tarea_3
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Matematicas Especiales Septiembre 2014 Escuela de Ingenieira de Materiales
Tarea N. 3Claudia Patricia Burbano-1127703, Ana Sofia Hurtado-1225792, Andres Riascos-1227238.
Universidad del Valle, Cali, ColombiaFacultad de Ingeniera
Preguntas
1) Encuentre la matriz del tensor T que transforma cualquier vector a en un vector b = m(a n),donde:
m =
22 (e1 + e2) y n =
2
2 (e1 + e3)2) Muestre que:
a) Si Tij = Tji, entonces Tijaiaj = 0b) Si Tij = Tji y Sij = Sji, entonces TijSij = 0
3) Si definimos las siguientes matrices como:
Tij = 12 (Sij + Sji) y Rij =12 (Sij Sji)
muestre que:a) Tij = Tjib) Tij = Tjic) Sij = Tji + Rij
4) Encuentre los valores propios del siguiente tensor de esfuerzos:
[T] =
25 30 30 40 10
En donde los valores de y estan dados por: Valor de = (suma de los ultimos digitos de los estudiantes)10= (2+ 3+ 8)=130 Valor de = (suma de los penultimos digitos de los estudiantes)10= (9+ 0+ 3)=120
Solucin
1) Debido a que la trasnformacion se aplica a cualquier vector , con los vectores canonicos e1, e2, e3,puedo obtener todo el conjunto de la siguiente manera:
Para e1:
~a ~n = (1, 0, 0) (
22 , 0,
2
2 ) =
22 que al multiplicarlo por ~m se tiene:
22 (
22 , 0,
2
2 ) = (12 ,12 , 0) = T[e1]
1
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Matematicas Especiales Septiembre 2014 Escuela de Ingenieira de Materiales
Para e2:
~a ~n = (0, 1, 0) (
22 , 0,
2
2 ) = 0, que al multiplicarlo por ~m se tiene:
0(
22 ,
22 , 0) = (0, 0, 0) = T[e2]
Para e3:
~a ~n = (0, 0, 1) (
22 , 0,
2
2 ) =
22 , que al multiplicarlo por ~m se tiene:
2
2 (
22 ,
22 , 0) = (
12 ,
12 , 0) = T[e3]
La matriz del Tensor T es:
[T] =
12 0 1212 0
12
0 0 0
2) a) Si Tij = Tji, entonces Tijaiaj = 0
T11a1a1 + T12a1a2 + T13a1a3T21a2a1 + T22a2a2 + T23a2a3T31a3a1 + T32a3a2 + T13a3a3 = 3
Debido a que Tij = Tji, su diagonal es cero, entonceses igual a cero.
b) Si Tij = Tji ; Sij = Sji TijSij = 0
TijSij = TjiSji = TmnSmn = TijSijTijSij = TijSij2TijSij = 02 6= 0 TijSij = 0
3) a) Tij = 12 (Sij + Sji) =12 (Sji + Sij) = Tji
b) Rij = 12 (Sij + Sji) =12 (Sji + Sij) = 12 (Sji + Sij) = Rji
c) Tij + Rij = 12 (Sij + Sji) +12 (Sij Sji)
Tij + Rij = 12 [Sij +Sji + Sij Sji]Tij + Rij = 12 [2Sij]Tij + Rij = Sij
4) Con los valores de = 130 y = 120, entonces:
[T] =
25 30 12030 40 130120 130 10
2
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Matematicas Especiales Septiembre 2014 Escuela de Ingenieira de Materiales
Se calcula el polinomio caraacteristico, el cual es igual a:
P() =
25 30 120 30 40 130 120 130 10
= [((40 )(10 )) ((130 )(130 ))](25 ) [((30 )(10 )) ((130 )(120 ))](30 ) + [((30 )(130 )) ((40 )(120 ))](120 )
Despues de simplificar un poco obtenemos que: P() = x3 + 55x2 + 31850x 1935500.
Con la ayuda del comando eigenvalues(T), caluculamos las raices del polinomio P(), la cualescorresponderan a los valores propios de [T]:
[[(
3 i2 12
) (875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+
98575(
3 i2 12
)9
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+ 553 ,
(3 i2 12
) (875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+
98575(
3 i2 12
)9
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+ 553 ,
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+ 98575
9
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+ 553 ], [1, 1, 1]]
En donde [1, 1, 1] determina la multiplicidad de cada una de las 3 raicez.
Haora con la ayuda del comando eigenvectors(T), resolvemos el sistema homogeneo (A I)x =0, para cada :
[[[1, ((
372 i 27
) (875
30523109 i
332
1808000027) 4
3+ 395100
(875
30523109 i
332
1808000027) 2
3+(
6407375
3 i 6407375) (
875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+(
56875330523109 28472768753)i+ 170625
30523109 2847276875)/(796500
(875
30523109 i
332
1808000027) 2
3+(
8871750 985750 3 52 i) (
875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+(
8750 352
30523109 180800000 3 32)i 23625030523109
542400000), ((
7 332
17
29
101
613 i 144640) 1
3((
27601
3
17
29
101
613 13387076453)i 828031729101613 1338707645
)+(
7 332
17
29
101
613 i 144640) 2
3((
2065
3
17
29
101
613 90405173)i+ 6195
17
29
101
613+ 9040517)+
12251232212)/ 195895337400 ]], [[1,((
372 i+ 27
) (875
30523109 i
332
1808000027) 4
3 395100(
875
30523109 i
332
1808000027) 2
3+(
6407375
3 i+ 6407375) (
875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+(
56875
3
30523109 28472768753)i+
170625
30523109+ 2847276875)/(796500(
875
30523109 i
332
1808000027) 2
3+(
985750 352 i+ 8871750
) (875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+(
8750 352
30523109+ 180800000 332
)i+ 236250
30523109 542400000), (
(7 3
32
17
29
101
613 i 144640) 1
3((
27601
3
17
29
101
613+ 1338707645
3)i+ 82803
17
29
101
613 1338707645)+(
7 332
17
29
101
613 i 144640) 2
3((
2065
3
17
29
101
613+ 9040517
3)i 61951729101613+ 9040517
)+
3
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Matematicas Especiales Septiembre 2014 Escuela de Ingenieira de Materiales
12251232212)/ 195895337400 ]], [[1,27
(875
30523109 i
332
1808000027) 4
3+197550
(875
30523109 i
332
1808000027) 2
3+6407375
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
3+56875
3
30523109 i+2847276875
398250
(875
30523109 i
332
1808000027) 2
38871750
(875
30523109 i
332
1808000027) 1
38750 3 52 30523109 i+542400000
,(2065
3
17
29
101
613 i+9040517)(
7 332
17
29
101
613 i144640) 2
3+(27601
3
17
29
101
613 i1338707645)(
7 332
17
29
101
613 i144640) 1
3612561610697947668700 ]]]]
Aqui cada [[[V1]], [[V2]], [[V3]]], sera denominados como los vectores propios de [T], asociados acada .
4