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Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1

TEMA 3:

Polinomios y fracciones algebraicas


ESQUEMA DE LA UNIDAD

1.- Operaciones con polinomios.

1.1.- Suma y resta de polinomios.

1.2.- Producto de polinomios.

1.3.- División de polinomios.

2.- Factor común.

3.- Identidades notables.

3.1.- Cuadrado de una suma o una diferencia.

3.2.- Suma por diferencia.

3.3.- Obtención de una identidad notable.

3.3.1.- Expresión de un binomio como una suma por una diferencia.

3.3.2.- Expresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia.

4.- Regla de Ruffini.

5.- Teorema del resto.

6.- Descomposición de un polinomio en factores.

7.- Simplificación de fracciones algebraicas.

8.- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios.

9.- Operaciones con fracciones algebraicas.

9.1.- Sumas y restas.

9.2.- Multiplicaciones y divisiones.

9.3.- Operaciones combinadas.

1.- OPERACIONES CON POLINOMIOS

1.1.- Suma y resta de polinomios

Ejemplo: Dados 1246)( 23 xxxxP y 5353)( 23 xxxxQ , calcular:

a) )()( xQxP

)()( xQxP 53531246 2323 xxxxxx

53531246 2323 xxxxxx 443 23 xxx

b) )()( xQxP

)()( xQxP 53531246 2323 xxxxxx

53531246 2323 xxxxxx 6599 23 xxx


642 2 xx

0

Ejemplo: Dados xyxyyxyxP 323 23),( y xyyxyxQ 22),( 23 , calcular:

a) ),(),( yxQyxP

),(),( yxQyxP xyyxxyxyyx 2223 23323 xyyxxyxyyx 2223 23323

23323 22 yxxyxyyx

b) ),(),( yxQyxP

),(),( yxQyxP xyyxxyxyyx 2223 23323 xyyxxyxyyx 2223 23323

23323 2325 yxxyxyyx

1.2.- Producto de polinomios

Ejemplo: Dados 14)( 3 xxxR y 1)( 2 xxS , calcular )()( xSxR

)()( xSxR 114 23 xxx 11114 2223 xxxxx

144 2335 xxxxx 154 235 xxxx

1.3.- División de polinomios

Observaciones:

a) Elementos de una división:

b) Para que se pueda hacer una división entre polinomios, el grado del dividendo tiene que ser

mayor o igual que el grado del divisor.

c) La división de polinomios termina cuando el grado del resto es menor que el grado del

divisor.

d) En toda división, tanto en la de números como en la de polinomios, se cumple lo siguiente:

DIVIDENDO = COCIENTE ∙ DIVISOR + RESTO

Ejemplo: Dados 6)( 3 xxxP y 32)( 2 xxxQ , calcular )(:)( xQxP

60 23 xxx 322 xx

2xxxx 32 23

642 2 xx


Teniendo en cuenta la observación d), podemos escribir entonces lo siguiente:

)()()()( xRxQxCxP → 03226 23 xxxxx

2.- FACTOR COMÚN

Recordatorio:

a) Cuando un término sale entero como factor común, dentro del paréntesis se pone un "1".

b) El signo no es conveniente sacarlo como factor común.

Ejemplo: saca factor común

a) 234 3129 xxx 23242 3323 xxx 1433 22 xxx

b) 522473 24315 bababa 5232473 32353 bababa 32522 853 baabba

3.- IDENTIDADES NOTABLES

3.1.- Cuadrado de una suma o una diferencia

abbaba 2222

Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables

a) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx

b) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx

c) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx

d) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx

3.2.- Suma por diferencia

22 bababa

Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables

a) 22222 343434 xxxxxx

24 916 xx

b) 22222 888 xxxxxx

24 64xx

c) 22555 969696 xxx 8136 10 x

d) 24234343 323232 xxxxxx

86 94 xx


3.3.- Obtención de una identidad notable

Se trata de expresar un binomio (polinomio de dos términos) o un trinomio (polinomio de tres

términos) como una suma por una diferencia o como el cuadrado de una suma o diferencia.

3.3.1.- Expresión de un binomio como una suma por una diferencia

1. Hay que comprobar que el binomio representa una identidad notable. Para ello basta

observar que entre los dos términos del binomio hay una resta.

2. Escribir cada término como un cuadrado.

3. Las bases de los cuadrados anteriores son los elementos de la identidad notable.

Ejemplo: expresa como una identidad notable los siguientes binomios

a) 24 425 xx xxxx 2525 22 (resta)

25x x2

Al número se le saca raíz cuadrada ( 52525 ) y al exponente de la "x" se le divide entre 2

(22/44 xxx )

42/88 399 xxx

b) 86 949 xx 4343 3737 xxxx

32/66 74949 xxx

c) 164 2x 4242 xx

d) 42 416 xx 22 2424 xxxx

3.3.2.- Expresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia

1. Buscar en el trinomio los dos términos en los que la variable estén elevados al número más

grande y al número más pequeño. Comprobar que esos términos tienen el mismo signo y

que se pueden escribir como un cuadrado.

2. Comprobar que el doble producto de las bases de los cuadrados anteriores coincide con el

otro término del trinomio que no se ha utilizado hasta ahora.

3. De cumplirse los puntos anteriores, se puede afirmar que el trinomio corresponde a una

identidad notable, en concreto al cuadrado de una suma o de una diferencia en función del

signo que tenga el término del trinomio que se ha utilizado en el punto anterior.


Ejemplo: expresa como una identidad notable los siguientes trinomios

a) 654 6416 xxx Tienen el mismo signo

(los dos términos son positivos)

22x 238x 32 82 xx516x que es el otro término del trinomio

Los dos términos se pueden escribir

como un cuadrado

Después de comprobar que se cumplen las condiciones para que este trinomio sea una

identidad notable podemos escribir dicha identidad:

654 6416 xxx 232 8xx

b) 234 44 xxx 222 xx

c) xx 414 2 22 12 x

d) 648 44 xxx 234 22 xx

4.- REGLA DE RUFFINI

Es un método que se utiliza, por ejemplo, para factorizar polinomios o par dividirlos cuando el

divisor es de la forma ax o ax , siendo " a " un número.

Ejemplo: halla el cociente y el resto de la siguiente división utilizando el método de Ruffini

1:37235 234 xxxxx

Recordar que en toda división se puede escribir que DIVIDENDO = COCIENTE ∙ DIVISOR + RESTO,

así en este caso tendremos que

01342537235 23234 xxxxxxxx

5.- TEOREMA DEL RESTO

Enunciado: “El resto de la división de un polinomio )(xP entre ax es igual al valor

numérico del polinomio para ax ”.


Con otras palabras: para calcular el resto de la división de un polinomio )(xP entre ax

(que son las divisiones que pueden hacerse por el método de Ruffini) sin hacer la división, hay que

sustituir en la “x” del polinomio )(xP el número “ a ”.

Ejemplo: calcula, sin hacer la división, el resto de las siguientes divisiones de polinomios

a) 2:532 23 xxx

Llamamos 532)( 23 xxxP . Por el teorema del resto, el resto de la división 2:)( xxP

es )2(P :

512165438252322)2(23

P 23

b) 1:324 3 xxx

Llamamos 324)( 3 xxxP . Por el teorema del resto, el resto de la división 1:)( xxP es

)1(P :

3243121431214)1( 3P 3

Observaciones:

1. Al número que sale al sustituir la "x" de un polinomio por un número se le llama "valor

numérico del polinomio en númerox ".

2. Un número " a " se dice que es raíz de un polinomio )(xP si el valor numérico de ese

polinomio en ax vale cero.

6.- DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES

Descomponer un polinomio en factores consiste en escribirlo como producto de otros

polinomios.

Pasos para factorizar un polinomio:

1. Sacar factor común (si es que se puede).

2. Buscar, utilizando el método de Ruffini, las raíces del polinomio que queda entre paréntesis

(si es que se ha sacado factor común) o del polinomio entero (si no se ha sacado factor común).

Las posibles raíces son los divisores del término independiente del polinomio,

3. Repetir el método de Ruffini hasta que se cumpla una de las siguientes condiciones:

- Si después de probar con todas las posibles raíces del polinomio no haya ninguna (es

decir, con ninguno de los divisores del término independiente sale en el método de

Ruffini como resto cero).

- Que queden solamente dos términos.

4. Escribir la descomposición o factorización del polinomio.


Observaciones:

a) Descomponer o factorizar un polinomio de grado 1 es lo mismo que sacar factor común (si

es que se puede, en caso de que no se pueda sacar factor común, la factorización sería el

mismo polinomio).

Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios

155x 35 x

67x 67 x

b) Muchas veces los binomios y trinomios no se pueden descomponer en factores utilizando el

método de Ruffini porque son identidades notables.

Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios

144 2 xx Primero lo intentamos por Ruffini. Posibles raíces del polinomio: 1

4 -4 1 4 -4 1

1 4 0 -1 -4 16

4 0 1 (No sale cero) 4 -16 17 (No sale cero)

El método de Ruffini, por tanto, no nos permite en este caso factorizar el polinomio, por lo tanto

quedan dos opciones: o se trata de una identidad notable, o no admite factorización. Después de

realizar las comprobaciones se observa que el trinomio que tenemos que factorizar es una

identidad notable, por lo tanto la factorización del mismo será esta:

144 2 xx 212 x

14 2 x Lo intentamos por Ruffini. Posibles raíces del polinomio: 1

4 0 -1 4 0 -1

1 4 0 -1 -4 4

4 0 -1 (No sale cero) 4 -4 3 (No sale cero)

Por Ruffini no se puede factorizar. ¿Es una identidad notable? La respuesta es que sí (se trata de

un binomio cuyos términos están restando. La factorización será por tanto:

14 2x 1212 xx


Ejemplo: factoriza los siguientes polinomios

a) 863)( 23 xxxxP

1. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.

2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 8,4,2,1

(recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente)

1 3 -6 -8

1x -1 -1 -2 8

1 2 -8 0 Posibles raíces 8,4,2,1

2x 2 2 8

1 4 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el 4)

4x

3. Escribir la factorización: 421)( xxxxP

b) xxxxxxP 18911)( 2345

1. Factor común:

1891118911)( 2342345 xxxxxxxxxxxP

2. Buscar las raíces del polinomio que queda en el paréntesis utilizando Ruffini: posibles

raíces 18,9,6,3,2,1 (recordar que las posibles raíces son los divisores del

término independiente)

1 1 -11 -9 18

1x 1 1 2 -9 -18

1 2 -9 -18 0 Posibles raíces: las mismas

2x -2 -2 0 18

1 0 -9 0 Posibles raíces: 9,3,1

3x 3 3 9

1 3 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el 3)

3x

3. Escribir la factorización: 3321)( xxxxxxP


c) 485)( 23 xxxxP


2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 4,2,1

(recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente)

1 -5 8 -4

1x 1 1 -4 4

1 -4 4 0 Posibles raíces 4,2,1

2x 2 2 -4

1 -2 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el -2)

2x

3. Escribir la factorización: 221)( xxxxP 221 xx

d) 1)( 23 xxxxP


2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 1 (recordar que las

posibles raíces son los divisores del término independiente)

1 -1 1 -1

1x 1 1 0 1

1 0 1 0 Posibles raíces 1

12 x

Paramos aunque quedan tres números porque el polinomio no tiene más raíces; es decir, al probar el método

de Ruffini con el 1 y el -1 no sale de resto cero.

3. Escribir la factorización: 11)( 2 xxxP

7.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una fracción en la que al menos en el denominador hay un

polinomio. Para simplificarlas hay que descomponer en factores por separado el numerador y el

denominador, y después “tachar” los términos comunes.


Ejemplo: simplifica las siguientes fracciones algenraicas

a) xxx

xx

23

223

2

- Factorizamos el numerador: 22 xx

1 1 -2

1x 1 1 2 Así: 22 xx 21 xx

1 2 0

2x

- Factorizamos el denominador: 2323 223 xxxxxx

1 3 2

1x -1 -1 -2 Así: 22 xx 21 xxx

1 2 0

2x

- Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y

simplificamos:

21

21

23

223

2

xxx

xx

xxx

xx 1

1

xx

x

b) 30114

6723

3

xxx

xx


1 0 -7 -6

1x -1 -1 1 6

1 -1 -6 0

2x -2 -2 6

1 -3 0

3x


Así 673 xx 321 xxx

- Factorizamos el denominador: 30114 23 xxx

1 4 -11 -30

2x -2 -2 -4 30

1 2 -15 0

5x -5 -5 15

1 -3 0

3x

Así 30114 23 xxx 352 xxx


simplificamos:

352

321

30114

6723

3

xxx

xxx

xxx

xx 5

1

x

x

c) 9

962

2

x

xx


Podemos comprobar que el trimonio que hay en el numerador es el desarrollo de una

identidad notable, por lo que podemos escribir lo siguiente:

22 396 xxx

PERO hacerlo así directamente requiere que, una vez escrita la identidad notable, haya que

comprobar que los polinomios que quedan entre paréntesis no se pueden descomponer más,

lo cual sucede en este caso, ya que queda un polinomio de primer grado y sabemos que

factorizar este tipo de polinomios equivale a sacar factor común, cosa que no se puede

hacer en este caso, por lo que ya estaría terminada la factorización.

Así 962 xx 23x


- Factorizamos el denominador: 92 x

Al igual que antes, podemos comprobar que este binomio es el desarrollo de una identidad

notable, por lo que podemos escribir lo siguiente:

3392 xxx

De la misma manera debemos comprobar que los polinomios que quedan entre los

paréntesis ya no pueden descomponerse más, cosa que sucede.

Así 92x 33 xx


simplificamos:

33

3

9

962

2

2

xx

x

x

xx 3

3

x

x

Ejercicio: factorizar el siguiente polinomio 164 x

Una opción sería utilizar el método de Ruffini para descomponer o factorizar el polinomio,

pero si nos damos cuenta este binomio es el desarrollo de una identidad notable, así:

4416 224 xxx

Pero al hacer la factorización a través de las identidades notables, como se ha comentado

anteriormente, no basta escribir la expresión de la identidad notable, sino que hay que comprobar

si los polinomios que quedan en los paréntesis se pueden seguir factorizando o no. En nuestro caso

hay dos paréntesis:

42 x → En este paréntesis ha quedado un polinomio que no se puede factorizar (comprobarlo

cada uno por Ruffini).

42 x → Sin embargo, el polinomio de este paréntesis sí puede descomponerse más, vuelve a ser

el desarrollo de una identidad notable, por lo que podemos escribirlo así: 2242 xxx

Nuevamente habría que comprobar si estos nuevos paréntesis contienen polinomios que se

pueden seguir factorizando, en cuyo caso habría que continuar (no es nuestro caso, pues ya quedan

polinomios de primer grado a los que no se les puede sacar factor común).

Por lo tanto, la factorización es: 164x 2242 xxx

8.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS

Tanto el m.c.d. como el m.c.m. de polinomios se calcula de la misma forma que se calculan el

m.c.d. y el m.c.m. de números:


Máximo común divisor

Después de descomponer en factores los polinomios, se multiplican los factores comunes

elevados al menor exponente.

Mínimo común múltiplo

Después de descomponer en factores los polinomios, se multiplican los factores comunes y no

comunes elevados al mayor exponente.

Ejemplo: halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios

a) 6)( 2 xxxP , 44)( 2 xxxQ

- Descomponemos factorialmente los polinomios:

1 1 -6 1 -4 4

2x 2 2 6 2x 2 2 -4

1 3 0 1 -2 0

3x 2x

Así:

32)( xxxP y 22)( xxQ

- )(),(... xQxPDCM 2x

- )(),(... xQxPMCM 322

xx

b) xxxxxxP 18361642)( 2345 , xxxxxxQ 18911)( 2345

- Descomposiciones en factores de los polinomios:

3312)(2

xxxxxP

3123)( xxxxxxQ

- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo:

)(),(... xQxPDCM 331 xxxx

)(),(... xQxPMCM 1233122

xxxxxx


9.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las operaciones con fracciones algebraicas se hacen igual que las operaciones con fracciones de

números enteros.

9.1.- Sumas y restas

Pasos:

1. Ponerle el mismo denominador a todas las fracciones (que será el m.c.m. de todos los

denominadores).

2. Realizar las operaciones que queden en los numeradores.

3. Escribir en una sola fracción teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Agrupar en el numerador.

5. Simplificar el resultado.

Ejemplo: 446 2

2

2

xx

x

xx

x

Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

3262 xxxx

22 244 xxx

... mcm 322

xx

Empezamos la operación:

32

3

32

2

446 2

2

22

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

x=

32

3

32

22

23

2

2

xx

xx

xx

xx

32

322

232

xx

xxxx

32

242

23

xx

xxx

9.2.- Multiplicaciones y divisiones

Pasos:

1. Multiplicar en línea o en cruz (dependiendo de si se trata de un producto o un cociente de

fracciones) PERO dejando indicados los productos y utilizando paréntesis.

2. Descomponer o factorizar cada uno de los polinomios que hay en los paréntesis.

3. Simplificar los términos comunes.


Ejemplos:

a) 1

2510

5

12

2

2

x

xx

xx

x

15

25101

1

2510

5

122

2

2

2

2 xxx

xxx

x

xx

xx

x

Factorizaciones de los polinomios que hay entre paréntesis:

1x 1 x Recordar que factorizar un polinomio de primer grado es lo mismo que sacar

factor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio ya está factorizado).

25102 xx 25 x Es una identidad notable.

xx 52 5 xx Primero se saca factor común y después se factoriza el polinomio que

queda entre paréntesis (que en este caso es de primer grado y ya está factorizado).

12 x 11 xx Es una identidad notable.

115

512

xxxx

xx 1

5

xx

x

b) xx

xx

x

x

2

2

2

65:

2

65

265:

222

2

2

2

2 xxx

xxx

xx

xx

x

x

Factorizaciones de los polinomios que hay entre paréntesis:

2x 2 x Recordar que factorizar un polinomio de primer grado es lo mismo que sacar

factor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio ya está factorizado).

xx 2 1 xx Primero se saca factor común y después se factoriza el polinomio que

queda entre paréntesis (que en este caso es de primer grado y ya está factorizado).

652 xx 32 xx

1 5 6

2x -2 -2 -6

1 3 0

3x


32

122 xxx

xxx 3

1

xx

x

9.3.- Operaciones combinadas

Se hacen respetando el orden de las operaciones combinadas de números enteros.

Ejemplos:

a)

3

1

2:

1

32

xx

1

13

1

2:

1

3

1

123

1

2:

1

32

x

x

xxx

x

xx

1

13:

1

12

1

332:

1

322

1

33

1

2:

1

3

1

22

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

x

131

112

xx

xx 13

12

x

x

b)

3

3

3

3:

3

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

3

3

3

3:

3

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

33

33

33

33:

33

33

33

33

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

33

69

33

69:

33

69

33

69 2222

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

33

6969:

33

6969 2222

xx

xxxx

xx

xxxx

33

12:

33

12

xx

x

xx

x

3312

3312

xxx

xxx1

FIN DEL TEMA

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