tÉcnica para el planeamiento d e la expansiÓn d e...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
"TÉCNICA PARA EL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE UN SISTEMA DE
TRANSMISIÓN MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL TEOTEMA DE TELLEGEN"
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL
TITULO DE INGENIERO ELÉCTRICO
JOSÉ PAZ Y MIÑO RIOFRIO
Enero, 1.985
Certifico que el presente tra_
bajo ha sido elaborado en su
totalidad por el Sr. José Paz
y Miño Riofrío. '
Ing. José Barragán
DIRECTOR
A mi» padrea,
hermana y
hermano».
AGRADECIMIENTO:
Al Ing. José Barragán por su invalorable colaboración
en el desarrollo' del presente trabajo.
Al Ing. Gabriel-Arguello por su valioso aporte para
la culminación de esta tesis.
A todas las personas que de una u otra manera hicie-
ron posible la terminación con éxito de este trabajo.
ÍNDICE
Pag.
Capítulo I : INTRODUCCIÓN - 1
Capítulo II : EL TEOREMA DE TELLEGEN Y EL MODELO DE FLUJO
DE POTENCIA DIRECTO
1. Generalidades — 6
2. Conceptos básicos de redes: topología de redes 6
3. 3.1. Teorema de Tellegen de la potencia actual 8
3.2. Demostración del Teorema de Tellegen de la poten_
cia actual 9
4. Teorema de Tellegen de la potencia virtual 11
5. El Teorema de Tellegen y la red adjunta generalizada - 13
6. Modelo de flujo de potencia directo : aplicación del
Teorema de Tellegen 15
Capítulo III: PLANTEAMIENTO DE LA TÉCNICA PARA EL PLANEA-
MIENTO DE LA EXPANSIÓN DE UN SISTEMA DE TRANSA
MISIÓN
1. Conceptos sobre el planeamiento de la expansión de un
sistema de transmisión 19
2. Formulación del problema 21
3. Desarrollo de la metodología 23
4. Ejemplo ilustrativo —• 34
Pag
5. Selección de los "B.-" modificados 39I J
6. Ejemplo 39
Capítulo IV: APLICACIÓN DEL MÉTODO AL SISTEMA NACIONAL IN_
TERCONECTADO
1. Planteamiento del problema — 54
2. Desarrollo del problema y resultados 56
3. Conclusiones y recomendaciones 99
ANEXO # 1 MODELO DE FLUJO DE POTENCIA DIRECTO 105
BIBLIOGRAFÍA - 110
C A P I T U L O I
INTRODUCCIÓN
El problema de la expansión de un sistema de transmisión puede resu_
mirse de la siguiente manera:
Partiendo de un sistema eléctrico de potencia inicial ó actual (Es_
quema #1).
SISTEMA BETRANSMISIÓN
ESQUEMA # 1
conforme transcurre el tiempo, los valores de carga van a ir aumen_
tando y deberán ser absorvidos a la vez con un aumento de generación;
pero el crecimiento de estos dos valores implicará que el sistema -
de transmisión deba ser tal que pueda soportar las nuevas condicio^
nes.
Para prevenir ésto lo que se hace es planificar la generación nece_
saria para satisfacer la carga pronosticada y planificar las necesj_
dades de transmisión.
El aumento de la generación puede ser de dos tipos:
- aumento de la capacidad de generación de una determinada central
(Esquema #2).
incorporación de una nueva central generadora al sistema original
existente (Esquema # 3).
frENERACtON/ORIGINAL
AUMEMTQse.
6ENCRAOOH
SISTEMATRANSMISIÓN ORIGINAL.
•DE TRANSMISIÓN
ESQUEMA # 2
«KMCRACIOM
ORt«lHALSISTEMA
TRANSMISIÓN
AUMKNTO
CINERACIÓN
ESQUEMA # 3
CARGA INICIAL.
AUMENTOBE
CAW6A
CARGA INICIAU
AUMENTOJJC
CAR6A
Nótese que en el Esquema # 2, al presentarse problemas de sobrecarga
en el sistema de transmisión original, se hace necesaria la incorpo-
ración de un nuevo requerimiento de transmisión, mientras que en el
Esquema # 3, tal requerimiento aparece por la necesidad de incorpo-
rar la nueva generación al sistema existente.
Es por esto que dentro del planeamiento de la expansión de un siste_
ma eléctrico de potencia un aspecto importante constituye la selec-
ción adecuada de las nuevas ramas de transmisión, necesarias para sa_
tisfacer los valores de carga y generación futuros con el requerido
grado de confiabllidad.
El método tradicional para dicha selección ha sido aquél mediante
el cual, el diseñador analiza un gran número de alternativas para
tratar de conseguir la más conveniente.
Sin embargo, como es lógico suponer, este procedimiento resulta de^
masiado largo, por lo que se han venido desarrollando nuevas técnj_
cas ' I que basadas en procesos de optimización, agilitan enormemen_
te aquella selección.
Las técnicas mencionadas dan como resultado un posible sistema de
transmisión a desarrollarse que es utilizado como guía por el dis£
ñador, el cual deberá realizar estudios más detallados sobre el sis_Í3ltema guia, antes de llegar al sistema"óptimo". l '
Este trabajo es justamente el estudio de una nueva técnica utiliza-
da para el planeamiento de la expansión de un sistema de transmi-
sión, que tiene su base en el Teorema de Tellegen ' '.
El proceso en sí consiste en minimizar una función denominada: "IN_
DICE DE FUNCIONAMIENTO DEL SISTEMA", la cual se basa en el flujo de
potencia activa a través de las ramas de transmisión, y que mide el
grado de sobrecarga que tiene el sistema bajo cierta condición de
carga y generación, esto es, el índice tendrá un valor grande cuan^
to más sobrecargadas estén sus ramas de transmisión, y será pequeño
(incluso cero) cuando no existan sobrecargas.
Ahora bien, la forma de corregir la sobrecarga de una cierta rama
de transmisión será modificando los parámetros del modelo de la mis_
ma; la técnica entonces va encaminada a encontrar los valores "ópti_
TÍOS" de los parámetros de transmisión, que evitan las sobrecargas y
que por ende disminuyen el valor del índice (lo minimizan^.
Se requiere por tanto encontrar las sensitividades del índice de fun_
cionamiento con respecto a los parámetros de transmisión del siste^
ma. Estas sensitividades se calculan a partir de los resultados de
dos flujos de potencia: uno del sistema original y otro del sistemaÍ4f 191denominado ADJUNTO ' M i El concepto de sistema adjunto aparece
de la aplicación del Teorema de Tellegen y en si es un sistema auxj_
liar, topológicamente igual al sistema original y cuyos parámetros
de transmisión asi como sus inyecciones de potencia se determinan a
partir de los resultados del flujo de potencia del sistema original.
Por la importancia que tiene el Teorema de Tellegen dentro delat§£
nica, se destina un capitulo al estudio del mismo, hasta llegar a
las ecuaciones que son el punto de partida para el desarrollo del
método.
Los flujos de potencia que se calculan en los dos sistemas menciona_
dos (original y adjunto) son flujos de potencia directos (ver Anexo
# 1), por lo que de ellos interesan: los valores de los ángulos de
fase de los voltajes de barra y el flujo de potencia activa a tra-
vés de las ramas de transmisión.
Calculadas las sensitividades del índice con respecto a los parame
tros de transmisión, se corrigen los valores de éstos en el sistema
original y el proceso se repite hasta conseguir que ninguna de las
ramas de transmisión esté sobrecargada.
Una vez conseguido ésto, se habrá llegado al sistema de transmisión
"guia", que sirve de base al diseñador para poder llegar al sistema
"óptimo".
El trabajo presenta dos ejemplos ilustrativos de la aplicación de
la metodología, y al final se presenta también la aplicación al Sis_
tema Nacional Interconectado.
Hay que señalar que en la aplicación del método al Sistema Nacional
Interconectado, todos los datos fueron proporcionados por la Direc_
ción de planificación del S.N.I. (INECEL). Ademas para el estudio
se toma como período de tiempo el decenio comprendido entre los años
1991 y 2000, y el análisis se lo hace año por año, presentando en
cada uno de éstos el diseño guía al que se llega de acuerdo a las
condiciones iniciales de carga y generación.
Finalmente se presenta las conclusiones obtenidas del método en sí,
y las conclusiones de su aplicación a un caso real como el del Sis_
tema Nacional Interconectado. Igualmente se hacen varias recomenda_
cienes tanto sobre el método desarrollado como sobre el ejemplo del
S.N.I.
C A P I T U L O I I
EL TEOREMA DE TELLEGEN Y EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA DIRECTO
1. GENERALIDADES
Puesto que el Teorema de Tellegen es el soporte de la técnica que
más adelante va a ser desarrollada^ este capitulo se lo discute -
en forma detallada presentando primeramente conceptos básicos acer-
ca de la topología de redes eléctricas, luego la forma y demostra-
ción del teorema, para finalmente enfocar su aplicación dentro del
flujo de potencia directo. Cabe anotar que sobre este último, se a¿
junta un anexo que explica su desarrollo.
Los resultados a los que se llegan son utilizados para el plantea-
miento de las ecuaciones de partida de la técnica mencionada.
2. CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES.- TOPOLOGÍA DE REDES
Se entiende como "sistema" a una colección de componentes interco-
nectados» sujetos a una entrada ó exitación y que produce una salj_
da ó respuesta. Una red eléctrica es un sistema compuesto de ele-
mentos eléctricos tales como fuentes, ramas de transmisión, cargas,
donde las señales observadas tanto de entrada como de salida son co_
rrientes y voltajes' '.
Como consecuencia de la interconección de estos elementos eléctricos
se forman las llamadas "ramas" de una red y los "nodos" de la misma.
La topología de una red se refiere a aquellas propiedades circuita_
les provenientes de la geometría de la red» independiente de los
elementos que constituyen las ramas y dependiente de la forma como
está"hecha la interconección entre ellas. Debido justamente a aqu£
lia independencia, pueden existir dos o' más redes que sea topológj_
camente iguales (y que no necesariamente estén formadas porlosmis_
mos elementos).
Para el análisis de una red, las ecuaciones básicas son: I '' '
- Ley de Corrientes de Kirchoff: la corriente neta en cada nodo de
la red es cero para todo instante.
- Ley de Voltajes de Kirchoff: el sumatorio de voltajes alrededor
de cada lazo de la red es cero pa_
ra todo instante.
- Leyes constitutivas de los elementos: relaciones voltiamperimétri_
cas.
Los dos primeros tipos de ecuaciones se establecen de las propieda-
des topológicas de la red, sin importar el elemento específico que
constituye la rama de la misma.
En el análisis de una red cualquiera, aparecen lo que se denominan:f4fcorrientes y voltajes ACTUALES1 ' de la red, que son únicas en el
sentido de que ellas satisfacen simultáneamente las Leyes de Kir-
choff y las leyes constitutivas de los elementos. Sin embargo, si
en una red se cambia el valor de uno de sus elementos, pero sin al_
terar la topología de la misma, se pueden obtener otros valores de
voltajes y corrientes. Si se comparan estos nuevos valores con los
iniciales (antes de alterar el valor del elemento) se dice que son
corrientes y voltajes VIRTUALES I L Por tanto, una red dada puede
tener un solo grupo de corrientes y voltajes actuales (cuando se
satisfacen simultáneamente las Leyes de Kirchoff y las constituti,
vas de los elementos), y muchos grupos de corrientes y voltajes
virtuales (cuando no satisfacen aquella simultaneidad).
Estos conceptos de corrientes y voltajes actuales y virtuales, así
como las leyes de Kirchoff se utilizan en el Teorema de Tellegen.
3.1. TEOREMA DE TELLEGEN DE LA POTENCIA ACTUAL
Sea una red de "r" ramas y"N+l" nodos, donde el nodo "N+l" es el
que se toma como referencia para especificar el resto de volta-
jes nodales, definidos como: elf e2, e3, , e», con res-
pecto a "eN+1 = O".
La potencia de una rama está dada por: Prama = vrama x irama, y el
sumatorio en todas las ramas de la red:
Pr = jl Vk ik = V1 i: + V2 Í2 + •••+ Vr "rEste sumatorio puede escribirse en términos de voltajes de nodo así:
r2 vix ÍL. = ei(£ corrientes concurrentes al nodo 1) +k=l K k
e2(Ecorr. con. nodo 2) + .. + eJ corr. conc. nodo N)
Si se aplica la Ley de Corrientes de Kirchoff, se tiene:
2 v. 1. = O (2.1)k=l K K
(Teorema de Tellegén de la Potencia Actual).
3.2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TELLEGÉN DE LA POTENCIA ACTUAL
Se trata de demostrar que en una red eléctrica, dados un grupo de
corrientes de rama (iV) que cumplen con la Ley de Corrientes de
Kirchoff para todos los nodos de la red, y un grupo de voltajes de
rama (v.) que cumplen con la Ley de Voltajes de Kirchoff en la mis_
ma red, se cumple la ecuación 2.1.:
r
k=l k k
Para simplificar la demostración, se supone que la red en análisis
no tiene ramas en paralelo, es decir, sólo existe una rama entre
dos nodos.
Se elije como nodo de referencia de voltaje, el tiodo "N+l", es de-
cir:
Vi
Para los nodos "p" y "q", se tienen entonces los voltajes "e " y
"e " respectivamente. Se supone que los voltajes de rama (vi, v2,
10
, , v ) están dados, y que consecuentemente, por la Ley de Volta_
jes de Kirchoff, están también dados los voltajes de nodo (ei, 62 ,
•••" V eq ' ei^'
Si se considera que la rama "k" está conectada entre los nodos "p"
y "q", y q1 por e'lla fluye la corriente "ÍDQ" del nodo "p" al nodo
q", entonces:II— U
T^
\k 1k =
1pq '
V
si se suman las expresiones ante-
riores :
Si se toma el sumatorio sobre todas las ramas de la red
N+l N+l
Vale notar que el doble sumatorio abarca a todos los nodos de la
red; si no existe rama entre dos nodos "p", "q", la corriente :
La expresión puede re-escribirse asi:
11
r , N+l N+l j N+l N+l
1 vk \ ~T~ l eo ( l " ~T l Qa( lk=l K K ¿ p=l P q=l Pq ¿ q=l q p=l
N+lpara cada nodo "p", i i__ , es la suma de todas las corrientes
q=l pq N+lde rama que concurren al nodo "p"; para cada nodo' "q", i' i ,
p=l pqes la suma de todas las corrientes de rama que concurren al nodo
14 I"q". Por la ley de Corrientes de Kirchoff' ', cada una de las
sumas vale cero, luego:
rz vkk=l K
con lo que se demuestra el Teorema de Tellegen de la potencia a£
tual .
4. TEOREMA DE TELLEGEN DE LA POTENCIA VIRTUAL
La potencia actual en una rama está dada por:
donde "v," e "i," son respectivamente el voltaje y la corriente
actuales de la rama "k".
La potencia VIRTUAL, en cambio, se define en términos de córner^
tes y voltajes virtuales, para redes con estados diferentes. ' '
Por diferentes estados de una red se entiende a un grupo de co
12
rrientes y otro grupo de voltajes que se forman por diferentes -
elementos, diferente tiempo o diferente valor de los elementos,
pero manteniendo, EN TODO CASO, la misma topología de la red.
Si se utiliza el conjunto de corrientes de un estado y el conjun_
to de voltajes de otro estado se puede aplicar el Teorema de Te-
llegen, y se llega a lo que se denomina como Teorema de Tellegen
de la potencia virtual, que normalmente se obtiene con referencia
a dos estados de una red ó incluso se lo obtiene con referencia a
dos redes que tienen la misma topología.
Si se define entonces la potencia virtual para cada rama como:
donde se designa con "(1)" a un estado de la red, y con "(2)" a
otro estado, se puede decir que:
r rI Pv. = £ v, v±' i. Vfc' = O (2.2)
k=l K k=l K K
(Teorema de Tellegen de la Potencia Virtual).
Esta expresión se puede también escribir así:
M
(2) 4vk 1 = ok=l K K
que sigue siendo el Teorema de Tellegen de la potencia virtual
13
Nótese que el Teorema de Tellegen es particular (se emplean sólo -
las Leyes de Kirchoff); además no se hace referencia a las leyes
constitutivas de las ramas, y el teorema es válido para toda red
que obedece las leyes de Kirchoff, sea lineal ó no lineal, varia-
ble ó no variable en el tiempo, activa ó pasiva, y bajo toda forma14posible de excitación. '
5. EL TEOREMA DE TELLEGEN Y LA RED ADJUNTA GENERALIZADA
Se tiene una red con "N" nodos y "r" ramas; se puede definir una
red auxiliar con "N" nodos y "r" ramas, que sea topológicamente -
igual a la red original. Nótese que aunque las dos redes tienen
la misma topología, los valores de los elementos ó el tipo de los
mismos en las ramas correspondientes no son necesariamente iguales.
Esta red auxiliar se denomina: RED ADJUNTA.' '
Se puede definir que: "i, " y "v," sean respectivamente las corrien_
tes y voltajes de rama en la red original, mientras que: "i." y
"v," sean las corrientes y voltajes de rama en la red adjunta.
El Teorema de Tellegen establece que si: "i," e "i." satisfacen -
la ley de Corrientes de Kirchoff, y si "v," y "O," satisfacen la
ley de Voltajes de Kirchokk» entonces de acuerdo con la ecuación
2.2. se tiene:
Y*
I v, T. = O (2.3)k=l K K
y
I V . i. = O (2:4)
14
donde los sumatorios se toman sobre todas las ramas de las redes.
Nótese que v. es el voltaje de la rama k de la red original mien-A
tras que i, es la corriente en la rama correspondiente de la red
adjunta.
Si se considera que existe una perturbación en los valores de los
elementos de la red original, que causa una variación en los volta_
jes y corrientes de la misma, y si se denota a dichas variaciones
por "Av." y "Aik" respectivamente, entonces'--':
de 2.3. Z (v, + Av, ) i, = O (2.6)k=1 K K K
de 2.4. I v"k (ik + ¿ik) = O (2.7)k=l
Estas dos ultimas expresiones pueden desarrollarse así
r A r A rde 2.6. z (v. + Av.) 1. = i v. 1. + ZAVk i. = O
k=1 K K K k=1 K K k=1 K K
de 2.7. I v, (i, + Ai.) = Z v. i, + l v, AÍK = Ok=1 K K K k=1 K K k=1 K K
pero por 2.3. y 2.4. se llega a que
2 AV, i, = O (2.8)k=l K K
15
£ V. Ai,, = O (2.9)k=l K K
Estas expresiones demuestran que el Teorema de Tellegen es indepen_
diente de los valores de los elementos ya que como sé puede obser.
var se trabaja solo con corrientes y voltajes tales que cumplan
con las leyes de corrientes y voltajes (respectivamente) de Kir-
choff.
Si restamos 2.9. de 2.8, se obtiene:
AZ (AVk Ík - AÍk Vk) = O (2.10)~ J.
expresión, que como se verá más adelante, es de gran utilidad en
el presente estudio, y que establece la relación entre las varia^
ciones de corriente y voltaje en la red original con las corrien-
tes y voltajes de la red adjunta.
6. MODELO ADJUNTO DE FLUJO DE POTENCIA DIRECTO: APLICACIÓN DEL TEQi
REMA DE TELLEGEN
El modelo de flujo de potencia directo (ver Anexo # 1) plantea que
la potencia activa neta inyectada en una barra "i" de una red elé£
trica será dada por la relación:
PNETA. - Bij «1 - « J > - i ' I- >N <2-">
16
donde: B.. = susceptancia de la rama de transmisión conectada en_• o
tre las barras "i" y "j".
6 i = ángulo de fase del voltaje de la barra "i".
6j = ángulo de fase del voltaje de la barra "j".
N = número total de barras (6 de nodos) de la red eléc_
trica.
La ecuación 2.11. por ser una ecuación nodal, puede compararse con
la Ley de Corrientes de Kirchoff y se pueden hacer las siguientes
analogías' :
La suma de las corrientes que llegan y salen de un nodo cualquiera
es cero, al igual que la suma de todas las potencias que entran y
salen de una barra cualquiera. Por tanto, el flujo de potencia a
través de una rama de transmisión es análogo a la corriente que flj¿
ye en ella.
Mientras que, la suma de los voltajes alrededor de cada lazo de la
red es cero al igual que la suma de todas las diferencias angula-
res alrededor de cada lazo de la red. Por tanto, la diferencia an_
guiar en una rama de transmisión es análoga al voltaje de la misma.
Si se definen a "p." y "6." respectivamente como la potencia y la
diferencia angular de rama del modelo original, y se definen ade-
más a "p." y "6." respectivamente como la potencia y la diferencia
angular de rama del modelo adjunto, por medio de la analogía antes
mencionada» el Teorema de Tellegen (2.3. y 2.4.) podría ser es-
17
crito como1 :
por 2.3. I A p. = O (2.12)k=l K K
r Apor 2.4. z fi. p. = O (2.13)
k=l K K
Igualmente de la ecuación 2.10, las variaciones en "p," y "5. " en
el modelo original, debidas a perturbaciones en los valores de los
elementos que lo conforman, denotados por '^p^11 y "AÓk"» satisfa-
cen la ecuación :
¿ <A 6 k Pk-*Pk «k} = ° (2'14)
Ahora, en el modelo original se tienen dos tipos de ramas' *:
- ramas de transmisión de potencia (lineas de transmisión)
- ramas de inyección de potencia (fuentes y cargas).
De acuerdo a ésta diferenciación en las ramas, la ecuación 2.14.* 11 2se puede expander asi "
L , * * , N , * A , , ,y i / . p A fc* í 1 4. Y1 I A í A i I ~ íl I 9 1 C 1
A=1 x x P\ 1al Pi i i Pi
donde el subíndice "i" denota las ramas con inyección de potencia
y el subíndice "X" denota las ramas de transmisión de potencia; -
además "N" es el número total de barras y "L" es el número total
de ramas de transmisión.
18
Como se puede observar la ecuación 2.15. establece una relación en_
tre las variaciones de potencias y voltajes (de las ramas tanto de
transmisión como de inyección de potencia) en el sistema original
y las potencias y voltajes (de los mismos dos tipos de rama) del
sistema adjunto. Además, como se verá en el siguiente capitulo, es_
ta ecuación es de suma importancia para el desarrollo de la técnj_
ca de expansión de un sistema de transmisión, ya que a partir de
ella, se determinan los parámetros de transmisión y las inyeccio -
nes de potencia del sistema adjunto, al que se hizo referencia en
el capítulo I.
19
C A P I T U L O I I I
PLANTEAMIENTO DE LA TÉCNICA PARA EL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN
DE UN. SISTEMA DE TRANSMISIÓN
1. CONCEPTOS SOBRE EL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE UN SISTEMA DE
TRANSMISIÓN
El planeamiento de la expansión del sistema de transmisión depende
del conocimiento de la localización y capacidad tanto de los cen-
tros de generación como de los de carga, así como de la disponibilj_
dad de ramas de transmisión.
En el capítulo I se planteó que el aumento de carga hacía necesario
un aumento de la generación, y el crecimiento de éstos, podía en aj_
gün momento producir situaciones de sobrecarga en las ramas de trans_
misión. Tales sobrecargas eran corregidas añadiendo ramas de la
apropiada capacidad que reforzaban el sistema original existente, ó
si el caso era el de incorporar un nuevo centro de generación al
sistema original, lo que se hacia era añadir nuevas ramas de trans_
misión que conectaban el nuevo centro, al sistema inicial.
Se puede entonces establecer el concepto de que e\. problema de pla_
neamiento de la expansión de un sistema de transmisión se reduce a
determinar la capacidad y localización de las nuevas ramas de trans_
misión, de manera que para ciertas condiciones de carga y genera-
ción, no se presenten problemas de sobrecarga en dichas ramas, ni
20
tampoco en el sistema de transmisión inicial ya existente. Obvia-
mente el planeamiento deberá desembocar en una alternativa conve_
ni ente desde el punto de vista económico .
Se introduce además el concepto de lo^que se denomina: ÍNDICE DE
FUNCIONAMIENTO DEL SISTEMA121, función que mide el grado de sobre_
carga existente en el sistema, esto es: si no existen ramas sobre_
cargadas para una demanda determinada, entonces el índice de fun_
cionamiento será muy pequeño (incluso cero) y no se requerirá de
una expansión del sistema de transmisión; pero si por el contrario
existen sobrecargas en las ramas, el índice tendrá un valor repre_
sentativo para dichas sobrecargas.
Por lo tanto, el diseñar un sistema de transmisión que no presente
sobrecargas en ninguna de las ramas será comparable con minimizar
el índice de funcionamiento que mide dichas sobrecargas.
A continuación se detalla un método que, utilizando el Teorema de
Tellegen, determina las sensitividades de un índice de funcionamien_
to (basado en el flujo de potencia activa a través de las ramas de
transmisión) con respecto a los elementos de transmisión (existen-
tes y añadidos) y lo minimiza.
Dichas sensitividades se calculan a partir de los resultados de
dos flujos de potencia: uno del sistema original y otro del siste-
ma auxiliar denominado ADJUNTO.
21
2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El problema de planeamiento de la expansión de un sistema de trans_
misión se plantea como un problema de optimización en el -que se de^
sea minimizar un índice de funcionamiento basado en la capacidad
de flujo de potencia activa de las ramas de transmisión ( derechos2
de-vía). Dicho índice se define asi:
(3.1)
está sujeto a las restricciones de igualdad dadas por la ecuación2
de flujo de potencia directo :
PNETY j=i B«íai ~ 6J} ( 3 > 2 )
y a las restricciones de desigualdad:
(3.3)
donde: W¿ = factor de peso (positivo) del derecho-de-vía "$,".
I = número de derechos-de-via en el sistema.
PP = flujo de potencia activa actual de "í,"
P. = capacidad de flujo de potencia activa de "a".
= potencia activa neta inyectada en la barra "i".
N = número de barras en el sistema.
NETA.
B. . = susceptancia de la rama conectada entre la barra
"i" y Ta barra "j11.
22
5. = ángulo de fase del voltaje de la barra "i".
B0 ~ susceptancia del derecho-de-vía "5,".X
B? = susceptancia mínima del derecho-de-vía "£".
Bp = susceptancia máxima del derecho-de-vía 'V.Jo
B = vector (L x 1) de susceptancias.
El índice de funcionamiento (3.1) está expresado como el sumatorio
de los cuadrados de las sobrecargas existentes en cada uno de los
derechos-de-vía del sistema. Dichas sobrecargas vienen dadas por
la diferencia entre el flujo de potencia activa a través del
cho-de-vía ("P ") y la capacidad de flujo de potencia activa del
mismo ("Pj )• Esta capacidad de flujo viene a ser un límite que
debe escogerse adecuadamente según las características de las ra-
mas de transmisión en análisis. Como en este trabajo .se tratará
con sistemas de transmisión que posean líneas largas, se asumirá
como flujo de potencia límite aquel que involucre el límite de es_
tabilidad del sistema. Sin embargo, si se tratará de líneas cor-
tas por ejemplo, dicho límite puede considerar el límite térmico -
de la misma, ó si es el caso de líneas medianas, se puede asumir
el límite que considere la caída de tensión en la línea,
Tal como está planteado el índice, éste toma en cuenta tanto las
ramas sobrecargadas como las ligeramente cargadas, pero como se de_
sean considerar sólo las primeras (pues el índice debe reflejar dj_
chas sobrecargas), entonces los factores de peso (11W ") se escogenA/
asi 2I:
W, > O, para cuando: n ' - nLIMl
23
W = O, para cuando: P¿
Los "W¿" distintos de cero se valoran de acuerdo a pérdidas, cos-
tos de construcción, de manera que las ramas críticas tengan los
.menores "W¿", e incluso si se desea ignorar un derecho-de-vía en121particular, se escogerá su factor de peso igual a cero .
Además para garantizar que el valor del índice sea independiente -
de la dirección del f lu jo de potencia a través del derecho-de- vía121"i," se requiere que se cumpla :
signo (P¿) = signo ( P ) £=1,2, L
En cuanto a las restricciones de desigualdad (3.3) los límites
"B " y "B " se determinan por factores físicos como son por ejernX« fj
pío: número de líneas permisibles por derecho-de-vía, número de
líneas existentes en un determinado derecho-de-vía.
3. DESARROLLO DE LA METODOLOGÍA
Se plantea la existencia de un sistema de "N" barras y "L" ramas
de transmisión (derechos-de-vía), en el que se selecciona a la ba_
rra notada "1" (uno) como barra oscilante. La relación (para el
sistema original) entre la potencia activa que fluye a través de
una línea de transmisión y su susceptancia, viene dada por'
(3.4)
24
Se establece la misma relación entre las variables del sistema ad-
junto, es decir ':
P = B 6 (3.5)
Esto implica que de acuerdo con el modelo de flujo de potencia di_
recto:
N - ,- *,= I B-, (6. - 6.) (3.6)i j=l 1J n J
donde:
PNFTA = Potencia activa neta adjunta inyectada en la. barrau ¿ u
A
B.. = susceptancia adjunta de la rama conectada entre la• j
barra "i" y la barra "j".
6- = ángulo de fase adjunto del voltaje de la barra "i".
De acuerdo con el Teorema de Tellegen, la relación entre los para_
metros de los sistemas original y adjunto está dada por la ecua-
ción 2.15 que era la siguiente:
L , A * * N / -I (ió, P, -AP, 60 + I (AP, 6. -A-ói PJ = O\1 A A A A -í —1A—i I — 1
El objetivo en este momento se centra a encontrar los elementos que
conforman el sistema adjunto. La selección de estos elementos se la
hace de tal manera que la ecuación 2.15. permanezca independiente -
de los términos "AP " y "A5," que están asociados con las lineas deA A
25
12transmisión1 . Esta independencia permite calcular la variación
en la respuesta de las fuentes de la red con respecto al cambio
en el valor de la impedencia (ó susceptancia) de las lineas, en
lugar de que sea con respecto a la potencia de rama ó a las varia_
cienes de los ángulos de fase. Esto nos permitirá encontrar losA A
"P." y los "B..", y luego aplicando la ecuación 3.6. encontrar fi_i i j
nal mente los "ó/1.
Entonces, si se perturba "B " en la ecuación 3.4. y despreciandoA
los términos de orden superior, se obtiene que:
(3-7)
Tomando en cuenta 3.7. en -la ecuación 2.15. el suma torio corres
pondiente a las ramas de transmisión puede desarrollarse así:
puesto que el interés se centra sólo en los términos que contie-
nen los "AB ," (esto es, que la ecuación 2.15, permanezca indepenA ~~
diente de los términos '& Ó ,") entonces, a partir de 3.8.
.(P. - B. 6 ) = O / .-, ,.. (3.9)A A A ,-•-' . -•'• • • •'... /. - .
ó lo que es lo mismo:
\C' '.";., ,~ ü:¡\,ü o.,a¡v.-P, -B, fi, ••--•.. V. i,..-l;. - (3.10)
26
121pero de acuerdo a la relación planteada en 3.5. se deduce que :
(3.11)
ecuación de suma importancia, que define las susceptancias del
sistema adjunto idénticas a las del sistema original.
La ecuación 2.15. se convierte entonces en:
- L 6 A * A A B A + * < * Í A P Í - P i A 6 i ) = 0 (3.12)
pero además, como las inyecciones netas de potencia activa en el
sistema original son constantes:
A P i = 0 i = 1,2, . . . . ,N
con lo que 3.12. se transforma en:
- I P. A6. = I 6. ó, AB (3.13)
La ecuación 3.13. relaciona el cambio incremental en "6." debido
a un cambio incremental en "B,". Nótese que los parámetros "P-"
no han sido determinados todavía. Esto se lo hace utilizando i el
índice de funcionamiento planteado en 3.1. Para ello de 3.1. se
define:
(3.14)
27
tal manera que:
Le = Z e (3.15)
Un cambio incrementa! en "e" debido a un cambio incrementa! en "B "A
vendría dado por (considerando sólo los términos de primer orden):
LAE = ZAE, (3.16)
1=1 *
í L 3edonde: Ae0 = z TW— AB . (3.17)
* A=l 9BA A
Las derivadas parciales de 3.17. se pueden obtener a partir de
3.14. y se tiene:
(3.18)
Nótese que el "P. " es un valor fijo y su derivada vale cero; ade_
más puesto que:
AB,
entonces la ecuación 3.18. se convierte en
fe = w (P - PLIM) (3 19)w vr K ; l ;A
reemplazando 3.19. en 3.17. se tiene que:
28
A F = E W (P - P A PA ¿1
pero como "X." no aparece dentro del sumatorio entonces
(P£- P¡;IM) AP (3.20)
recordando que
reemplazando en 3.20. se obtiene:
Se puede considerar que "a" esté conectada entre las barras "i" y
11 j" de manera que:
de aquí entonces: A6ft =A6. - A6.Jí, i
De acuerdo con esto, la ecuación 3.21 se convierte en
Ahora, si se toma en cuenta la expresión 3.16. se puede escribir:
29
L N NAe - I A e. = E Ae^- + E Ae2i +
Jl=l j=2 J j=3 J
+ E A e.,- . + E Aej=N
expresión que puede ser escrita así:
N N NA e = E AEI,- + E Ae2 l - + ... + E A eu « . + A e,
j=2 J j=3 J j=N-l N'¿'J f
y en forma general se tiene que:
L N-l NAe = E A E = I E Ae,, (3.23)
JZrl * 1 = 1 j=i+l 1J
Reemplazando la ecuación 3.22. en 3.23. se tiene que
N-l N . TM
Ae - I Z [W . L (P., - P^ M) B. . (A6, - A 6 , )-j=l j=i+l 'J J u ij i J
Si se desarrolla esta expresión:
N-lAe = - *Í4 L (píí ' PííM) B 4 4 A6< -
L
1IM-N-l N+ E E W-. L (P-. - PÍrV'1) 6 AB..
1=1 j=i+l 1J 1J 1J 1J 1J
esta ecuación puede re-escribirse asT:
Ae - -N i-1S E W,. L (?„
•¡=2 i=l ^
N-l N 1IM-E E LW..(P.. - P"")i6-1J 1J 1J n
30
N-l NI I W-. L
•¡=1 1=1+1 ^ P ). A B - .^ ^
(3.25)
nótese que en el primer sumaton'o se puede cambiar el limite infe_
rior asi:
N NE —*• Ei=2 i=:
31
esto es porque en el sistema original 61 = 0° (barra oscilante)
luego:AÓi = 0. Además en el segundo término se puede hacer el cam
bio:
N-lI1=1
esto es porque para cuando: i=N, se tiene que dado que la barra
"N+l" físicamente no existe, entonces:
P = PLIMKN,N+1 KN,N+1
Introduciendo estos cambios en la expresión 3.25. se llega a que
Ae = -
A ¡Len esta expresión podemos definir que
(3.26)
[21
* 1-1P, = Z W,, L(P.. - B.. - z w.. L(P..u v u " M
(3.27)
Esta expresión define las inyecciones de potencia adjuntas, y jun
tamente con 3.11. establece el modelo adjunto buscado. Entonces -
3.26. se convierte en:
32
N-l NAe = -
/s n"i " I TMI P. A6. + Z I W.. L (P.. - PT. ) <$.. AB.. (3.28)1=1 i i 1=1 j=1+1 u v u u ' ij ij
en esta expresión el segundo término es en si un doble sumatorio -
tomado sobre todas las ramas de transmisión, por lo que se puede
escribir asi:
LIM-Ae = -Z P, A6- + Z W? L (P. - P"n}6, ABn n * * * *
(3.29)
pero comparando la ecuación 3.29, con la ecuación 3.13. se puede
plantear que:
L A LZ 5, 5. AB.
X=l A Ax
I TM(3.30)
F21Nótese que la perturbación hecha en "X" implica queL J:
Ae = Z - *?-._,_ A R3B, ABXX "X
por lo que el vector gradiente deseado, puede obtenerse a partir
de 3.30. de manera que:
V.e(B) =
3B-
3e
61 61 + Wi LI TM
) 6:
W2 L (P2 -
L(P L-,LIM-
(3.31)
33
Se puede ver que para calcular el gradiente dado por la expresión
3.31.,se requieren de sólo dos flujos de carga, independientemen-
te del número de ramas de transmisión que se quiera considerar, las
diferencias angulares "Ó " se obtienen de la solución del flujoXi
de carga en el sistema original; de éste flujo se obtienen tam-
bién las componentes de la función de sobrecargas.
U L ÍP - PLIMlL ll V
Las diferencias angulares o/', en cambio, se obtienen de la solu^
ción del flujo de carga en el sistema adjunto, aplicando las inye£A
ciones de barra apropiadas (P-¡) definidas por la ecuación 3.27.
Toda la metodología expuesta se puede resumir entonces en los si-
quientes pasos:
1. Resolver el sistema original utilizando el flujo de carga
to.
2. Determinar la función de sobrecargas a partir de la expresión
3.1.
3. Formar el correspondiente sistema adjunto por medio délas ecua^
ciones planteadas en: 3.11. y 3.27.
4. Resolver el sistema adjunto utilizando el mismo flujo de carga
directo que el del paso (1.).
34
5. Calcular el gradiente "Ve(B)n usando la expresión 3.31.
5. Cambiar el valor de las admitancias "J3", en el sistema original
de tal manera que:
= B_(k) - Ve(B) (3.32)
donde "k" representa el número de la iteración.
7. Repetir el proceso a partir del paso (1.) hasta conseguir que
ninguna de las ramas de transmisión esté sobrecargada, esto es
cuando:
e(B) =-0
4. EJEMPLO ILUSTRATIVO
Para la demostración de la metodología desarrollada en la sección
3. de este capítulo, se utiliza un sistema simple compuesto de
tro barras, el cual se muestra en la Figura # 1.
6KMCRABOR 1
FIGURA # 1
CAHGA 3
"11-1«<K
(
\A 1 -i |
*<•»<
RAMA i- 4 *
•S" "TJ CARGA
• J
4
35
Los parámetros del sistema original constan en la Tabla I. Todos
los valores están en por unidad y referidos a la base de potencia
1.
BARRA
1
2
3
4
DATOS DE BARRA
No. GENERACIÓN
4.
0.
0.
0.
0
0
0
0
CARGA
0
1
1
2
.0
.0
.0
.0
DATOS DE LINEAS
LINEA
1
2
3
1
- 2
- 3
- 4
- 4
SUSCEPTANCIA
1
1
1
1
.0
.0
.0
.0
DE TRANSMISIÓN
CAPACIDAD DEFLUJO POT. ACTIVA
2.15
2.15
2.15
2.15
Tabla I: PARÁMETROS DEL SISTEMA ORIGINAL
El objetivo es el de diseñar un nuevo sistema de transmisión, sin
alterar la línea 1-4, de tal manera que los flujos de potencia a£
tiva no excedan las capacidades dadas en la Tabla I.
Al resolver el sistema por medio de flujo de carga directo se oj
tienen los resultados que se muestran en la Tabla II.
BARRA No.
1
2
3
4
ÁNGULO "<5."
0.0
- 1.75
- 2.5
- 2.25
LINEA
1 -
2 -
3 -
1 -
2
3
4
4
FLUJO POT.ACT.
1.75
0.75
- 0.25
2.25
Tabla II: RESULTADOS DEL FLUJO DE CARGA DEL SISTEMA ORIGINAL
Del análisis de los resultados se puede ver que la línea 1-4 está
36
sobrecargada en 0.1 pu. Puesto que sólo esta línea está sobrecarga
da, el factor de peso "Wm " puede tomar cualquier valor arbitrario
mientras que los otros:
Wi2 = W23 = W3lt = 0
El índice de funcionamiento (ecuación 3.1.) se puede calcular y er
tonces:
fr(R\ L U , ( D , , _ P^,1"}2 = JÍUJí. (2 25 - ? Tíl2t - V O y o "I't\l1f rm / o V t - . t a ~ £..131£. ¿
1 TMLos valores de "PT¿n" y "Pllt" están dados en las Tablas I y II res_
pectivamente.
El sistema adjunto se muestra en la Fig. # 2. De acuerdo con la
ecuación 3.11. las susceptancias de las líneas son las mismas que
las del sistema original, esto es:
A
Las inyecciones de potencia (P-) se calculan de acuerdo a la ecua-
ción 3.27., de donde:
P2 = P3 = O , y » Pi = - P* = - W1If L (2.25 - 2.15) 1.0
Puesto que en este caso: L = 4, si se escoge: W1(* = 2.5, entonces:
37
e{JJ) = 0.0125, y , PI = - P* = - 1.0
BAftftA
Bu = 1.0
1.0
FIGURA # 2
•*l
<«
SMHA3
SARIGA
1.0
Al resolver el sistema adjunto por medio del flujo de carga direc-
to, se obtienen los resultados que se muestran en la Tabla III.
BARRA No.
1
2
3
4
ÁNGULO "?." LINEA FLUJO POT. ACT.
0.0
0.25
0.50
0.75
1
2
3
1
- 2
- 3
- 4
- 4
- 0.25
- 0.25
- 0.25
- 0.75
Tabla III: RESULTADOS DEL FLUJO DE CARGA DEL SISTEMA ADJUNTO
El vector gradiente: Ve(_B), dado por la expresión 3.31. se determj_
na de los resultados de los flujos de carga en los sistemas: origj^
nal y adjunto» que se muestran en las Tablas II y III- respectiva -
mente, de manera que:
38
12 s (61 - 62)(i - S2) = - 0.4375
> 2 3= 623 á23 = (62 - 63)(2 - «3) = - 0.1875 (3.33)
3¡p- * 531t 631t = (Ó3 - 6J(Ó3 - ój = + 0.0625
Nótese que la componente: aB£ , no se calcula, pues el interés es
no alterar la linea: 1-4.
Con los valores del gradiente» se modifican los "B.." aplicando la
relación 3.32. Los nuevos valores de las susceptancias asi como los
resultados del flujo de carga del sistema original modificado, se
muestran en la Tabla IV.
LINEA
1
2
3
1
- 2
- 3
- 4
- 4
1
1
0
1
B.. FLUJO DE POT. ACT.' j
.4375
.1875
.9375
.00
1.
0.
- 0.
2.
935
935
065
065
BARRA No.
1
2
3
4
ÁNGULO "6."
0.
- 1.
- 2.
- 2.
0
346
134
065
Tabla IV: RESULTADOS DEL FLUJO DE CARGA DEL SISTEMA ORIGINAL MODIFI_CADO.
Nótese que el flujo de potencia activa en la línea 1 - 4 ha sido re_
ducido a 2.065 y ninguna de las líneas está sobrecargada, con lo
que se ha alcanzado el objetivo que se buscaba y no se requiere ha_
cer ninguna otra modificación.
39
5. SELECCIÓN DE LOS "B.." MODIFICADOS' j
En el ejemplo anterior, la Tabla IV presenta los valores finales
(nuevos) de las susceptancias de las ramas de transmisión. "Estos
valores se calcularon a partir de los resultados 3.33. y aplicando
la relación 3.32. Sin embargo en un caso real, los nuevos valores
de las susceptancias de las ramas de transmisión, pueden no ser
físicamente aplicables. Esto es, al añadir (o remover) una línea
de transmisión, el cambio que se produce en el valor de la suscej?
tancia de la rama correspondiente es fijo y se llega a un nuevo
valor para dicha susceptancia, que por lo general no es exactamen-
te igual al valor obtenido por medio de la expresión 3.32. sino só_
lo aproximado.
Es necesario, por tanto, aplicar el método llamado del "vecino más
cercano". Este método consiste en que el "B-jj" seleccionado debe
ser tal que la diferencia entre el "B-jj" calculado por medio de
3.32. y el "B^j" posible (físicamente), sea mínima.
En el ejemplo que ha continuación se detalla, se aplica el concep-
to del "vecino más cercano" para la selección de los B-JJ modifica_
dos.
6. EJEMPLO
Para este ejemplo se utilizará el sistema que se muestra en la Fi_
gura # 3. El objetivo en este caso es el de diseñar un sistema de
transmisión que para las condiciones de generación y carga dadas,
40
se cumpla el que ninguno de los derechos-de-vía existentes asf co
mo los nuevos que se creen, estén sobrecargados. Tales condici^
nes de generación y carga se muestran en la Tabla V, en la que los
datos están dados en por unidad, con una potencia base igual a la
unidad.
r-O
CARGA 4-
FIGURA # 3
41
BARRA.No. GENERACIÓN CARGA
12
3
4
5
6
0.50
0.0
1.65
0.0
0.0
5.45
0.80
2.40
0.40
1.60
2.40
0.0
Tabla V: DATOS DE BARRA PARA EL SISTEMA DE LA FIGURA # 3
Los datos sobre el sistema de transmisión existente así como aque-
llos de las nuevas ramas de transmisión posibles se muestran en la
Tabla VI, la misma que además presenta las capacidades de flujo
de potencia activa para cada derecho-de-vía. Es importante notar
que no se permiten aumentar lineas de transmisión en aquellos de_
rechos-de-via que tengan una longitud mayor a las 30 millas, y que
además solo existen dos nuevos derechos-de-vía: 2 - 6, y, 4 - 6.
DERECHOSDE VIA
1-2
1-4
1-5
2-3
2-4
3-5
2-6
4-6
REACTANCIAPOR LINEA X(p.u)
0.40
0.60
0.20
0.20
0.40
0.20
0.30
0.30
CAPACIDAD PORLINEA (p.u.)
1.00
0.80
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
LONGITUD(MILLAS)
40
60
20
20
40
20
30
30
LINEAS POSIBLESDE AUMENTAR
ninguna
ninguna
dos
dos
ninguna
dos
seis
seis
Tabla VI: DATOS SOBRE EL SISTEMA DE TRANSMISIÓN EXISTENTE Y DE LOSNUEVOS DERECHOS DE VÍA.
42
Para iniciar el proceso y puesto que la BARRA 6 no se encuentra co-
nectada al sistema inicial, se añaden dos líneas de transmisión: la
2-6 y la 4-6, como se muestra en la figura #4. En ella se preseii
tan también los flujos de potencia (a través de los derechos de vía)
obtenidos al aplicar el flujo de carga directo, tomando a la BARRA 1
(0.3*8 >
FIGURA # 4
como barra oscilante, y se muestran también los ángulos de los
tajes de cada una de las barras (datos entre paréntesis).
43
Estos resultados muestran que las ramas: 2-6, 3-5 y 4-6 están so-
brecargadas. De acuerdo con la expresión 3.1, se tiene entonces
que el índice de funcionamiento en este caso sería (asumiendo igua_
les factores de peso "W." para los derechos-de-vía):
e = £35 + £45 ) (3.34)
donde: e26 = (- 2.943 + l.O)2
e35 = (1-578 - l.O)2
e.,6 = (- 2.507 + l.O)2
Nótese que: W12 = W1[f = W15 = W23 = W2i» = O, esto es porque dichos
derechos-de-vía no están sobrecargados. Si en la expresión 3.34.
se asume: W = 1, entonces:
e = 3.1902
Es necesario entonces calcular las inyecciones adjuntas de acuerdo
a la expresión 3.27; en ella, se define para facilitar el proceso:
y entonces se tiene que:
Pi = - Wi2 e'u - Wm e'i* - Wis e"i5
1
P2 = W12 £'12 - W2 3 £2 3 - W2* E2U - W26 £26
44
P 3 = W 2 3 e'23 - W 3 5 e135 e- 3 5
Pt = W i u e'iu + W z u E*2i» - Wu.6 e11,6
P 5 = W 1 5 e'is + W 3 5 e'3 5
estas relaciones nos dan que las inyecciones adjuntas son:
Pi = 0.0
P2 = 51.813
P 3 = - 23.12
P* = 40.187
P5 = 23.12
P6 = - 92.0
Los parámetros del sistema de transmisión adjunto (de acuerdo con
3.11), son iguales a los del sistema original, y con las inyeccip_
nes de potencia adjuntas obtenidas» se puede aplicar el flujo de
carga directo y resolver el sistema. Los resultados se muestran
en la Figura # 5.
Con los resultados del sistema original (Figura # 4) y los del si
tema adjunto (Figura # 5), se procede a calcular el vector gra
diente, mediante la relación 3.31. Lógicamente, sólo se calculan
aquellas componentes del vector que corresponden a los derechos
de-vfa que permiten un cambio en las líneas. Así se tiene que:
45
(0.0)
-i. 80 3)
FIGURA # 5
3B = 6 1 5 615
15 O 15
3£ - X X02 3 0233B 2 3
'26W26 L 626 (P26 - P261")
= 635 635 + W 3 S L 635 (P35-
46
3e = 6,6 6,6 + W,6 L 6,63B
Reemplazando valores se obtiene que
« - 0.191-15
3B 2 3
8e
0.0769 - = - 1.058
= 1.242
Con estos resultados se proceden a calcular los nuevos "B. - " , me-* j
diante la relación 3.32. y se obtiene que:
B i s = 5.382
B 2 3 = 4.846
B 2 6 = 0.8486
B 3 5 = 4.266
6,6 = 5.449
En este punto es donde se aplica el método del vecino más cercano
al que se hizo referencia en la sección anterior, y se obtienen
los siguientes resultados:
B15 = 5.00 , que corresponde a, 1 línea
B 2 3 = 5.00 , que corresponde a, 1 linea
B26 = 0.00 , que corresponde a, O linea
B 3 5 = 5.00 , que corresponde a, 1 línea
47
= 6.66 , que corresponde a, 2 lineas
Calculados asi los nuevos "B..¡", se debe repetir todo el proceso' <j
Nótese que para el derecho de vía 4-6, el nuevo "P, A" es 2.0, yaT r íf — O
que los resultados indican que se aumenta una línea de transmisión
más.
Para la primera iteración entonces, se parte del sistema que se
muestra en la Figura # 6. Nuevamente se incluyen en ella los flu_
jos de potencia a través de los derechos-de-vía, asi como los ángu_
los de los voltajes en cada una de las barras (datos entre parénte^
sis).
Nótese que en este caso, están sobrecargadas las ramas 1-4, 1-5 ,
2-4, 3-5 y 4-6, por lo que W ! 2 = W 2 3 = 0. Si se calcula el valor
del índice de funcionamiento se tiene que:
) (3.36)
donde:
en = (- 1.529 + 0.8)2
e» = (1.202 - l .O)2
£2* = (- 2.321 + l .O)2
£35 = (1.198 - l .O)2
= (- 5.45 + 2 . O ) 2
48
con estos valores, la expresión 3.36. resulta en
e = 7.129
o • j
FIGURA # 6
Se aplican nuevamente las relaciones 3.11. y 3.27. para crear el
sistema adjunto. Una vez resuelto dicho sistema, se. proceden a
calcular las componentes - del vector gradiente (ecuación 331)
las cuales son utilizadas para encontrar los nuevos "B¿." ( ecua-i jción 3.32). Se aplica a continuación el método, del vecino más
cercano y se obtiene:
49
CALCULADO VECINO TÍAS CERCANO No. DE LINEAS
B i s
D 2 3
625
B 3 5
B«
5.018
5.001
14.452
4.982
6.667
5.00
5.00
13.33
.5.00
6.66
1
1
4
1
2
Para la segunda iteración entonces, el sistema con el que trabaja
es el que se muestra en la Figura # 7.
FIGURA # 7
Para este nuevo sistema, sólo la rama: 3-5 está sobrecargada, por
lo que Wi2 = Wii» - MIS = W23 = W24 ~ W2e = W^e = 0.
50
Además el índice de funcionamiento es:
(1*653 ' 1'0)2 = °-213
Aplicando nuevamente el proceso, se llega a los siguientes resulta^
dos:
BuBis
82 3
626
B 3 5
Bi*6
CALCULADO
6.267
4.311
13.145
2.196
6.253
VECINO MAS CERCANO
5.00
5.00
13.33
0.00
6.66
No. DE LINEAS
1
1
4
0
2
La tercera iteración tiene como sistema el que se muestra en la Fj_
gura # 8.
En este sistema los derechos-de-vía sobrecargados son: 1-2, 1-5, t
2-3 y 4-6, por lo que:
Wu = Wat = W26 = O
De aquí, el índice de funcionamiento es:
- (ei2 + £is + £23 + e«6) (3.37)
donde:
51
O
(O.S6J)
FIGURA # 8
e12 =
£ 2 3 =
(- 1.729 + l .O) 2
(2.4 - l .O) 2
(- 1.25 + l .O}2
= (- 2.3 + 2. O}2
por lo que la expresión 3.37. da que
e = 1.322
Los resultados a los que se llega una vez aplicado el proceso son
52
CALCULADO VECINO MAS CERCANO No. DE LINEAS
B i s
D 2 3
Bze
- 635 -
B.e
5.00
5.00
13.346
12.455
6.629
5.00
5.00
13.33
10.00
6.66
1
1
4
2
2
La cuarta iteración entonces, nos da como resultado el sistema de
la Figura # 9. Nótese que ninguno de los derechos-de-vía está sp_
brecargado, por lo que el índice de funcionamiento toma ahora un
valor de cero» que era el objetivo que se perseguía, y por lo tan_
to dicho sistema es el que se buscaba.
r-O
FIGURA # 9
53
Es importante notar la forma como va variando el valor del índice
de funcionamiento (e) durante el proceso ya que para la primera
iteración toma un valor de 3.1902, y en la segunda crece a 7.129,
para luego "recuperarse" hasta 0.213, volver a crecer a 1.322, y
finalmente, llegar a cero. Esta oscilación se, debe .a la aplica-
ción del método del vecino'más cercano para la selección de los
"B..", que obliga a que los valores de aquellos parámetros sean• udiferentes de los valores calculados (que vendrían a ser matemáti_
camente los óptimos). De todas maneras, aunque los valores rea-
les son pequeñamente distintos de los valores óptimos, el método
si converge, y se obtiene un sistema bajo condiciones aceptables
de flujo de potencia.
En el siguiente capítulo se presenta la aplicación del método ex^
puesto a un sistema real como es el Sistema Nacional Interconecta_
do.
54
C A P I T U L O I V
APLICACIÓN DEL MÉTODO AL SISTEMA NACIONAL INTERCONECTADO
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Para la aplicación déla metodología descrita a un caso real como es
el Sistema Nacional Interconectado, es necesario primero plantear -
el problema en forma adecuada. Para ello se tendrán en cuenta las
siguientes consideraciones:
- El estudio se lo realiza para un período cíe tiempo a mediano pla_
zo, tomando como año de inicio el 1991, y como año horizonte 2000.
- Se utilizan modelos simplificados del Sistema Nacional Intercone£
tado (S.N.I.), en los que se mantienen informaciones importantes
como centros de carga y generación fuertes.
- Durante el decenio en estudio se considera la entrada de siete
nuevos centros de generación los cuales se detalla en la Tabla
VII.
- El método se lo aplica año por año, y para ello se dispone de los
valores de carga y generación pronosticados. Estos valores fue-
ron proporcionados por la Dirección de Planificación del S.N.I.,
(inecel ) asi como los valores de los parámetros de las distintas
lineas de transmisión .
55
AÑO DEENTRADA
1991
1992
1996
1997
1997
1998
2000
NOMBRE DEL PROYECTO
Daule - Peripa
Paute fase - C
Paute Mazar
San Francisco
Ches p i
Sopladora
Chambo
CAPACIDAD(M.W. )
130
500
174
210
165
500
194
Tabla VII: SECUENCIA DE ENTRADA DE LOS PROYECTOS DE GENERACIÓN.
- En cuanto al límite de capacidad de flujo de potencia activa a
través de las distintas lineas de transmisión hay que señalar lo
siguiente: La Dirección de Planificación del S.N.I. asume tanto
para lineas a 138 KV como para líneas a 230 KV, un límite de flu_
jo de potencia entre 1.2 y 1.3 veces el SIL de la línea en análi_
sis, considerando una impedancia característica (para simple cir^
cuito) de 400 ohmios. Con el límite calculado de esta manera se
da un margen de seguridad aceptable al diseño.
- Es importante señalar que los valores de las reactancias (por j¿
nidad, por kilómetro) para los dos niveles de voltaje (138 KV y
230 KV) varían dependiendo de la zona en la que se encuentre la
línea de transmisión.
En el S.N.I. se pueden distinguir dos zonas bien definidas:
rra y Costa, en las que las condiciones ambientales son diferen-
56
tes, por lo que la disposición (geometría) de las líneas varía pa-
ra un mismo nivel de voltaje. Esta diferencia origina a su vez
distinto valor de reactancia (por unidad, por kilómetro).
Planteado así el problema, se procede a continuación a aplicar la
metodología descrita, en forma secuencial (año por año) partiendo
desde 1991.
2. DESARROLLO DEL PROBLEMA Y RESULTADOS
* AÑO 1991.- La configuración del Sistema Nacional Interconectado
para este año, se muestra en la Figura # 10. Ei
al detal le de
la Tabla V I I I
Tabla IX.
BARRAE N V I Ó
111234456889
10121313
los elementos que lo conforman, estos se muí
, mientras
BARRARECEP
214163458779
121011131415
que los datos
REACTANCIA DELA LINEA (pu.)
0.1310450.1460810.0008960.0375480.1287360.0500000.0938700.1041840.2526460.0500000.072493.0.4011080.0026050.0975870.0376400.000896
de barra se encuenti
CAPACIDAD LIMITE( P . u . )
1.6201.6801.6801.6851.6851.6001.6850.5800.5801.6001.6200.5800.5801.6201.6801.680
Tabla VIII: DATOS DE LOS ELEMENTOS DE LA FIGURA # 10,
57
TST
* *'fO-9 5\4 Ift >—X
O «
,i¡íí'é£
<CCCL•^CI3
58
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
POT. ACT. DEGENER. (M.W.)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
108.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
55.0
368.0
0.0
12.0
52.0
0.0
0.0
18.0
44.0
0.0
144.0
40.0
45.0
0.0
36.0
Tabla IX: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 10 (año 1991).
Cabe anotar que la Dirección de Planificación del S.N.I. ( y para
todo el deceño en estudio) asume que los derechos de vía que pue-
den sufrir modificaciones en sus parámetros son aquellos que im-
plican un refuerzo del anillo de 230 KV además de tres adicionales:
entre 1-3, entre 1-13, y entre 5-6. Esto se muestra con líneas
punteadas en la Figura # 11. Para los derechos de vía adicionales
se tienen los siguientes datos:
"sí
I—
-.») I I
•«»
Sft
WL
f I (
(QU
ITO
)
I t
I I
J L
S/E
TO
TOK
A5
*/t
P*
OT
£
FIG
URA
#
11
60
BARRAENVIÓ
1
1
5
BARRARECEP..
3
13
6
REACTANCIA DE. LALINEA (p.u.)
0.170080
0.367442
0.278692
CAPACIDAD LIMITE(p.u.)
1.620
0.840
0.580
En cuanto a los datos de barra hay que señalar que la carga notada
"l_i" en la barra número tres, incluye lo que es: Guayaquil, Daule,
Duran, Balzar, Salinas, Santa Elena, y se considera también las
generaciones del Salitral y la de Vapor 1 (Guayaquil).
Mientras que la carga notada "L¿" en la barra número doce, incluye
lo que es: Quito, Ibarra, Tulcán, y las generaciones de Pisayambo
y la Empresa Eléctrica Quito.
Con respecto a los valores de las cargas en las distintas barras
del sistema, éstos corresponden a los valores de demanda máxima
pronosticados por la Dirección de Planificación (igual cosa ocu-
rre en el resto de años a estudiarse).
Bajo estas condiciones entonces y utilizando el flujo de potencia
directo al que se hizo referencia anteriormente, se obtiene los -
siguientes resultados:
PRESENCIA DE SOBRECARGA (p.u.)
DERECHO FLUJO FLUJODE VÍA ACTUAL LIMITE
1 - 2 3.28804 3.24
61
ÁNGULOS DE FASE (RADIANES)
61 = 0.00000 69 * -0.16341
Ó2 = -0.21544 610= -0.03505
63 = -0.26684 5 n= -0.03365
6 4 - = -0.20621 6 j 2 = -0.18779
Ó5 = -0.18021 613= -0.11938
<56 = -0.21256 6u= -0.10839
67 = -0.14687 615= -0.11803
68 = -0.18641 6u= -0.00032
Puesto que el único derecho de vía que está sobrecargado es el 1-2,
entonces: W1 2= 1, mientras que: W - - = O , i=l,...,N; j=l,...,N.' j
donde N es el número de barras (N = 16).
Calculando las inyecciones adjuntas con la expresión 3.27 se obtie^
ne:
Pi = - 13
í>2 = 13
PÍ = O , i = 3, ..... N
El sistema adjunto para el año 1991 se muestra en la Figura # 12.
Aplicando el flujo de potencia directo se obtienen los ój :
Ó1
1.1
»
FIG
UR
A
# 12
14
ib-
CJi ro
63
ÁNGULOS DE FASE ADJUNTOS ( RADIANES )
o í = 0.000 $9 = 0.493
Ó2 = 0.732 8 lo = 0.493
Ó 3 = 0.697 Su = 0.493
6* = 0.579 Si2 = 0.427
Ó 5 = 0.579 613 = 0.337
os = 0.579 ó^ = 0.268
67 = 0.579 o í s = 0.337
§8 = 0.493 S16 = 0.000
Con los ángulos adjuntos y los del sistema original, y aplicando la
relación 3.31, se calculan los "AB . . " de la siguiente manera:' j
A B i 2 = 5i2 612 + W i a L 61 2 (P12 - Ph.™)A
A B 2 3 = <S 2 3 6 2 3Ai
A B 13 = 6 13 6 1 3
A B31t = 63t t 63^A
A B5 6 = Ó 5 6 Ó 5 6
A
A 81*8 = 5^8 64s
A 63i2 = 6 « i 2 69 12A
A B i 2 i 3 ~ 6 \-¿ 13 Ó 12 13
¿ BIS 11* =6 i3m "Sisut
^A Bi t* i =614 i 611» iA
A 613 i = 6 13 i ¿131
Calculando estas relaciones se obtiene:
64
A B i z = 0.0285932
A B 2 s = 0.001799
A B i a = - 0.1859875
A B 3 i = - 0.0071543
A B 5 6 = 0.00
¿Bna ' - 0.0017028
A B a i 2 = 0.0000911
A B 12 13= - 0.0061479
A 61311= - 0.0007583
A Bni = - 0.0290485
A B i a i = - 0.0402311
Con estos resultados, los nuevos "B.." (aplicando el criterio del' jvecino más cercano) son:
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
12
2 3
13
31
56
18
B 12
12 13
13 11
11 1
13 1
= 15.
= 53.
= 5.
= 15.
= 0.
= 21.
= 27.
= 20.
= 26.
= 6.
= 0.
26189 ,
26517 ,
8795792,
53568 ,
000
30607 ,
58881 ,
49454 ,
56721 ,
84554 ,
000
que
que
que
que
que
que
que
que
que
que
que
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
: 2
: 2
: 1
: 2
: 0
: 2
: 2
: 2
: 1
: 1
: 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
íneas
íneas
Tneas
íneas
íneas
íneas
íneas
íneas
íneas
íneas
íneas
To
I
24.1
111.
bZ
1 o1 t
*
Sí
ifc
FIG
UR
A
# 13
en oí
66
Estos resultados indican que se debe aumentar una linea en el dere_
cho-de-via 1-3 con lo que el sistema queda como se muestra en la
Figura # 13.
Con este nuevo sistema y aplicando el flujo de potencia directo, el
sistema ya no presenta sobrecargas, por lo que para este año no
se requiere ningún cambio adicional (Figura # 13).
* AÑO 1992.- En este año se considera la entrada de la Fase C del
Proyecto Paute con sus 500 MW de capacidad. El siste_
ma entonces quedaría como se muestra en la Figura # 14.
Los nuevos valores de potencia decarga y generación se muestran en
la Tabla X.
BARRA#
1
2
3
4
56
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
POT. ACT. DEGENER. (M.W.)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
86.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
78.0
454.0
0.0
13.0
55.0
0.0
0.019.0
45.0
0.0
177.0
59.0
53.0
0.0
78.0
Tabla X: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 14 (año 1992)
I55
af "I 5l
Jl
FIG
UR
A
# 14
í 0
J4,
1P
AU
TE
(500
MW
)
95
en
68
Bajo estas condiciones y utilizando el flujo de potencia directo,
se obtiene:
PRESENCIA DE SOBRECARGAS (p.u.)
DERECHO FLUJO FLUJODE VÍA ACTUAL LIMITE
1 - 2 3.33766 3.24
ÁNGULOS DE FASE ( RADIANES }
61 =
62 =
63 =
6, =
65 =
6s =
67 =
58 =
0.000
- 0.21869
- 0.26671
- 0.24005
- 0.21605
- 0.25375
- 0.18427
- 0.24314
69 =
6 10 =
611 =
6 12 =
613 =
6 id =
6 15 =
5 16 =
- 0.23214
- 0.14991
- 0.14879
- 0.25350
- 0.18108
- 0.15984
- 0.17973
- 0.00070
Nuevamente, puesto que el único derecho de vía sobrecargado es el
1 - 2 , entonces W12 = 1» mientras que el resto de factores de peso
valen cero.
Las inyecciones adjuntas se calculan con la expresión 3.27 y se ob_
tiene que:
Pi = - 27 P2= 27 -, P. = 0, i = 3,...., N
69
El sistema adjunto para el año 1992 es el que se muestra en la Fi-
gura # 15.
Aplicando el flujo de potencia directo se obtienen los ? • :
ÁNGULOS DE FASE ADJUNTOS (RADIANES)
o í = 0.000 69 = 0.728
62 = 1.195 610 = 0.728
63 = 1.030 ón = 0.728
6* = 0.856 612 = 0.630
65 = 0.856 6 13 = 0.498
Ó6 = 0.856 6m = 0.396
67 = 0.856 615 = 0.498
S8 = 0.728 61 6 = 0.000
Con los ángulos adjuntos y los del sistema original y aplicando la
relación 3.31. se calculan los "AB.." , y se obtiene:' j
A B Í 2 = 0.1230963
A B 2 3 = 0.0079233
A B 1 3 = - 0.2747113
A B 3 u = - 0.0046388
A B 5 6 = 0.000
A B u s = 0.0003955
A B 8 1 2 = 0.0010153
A B 1 2 1 3 = - 0.0095594
A B i a i ^ - 0.0021665
ó
T
t
FIG
UR
A #
15
71
AB in = - 0.0632966
AB 131 = - 0.0901778
Con estos resultados y aplicando el criterio del vecino más cerca_
no, los nuevos "B. ." son:• j
B 12 =
8 2 3 =
Bl3 =
63* =B S 6 =
B,8 =
BS 12 ~
B 12 1 3 =
B 13 11 =
B i i i =
B 15 1 =
15
53
11
15
0
21
27
20
26
6
0.
.26189 ,
.26517 ,
.75916 ,
.53568 ,
.0000 ,
.30607 ,
.58881 ,
.49454 ,
.56721 ,
.84554 ,
000
, que corresponde a : 2 lineas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : O líneas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : 2 líneas
, que corresponde a : 1 línea
, que corresponde a : 1 línea
, que corresponde a : O líneas
Los resultados indican que se debe aumentar una línea en el dere_
cho de vía 1-3, y el nuevo sistema es el que se muestra en la Fj_
gura # 16.
Con este nuevo sistema y aplicando el flujo de potencia directo ,
no se presentan sobrecargas en ninguno de los derechos de vía (Fi_
gura # 16).
55
Ó
A 4
.3
243.
3<1
15O I
FIG
UR
A
# 16
ro
73
*ARO 1993.- Para este año la configuración del sistema es la misma
que para el año 1992. Lo que cambian son los valores
de demanda máxima y de generación, siendo éstos los que se mues-
tran en la Tabla XI.
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
POT. ACT. DEGENER. (M.W)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
45.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
83.0
532.0
0.0
13.0
58.0
0.0
0.0
20.0
46.0
0.0
197.0
64.0
56.0
0.0
83.0
Tabla XI: DATOS_ DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 17 (Año 1993)
Bajo estas nuevas condiciones el sistema no presenta sobrecargas
como se puede observar en la Figura # 17, y no se hace necesaria
la aplicación del método.
$
A^
1
33.1
-L1Z
301.
gft
240.0
3
"9 I
l -1 51
32
3.0
39
9
FIG
UR
A
# 17
75
*AÑQ 1994.- La configuración vuelve a ser la misma que para el ano
1993. Las nuevas condiciones de generación y carga se
muestran en la Tabla XII.
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
POT. ACT. DEGENER. (M.W)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
70.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
90.0
550.0
0.0
14.0
62.0
0.0
0.0
22.0
47.0
0.0
218.0
68.0
59.0
0.0
88.0
Tabla XII: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 18 (Año 1994)
Utilizando el flujo de potencia directo se obtienen los resultados
que se muestran en la Figura # 18, y además se llega a que:
I54
31
4.4
12
o
It
33^
.23
en
FIG
UR
A
# 18
77
PRESENCIA DE SOBRECARGAS (p.u.)
DERECHODE VIA
FLUJOACTUAL
FLUJOLIMITE
1 - 2 3.37228 3.24
ÁNGULOS DE FASE ( RADIANES )
61 = 0.000 69 = - 0.29860
62 = - 0.22096 <$lo = - 0.25247
Ó3 = - 0.26738 OH = - 0.25156
6* = - 0.27487 612 * - 0.31819
Ó5 = - 0.25487 613 = - 0.23750
Ó6 = - 0.30506 6m = - 0.20650
Ó7 = - 0.22674 615 = - 0.23615
Ó8 = - 0.29911 .Sis = - 0.00079
Aplicando igual procedimiento que en años anteriores, las inyec-
ciones adjuntas son:
Pi = - 36A
P2 = 36
?4 = ' O , i = 3 ,N
Con estas inyecciones adjuntas y aplicando el flujo de potencia
recto se obtienen:
78
ÁNGULOS DE FASE ADJUNTOS (RADIANES)A
02
A
63
í*A.
05
A
A67A
= 0.000
= 1.354
= 1.066 .
= 0.885
= 0.885
= 0.885
= 0.885
= 0.754
§9
610
^6ll
A.
.A
6l3
A
611»
A
«15
A
6l6
= 0.754
= 0.754
= 0.754
= 0.652
= 0.515
= 0.410
= 0.515
= 0.000
En base a los a'ngulos de fase adjuntos y originales, se calculan
los "AB.." y aplicando el criterio del vecino mas cercano se ob^' u
tiene:
Bl2
823
613
631»
B56
Bi+8
B812
Bl213
Bl 314
Bim
Bl31
= 15.
= 53.
= 17.
= 15.
= nw .
= 21.
= 27.
= 20.
= 26.
= 6.
= 0.
26189 ,
26517 ,
63874 ,
53568 ,
0000 ,
306C7 ,
58881 ,
49454 ,
603015,
84554 ,
0000 ,
que
que
que
que
que
que
que
que
que
que
que
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
a
a
•au
a
9U
a
a
a
a
a
a
: 2
: 2
: 3
: 2
: 0
: 2
: 2
: 2
: 1
: 1
: 0
1
1
1
1
i
1
íneas
ineas
íneas
íneas
íneas
íneas
líneas
líneas
1
1
1
íneas
íneas
íneas
Como se puede observar aumenta una línea en el derecho de vía 1-3
Tó
3) N 1 I
. SI
. U
JZ.
í
1
14,
FIG
UR
A
ti 19
80
mientras el resto del sistema permanece igual. El esquema final
para este año se muestra en la Figura # 19.
Con la nueva configuración y aplicando el flujo de potencia dire£
to, el sistema ya no presenta sobrecargas, como se puede obse£
var en la Figura # 19.
*AÑO 1995.- Los nuevos valores de carga y generación para este
ano se muestran en la Tabla
'iguración del sistema
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
sigue siendo la
POT. ACT. DEGENER. (M.W)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
108.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
XIII , mientras
misma que
POT. ACT.CARGA (M.
0.0
97.0
606.0
0.0
15.0
66.0
0.0
0.0
23.0
49.0
0.0
243.0
73.0
65.0
0.0
93.0
la de'
DEw.)
Tabla XIII: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 20 (Año 1995}
0II I
11t
n
t J-0
it£
9
FIG
UR
A
# 20
CO
82
Bajo estas condiciones y mediante el flujo de potencia directo, se
observa que el sistema no presenta sobrecargas (Figura i 20) por
lo que no se hace necesaria la aplicación del método.
*AÑQ 1996.- En este año se considera la entrada del proyecto Paute
Mazar con sus 174 MW de capacidad. El sistema entojí
ees quedaría como se muestra en la Figura # 21.
Los valores de generación y carga para este año se muestran en la
Tabla XIV.
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
POT. ACT. DEGENER. (M.W)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
108.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
POT. ACT. DECARGA {M.W.)
0.0
102.0
629.0
0.0
17.0
66.0
0.0
0.0
25.0
51.0
0.0
272.0
79.0
67.0
0.0
100.0
Tabla XIV: DATOS DE BARRA PARA EL SISTEMA DE LA FIGURA # 21 (Año 1996)
Aplicando el flujo de potencia directo se obtiene que el sistema ba_
Tó
a» 41 1
J.L
43
J4.
*t i '
32
3.
Pfc
UT
t.
9..2
J?
FIG
UR
A #
21
00
84
jo estas condiciones no presenta sobrecargas, como se observa en la
Figura # 21.
*AÑO 1997.- Para este año se considera la entrada de dos nuevos
yectos; el proyecto San Francisco con una capacidad de
210 MW y el Proyecto Chespi con 165 MW de capacidad. La configur^
ción del sistema se muestra en la Figura # 22.
Los valores de generación y carga se muestran en la Tabla XV.
BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1516
17
18
POT. ACT. DEGENER. (M.W.)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
108.0
0.0
0.0
0.0
151.00.0
210.0
165.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
115.0
806.0
0.0
18.0
78.0
0.0
0.0
28.0
53.0
0.0
305.0
85.0
72.0
0.0
108.0
0.0
0.0
Tabla XV: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 22 (Año 1997)
Con la entrada de los dos nuevos proyectos,se incorporan al sistema
í«
/>^
o
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**.ib
CH
MP
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fc?
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O
11
13
t
T
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AM
CIS
CO
(ZIO
KW
) 9
00
FIGU
RA
# 22
86
dos nuevas barras y por lo tanto los parámetros de los nuevos ele-
mentos son:
BARRA BARRA REACTANCIA DE CAPACIDAD LIMITEENVIÓ RECER LA LINEA (p.u) (p.u.)
12
13
18
17
0.023301
0.039035
1.680
1.620
Utilizando el flujo de potencia directo se obtiene
PRESENCIA DE SOBRECARGAS (p.u.)
DERECHO FLUJO FLUJODE VÍA ACTUAL LIMITE
1 - 2 3.3573 3.24
ÁNGULOS DE FASE { RADIANES )
oí = 0.0000 610 = - 0.00824
62 = - 0.21988 ón = - 0.00684
63 = - 0.26129 612 = - 0.10394
ó* = - 0.18112 oía = 0.00221
Ó5 = - 0.17112 6llt = - 0.01979
66 = - 0.24986 615 = 0.00356
Ó7 = - 0.15132 516 = - 0.00097
óe = - 0.13205 617 - 0.04320
69 = - 0.11855 6ie ' - 0.06549
Las inyecciones adjuntas en este caso son:
87
Px = - 32
P = 322
PÍ = O , i = 3,...., N
Con el flujo de potencia en el sistema adjunto se obtienen
ÁNGULOS DE FASE ADJUNTOS ( RADIANES )
Ó! = 0.000
62 = 1.069
63 = 0.774
64 = 0.643
65 = 0.643
66 = 0.643
67 = 0.643
óe = 0.547
69 = 0.547
610 = 0.547
6n = 0.547
612 = 0.474
Ó1 3 = 0.374
6m = 0.298
815 = 0.374
6is = 0.000
617 = 0.374
lia = 0.474
Con estos resultados se pueden calcular los nuevos "B. ." y se tiene' O
que:
Bl2
623
Bl3
831.B56
B»8
Bsi2
= 15
= 53
= 23
= 15
= 0
* 21
= 27
.26189
.26517
.51832
.53568
.00000
.30607
.58881
, que
, que
, que
, que
, que
, que
, que
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
a
a
a
a
a
a
a
: 2
: 2
: 4
: 2
: 0
: 2
: 2
1 íneas
líneas
líneas
líneas
líneas
1 íneas
líneas
88
B i a i a = 20.49454 , que corresponde a : 2 líneas
Bi3m = 26.603015, que corresponde a : 1 línea
Bi u i = 6.84554 , que corresponde a : 1 línea
BISI = 0.0000 , que corresponde a : O líneas
De estos resultados se observa que ene! derecho de vía 1-3 aumenta
una línea de transmisión con lo que la configuración del sistema
para este año es el que se muestra en la Figura # 23.
Con este nuevo sistema y aplicando el flujo de potencia directo,
aquél ya no presenta sobrecargas, como se observa en la Figura #23.
*AÑO 1998.- Para este año se considera la entrada al sistema del
proyecto Sopladora con su capacidad de 500 MW. La con_
figuración del sistema para este año se muestra en la Figura # 24.
Los datos de generación y carga para este año se muestra en la Ja_
bla XVI.
10
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23
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BARRA#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
POT. ACT. DEGENER (M.W.)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
9.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
210.0
165.0
437.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
125.0
848.0
0.0
20.0
84.0
0.0
0.0
31.0
56.0
0.0
341.0
93.0
77.0
0.0
117.0
0.0
0.0
0.0
Tabla XVI: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 24 ( Año 1998)
Con la entrada de este nuevo proyecto se incorpora al sistema una
nueva barra y los parámetros del nuevo elemento que la conectan al
sistema son:
BARRA BARRA REACTANCIA DE CAPACIDAD LIMITEENVIÓ RECEP. LA LINEA (pu) (p.u.)
1 19 0.004647 .1.686
Bajo estas condiciones de generación y carga el sistema no presenta
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tr
(MW
OO
fl) oir I5
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K
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•
II
íM
M
r w — »
T
i0
92
sobrecargas (Figura # 24} por lo que no es necesario realizar nin-
gún cambio en él.
*AÑO 1999.- Para este año la configuración del sistema es igual a
la del año 1998, mientras que los nuevos valores de
carga y generación son los que se presentan en la Tabla XVII.
BARRA#
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
POT. ACT. DEGENER (M.W)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
116.0
0.0
0.0
0.0
100.0
0.0
0.0
0.0
151.0
0.0
210.0
165.0
437.0
POT. ACT. DECARGA (M.W.)
0.0
138.0
892.0
0.0
22.0
92.0
0.0
0.0
33.0
58.0
0.0
383.0
101.0
83.0
0.0
126.0
0.0
0.0
0.0
Tabla XVII: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 25 (Año 1999)
Aplicando el flujo de potencia directo se obtienen los resultados
que se muestran en la Figura # 25, y entonces:
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SZ #
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^*
I
94
PRESENCIA DE SOBRECARGAS (p.u.)
Para este caso
PI = - 78
P2 = 78
DERECHO FLUJODE VÍA ACTUAL
1 - 2 3.52292
ÁNGULOS DE FASE (
61 = 0.00000 Su
62 =- 0.23092 612
Ó3 = - 0.27118 oís
Ó4 = - 0.24557 Sm
65 = - 0.24457 Sis
56 = - 0.34828 -Sis
Ó7 = - 0.23207 617
68 = - 0.22783 6ia
Ó9 = - 0.22333 Ói9
610 - - 0.13909
las inyecciones adjuntas
FLUJOLIMITE
3.24
RADIANES )
= - 0.13779
= - 0.21739
= - 0.09698
= - 0.10195
= - 0.09562
= - 0.00113
= - 0.05599
= - 0.17895
= 0.00677
son:
O, i = 3......N
Definido así el sistema adjunto y mediante el flujo de potencia dj_
recto se obtienen:
95
ÁNGULOS DE
De acuerdo
obtienen:
Bi2 * 15.
B23 = 53.
813 = 29.
B3lt = 15.
B56 = 0.
B^g - 21.
Baia * 27.
81213 = 20.
Biam = 26.
Buti * 6.
Bi3i * 0.
A¿i =A
02 =
*i
63 =
A
5. =ÍV65 =A
<5e =y\7 =
f±
S8 =A
69 =
A
6lfl =
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
.000
.378
.595
.325
.325
.325
.325
.128
.128
.128
FASE ADJUNTOS ( RADIANES )
con estos resultados se
26189
26517
39790
53568
00000
30607
58881
49454
60302
84554
00000
>
9
í
í
»
)
1
1
»
»
»
que
que
que
que
que
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que
que
que
que
que
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
corresponde
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016
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6l7
A.
¿18
A
619
pueden
a : 2
a : 2
a : 5
a : 2
a : 0
a : 2
a : 2
a : 2
a : 1
a : 1
a : 0
= 1.128
= 0.976
= 0.771
= 0.613
= 0.771
= 0.000
= 0.771
* 0.976
= 0.000
calcular los "B. ."y se
líneas
líneas
líneas
líneas
líneas
líneas
líneas
líneas
línea
1 ínea
1 íneas
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o
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14-
FIG
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A
# 26
o
30
|S.
H- - 1 si
I íl
99
9
o
97
Esto resultados indican el aumento de una línea en el derecho-de-
vía 1-3 con lo que la nueva configuración del sistema es la que
se muestra en la Figura # 26.
Con este nuevo sistema y aplicanco el flujo de potencia directo ,
aquél ya no presenta sobrecargas, como se observa en la Figura #
26.
*AÑO 2000,- En este último año de estudio, se considera la entra-
da del proyecto Chambo con sus 194 MW de capacidad ,
por lo que la nueva configuración es la que se muestra en la Figu_
ra # 27.
Los nuevos valores de generación y carga se presentan en la Tabla
XVIII.
fiARRA#
1234567891011121314151617181920
POT. ACT. DEGENER. (M.W)
0.00.00.00.00.00.0
116.00.00.00.0
108.00.00.00.0
151.00.0
210.0165.0485.0143.0
POT. ACTCARGA (M
0.0150.0942.00.024.0100.00.00.0
36.061.00.0
428.0109.090.00.0
137.00.00.00.00.0
. DE
.W.)
Tabla XVIII: DATOS DE BARRA DEL SISTEMA DE LA FIGURA # 27 (Año 2000)
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J/N
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20,
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FIG
UR
A
# 27
üoo
99
Con la entrada del nuevo proyecto se incorpora una nueva barra al
sistema y los parámetros del elemento que los une con:
BARRA BARRA REACTANCIA DE CAPACIDADENVIÓ RECEP. LA LINEA (ptu) LIMITE (p.u)
13 - 20 0.0167292 1.620
Bajo las nuevas condiciones de generación y carga y mediante el
flujo de potencia directa» se llega a que el sistema no presenta
sobrecargas como se puede observar en la Figura # 27.
3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
De los resultados obtenidos del Sistema Nacional Interconectado ,
se concluye que el programa de expansión del S.N.I. para el dece_
nio 1991-2000 se puede resumir así:
- Año 1991: línea de transmisión Paute (Molino) - Guayaquil a 230
KV, simple circuito, 183 Km.
- Año 1992: línea de transmisión Paute (Molino) - Guayaquil a 230
KV, simple circuito, 183 Km.
- Año 1994: línea de transmisión Paute (Molino) - Guayaquil a 230
KV, simple circuito, 138 Km. __
- Año 1997: línea de transmisión San Francisco - Totoras a 230
100
KV, doble circuito, 42 Km.
- Año 1997: linea de transmisión Chespi - Quito, a 230 KV, sim-
ple circuito, 26 Km.
- Año 1997: línea de transmisión Paute (Molino) - Guayaquil a 230
KV, simple circuito, 183 Km.
- Año 1998: linea de transmisión Paute (Molino) - Sopladora a 230
KV, tres circuitos, 5 Km.
- Año 1999: linea de transmisión Paute (Molino) - Guayaquil a 230
KV, simple circuito, 183 Km.
- Año 2000: linea de transmisión Chambo - Totoras, a 230 KV, do-
ble circuito, 13 Km.
En total entonces durante el decenio se requieren construir 1006 Km
de linea de transmisión a 230 KV, siendo el año 1997 el que requie_
re de mayor número de kilómetros de construcción (251 Km).
Como para el año 1991 se requiere de la construcción de la L/T Pau_
te-Guayaquil y luego en 1992, con la entrada de la Fase C del Pro-
yecto Paute, se requiere de una nueva linea de iguales característi_
cas, se podrían unificar estas dos construcciones de manera que en
el año 1991 entre en servicio una L/T a doble circuito Paute - Gua_
yaquil. Desde el punto de vista de seguridad, esto sería muy venta_
101
joso para el sistema, siendo además conveniente desde el punto de
vista económico.
De igual manera se podría proceder en el ario 1994, construyendo -
una línea a doble circuito, la cual sería suficiente para el fun_
cionamiento del sistema hasta 1998, y con lo que se daría cierto
equilibrio en cuanto se refiere a magnitudes de construcción del
sistema durante el decenio en mención.
Es muy importante anotar que los diseños obtenidos del sistema a
lo largo del decenio, sirven únicamente de guía para el diseñador
ya que por ejemplo el método desarrollado no considera casos de
contingencias, que de presentarse, podrián ocasionar sobrecargas
en algún (o algunos) derechos-de-vía del mismo.
Por lo tanto es recomendable realizar un análisis más detenido de
aquellos diseños : este análisis podría incluir flujos de poten^
cia completos y análisis de contingencias.
De acuerdo con los proyectos de generación que se tienen planea-
dos para el decenio 1991-2000, se procura una mejor distribución
de la producción de energía, para que no existan concentraciones
fuertes de la misma, como en este momento ocurre con la genera-
ción del Paute. Además, la tendencia es que todas las cargas del
sistema sean abastecidas a través del S.N.I. tratando de dismi-
nuir las generaciones locales que resultan más costosas.
102
Un hecho importante de resaltar es que de acuerdo con los flujos de
potencia obtenidos a lo largo del decenio» conforme aumentan la car.
ga y la generación, el derecho de vía que presenta sobrecargas es
aquel situado entre las barras "1" (Paute-Molino) y "2" (Milagro, Ma_
chala, Babahoyo), y la sobrecarga es levantada aumentando líneas de
transmisión entre la barra "1" (Paute-Molino) y la barra "3" (Guaya_
quil). Esto indica que siendo Guayaquil una carga fuerte, es más
conveniente abastecerla directamente desde el Paute, en lugar de
que se lo haga transportando gran cantidad de energía a través de
los derechos-de-vía "1-2" y "2-3", es decir: Paute, barra "2" (Mila_
gro, Máchala, Babahoyo), Guayaquil.
En cuanto a la metodología desarrollada, se puede concluir lo si-
quiente: tomando la barra "1" como referencia, la expresión:
L
indica que en cualquier caso, la inyección adjunta correspondiente
a la barra oscilante,resu!ta ser una carga ya que el primer sumatp_
rio (siendo i = 1) valdría cero y se tendría entonces:
Es decir: la barra que es la oscilante en el sistema original, se
convierte en barra de carga en el sistema adjunto. Del resto de ba_
rras no se puede establecer una norma definida entre lo que es el
sistema original y lo que pasa a ser en el sistema adjunto, pues
103
de los ejemplos analizados se observa que por ejemplo, una barra
de carga en el sistema original bien puede convertirse en una ba_
rra de generación en el sistema adjunto (ejemplo # 1), ó bien pue_
de seguir siendo una barra de carga (ejemplo del Sistema Nacional).
Sin embargo» analizando la expresión de las inyecciones adjuntas,
lo que se puede afirmar es que éstas son una consecuencia directa
de las sobrecargas que se presentan en el sistema original, ya
que aparte de los términos "fijos" que vendrían a ser: "W..", "L"i jy "B.-", el término:' j
("u - pi]M>
es el que involucra directamente aquellas sobrecargas, y el que va_
ría de acuerdo a la magnitud de las mismas.
Es importante también indicar que por cuanto el método desarrolla-
do contempla cálculos repetitivos, éstos podrían agilitarse utili-
zando la computación, por lo que se recomienda la implementación -
de un programa de computación que realice dichos cálculos. Se pre_
senta a continuación en la Figura # 28, un posible diagrama de flu_
jo simplificado, que puede servir de guía para aquella implementa-
ción.
104
SOLUCIÓN J>«L SISTEMA
(FLUJO *« POTÍMC1A
CALCULO »e £(B)
ICOKMACiON y XOLuCIQft S1ST|*\
(FLUJO >• POTCNCIA BIMCTO)
COMPUTO SCL VECTOR
CALCULO ac 1.0» Nueve* ij
VfUHO MAS CtKCAUO
BKL SIlTt-
0*l»l»*AL.
SOLUCIOM SKL SISTC^A OR(«MAL.
ALTHADO
At POTtHCIA J>lMICTO)
TIMA
FIGURA # 28
105
A N E X O # 1
MODELO DE FLUJO DE POTENCIA DIRECTO
La potencia neta Inyectada a una barra "i" de un sistema eléctrico(51de potencia se define asi :
Sj* = Pi - j Q. = V.* I. (A.1.1)
donde: S. - potencia compleja neta inyectada a la barra "i".
P. = potencia activa neta de la barra "i".
Q- - potencia reactiva neta de la barra "i".
V. = voltaje de la barra "i" .
I. = corriente neta de la barra "i".
* = como se trabaja con cantidades complejas, este signo
denota la conjugada de la variable en cuestión.
Ahora bien, la corriente neta de la barra "i" puede escribirse cp_
mo151:
N£ V. Y.. (A.1.2)
donde: Y.- = admitancia conectada entre las barras "i" y "j".i j
N = número de barras del sistema.
La ecuación A.1.2. puede reamplazarse en la ecuación A.1.1. y se
obtiene que:
106
Í - j Q, = Vi* E Vj Y.J A
Se pueden hacer las siguientes definiciones
(A.1.3)
V, = I V - 1 ei i
VJ =(A.1.4)
donde: = módulo del voltaje complejo de la barra "i".
= módulo del voltaje complejo de la barra "j".
= ángulo de fase del voltaje complejo de la barra "i"
= ángulo de fase del voltaje complejo de la barra "j"
= conductancia conectada entre las barras "i" y "j"
- susceptancia conectada entre las barras "i" y "j".
Reemplazando A.1.4, en A.1.3. se obtiene:
N -j(6, - 5.)P. - j Q. = l V. V. e J (G. - + j B - . ) (A.1.5)i i • _i i j i j i jj-1
51 -ixAplicando la relación compleja ': e J = eos x - j sen x
se tiene entonces que la ecuación A,1.5. se convierte en:
.J ~
(A.1.6)
107
esta ecuación puede reescribirse asi:
Í Q< = S V, |V,|[G,, cos(6. - 6.) + B,, sen(6, - 6,<j *
- j G.. sen(6. -ó.) + j B,. cos(6. - 6.
(A.1.7)
en esta última ecuación se puede igualar parte real con parte real»
y parte imaginaria con parte imaginaria y se llega a que:
Ni = E l^-jl l^i! |Gii c05 ~ 5-í) + BÍ-Í sen(ó- - 6-
j=l
6i - v - BÍJu ^
ecuaciones que expresan la potencia activa neta (A. 1.8} y potencia
reactiva neta (A. 1.9) inyectadas a la barra "i".
Ahora bien, el modelo de flujo de potencia directo se obtiene a
partir de las ultimas dos ecuaciones, en las que se hacen las si-
guientes consideraciones:
- en un sistema de potencia, por motivos de estabilidad y seguri -
dad del mismo, se procura que las diferencias angulares entre np_
dos adyacentes sea muy pequeña, lo que permite asumir que:
sen (ó- - «..) - (5i - 6.) (A. 1.10)
108
cos(S, - a.) as O (A.1.10)' *
en líneas de alta tensión (sistema de transmisión) la relación
entre la reactancia y la resistencia es alta, por lo que se pue_
de despreciar la resistencia y asumir que:
G. . . O
(A.1.11)
- a fin de conseguir una buena calidad en el servicio eléctrico» se
procura que la magnitud de los voltajes nodales sea igual a 1.0
pu., lo que significa:
|V.| * V, - 1 (A.1.12)
Reemplazando entonces A.1.10, A.1.11. y A.1.12. en las ecuaciones
A.1.8. y A.1.9. se obtiene que:
Nde A.1.8. P, = s B-. (ó. - 5,) (A.1.13)
de A.1.9. Qi = O (A.1.14)
Nótese que la ecuación A.1.13. cuando j = 1, el término:
B.j(4l - 5j) = O
109
por lo que se la puede plantear así:
N, = S B.-(6. - 6.) (A. 1.15)
La ecuación A. 1.15. es justamente la utilizada en el modelo de flu_
jo de potencia directo y en ella se puede observar la fuerta inter_
dependencia existente entre la potencia activa y los ángulos de fa_
se de los voltajes nodales! ' Mientras que la ecuación A. 1.14. es
en sí una consecuencia de las consideraciones planteadas anteriormen-
te, y que se ve reforzada con el hecho de que al asumir magnitu-
des iguales para los voltajes nodales (A. 1.12), el flujo de poten_
cia reactivo a través de las ramas de transmisión del sistema de
potencia sería cero.
no
BIBLIOGRAFÍA
(1) R. Fischl y W.R. Punte!, "Efficient Method for Computing Ele£
trie Power Transmission Network Sensitivities", IEEE Winter
Power Meeting» New York, Enero 1972.
(2) R. Fischl y W.R. Punte!, "Computer-Aided Design of Electric
Power Transmission Network", IEEE Winter Power Meeting, New
York, Enero 1972.
(3) Sullivan, "Power System Planning".
(4) I. Velástegui Ramos, "El Teorema de Tellegen".
(5) G.W..Stagg y A.H. El-Abiad, "Computar Methods in Power System
Analysis".
(6) R. Mota Palomino, "Aplicación de Flujos de Corriente Directa a
la Operación de Sistemas de Potencia", IEEE Mexicon, 1978.
(7) G. Arguello, "Flujo dé Potencia Estocástico", IEEE - Sección
Ecuador (Centro Nacional de Control de Energía - INECEL).
(8) L.L. Garver, "Transmission Network Estimation Using Linear Prp_
gramming11, IEEE Transaction orí Power Apparatus and Systems, Vol.
PAS-89, No. 7, pág. 1688 - 1697, Septiembre/Octubre 1970.
r
lll
(9) S.W. Director y R.A. Rohrer, "The Generalized Adjoint Network
and Network Sensitivities", IEEE Transactions on Circuit Thep_
ry, Vol. 16, No. 3, pág. 318-323, Agosto 1968.
(10) H. Vass, "Circuitos Eléctricos I", E.P.N., 1979.
(11) C.A. Desoer y E.S. Kuh, "Basic Circuit Theory", New York, Me
Graw-Hill, 1967.
(12) Notas de clase, P. Orbe, "Sistemas Eléctricos de Potencia II",
E.P.N., 1983.