tema 0013

ESTADSTICA GRADOS EN INGENIERA MECNICA, INGENIERA QUMICA E

INGENIERA EN ORGANIZACIN INDUSTRIAL

Tema 13. Contrastes de hiptesis en modelos normales y de proporciones. 234

TEMA 13.- CONTRASTES DE HIPTESIS

EN MODELOS NORMALES Y SOBRE PROPORCIONES

- Contrastes de hiptesis en modelos normales. - Problemas de una muestra. - Problemas de dos muestras. - Test t por pares.

- Contraste de hiptesis sobre proporciones. - Problemas de una muestra. - Problemas de dos muestras.

- Dualidad IC Test de Hiptesis




CONTRASTES DE HIPTESIS EN MODELOS NORMALES

ESTUDIO DE UNA POBLACIN NORMAL. (PROBLEMAS DE UNA MUESTRA)

Poblacin: XN(,), Muestra: X1,...,Xn Estadsticos: X , S

Problemas de inters: Contrastes de hiptesis sobre la media . Contrastes de hiptesis sobre la varianza desviacin tpica

Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI

H0: =0

conocida

H1: 0 H1: >0 H1: z/2 z0>z

z00 H1: tn1,/2 t0>tn-1,

t00 H1:




Ejemplo: Un producto limpiador debe contener 25 gr. de un determinado componente para ser eficaz, pero se sospecha por las muchas quejas de los consumidores que el proceso de fabricacin no funciona bien y que esa cantidad es menor. Para ello se toma una muestra de 15 productos y en cada uno se mide la cantidad del componente obteniendo: X 24 1. gr. y S=0.6gr.

El contraste que hay que plantear es H H0 125 25: : contra pues queremos que los consumidores tengan que demostrar que el contenido medio est por debajo de los 25 gr.

Supongamos que se hace un test a nivel habitual .

05.0,140

,10 761.181.5

156.0251.24 t

nSXt

nSXC n

Entonces, rechazamos H0 y debemos revisar nuestro proceso de produccin. El p-valor que corresponde al valor observado t= -5.81 es 0005.081.514 tP por lo que rechazamos Ho a cualquier nivel de significacin habitual.

Si adems queremos calcular el tamao muestral necesario para que la probabilidad de NO detectar un contenido medio ineficaz de sea menor de 0.10 ((24.75)




Ejemplo: Para esmerilar discos de silicio al grueso apropiado se utiliza un cierto proceso de bruido. Para dar sensacin de homogeneidad en el producto, interesa que la variable "X=grosor de los discos" tenga una desviacin tpica lo menor posible, considerando satisfactorio el proceso si dicha desviacin no supera los 0.5 mm. Se realiza un estudio sobre una muestra de 15 discos y se obtiene S=0.64 mm. Hay evidencias de que el proceso no sea satisfactorio al nivel . Para saber si tenemos evidencias suficientes de que el proceso no funciona bien al nivel fijado debemos colocar esta situacin en de modo que tendremos evidencias suficientes de ello si somos capaces de rechazar .

22

1

220

5.0:

5.0:

H

H 2 05.0,142

2

20

22

,120

2

68.23904.225.0

64.01411

SnSnC n

Por tanto no rechazamos H0 al nivel .

El p-valor es: 0618.0904.22214 P

Imaginemos que un incremento del 50% en respecto a H0 es preocupante y queremos saber qu riesgo de no detectarlo estaramos corriendo al no rechazar H0. En este caso el valor de es 1.50.5=0.75. En las curvas CO, Carta VI (k), entrando con =1.5 y n=15 obtenemos 0.27.

Es decir, si ocurriera dicho incremento del 50% no lo detectaramos con una muestra de tamao 15 el 27% de las veces.

Para conseguir < 0.1 habramos necesitado un nmero de observaciones de aproximadamente n=30 segn las curvas CO.




Ejemplo: Un artculo publicado en la revista Materials Engineering (1989, Vol. II, No. 4, pgs. 275-281) describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada espcimen falla es la siguiente (en MPa):

19.8, 15.4, 11.4, 19.5, 10.1, 18.5, 14.1, 8.8, 14.9, 7.9, 17.6, 13.6, 7.5, 12.7, 16.7, 11.9, 15.4, 11.9, 15.8, 11.4, 15.4, 11.4

Hay evidencias empricas de que >10 Mpa con un nivel de significacin =0.01? Se puede descartar que =4 Mpa al nivel =0.01? Es asumible la hiptesis de normalidad?(Plot de Normalidad visto en prcticas) Solucin: Resolvemos el problema con ayuda de STATGRAPHICS

Resistencia7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Normal Probability Plot for Resistencia

7 10 13 16 19 22

Resistencia

0,115

2050809599

99,9

perc

enta

ge




Summary Statistics for Resistencia

Count = 22 Average = 13,7136 Variance = 12,6279 Standard deviation = 3,55358 Minimum = 7,5 Maximum = 19,8 Skewness = -0,0151322 Kurtosis = -0,75137

Hypothesis Tests for Resistencia

t-test ------ Null hypothesis: mean = 10,0 Alternative: greater than

Computed t statistic = 4,90168 P-Value = 0,0000378127

Reject the null hypothesis for alpha = 0,01.

Hypothesis Tests for sigma

95,0% confidence interval for sigma: [2,73395;5,0783]

Null Hypothesis: std. deviation = 4,0 Alternative: not equal

Computed chi-squared statistic = 16,5742. P-Value = 0,526851

Do not reject the null hypothesis for alpha = 0,05.

CONCLUSIONES: 1. La media es significativamente superior a 10 Mpa. 2. No hay evidencias de que la desviacin tpica sea distinta de 4 Mpa. 3. La hiptesis de normalidad parece asumible. (Plot)




COMPARACIN DE DOS POBLACIONES NORMALES, MUESTRAS INDEPENDIENTES

Poblacin 1: X1N(1, 1), Muestra 1: 1,11,1 ,..., nXX Estadsticos: 11 , SX Poblacin 2: X2N(2, 2), Muestra 2: 2,21,2 ,..., nXX Estadsticos: 22 , SX Las muestras de las dos poblaciones son independientes.

Problemas de inters: Comparacin de medias: Inferencias sobre 12 (12=0 12). Comparacin de varianzas: Inferencias sobre 12/22 (12/22 =1 1=2).


H0: 12=1 y 2 conocidas

H1: 12 H1: 12> H1: 12z/2

z0>z z0 H1: 12 H1: 12t,/2

t0>t, t02

22

21

0 SSF

,1,10

21,1,102,1,10

21

2121

nn

nnnn

FF

FFFF Solo para n1=n2=n =1/2

o, p q, r

Muy frecuentemente la diferencia a contrastar es (2) Como es desconocido se adoptan las mismas soluciones (a) y (b) del caso de una muestra.




Ejemplo: En una investigacin industrial se est buscando reducir el tiempo de secado de una pintura de imprimacin. Se ponen a prueba dos formulaciones de la pintura; la formulacin 1 es la estndar, y la formulacin 2 tiene un nuevo ingrediente pensado para reducir el tiempo de secado. Por experiencia, se sabe que la desviacin tpica del tiempo de secado es de 8 minutos, y que esta variabilidad natural no se ver afectada por la adicin del nuevo ingrediente. Se pintan 20 ejemplares en orden aleatorio, diez con cada una de las formulaciones. El promedio de los tiempos de secado de las muestras en minutos son 1211 X min. y 1122 X min. a) Qu conclusiones se pueden extraer sobre la efectividad del ingrediente nuevo, usando =0.05? b) Si la verdadera diferencia entre los tiempos medios de secado fuera de 10 minutos, hallar la

potencia de la prueba realizada en a) para detectar esta diferencia. c) Si se quiere que dicha potencia sea al menos 0.95, hallar los tamaos muestrales necesarios. d) Se puede afirmar a partir de la muestra, con un nivel de significacin =0.05, que el tiempo

medio de secado se reduce en ms de 5 minutos?

Solucin: a) Las hiptesis a contrastar son

::

211

210

HH

05.022

2

22

1

21

210

2

22

1

21

21 645.152.2

108

108

112121 z

nn

XXzz

nn

XXC

Entonces, rechazaremos H0 y concluimos que la nueva formulacin reduce el tiempo de secado. El p-valor sera 0059.0)52.2(152.2 zP y habramos rechazado H0 a cualquier nivel de significacin de los habituales.




b) Para calcular la potencia pedida, utilizamos las Curvas CO, Carta VI (c), con las entradas

1088.088

1021222

221

21

nnnd

y obtenemos 0.85.

c) El tamao muestral necesario para que el test de a) tenga una potencia de 0.95 (es decir cometa un error de tipo II con una probabilidad




Ejemplo: La presencia de arsnico en el agua para consumo humano es un riesgo potencial para la salud. Un artculo publicado en Arizona Republic (Sunday, May 27, 2001) inform de las concentraciones de arsnico en el suministro de agua, en partes por billn (PPB), en 10 reas metropolitanas de Phoenix y en 10 reas rurales de Arizona. Los datos obtenidos fueron:

Metro Phoenix Rural Arizona Phoenix, 3 Rimrock, 48 Chandler, 7 Goodyear, 44 Gilbert, 25 New River, 40 Glendale, 10 Apachie Junction, 38 Mesa, 15 Buckeye, 33 Paradise Valley, 6 Nogales, 21 Peoria, 12 Black Canyon City, 20 Scottsdale, 25 Sedona, 12 Tempe, 15 Payson, 1 Sun City, 7 Casa Grande, 18

Procesando las muestras obtenemos:

Metro Phoenix: 63.75.12 11 SX Rural Arizona: 35.155.27 22 SX .

Se quiere determinar si hay diferencias entre las concentraciones medias de arsnico en el agua en ambas zonas para . Se supone normalidad para la distribucin de ambas variables.




Solucin: Vamos a hacer en primer lugar un test de comparacin de varianzas, por ejemplo, con :

::

211

210

HH

21,1,102,1,10 2121 nnnn FFFFC ; 95.0,9,922

22

21

0 18.312473.0

3.1563.7 F

SS

F

Luego rechazamos la igualdad de varianzas. El p-valor sera .04936,002468,022473,02 0 FP As pues, para comparar las medias hay que trabajar con el test para varianzas distintas:

0:0:

211

210

HH

025.0,1322

2

22

1

21

2102/,

2

22

1

21

21 16.277.2

103.15

1063.7

5.275.12t

nS

nS

XXtt

nS

nS

XXC

Luego rechazamos la igualdad de medias y las concentraciones medias de arsnico en ambas zonas son diferentes para el nivel de significacin usado. El p-valor sera .016.00.0079589277.2277.2 00 tPtP

Nota:

132.132

11 2

22

22

1

21

21

22

221

21

nnS

nnS

nSnS

En este problema no podramos abordar el clculo de la potencia y el tamao muestral.




Ejemplo: Se analizan dos catalizadores para ver la forma en que afectan al rendimiento promedio de un proceso qumico. El Catalizador 1 es el que se est empleando en este momento, pero el Catalizador 2 tambin es aceptable y ms econmico. Por tanto, podra adoptarse ste siempre que no haya evidencias de que cambia el rendimiento medio del proceso. Se hace una prueba en una planta piloto y los resultados son:

Catalizador 1 Catalizador II 91,50 89,19 94,18 90,95 92,18 90,46 95,39 93,21 91,79 97,19 89,07 97,04 94,72 91,07 89,91 92,75

Solucin con STATGRAPHICS:

Summary Statistics

Catalizador 1 Catalizador 2 ---------------------------------------------- Count 8 8 Average 92,3425 92,7325 Variance 5,14056 8,90099 Standard dev. 2,26728 2,98345 Minimum 89,07 89,19 Maximum 95,39 97,19 Skewness -0,0370055 0,732691 Kurtosis -1,26841 -0,827821

a) Existen diferencias entre los rendimientos promedio? =0.05 b) Se pueden considerar iguales las varianzas? =0.05 (verlo antes) c) Los rendimientos siguen leyes normales?

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

Catalizador 1

Catalizador 2




Comparison of Means 95,0% confidence interval for mean of Catalizador 1: 92,3425 +/- 1,8955 [90,447,94,238] 95,0% confidence interval for mean of Catalizador 2: 92,7325 +/- 2,49424 [90,2383,95,2267] 95,0% confidence interval for the differ. between the means assuming equal variances: -0,39 +/- 2,8415 [-3,2315,2,4515] t test to compare means Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 NE mean2 assuming equal variances: t = -0,294376 P-value = 0,77279

Comparison of Standard Deviations

95,0% Confidence Intervals Standard deviation of Catalizador 1: [1,49907;4,61453] Standard deviation of Catalizador 2: [1,97258;6,07214] Ratio of Variances: [0,115623;2,8847]

F-test to Compare Standard Deviations

Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 0,577527 P-value = 0,485992

CONCLUSIONES: a) Las varianzas se pueden considerar iguales. b) No hay evidencias de que cambie el rendimiento medio. c) La hiptesis de normalidad se puede asumir.

Catalizador 1

perc

enta

ge

89 91 93 95 970,1

15

2050809599

99,9

Catalizador 2

perc

enta

ge

89 91 93 95 97 990,1

15

2050809599

99,9




d) Supongamos que un cambio en el rendimiento medio de 2.5 puntos (2.5% |1-2|=2.5) se considera suficientemente importante. En caso de que se diera, interesara detectarlo, es decir, rechazar H0. Sin embargo, la muestra actual nos ha conducido a "No rechazar" H0 y cabe preguntarse cul era el riesgo de que eso ocurriese bajo el supuesto mencionado |1-2|=2.5.

Se trata de hallar el riesgo de error de tipo II, , que obtenemos en las curvas CO, Carta VI (e).

Entramos con 47.065.225.2

222121

pSd

y cortamos con la curva a n*=2n-1=15.

Obtenemos: 0.55, con lo que el riesgo sera elevado. e) Si quisiramos correr un riesgo de error de tipo II




TEST t POR PARES

Hemos estudiado el problema de comparacin de medias de dos poblaciones normales a partir de dos muestras aleatorias independientes, una de cada poblacin.

El problema de comparacin de medias se puede realizar tambin bajo un diseo muestral diferente (diseo de muestras apareadas) encaminado a obtener una mayor potencia para detectar las diferencias.

Ejemplo: Supongamos que estamos interesados en comparar la dureza de dos tipos diferentes de puntas. Para determinar la dureza, se presiona la punta sobre una pieza metlica mediante una mquina que aplica una fuerza determinada y se mide la profundidad de la depresin causada por la punta.

Diseo experimental 1: Seleccionamos varias piezas metlicas al azar, para ser probadas unas con la punta 1 y otras con la punta 2 (por ejemplo, la mitad con cada una). Podemos aplicar a los datos obtenidos el test t para muestras independientes estudiado anteriormente. El procedimiento estadstico aplicado es correcto, pero las diferencias de dureza entre las puntas quizs no se aprecien con total nitidez si las muestras de piezas metlicas se han fabricado en diferentes series y no son homogneas en algn aspecto que pueda afectar a la dureza. Es decir, las diferencias en las lecturas de dureza observadas tambin incluyen las posibles diferencias de dureza entre las piezas metlicas.

Diseo experimental 2: Se selecciona al azar una nica muestra de piezas y se prueba en cada una los dos tipos de puntas. A continuacin se analizan las diferencias entre las lecturas de dureza de ambas puntas en cada pieza de la muestra (muestras pareadas). Parece claro que ahora las diferencias de dureza observadas se debern fundamentalmente a las diferencias entre las puntas al haber eliminado la variabilidad entre las piezas metlicas probadas con cada tipo de punta.




DISEO Y RESOLUCIN DEL TEST t POR PARES 11,1 1,2 1,1 1 1 1

22 22 2,1 2,2 2, 2

1 2 1 2

( , ) , 1: 1:, , ,..., Estadsticos :( , )2 : 2 : ,

: : , , .... , Estadsti

n

n

n

X X XX X SPoblacin MuestraPoblacin X Muestra X X X X SDiferencia D X X Muestra D D D

1 2 1, 2,

cos : , ( , ), , 1,...,

D

D D D i i i

D SD N D X X i n

),(2,1

1,,1 2122

21

2

1

2221

1XXCovSSSDD

nSXXDD

nD D

n

iiD

n

ii

Las observaciones bidimensionales son independientes entre s, pero cada observacin de la poblacin 1 est relacionada con la que tiene el mismo subndice de la poblacin 2: Diseo de dos muestras relacionadas o pareadas (apareadas). Problema de inters: Comparacin de medias: Inferencias sobre D=12 (D=0 12). El problema se convierte as en un problema de una muestra y se resuelve como un problema de contraste de hiptesis sobre la media de una poblacin normal con desconocida. (La comparacin previa de las varianzas carece aqu de inters)


H0: D=0 (1)

D desconocida

H1: D 0 H1: D >0 H1: D tn1,/2 t0>tn-1,

t0




DISEOS DE MUESTRAS INDEPENDIENTES VS. MUESTRAS RELACIONADAS:

Para comparar las medias de dos poblaciones normales, en ocasiones el investigador puede plantearse realizar un diseo por muestras independientes o por muestras relacionadas.

Siempre que sea posible es preferible el diseo de muestras pareadas porque tiene ms potencia para detectar diferencias entre las medias. La razn de esta mayor potencia estriba en que la diferencia de medias DXX 21 , que es el estadstico de contraste usado en ambos casos, tiene una varianza estimada mayor en el caso de muestras independientes si existe una asociacin positiva entre las observaciones de los pares, es decir, 0),( 21 XXCov :

222

12122

21

2 ),(2 SSXXCovSSS D PARESDD

INDRP tnS

D

nS

XX

nS

nS

XXt 02

21

22

21

210

(la asociacin entre variables cuantitativas se estudiar en el prximo tema).

Por tanto, una determinada diferencia observada entre las medias muestrales resulta mucho ms significativa estadsticamente en el caso de muestras pareadas.

Cuanto mayores son los vnculos en el apareamiento, mayor es la ganancia de potencia y la ventaja del diseo por pares. ste consigue eliminar la variabilidad debida a otros factores que no estn en estudio.

Una vez realizado el diseo y obtenidas las muestras, el anlisis de los datos slo se puede realizar mediante la tcnica correspondiente al diseo utilizado. Es decir, si las muestras son independientes no se pueden analizar como apareadas y si son apareadas no se pueden analizar como independientes.




Ejemplo: Un artculo publicado en Journal of Strain Analysis (1983, Vol. 18, No. 2) compara dos mtodos, Karlsruhe y Lehigh, para predecir la resistencia al corte de vigas de placa de acero. Se aplican ambos mtodos a una muestra de nueve vigas y se obtienen los siguientes resultados: Viga S1/1 S2/1 S3/1 S4/1 S5/1 S2/1 S2/2 S2/3 S2/4 Karlsruhe Method 1.180 1.151 1.322 1.339 1.203 1.402 1.365 1.537 1.559 Lehigh Method 1.061 0.992 1.063 1.062 1.065 1.178 1.037 1.086 1.052 Diferencias 0.119 0.159 0.259 0.277 0.138 0.224 0.328 0.451 0.507

a) Determinar si hay alguna diferencia de medias entre los dos mtodos para =0.05.

HH

D

D

0:0:

1

0

025.0,802/,1 306.205.691356.02736.0 t

nS

Dtt

nS

DC

Dn

D

1356.0;2736.0 DSD Rechazamos la hiptesis nula. Los datos parecen indicar concretamente una mayor resistencia del Mtodo Karlsruhe. El p-valor es prcticamente nulo.

b) Determinar si la media con el Mtodo Karlsruhe es superior en ms de 0.2 para =0.05.

HH

D

D

2.0:2.0:

1

0

05.0,80

0,10 86.163.1

91356.02.02736.0 t

nSD

ttnS

DC

Dn

D

. p-valor=0.070.

No se rechaza H0 ,y por tanto, no queda probada H1.

c) Hallar el tamao muestral necesario para que la prueba realizada en b) detecte una diferencia de 0.25 favorable a Karlsruhe con una potencia de 0.9.

Curvas CO, Carta VI (g) .75501.0,37.01356.0

20.025.00 paresnynentredD

D




Ejemplo: Un Laboratorio lanza un producto diettico y anuncia en su publicidad que el uso del producto durante un mes conduce a una prdida de peso promedio de al menos 2 kg. Ocho sujetos utilizan el producto durante un mes, y los datos de peso antes y despus del uso del producto se presentan a continuacin.

a) Los datos apoyan la afirmacin del productor de los productos dietticos con ? b) En un esfuerzo por mejorar las ventas, el Laboratorio est considerando cambiar su eslogan de

"al menos 2 kg." por "al menos 3 kg." Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 Peso Antes 75.6 83.1 98,4 67.9 102.6 88.3 72.5 97.9 Peso Despus 70.3 82.2 92.3 66.1 100.2 82.7 68.6 91.4

Solucin con STATGRAPHICS

Resumen Estadstico para ANTES - DESPUES Recuento 8 Promedio 4,0625 Desviacin Estndar 2,1347 Mnimo 0,9 Mximo 6,5 Cuartil Inferior 2,1 Cuartil Superior 5,85 Sesgo -0,378689 Curtosis -1,69135

0 2 4 6 8ANTES - DESPUES




Prueba de Hiptesis para ANTES - DESPUES Media Muestral = 4,0625 Mediana Muestral = 4,6 Desviacin Estndar de la Muestra = 2,1347 Prueba t Hiptesis Nula: media = 2,0 Alternativa: mayor que Estadstico t = 2,73276 Valor-P = 0,014611 Se rechaza la hiptesis nula para alfa = 0,05.

Prueba de Hiptesis para ANTES - DESPUES Media Muestral = 4,0625 Mediana Muestral = 4,6 Desviacin Estndar de la Muestra = 2,1347 Prueba t Hiptesis Nula: media = 3,0 Alternativa: mayor que Estadstico t = 1,40778 Valor-P = 0,10101 No se rechaza la hiptesis nula para alfa = 0,05.

Grfico de Probabilidad Normal

0 2 4 6 8ANTES - DESPUES

0,1

1

5

20

50

80

95

99

99,9

porc

enta

je




CONTRASTES DE HIPTESIS PARA MUESTRAS GRANDES

CONTRASTES DE HIPTESIS SOBRE PROPORCIONES

Sabemos que para tamaos muestrales grandes el estimador de la proporcin sigue aproximadamente una distribucin normal en aplicacin del TCL (aproximacin binomial normal).

ESTUDIO DE UNA PROPORCIN. (PROBLEMAS DE UNA MUESTRA) Poblacin: X B(p), Muestra: X1, ...,Xn. Estadstico: Xp

Problema de inters: Contraste de hiptesis sobre la proporcin p.

COMPARACIN DE PROPORCIONES (PROBLEMAS DE DOS MUESTRAS) Poblacin 1: X1 B(p1), Muestra 1: 1,11,1 ,..., nXX Estadstico: 11 Xp Poblacin 2: X2 B(p2), Muestra 2: 2,21,2 ,..., nXX Estadstico: 22 Xp Problema de inters: Contraste de hiptesis sobre p1p2 (p1p2=0 p1p2).

Hiptesis nula H. alternativa Estadstico test Regin crtica Entrada curva CO Carta VI H0: pp0

H1: pp0 H1: p>p0 H1: pz/2 z0>z

z0 H1: p1p2z/2 z0>z

z0




Ejemplo: Un fabricante de lentes intraoculares evala una nueva mquina pulidora. El fabricante aprobar la mquina si el porcentaje de lentes pulidos que contienen defectos en la superficie est significativamente por debajo del 2%. Se toma una muestra aleatoria de 250 lentes y se encuentra que 6 de ellos tienen defectos. Qu decisin debe tomar el fabricante a nivel =0.05? Contraste para demostrar que la mquina es buena: 02.0: contra 02.0: 10 pHpH

La regin crtica para =0.05 es: 0

0 00 0

(1 )

p pC z z z zp p

n

Con los datos de la muestra tenemos: 05.000

0 645.145.0

25098.002.002.0024.0

)1(

z

npp

pp

Entonces, no rechazamos H0 y no queda probado el inters de la nueva mquina para =0.05.

El p-valor es 6736.045.0 zP ,

con lo que el riesgo de error de tipo I al rechazar H0 sera realmente grande.




Ejemplo: Se utilizan dos mquinas diferentes de moldeo por inyeccin para la fabricacin de piezas de plstico. Una pieza se considera defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si le falta color. Se toman dos muestras aleatorias, cada una de tamao 300, y se encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la Mquina 1 y 8 piezas defectuosas en la muestra de la Mquina 2. Queda con ello probado que existen diferencias entre las mquinas a nivel a nivel =0.05? El contraste que hay que plantear es: 211210 : contra : ppHppH

La regin crtica es :

2

21

21

11)1(

z

nnpp

ppC , con

21

2211 nn

pnpnp

De los datos obtenemos: 0383.020266.005.00266.0

300805.0

30015 21

ppp

Es decir: 025.0

21

21 96.149.1

30029617.00383.0

0266.005.0

11)1(

z

nnpp

pp

En consecuencia no rechazamos H0 al nivel pedido.

El p-valor es 13622.049.1 zP ,

con lo que el riesgo de error de tipo I al rechazar H0 sera superior al 10%.




CONTRASTES DE HIPTESIS PARA COMPARACIN DE MEDIAS EN DE POBLACIONES INDEPENDIENTES CUALESQUIERA

Sabemos que para tamaos muestrales grandes la media muestral sigue aproximadamente una distribucin normal en aplicacin del TCL.


H0: =0 desconocida

H1: 0 H1: >0 H1: z/2 z0>z

z0 H1: 12z/2

z0>z z0




DUALIDAD INTERVALOS DE CONFIANZATESTS DE HIPTESIS

Hemos comprobado que los mismos problemas inferenciales paramtricos se pueden abordar tanto desde la perspectiva de los Intervalos de Confianza como desde la de los Tests de Hiptesis.

La relacin entre ambas metodologas es en realidad muy estrecha: Si somos capaces de construir un IC de nivel de confianza para un parmetro , este IC proporciona de manera natural un Test para realizar un contraste de hiptesis bilateral con nivel de significacin sobre el parmetro.

Procedimiento dual:

Queremos contrastar las hiptesis

01

00

::

HH

con nivel de significacin

Disponemos de una m.a.s. Construimos un IC para el parmetro con confianza . Regla de decisin:

Si IC Rechazo H0. Si IC No Rechazo H0.

.Re

0

0

00

0

ICPH

CPciertaHHchazarPIErrorP

El riesgo y la potencia no tienen un equivalente dentro del esquema de los IC.

De manera anloga, los test unitaterales son duales de las cotas de confianza.




De hecho, en todos los problemas inferenciales desarrollados en esta asignatura tendramos la equivalencia de las dos reglas de decisin: La Regla de Decisin basada en el Test correspondiente desarrollado en este tema. La regla de Decisin dual basada en el IC desarrollado en el Tema 11.

Comprobacin en el Contraste de Hiptesis sobre en el modelo N() con conocida:

Contraste bilateral: ::

01

00

HH

1. Regla de decisin basada en el Test desarrollado en Contraste de Hiptesis (Tema 12):

2. Regla de decisin basada en el IC desarrollado en el Tema 11:

Intervalo de Confianza:

De modo que los dos procedimientos conducen siempre a la misma decisin.

nzXnzC

nzXnzXCnzXCzn

XzZC

2/02/0

2/02/02/02/0

2/0

nzX

nzX 2/2/

CXn

zXn

zn

zXn

zXIC 2/02/02/02/0

tema 0013

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