ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

TRABAJO COLABORATIVO No 1ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO COLABORATIVO: 100412_197ORDUZ AMEZQUITA KAROL JOHANNA COD: 63544447

PAEZ JOHANA ANDREA COD: 52211813ROJAS PAOLA ANDREA COD: 34609330

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIAUNAD2013

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

TRABAJO COLABORATIVO No 1ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO A:LICENCIADO PABLO PINTO AVELLANEDA

GRUPO COLABORATIVO: 100412_197ORDUZ AMEZQUITA KAROL JOHANNA COD: 63544447

PAEZ JOHANA ANDREA COD: 52211813ROJAS PAOLA ANDREA COD: 34609330

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIAUNAD2013

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad.

a. (1− y ) y ' '−4 xy ´+5 y=cos x (Ecuación Diferencial de segundo orden). Esta ecuación

no es lineal pues y está multiplicándose con y ' 'lo que la convierte en una ecuación no lineal.

b. x y' ' '−2( y ')4+ y=0 (Ecuación Diferencial Lineal ordinaria de tercer orden)

2. Resuelva las siguientes Ecuaciones diferenciales separables.

a.dydx

= xy+2 y−x−2xy−3 y+ x−3

=( x+2 ) ( y−1 )(x−3 ) ( y+1 )

∫ ( y+1)( y−1)

dy=∫ ( x+2)(x−3)

dx

∫ 2( y−1)

dy+∫ 1dy=¿∫ 5(x−3)

dx+∫1dx=¿¿¿

u= y−1 , du=dy g=x−3 , dg=dx

∫ 2u du+ y=∫5gdg+x

2 ln(u¿)+ y+c1=5 ln (g)+ x+c2 ¿

2 ln(¿ y−1)+ y+c1=5 ln (¿ x−3)+x+c2¿¿

b. dy=(e¿¿3 x+2 y )dx¿

dy=(e¿¿3 x∗e2 y)dx ¿

dy

e2 y=e3x dx

e−24dy=e3 xdx

u=−2 y du=−2dy

du−2

=dy

g=3x dg=3dx dg3

=dx

∫ eu du−2=∫ eg( dg3 )

−12 ∫eudu=13∫e

gdg

−12eu+C1=

13eg+C2

−12e−24+C1=

13e3x+C2

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

a. (2 x y2+ y ex )dx+(2 x2 y+ex−1 )dy=0

∂∂ y

(2 x y2+ y ex )=4 xy+ex

∂∂ x

(2x2 y+ex−1 )=4 xy+ex

f=( x , y )=c

∂ f∂ x

=(2 x y2+ yex )

∂ f∂ x

=(2 x2 y+ex−1 )

f ( x , y )=∫(2x¿ y2+ y ex)dx=x2 y2+ yex+g(4)¿

∂ f (x , y)∂ y

=2 x2 y+e x+g' ( y )

2 x2 y+ex+g' ( y )=2 x2 y+ex−1

g' ( y )=−1

g' ( y )=−1

∫ g' ( y )dy=∫−1dy

g ( y )=− y

f ( x , y )=x2 y2+ y ex− y+c

Si derivamos la ecuación anterior respecto a x y respecto a y llegamos a la ecuación diferencial original.

b. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D(x y2+b x2 y )dx+( x+ y ) x2dy=0

(x y2+b x2 y )dxM

+( x+ y ) x2dy

N=0

(x y2+b x2 y )dx+(x3+ x2 y )dy=0

∂M∂ y

=2 x y+b x2

∂N∂ x

=3x2+2 x y

2 xy+b x2=3 x2+2 xyb x2=3 x2

b=3

∂ f∂ x

=x y2+3x2 y

∂ f∂ y

=x3+x2 y

f ( x , y )=∫(x y2+3 x2¿ y )dx+g ( y )= x2 y2

2+ 3x

3

3y+g ( y)¿

f ( x , y )= x2 y2

2+x3 y+g ( y )

∂ f∂ y

= y x2+x3+g '( y)

x3+x2 y= y x2+ x3+g' ( y )

0=g' ( y)=K

f ( x , y )= y2 x2

2+x3 y+K=0

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante

(3 x2− y2 )d y−2 xydx=0

(−2 xy )M

dx+(3x2− y2 )

Ndy=0

∂M∂ y

=−2x

∂N∂ x

=6 x

∂M∂ y

−∂ N∂ x

=−2 x−6 x=−8 x

∂M∂ y

−∂N∂ x

−M=

−8 x−(−2xy )

=−8x2xy

=−44

g ( y )= 1y→μ ( y )=e

∫ 14 dy=eln|y|= y

μ ( y )=e− 4 ln|y| 1y4

Fx=μ ( y )M=( 1y4 ) (−2 xy )=−2xy3

F=−x2

y3+f ( y)

Fy=3x2

y4+ f ' ( y )=μ ( y )N=¿

3x2

y4+ f ' ( y )=( 1y 4 ) (3 x2− y2 )

f ' ( y )=−1y2

∫ f ' ( y )=∫−1y2dy

∫ f ' ( y )=∫− y−2dy

f ( y )= − y−2+1

(−2+1)

f ( y )=−− y−1

−1=14

y2−x2=c y3

5. Muestre μ ( x , y )=ex es factor integrante de la ecuación diferencial:cos ydx−sin ydy=0

cos yM

dx−sin yN

dy=0

∂M∂ y

=−sin y

∂N∂ x

=0

No es exacta

Factor integrante dependiente de x: ∂M∂ y

−∂N∂ x

N

Factor integrante dependiente de y: ∂ N∂x

−∂M∂ y

M

∂M∂ y

−∂ N∂ x

=−sin y

∂M∂ y

−∂N∂ x

N=

−sin y−sin y

=1

μ ( x )=e∫dx=ex

Multiplicando la ecuación diferencial inicial por el factor integrante:ex (cos y dx−sin y dy=0)

ex cos y dx−exsin y dy=0¿

∂M∂ y

=−exsin y

∂N∂ x

=−ex sin y

Es exacta

f=( x , y )=c

∂ f∂ x

=excos y

∂ f∂ y

=−exsin y

f ( x , y )=∫(excos y¿)dx=excos y+g ( y )¿

∂ f (x , y)∂ y

=−exsin y+g' ( y )

−ex sin y+g' ( y )=−ex sin y

g' ( y )=0

∫ g' ( y )dy=∫0dy

g ( y )=c

f ( x , y )=ex cos y+c

6. Una taza de café cuya temperatura es de 88 ºC se deja en un cuarto cuya temperatura constante es de 18 ºC. Dos minutos más tarde la temperatura del café es de 79 ºC. La ecuación que generaliza este problema es: Sugerencia (utilice la ecuación de enfriamiento).

dTdt

=K (T−T m )es decirT=T m+(T o−Tm)ekt

T '=dTdt

=K (T−Tm )

T=Tm+(T 0−T m)ekt

T inicialcafe=88℃ enT=0min

T cuarto=18℃

T final cafe=79℃ enT=2min

La Temperatura T(t) está dada por:

dTdt

=K (T ( t )−18)

dT¿¿

∫ dT(T (t )−18)

=K∫dt

T−18=eKt+c

T=cekt+18

Teniendo las condiciones

T (0 )=88

T (0 )=cek (0 )+18

T (0 )=c+18

88=c+18

88−18=c

c=70

Resulta

T (t )=70ekt+18

Entonces

T (t )=70ekt+18

T (2 )=79

T (t )=cek (t)+18

T (2 )=70ek2+18

79=70ek 2+18

79−18=70ek 2

61=70 ek 2

6170

=ek 2

ln ( 6170 )=ln¿¿¿

ln ( 6170 )=2K

−0,137=2k

−0,1372

=k

−0,068=k

Entonces

T (t )=70e−0,068+18

CONCLUSIONES

A través de las prácticas con los ejercicios logramos diferenciar las ecuaciones.

Se adquirieron las capacidades para el desarrollo de ejercicios de ecuaciones lineales de primer grado.

Por medio de ecuaciones diferenciales podemos hallar la solución a problemas

presentados en la práctica de algunas labores y ciencias aplicadas.

Se aprendió a aplicar las sustituciones adecuadas para la solución ecuaciones diferenciales de acuerdo con sus funciones.

Se entendió por medio de ejercicios, la clasificación de las ecuaciones diferenciales de acuerdo su tipo, orden y linealidad.

Por medio de ecuaciones diferenciales se puede hallar y dibujar los miembros de las trayectorias ortogonales de una ecuación dada.

BIBLIOGRAFIA

Bucheli, Chaves Carlos, Modulo de ecuaciones diferenciales, consultado el 29 de Marzo de 2011, San Juan de Pasto (2010) 4 edición, 118p

Citas en internethttp://www.youtube.com/watch?v=86mszE-eGMM