacion puede escribirse como x2+ y2 = a2. Ahora cualquier recta que pase por el centroes eje de simetrıa de la circunferencia y el unico foco coincide con el centro.

Variantes en la ecuacion de la elipse. Si tenemos un sistema de referencia respecto delcual el centro de simetrıa de la elipse tiene por coordenadas (α, β) y sus ejes de simetrıa sonparalelos a los ejes coordenados (con lo cual seran las rectas x = α e y = β) la ecuacion dela elipse sera de la forma

(x− α)2

a2+

(y − β)2

b2= 1

Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b o a < b, los focos de laelipse y el semieje mayor de la elipse estara sobre uno de los ejes de simetrıa o sobre el otro.



a > b

O X

Y

(α, β)

x = α

y = β

a < b

O X

Y

(α, β)

x = α

y = β

• La hiperbola.

Al igual que la parabola, el alumno conoce la hiperbola como representacion grafica deuna funcion explıcita y = f(x) = k

x, k 6= 0. Todas estas hiperbolas son equilateras y tienen

como asıntotas a los ejes coordenados. Veamos la hiperbola desde otro punto de vista.

Hiperbola. Dados dos puntos distintos, F1 y F2, y una constante 2a > 0 (menor quela distancia entre los focos), se llama hiperbola de focos F1 y F2 y constante 2a al lugargeometrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F1 y F2 es 2a,

|d (P, F1)− d (P, F2)| = 2a.

Ejercicio. ¿Que sucede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? ¿y si es igual? ¿y si2a = 0?Ecuacion de la Hiperbola. Tomamos como sistema de referencia el que tiene como ejeOX la recta que une los focos y como eje OY la perpendicular en el punto medio de losfocos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos seran de la forma F1 =(c, 0), F2 = (−c, 0). Un punto P = (x, y) estara en la hiperbola si y solo si

|d(P, F1)− d(P, F2)| =∣

∣

∣

√

(x− c)2 + y2 −√

(x+ c)2 + y2∣

∣

∣= 2a.

Sin mas que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuacion es equivalente a laecuacion

x2

a2− y2

b2= 1, b2 = c2 − a2.

Una hiperbola esta formada por dos ramas(dos curvas sin puntos en comun) que vienendadas, respectivamente, por los puntos P queverifican

d(P, F1)− d(P, F2) = 2a

y por los que verifican

d(P, F1)− d(P, F2) = −2a.

F1F2 X

Y



Es facil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicularen el punto medio de los focos) son ejes de simetrıa de la hiperbola y su punto de corte(el origen de coordenadas) es centro de simetrıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica laecuacion de la hiperbola, los puntos

(±x,±y) : (x, y), (x,−y), (−x, y), (−x,−y)

tambien verifican dicha ecuacion. El eje de simetrıa que pasa por los focos suele denominarseeje focal.

Elementos notables de la hiperbola.

-Centro de la hiperbola. Es el punto medio de los focos que en este caso es el origen decoordenadas.

-Ejes de la hiperbola. Son dos, por un lado la recta que une los focos (eje focal) y, por otro,la recta perpendicular a esta que pasa por el centro. En este caso corresponden al eje OX yal eje OY respectivamente.

-Vertices. Son los puntos en los que los ejes de simetrıa cortan a la hiperbola. El eje focal sıcorta a la hiperbola mientras que el otro eje no. En este caso corresponden a(±a, 0) .

-Semiejes de la hiperbola. Son dos, por un lado la distancia del centro de la elipse a losvertices, es decir, a > 0 y, por otro, el valor b > 0 tal que c2 = a2 + b2.

-Asıntotas. Son las rectas que pasan por el centro de la hiperbola con pendientes m = ± b

a.

Se dice que la hiperbola es equilatera si sus dos semiejes son iguales a = b, o lo que esequivalente, si sus asıntotas son perpendiculares entre sı.

x2

a2− y2

b2= 1

X

Y

F1F2

a

bc

Asıntotas y = ± b

ax

Vertices (±a, 0)

Ejes de simetrıaCentro

Variantes en la ecuacion de la hiperbola. Si cuando hemos obtenido la ecuacion de

la hiperbola,x2

a2− y2

b2= 1, hubieramos adoptado un sistema de ejes paralelo al que hemos

adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslacion del sistema de coordenadas), en elcual el eje OX fuera paralelo a la recta que une los focos (y el eje OY fuera la perpendicularen el punto medio de los focos), los ejes de simetrıa tendrıan por ecuaciones respectivas x = αe y = β y la ecuacion de la hiperbola serıa



(x− α)2

a2− (y − β)2

b2= 1.

X

Y

Centro (α, β)

x = α

y = β

En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobreuna recta paralela al eje OY , tendrıamos

(x− α)2

a2− (y − β)2

b2= −1

X

Y

Centro (α, β)

x = α

y = β

1.1.2.- Las secciones conicas.

Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las conicas es elde secciones conicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono medianteun plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (mas adelanteobtendremos su ecuacion) con un plano depende de si el plano pasa o no por el vertice delcono y de la relacion entre el angulo, 0 ≤ α ≤ π

2, de inclinacion del plano respecto al eje del

cono y el angulo, 0 < β < π2, de inclinacion de la recta generatriz del cono respecto del eje.

Tenemos los siguientes casos:

• Un punto, concretamente el vertice del cono, si cortamos con un plano que pasa por elvertice y β < α ≤ π

2.

• Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el vertice y 0 ≤ α < β.

• Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el vertice y α = β.

• Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el vertice del cono y β < α ≤ π2. En

particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π2), se obtiene

una circunferencia.

• Una parabola, si cortamos con un plano que no pase por el vertice y sea paralelo a unageneratriz, α = β.

• Una hiperbola, si cortamos con un plano que no pase por el vertice y 0 ≤ α < β.



Un punto Una recta dobleDos rectas que se cortan

ElipseCircunferencia

ParabolaHiperbola

1.1.3.- Ecuacion reducida de una conica no girada.

En general, una conica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coor-denadas (x, y) verifican una ecuacion de segundo grado

a11x2 + a22y

2 + 2a12xy + 2a1x+ 2a2y + a0 = 0.

Notemos que una ecuacion de este tipo permite describir tanto a las conicas propiamentedichas (elipses, parabolas e hiperbolas), como a las conicas degeneradas e imaginarias.Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de conicas: una pareja de rectas (que se corten enpunto, x2 − y2 = 0, que sean paralelas x2 − 4 = 0 o que sean coincidentes, x2 = 0), o ununico punto, x2 + y2 = 0, o nada, x2 + y2 + 1 = 0.

Reduccion de la ecuacion de una conica no girada. En general, cualquier ecuacionde segundo grado, en dos variables (x, y), sin termino en xy (a12 = 0) puede reducirse auno de los siguientes tipos de ecuacion

aX2 + b Y 2 + c = 0, X2 + bY = 0, X2 + c = 0

sin mas que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a conicas cuyos ejes sonparalelos a los ejes coordenados (las conicas no estan giradas respecto al sistema de referencia


1.2.-Las cuadricas. 9

considerado). A este tipo de ecuacion se le denomina ecuacion reducida de la conica oecuacion de la conica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, laecuacion tambien se puede reducir a uno de los tipos de ecuacion anteriores, pero para esosera necesario hacer un giro y esta cuestion tendra su lugar natural mas adelante.

1.2.- Las cuadricas. Ecuaciones reducidas.

1.2.1.- La ecuacion reducida de una cuadrica no girada.

Cuadrica. En general, una cuadrica es la superficie formada por todos los puntos del espaciocuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuacion de segundo grado

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y + 2a3z + a0 = 0.

Notemos que una ecuacion de este tipo puede describir, ademas de las superficies que veremosmas adelante, las llamadas cuadricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten enuna recta, que sean paralelos o que sean coincidentes),

x2 − y2 = 0, x2 − 4 = 0, x2 = 0

o una recta, x2 + y2 = 0, o un unico punto, x2 + y2 + z2 = 0, o nada x2 + y2 + z2 + 1 = 0.

Cuando en la ecuacion de la cuadrica no aparecen terminos cruzados, la ecuacion puedereducirse, sin mas que completar cuadrados y terminos lineales, a una ecuacion en laque a lo sumo aparece un termino en cada variable (y, posiblemente, un termino indepen-diente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuacion:

ax2 + by2 + cz2 + d = 0ax2 + by2 + cz = 0ax2 + by + cz = 0ax2 + by = 0ax2 + c = 0.

Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con dife-rentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetrıa, vertices, cortes con planosparalelos a los planos coordenados,...).

Aunque todavıa no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuacion general, laecuacion de cualquier cuadrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denominaecuacion reducida de la cuadrica correspondiente. A continuacion estudiamos las diferentescuadricas y sus elementos notables.

1.2.2.- Los elipsoides.

Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres termi-nos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuacion tıpica es:

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2=

1,0,−1

siendo a, b, c 6= 0.



• El elipsoide (real).

Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 1

que es una superficie que es simetrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Siun punto (X, Y, Z) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuacion), lospuntos (−X, Y, Z), (X,−Y, Z), (X, Y,−Z) tambien pertenecen. Por tanto, dicha superficietambien es simetrica respecto a los ejes coordenados (rectas de corte de los planos de simetrıa)y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetrıa). Porotra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planoscoordenados, por ejemplo Z = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un puntoo nada. La grafica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta.

Elipsoide

X

Y

Z

ab

c

X2

a2+ Y 2

b2+ Z2

c2= 1

Elementos caracterısticos de un elipsoide son:

Centro de simetrıa, (X = 0, Y = 0, Z = 0).

Planos y Ejes de simetrıa, los coordenados.

Vertices, puntos de corte del elipsoide con susejes de simetrıa con , es decir, los puntos

(±a, 0, 0), (0,±b, 0), (0, 0,±c).

Los semiejes a, b, c, distancias del centro a losvertices.

Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera

X2 + Y 2 + Z2 = a2

de centro el origen de coordenadas (X = 0, Y = 0, Z = 0) y radio r = a. Cuando solo dosde los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revolucion (ver elepıgrafe 3).

• El caso degenerado y el caso imaginario.

Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los terminos desegundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geometricas queno se deben llamar elipsoides propiamente dichos.

La ecuacionX2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 0 tiene como unica solucion real (X = 0, Y = 0, Z = 0).

Es decir, la cuadrica se reduce a un unico punto.

La ecuacion X2

a2+ Y 2

b2+ Z2

c2= −1 no tiene ninguna solucion real, es decir, no representa

a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoideimaginario.



1.2.3.- Los hiperboloides y el cono.

Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nosquedan tres terminos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otrodistinto), es decir la ecuacion tıpica es:

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2=

1,0,−1

siendo a, b, c 6= 0.

• El hiperboloide hiperbolico (o de una hoja).Una ecuacion del tipo

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 1

corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperbolico o de una hoja. Notemosque al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses,al cortar con planos X = k o Y = k, paralelos a los otros dos planos coordenados, se obtienenhiperbolas.

Elementos caracterısticos de un hiperboloidede una hoja son su centro y su eje. En el casoconsiderado,

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 1,

el centro es el origen de coordenadas (X =

0, Y = 0, Z = 0) y el eje es OZ ≡{

X = 0Z = 0

que es un eje de simetrıa.Hiperboloide hiperbolico

X2

a2+ Y 2

b2− Z2

c2= 1

{

X2

a2+ Y 2

b2= 1

Z = 0

XY

Z

Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de una hoja es simetrico respecto a los planos yejes coordenados. Si un punto (X, Y, Z) verifica la ecuacion, los puntos

(±X,±Y,±Z)

tambien verifican dicha ecuacion. Los cortes con los planos coordenados son

con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta)X2

a2+

Y 2

b2= 1.

con Y = 0, la hiperbolaX2

a2− Z2

c2= 1.

con X = 0, la hiperbolaY 2

b2− Z2

c2= 1.

El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde unpunto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice queuna superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida



en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de unhiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie.

• El hiperboloide elıptico (o de dos hojas).

Una ecuacion del tipoX2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= −1 corresponde a una superficie denominada

hiperboloide elıptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos

Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses (o un punto o nada)

X2

a2+

Y 2

b2=

k2

c2− 1.

X = k, paralelos al plano OY Z, se obtienen hiperbolas

Y 2

b2− Z2

c2= −1 − k2

a2.

Y = k, paralelos al plano OXZ, se obtienen hiperbolas

X2

a2− Z2

c2= −1− k2

b2.

Elementos caracterısticos de un hiperboloide de unahoja son su centro y su eje. En el caso considerado,

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= −1.

el centro es el origen de coordenadas

(X = 0, Y = 0, Z = 0)

y el eje es el eje OZ ≡{

X = 0Y = 0

.

Obviamente, teniendo en cuenta la ecuacion conside-rada, el hiperboloide de dos hojas es simetrico respec-to a los planos y ejes coordenados.

X2

a2+ Y 2

b2− Z2

c2= −1

Hiperboloide elıptico

X

Y

Z

• El cono.

Una ecuacion del tipoX2

a2+Y 2

b2− Z2

c2= 0 corresponde a una superficie denominada cono.

Se puede considerar como un caso lımite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos dever. Sin mas que despejar, podemos escribir la ecuacion anterior de la forma

Z2 =X2

A2+

Y 2

B2, A, B 6= 0.

Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano OXY se obtienenelipses (salvo en el caso k = 0 que obtenemos un unico punto) y al cortar con planos paralelosa los otros dos planos coordenados se obtienen hiperbolas. Ademas, al cortar con planos quepasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan,



una recta doble o un unico punto. Elementos caracterısticos de un cono son su vertice,en los casos considerados es el origen de coordenadas (0, 0, 0), y su eje, que en los casosconsiderados es el eje OZ ≡ X = 0 = Y . ¿Cuales son el eje y el vertice del cono de ecuacion(x− 3)2 = 2 (y + 1)2 + z2?

O

X

Y

Z

Cono

Z2 = X2

A2 + Y 2

B2

Notemos que un cono es una superficie quepuede ser descrita facilmente mediante rectas.Si tenemos una elipse en el espacio y un puntoV que no esta en el plano de la elipse, la su-perficie formada por (todos los puntos de) lasrectas que pasan por V y por un punto de laelipse es un cono con vertice V .

1.2.4.- Los paraboloides.

Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuacion reducida aparecen dos terminos desegundo grado y un termino de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadasal cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variableen la que no aparece ningun termino de segundo grado es Z. En este caso, la ecuacion sepodra expresar de una de las dos formas siguientes:

Z = ±(

X2

a2+

Y 2

b2

)

o Z = ±(

X2

a2− Y 2

b2

)

con a, b 6= 0.

• El paraboloide elıptico.

Una ecuacion del tipo

Z = ±(

X2

a2+

Y 2

b2

)

, a, b 6= 0

corresponde a una superficie denominada paraboloide elıptico. Notemos que al cortar conplanos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo+ en el segundo miembro, obtenemos:

con X = k, las parabolas dadas por Z − k2

a2= Y 2

b2(en el plano X = k).

con Y = k, las parabolas dadas por Z − k2

b2= X2

a2(en el plano Y = k).

con Z = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por X2

a2+ Y 2

b2= k (en el plano Z = k).



Elementos caraterısticos de un paraboloide elıpticoson su vertice y su eje de simetrıa, en el caso consi-derado,

Z =X2

a2+

Y 2

b2,

el vertice es el origen de coordenadas

(X = 0, Y = 0, Z = 0)

y el eje es el eje OZ ≡{

x = 0y = 0

. Por otra parte, la

superficie es simetrica respecto a dos de los planoscoordenados, OY Z ≡ X = 0 y OXZ ≡ Y = 0.

O

X

Y

Z

Paraboloide elıptico

Z =X2

a2+

Y 2

b2

OX

Y

Z Paraboloide elıptico

Z = −(

X2

a2+ Y 2

b2

) Si hubieramos considerado la ecuacion

Z = −(

X2

a2+

Y 2

b2

)

tendrıamos una superficie de la mismaforma pero abierta hacia los valores nega-tivos de Z.

• El paraboloide hiperbolico.

Una ecuacion del tipo

Z = −X2

a2+

Y 2

b2, a, b 6= 0

corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperbolico, que se asemeja a unasilla de montar y a veces recibe ese nombre.

Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos:

con X = k, las parabolas dadas por Z +k2

a2=

Y 2

b2(en el plano X = k).

con Y = k, las parabolas dadas porX2

b2= −

(

Z +k2

b2

)

(en el plano Y = k).

con Z = k, para k 6= 0 las hiperbolas dadas por −X2

a2+

Y 2

b2= k (en el plano Z = k)

y para k = 0 las asıntotas comunes de (la proyeccion sobre el plano Z = 0 de) todaslas hiperbolas anteriores.



Z = −X2

a2+

Y 2

b2

O

X

Y

Z

Paraboloide hiperbolico

El paraboloide hiperbolico considerado es simetricorespecto a dos de los planos coordenados, respec-to al plano OXZ ≡ Y = 0 y respecto al planoOY Z ≡ X = 0. Por tanto, es simetrico respecto aleje coordenado interseccion de los planos anterio-

res, el eje OZ ≡{

X = 0Y = 0

puesto que si un pun-

to de coordenadas (X, Y, Z) verifica la ecuacion,el punto de coordenadas (−X,−Y, Z) tambien laverfica.

Notemos ademas que el paraboloide hiperbolico tambien es una superficie reglada. Dehecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en el. Se puedecomprobar que si tenemos un punto A = (x0, y0, z0) del paraboloide hiperbolico de ecuacion

z = −x2

a2+

y2

b2

las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores direccion respectivos

u = (a2b, ab2, 2(ay0 − bx0)) y v = (−a2b, ab2, 2(ay0 + bx0))

estan totalmente contenidas en el paraboloide hiperbolico.

1.2.5.- Los cilindros y las cuadricas degeneradas.

Las cuadricas de tipo cilındrico corresponden a los casos restantes, es decir, aquellos enlos que en la ecuacion reducida no aparece alguna de las variables. Las posibles ecuacionestıpicas son:

Tipo elıptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece,

X2

a2+

Y 2

b2=

10−1

• Cilindro elıptico: X2

a2+ Y 2

b2= 1.

• Recta (doble): X2

a2+ Y 2

b2= 0 ≡ X = Y = 0.

• Cilindro elıptico imaginario (Nada): X2

a2+ Y 2

b2= −1. No hay ningun punto de R

3

cuyas coordenadas verifiquen la ecuacion anterior.

Tipo hiperbolico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece,

X2

a2− Y 2

b2=

{

±10

• Cilindro hiperbolico: X2

a2− Y 2

b2= ±1.



• Par de planos secantes: X2

a2− Y 2

b2= 0 ≡ X

a− Y

b= 0, o X

a+ Y

b= 0.

Tipo parabolico: Un unico cuadrado

Y 2 = aX + bZ + c

• Cilindro parabolico: a o b distintos de cero. Por ejemplo Y 2 = 2pZ, p 6= 0.

• Par de planos paralelos: Y 2 = c > 0 ≡ Y = ±√c.

• Plano doble: Y 2 = 0.

• Nada: Y 2 = c < 0.

X

Y

Z

X2

a2+

Y 2

b2= 1

Cilindro Elıptico

X

Y

Z

Y 2 = 2pZ

Cilindro parabolico

X

Y

Z

X2

a2− Y 2

b2= −1

Cilindro hiperbolico

De forma generica, todos los casos en los que la ecuacion de segundo grado representaplanos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominar casosdegenerados.

Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) sonsuperficies regladas.

Nota.

Paginas web sobre conicas, cuadricas y otras curvas y superficies:

http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies

http://www.math.com/tables/algebra/conics.htm

http://www.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/conicas/portada

http://www.cnice.mec.es/programa/mates.htm

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/

http://www.monografias.com/Matematicas/

En alguna de ellas, como por ejemplo http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies

pueden verse en movimiento las cuadricas y otras superficies (poliedros, superficies de revo-lucion,...) y pueden modificarse los parametros en el “applet” asociado (subprograma quegenera la superficie) para comprobar como afectan a la representacion grafica los cambios enlos coeficientes de las variables.



A modo de resumen en lo que a cuadricas se refiere:

Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma

X = x− α,Y = y − β,Z = z − γ,

podemos reducir una ecuacion de segundo grado en tres variables, (x, y, z), en la queno aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuacion de los tipos consideradosal inicio, es decir a una ecuacion en la que a lo sumo hay un sumando en cada una delas variables (X, Y, Z).

Las cuadricas regladas son:

• el cono,• el hiperboloide de una hoja,• el paraboloide hiperbolico y• los cilindros

ademas de los pares de planos y la recta (doble).

Una ecuacion de segundo grado en tres variables puede representar:

Pares de planos,...Nada Punto Recta doble Par de planos

x2 + 1 = 0 x2 + y2 + z2 = 0 x2 + y2 = 0Secantes, (x− 3)(y − 2) = 0.Paralelos, (x− 3)(x− 4) = 0.Coincidentes, (x− 3)2 = 0.

Cilindros

X

Y

Z

x2

a2+

y2

b2= 1

Cilindro elıptico X

Y

Z

y2 = 2p z

Cilindro parabolico

X

Y

Z

y2

a2− x2

b2= 1

Cilindro hiperbolico



ab

c

XY

Z x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1. Elipsoide

Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses.Simetrıa respecto a los planos y ejes coordenados.Centro (de simetrıa): Origen de coordenadas.Es de revolucion si dos de los coeficientes a, b y c son iguales.Es una esfera si a = b = c.

XY

Zx2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1

Hiperboloide hiperbolico(o de una hoja)

Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo.Secciones con planos paralelos al plano XY : elipsesSecciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: hiperbolasSimetrıa respecto a los ejes y los planos coordenados.Centro: Origen de coordenadas.Es de revolucion si a = b.

X

Y

Zx2

a2− y2

b2− z2

c2= 1

Hiperboloide elıptico(o de dos hojas)

Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo.No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje.Secciones con planos paralelos al plano XY o XZ: hiperbolas.Secciones con planos paralelos al Y Z: elipses (o un punto o nada).Simetrıa respecto a los ejes y los planos coordenados.Centro: Origen de coordenadas.

X

Y

Zz2 =

x2

a2+

y2

b2Cono

Eje del cono: OZ. Vertice: O.Secciones con planos paralelos al plano XY : elipses (o un punto).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: hiperbolas.Simetrıa: respecto a los planos y ejes coordenados.Centro (de simetrıa): Origen de coordenadas.Es de revolucion si a = b.

OX

Y

Zz =

x2

a2+

y2

b2Paraboloide elıptico

Eje del paraboloide: OZ variable que aparece con grado uno.Vertice: Origen de coordenadas.Secciones con planos paralelos al XY : elipses (o un punto o nada).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: parabolas.Simetrıa respecto a los planos XZ e Y Z y al eje OZ.

X

Y

Zz = −x2

a2+

y2

b2Paraboloide hiperbolico

Eje de simetrıa: OZ.Simetrıa respecto a los planos XZ e Y Z.Secciones con planos paralelos al XY : hiperbolas (o dos rectas).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: parabolas.


1.3.- Ejercicios. 19

1.3.- Ejercicios.

1.3.1.- Enunciados.

Ejercicio 1.

(1) Calcula la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) ypasa por el punto (−1, 3).

(2) Calcula la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P = (4, 154) y tiene por focos los

puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dibujala.

(3) Calcula la ecuacion de la hiperbola que tiene por vertices los puntos (1, 2) y (1, 6) ypasa por el punto (3, 8).

Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:

(1) La ecuacion y2 − 6x− 4y − 20 = 0 corresponde a:

Una parabola cuyo vertice es V = (−4, 2).

Una parabola cuyo eje es la recta de ecuacion y = −4.

Dos rectas que se cortan en un punto.

(2) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:

Una elipse con focos en el eje de abscisas.

Una elipse con focos en el eje de ordenadas.

Una hiperbola.

(3) La cuadrica x2 − y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:

Tiene por centro C = (0, 2,−3).

Contiene a la recta x− 1 = y − 2, z = 4.

No tiene centro.

Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de conicaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) 3x2 + 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.

(2) 3x2 − 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.

(3) 3y2 + x+ 5y + 1 = 0.

Ejercicio 4. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de conicaque es y sus elementos notables:

(1) x2 + 2y2 − 4x− 45y + 4 = 0.

(2) x2 + y2 − 2x− 6y + 10 = 0.



(3) y2 − 4y = 0.

Ejercicio 5. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de conica que corresponde acada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x+ (α− 1)y − 3 = 0.

(2) x2 + αy2 + x+ 2y + α− 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x− 4y + 2 = 0.

Ejercicio 6. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuacioncorresponde a una circunferencia o a una hiperbola equilatera

2x2 + αy2 − 6x+ 3y + α = 0.

Ejercicio 7. Sea L una recta del plano y F un punto que no esta en la recta. Tomando comoeje OY la recta L y como eje OX la recta perpendicular a L que pasa por F , determina laecuacion del lugar geometrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia aF y su distancia a L es constante e > 0,

d (P, F )

d (P, L)= e.

Comprueba que:

(a) Si e = 1 dicho lugar geometrico es una parabola.

(b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geometrico es una elipse.

(c) Si e > 1 dicho lugar geometrico es una hiperbola.

En cualquiera de los casos se trata de una conica y se dice que e es su excentricidad y queL y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la parabola, la directriz yel foco son unicos. Para la elipse y la hiperbola hay dos parejas foco-directriz.Observacion. Notemos que con la definicion anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque

esta pueda obtenerse como un caso lımite. Siendo p = d(F,L) la distancia del foco a la directriz,

tomando q = pe constante, cuando e → 0+ (y p = qe→ +∞) las elipses correpondientes tienden a

la circunferencia con centro el foco y radio q.

Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cuadricaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) 16x2 + 9y2 + 4z2 − 32x− 36y + 36 = 0.

(2) 4x2 − 4y2 − z2 − 16x− 2z + 15 = 0.

(3) x2 − z2 − 2x+ 4z + 1 = 0.

(4) x2 − 2y2 − 2x+ 8y − z − 5 = 0.



Ejercicio 9. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cuadricaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) x2 + 3y2 + z2 + 2x+ 5y − 2z + 1 = 0.

(2) 3x2 + y2 − z2 + x+ 2y + 2z + 1 = 0.

(3) x2 + y2 + x+ 4y + 3z − 1 = 0.

(4) x2 + y2 + x+ 4y − z2 − 1 = 0.

(5) x2 + y2 + x+ 4y − 1 = 0.

(6) x2 − y2 + x+ 4y − 1 = 0.

(7) x2 + x+ 4y + 3z − 1 = 0.

(8) x2 − y2 + x+ 4y + z − 1 = 0.

Ejercicio 10. Determinar la ecuacion de las cuadricas siguientes:

(1) y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

(2) y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

Ejercicio 11. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea cada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 + z2 + 2x+ 5y − 2z + 1 = 0.

(2) x2 + αy2 + x+ 2y + (α− 1)z + 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x+ 4y − 1 = 0.

Ejercicio 12. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea cada una de las ecuaciones siguientes:

(1) αx2 + (4− α2)y2 − z + 1 = 0.

(2) x2 + αy2 + z2 − 6x+ 4z + 8− α = 0.

(3) x2 − y2 + z2 − 2x+ 4y + 6z + α = 0.



Ejercicio 13. Considera la elipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4 en el plano OXY . Determinalas ecuaciones de la parabola del plano OXZ que tiene como vertice el punto (0, 0, 8) y pasapor los vertices del semieje mayor de la elipse dada.

Ejercicio 14. (Examen de Prueba Alternativa 2012-13)

(a) Encuentra la ecuacion de la parabola que tiene su foco en el punto F = (−3, 0) y suvertice en el punto V = (−3, 1).

(b) Clasifica, segun los valores de α, la cuadrica de ecuacion

αx2 + y2 − z2 + 4y − 6z + α = 0.

Ejercicio 15. (Primera Convocatoria 2012-13)

(a) Completa cuadrados en la siguiente ecuacion y determina el tipo de conica que es,indicando sus elementos notables

−x2 + 4y2 + 6x+ 8y + 4 = 0.

(b) Clasifica, segun los valores de α ∈ R, la cuadrica de ecuacion

4x2 − αy2 + 9z2 − 16x− 2αy − 18z = 2α− 25.

Ejercicio 16. (Segunda Convocatoria 2012-13)

(a) Clasifica, segun los valores de α ∈ R, la cuadrica de ecuacion

4x2 − y2 + αz2 − 24x+ 8y + 2αz + 36 = 0.

(b) Representa graficamente la conica interseccion de la cuadrica anterior con el plano z = 0determinando previamente sus elementos notables.



1.3.2.- Soluciones.

Ejercicio 1.

(1) La parabola esta dada por (y − 3)2 = −4 (x+ 1).

(2) La ecuacion-tipo de la elipse es(x− 1)2

16+

(y − 2)2

7= 1.

(3) la ecuacion de la hiperbola es(x− 1)2

43

− (y − 4)2

4= −1.

Ejercicio 2.

(1) La ecuacion y2 − 6x− 4y − 20 = 0 corresponde a: (y − 2)2 = 6(x+ 4).

X Una parabola cuyo vertice es V = (−4, 2).

(2) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:x2

1/5+

y2

1= 1.

X Una elipse con focos en el eje de ordenadas.

(3) La cuadrica x2 − y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica: x2

8− (y−2)2

8+ (z+3)2

8= −1.

X Tiene por centro C = (0, 2,−3).

Ejercicio 3.

(1) Circunferencia de centro C = (−1/6,−5/6) y radio r =√

718,

(2) La ecuacion dada es equivalente a

(

x+1

6

)2

−(

y − 5

6

)2

= −1.

Se trata de una hiperbola equilatera. Elementos notables:

Centro

(

x = −1

6, y =

5

6

)

.

Los ejes de simetrıa son paralelos a los ejes coordenados,

x = −1

6e y =

5

6.

Ademas, el eje en el que estan los focos es el eje vertical x = −1/6.

Vertices: V1 =(

−16, 11

6

)

, V2 =(

−16,−1

6

)

.

Semi-distancia focal es c = 2 , los focos son F1 =(

−16, −7

6

)

, F2 =(

−16, 17

6

)

.



Las asıntotas son las rectas(

x+ 16

)

=(

y − 56

)

≡ x− y + 1 = 0,

(

x+ 16

)

= −(

y − 56

)

≡ x+ y − 23= 0.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

y

3x2−3y2+x+5y+1=0

C

V1

V2

X

Y

(3) Se trata de una parabola con eje horizontal y vertice V = (1312,−5

6). La ecuacion es

(

y +5

6

)2

= −1

3

(

x− 13

12

)

,

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

x

y

3y2+x+5y+1=0

F

O X

Y

L

Sus elementos notables son:

Eje principal (de simetrıa): y = −5/6.

Eje secundario: x = 13/12.



Foco F(

1,−56

)

y directriz L ≡ x = 76.

Ejercicio 4.

(1) La ecuacion dada es equivalente a

(x− 2)2 − 2 (y − 1)2 = 2.

Se trata de una elipse. Elementos notables:

Centro C = (2, 1).

Los ejes de simetrıa son paralelos a los ejes coordenados,

x = 2 e y = 1.

Ademas, el eje en el que estan los focos es el eje horizontal y = 1.

Vertices: V1 =(

2 +√2, 1

)

, V2 =(

2−√2, 1

)

, V3 = (2, 2) , V4 = (2, 0) .

Semi-distancia focal es c = 1 , los focos son F1 = (1, 1) , F2 = (3, 1) .

(2) Un punto P = (1, 3).

(3) Dos rectas secantes y = 0 e y = 4.

Ejercicio 5.

(1) Para α = 1, x = 1±√7

2(dos rectas paralelas).

Para α = −1,(

x− 12

)2= y + 7

4(parabola).

Para α 6= ±1, siendo −1 < α0 =−1315

< 0, se obtienen los siguientes casos:

α < −1 −1 < α < α0 α = α0 α0 < α < 1 1 < αelipse hiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse

(2) Si α = 0,(

x+ 12

)2= −2

(

y − 58

)

(Parabola).

Para α 6= 0, siendo α1 = 5−√89

8< 0 < α2 = 5+

√89

8, se obtienen los siguientes

casos:

α < α1 α = α1 α1 < α < 0 0 < α < α2 α = α2 α2 < αhiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse 1 punto nada

(3) Para α = 0, −2x− 4y + 2 = 0 (una recta doble).

Para α = 1, una parabola,

Para α 6= 0, 1, siendo α1 = 3−√33

4< 0 < 1 < α=

3+√33

4, tenemos los siguientes

casos:

α < α1 α = α1 α1 < α < 1 1 < α < α2 α = α2 α2 < αhiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse 1 punto nada



Ejercicio 6.• Circunferencia α = 2. • Hiperbola equilatera α = −2.

Ejercicio 7.

Si e = 1 obtenemos la parabola de ecuacion y2 = 2px− p2 (⇔ y2 = 2p(

x− p

2

)

).

Si 0 < e 6= 1 obtenemos

(

1− e2)

[

x− p

1− e2

]2

+ y2 =p2e2

1− e2⇐⇒

[

x− p

1−e2

]2

p2e2

(e2−1)2

+y2

p2e2

1−e2

= 1.

Por tanto,

• Si 0 < e < 1 (1− e2 > 0) se trata de una elipse con

◦ centro(

x = p

1−e2, y = 0

)

,

◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,

◦ semiejes a = |p|e(1−e2)

, b = |p|e√1−e2

.

• Si e > 1 (1− e2 < 0) se trata de una hiperbola con

◦ centro(

x = p

1−e2, y = 0

)

,

◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,

◦ el eje sobre el que estan los focos (y los vertices) es y = 0,

◦ semiejes a = |p|e(e2−1)

, b = |p|e√e2−1

.

Ejercicio 8.

(1) Elipsoide, (x− 1)2 +(y − 2)2

43

2 +z2

22= 1.

(2) Cono, 4 (x− 2)2 − 4y2 + (z + 1)2 = 0.

(3) Cilindro hiperbolico, (x− 1)2 − (z − 2)2 = −4.

(4) Paraboloide hiperbolico, (x− 1)2 − 2 (y − 2)2 = z − 2.

Ejercicio 9.

(1) Elipsoide, (x+ 1)2 + 3

(

y +5

6

)2

+ (z − 1)2 =37

12.

(2) Hiperboloide de 2 hojas, −3

(

x+1

6

)2

− (y + 1)2 + (z − 1)2 =11

12.

(3) Paraboloide elıptico,

(

x+1

2

)2

+ (y + 2)2 = −3

(

z − 21

12

)

.



(4) Hiperboloide de 1 hoja,

(

x+1

2

)2

+ (y + 2)2 − z2 =21

4.

(5) Cilindro elıptico,

(

x+1

2

)2

+ (y + 2)2 =21

4.

(6) Cilindro hiperbolico,

(

x+1

2

)2

− (y − 2)2 = −11

4.

(7) Cilindro parabolico,

(

x+1

2

)2

= −4y − 3z +5

4.

(8) Paraboloide hiperbolico, −(

x+1

2

)2

+ (y − 2)2 = z +11

4.

Ejercicio 10.

(1) Cono con vertice el punto V = (1, 1, 0). Su ecuacion-tipo es (y − 1)2 = 4(x− 1)2 + z2.

(2) Paraboloide elıptico con vertice V = (1, 1, 0) y eje paralelo al eje OY . La ecuacion-tipode este paraboloide es y − 1 = 2(x− 1)2 + z2

2.

Ejercicio 11.

(1) Para α = ±1, paraboloide elıptico.

Si α2 > 1(α > 1 o α < −1), tenemos un elipsoide.

Si α2 < 1(−1 < α < 1), tenemos un hiperboloide de dos hojas.

(2) Si α = 0, tenemos un cilindro parabolico.

Si α > 0(α 6= 1), tenemos un paraboloide elıptico.

Si α < 0, tenemos un paraboloide hiperbolico (silla de montar).

Para α = 1 tenemos un cilindro elıptico.

(3) Para α = 0 es un plano.

Para α = 1, se obtiene un paraboloide elıptico.

Si α > 1, tenemos un elipsoide.

Si α < 1(α 6= 0), tenemos un hiperboloide de dos hojas.

Ejercicio 12.

(1) Para α = 0, nada.

Para α = 3, un punto, P = (3, 0,−2) .



Para α 6= 0, 3, se obtienen los siguientes casos:

α < 0 0 < α < 3 3 < αhiperboloide de dos hojas elipsoide imaginario elipsoide real

(2) Para α = 0,±2, cilindro parabolico.

Para α 6= 0,±2, se obtienen los siguientes casos:

α < −2 −2 < α < 0 0 < α < 2 2 < αparaboloide elıptico silla de montar paraboloide elıptico silla de montar

(3) Para α < 6, hiperboloide de una hoja.

Para α = 6, cono.

Para α > 6, hiperboloide de dos hojas.

Ejercicio 13.Ecuacion de la parabola en el plano OXZ : x2 = −1

2(z − 8). Sus ecuaciones en R

3 son

C ≡{

z = 8− 2x2,y = 0.


tema 1.- cońicas y cuádricas. · en primer lugar vamos a estudiar los aspectos básicos de las...

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