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Técnicas de Integración 8
Sección 8.4
Sustituciones trigonométricas
© Salas / Hille / Etgen, CALCULUS, Vol. I
Una y Varias Variables 4a Ed.
Editorial Reverté (Reimpresión 2007)
2010 1 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S4
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Cálculo Integral :: C8/S4
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Cálculo Integral :: C8/S4
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Cálculo Integral :: C8/S4
sin3
xu
2 2 23 9x x
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Cálculo Integral :: C8/S4
tan u = x / a
2010 6 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S4
2 1cos sec
cos 2
xu u
x u
2 4x
2010 7 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin , ( sin ) cos y cos
sincos sin cos
cos
xdx a u x d a u a udu dx a x a u
a x
x a udx a udu a udu a u C
a ua x
xdx a x C
a x
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Cálculo Integral :: C8/S4
2tan
3
xu
2 2 23 (2 ) 9 4x x
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2 1cos sec
1 2
xu u
x
2( 1) 4x
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2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
2( 1)
2 2 2 1
:
tan ( tan ) (tan ) sec y
( ) ( tan ) (tan 1) sec
sec 1 1 1cos
( ) sec sec
1cos
( )
n n n n n n
n
n n n n n n
n
n n
a u x d a u ad u a udu dx
x a a u a a u a u
dx a ududu udu
x a a u a u a
dxudu
x a a
Problema 39
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2 3
2(3 1) 4
2 2 2 3 2(3) 1
1 2
4 4 1 4
1: hallar la integral
( 1)
11 3 cos cos
( ) ( 1) 1
1 1recordando que cos cos sin cos , para 4
1 4 1cos cos sin cos
4 4
n
m m m
dxx
dx dxa n udu udu
x a x
mudu u u udu m
m m
udu u u
Problema 41
2 3 2
4 3 2 1 2 2
4 3
1
2 3 2 2 2
1
2 3 2 2 2
1 3cos sin cos
4 4
1 3 1 2 1cos cos sin cos sin cos
4 4 2 2
1 3 3cos cos sin cos sin
4 8 8
1 1 3 1 3tan
4 8 8( 1) 1 1 1
3 3tan
( 1) 4( 1) 8( 1) 8
udu u u udu
udu u u u u udu
udu u u u u u
x xx
x x x x
dx x x
x x xx C
x
1
2 1x
1
2 2
tan tan
1cos ; sin
1 1
u x u x
xu u
x x
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1
1 2
2
21 2 1
2
2 2 22
2 2 2
1
: hallar la integral arctan tan
1tan ;
1 2
1 1tan tan
2 2 1
tan tantan (tan ) sec
1 1 tan sec
tan
x x dx x x dx
dxu x du dv xdx v x
x
xx xdx udv uv vdu x x dx
x
x u ux u dx d u udu
x u u
x xd
Problema 42
22 1 2 2 1 2
2
2 1 2 1 2 2
2 1 2 1 1
2
1 1 tan 1 1tan sec tan tan
2 2 sec 2 2
1 1 1tan tan tan pero tan
2 2 2 1
1 1 1 1 1 1tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2
1 1arctan ( 1)arctan
2 2
ux x x udu x x udu
u
x x u udu u x
x x u du x x x x
x x dx x x x C
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2 2( )y f x r x
2 2x r h
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
0
2 2
0
2 2
0 0
2 2 2 2
0
2 [ ( ) ]
2 ( )
2
2
r h
r h
r h r h
r h
A f x h dx
r x h dx
r x dx h dx
r x dx h r h
2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 1 2 2 2 1
sin sin ( sin ) cos
1 1 1 1(cos sin ) sin sin
2 2 2 2
r u x r x dx r r u d r u r udu
r x x x xr u u u r x r x r
r r r r
0x
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2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
0
2 2 2 1 2 2
0
2 2 2 1 2 2
0
2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 2
2 22 2 2 1
2
1 12 sin 2
2 2
sin 2
( ) sin 2
sin 2
r h
r h
r h
A r x dx h r h
xx r x r h r h
r
xx r x r h r h
r
r hr h r r h r h r h
r
r hh r h r h
r
2 2
2 22 1 2 2( ) sin
r h
r hA h r h r h
r
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2 1 2
2 2
2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2
2 2
) (0) sin (1) (0)2
( / 2)) ( / 2) sin ( / 2)
2
como ( / 2) / 4 3 / 4 32
3 / 2( / 2) sin 3 sin ( 3 / 2) 3 / 4
2 2
3 3( / 2)
3 4 2 3 4
a A r A r
r r rb A r r r r
r
rr r r r r
r r rA r r r r
r
rA r r r A 2
2 1) ( ) sin (0) (0) ( ) 0
r
c A r r r A r
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Ejercicios sugeridos, Sección 8.4
Prácticos: 10, 16, 25, 29, 33, 38
Teóricos: 39, 41, 42, 43, 46, 51
2010 20 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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