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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica An alisis Numerico MAT-270

Tarea I Sistemas Lineales

Instrucciones Generales

Fecha de entrega: Sabado 27 de Septiembre hasta las 23:55 hrs.

Se debe entregar un informe .pdf mediante Latex y subir los programas (*.m) al sistema AULA con el nombre

Ej: FelipeGonzalezTarea1.

Cada codigo debe ir comentado.

El informe debe contener los resultados principales.

Puede trabajar en equipo para el planteamiento del problema pero se debe entregar informes individuales.

Tareas y codigos identicos tendran nota 0.

Problema No 1.Considere el circuito hidraulico de la figura (1), compuesto por 10 tuberas, que esta ali-

Figura 1: Circuito Hidraulico

mentado por un deposito de agua a una presion contante de pr = (6)[bares]. En este problema, los valores de

la presion se refieren a la diferencia entre la presion real y la atmosferica. Para la jesima tubera, se verifica la

siguiente relacion entre el caudal Qj [m3/s] y el salto de presion pj entre sus extremos:

Qj =kLpj (1)

dondek es la resistencia hidraulica [m2/(bars)] y L es la longitud en [m] de la tubera. Suponga que el flujo

de agua discurre a traves de las salidas (indicadas por un punto) a la presion atmosferica, que se supone de 0 [bar]

por coherencia con el convenio anterior.

Un problema tpico consiste en determinar los valores de la presion en cada nodo interior 1, 2, 3, 4. Con este

fin, para cada j = 1, 2, 3, 4 se puede suplementar la relacion (1) con el hecho de que la suma algebraica de los

caudales de las tuberas que se encuentran en el nodo j debe ser nula (un valor negativo indicara la presencia de

una filtracion).

Sea p = (p1, p2, p3, p4)T el vector de presiones en los nodos interiores.

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En la siguiente tabla se recogen las caractersticas relevantes de las diferentes tuberas

Tub era k L Tubera k L Tuber a k

1 0.01 20 2 0.005 10 3 0.005 14

4 0.005 10 5 0.005 10 6 0.002 8

7 0.002 8 8 0.002 8 9 0.005 10

10 0.002 8

Desarrolle un programa computacional, con datos de entrada, para llevar a cabo la factorizacion LU de una

matriz A, con pivote parcial y que tenga la capacidad de entregar su inversa A1 (ver anexo) y calcular la

solucion.

Desarrolle un programa computacional, con datos de entrada, que permita calcular la solucion numerica del

sistema lineal utilizando metodos iterativos de Jacobi. Utilice tolerencias maximas de 0.1 y 0.0001.

Resuelva mediante el metodo backslash incorporado en matlab.

Haga una tabla comparativa entre los metodos, considerando, solucion, tiempo de procesamiento y residuos.Comente al respecto

Problema No 2. Considere un sistema cuya matriz A R50x50 es tridiagonal y simetrica con elementos

iguales a 2.001 en la diagonal principal e iguales a 1 en las otras dos diagonales, ademas considere un vector b

permita que la solucion exacta del sistema sea (1,....,1)T. Utilice funciones para los metodos de Jacobi y Gauss-

Seidel. Use un vector nulo como vector inicial de iteracion para ambos metodos y una tolerancia de 0.0005, teniendo

en cuenta un contador de iteraciones. Repita el proceso pero cambiando los valores de la diagonal principal a 3.

Haga una tabla comparativa entre los metodos: usando el tiempo de procesamiento, error de la solucion y numero

de iteraciones para ambos casos. Comente.

Problema No 3.

Del circuito siguiente obtenga todas las corrientes.

Hint: puede usar el metodo de las mallas, en el cual se definen corrientes en las mallas interiores (como en

el dibujo), donde por ejemplo i3=ia-ib, y se deja el vector de corriente con ia,ib,ic.

Desarrolle un programa computacional, con datos de entrada, para llevar a cabo la factorizacion LU de una

matriz A, con pivote parcial y que tenga la capacidad de entregar su inversa A1 (ver anexo) y calcular la

solucion.

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Desarrolle un programa computacional, con datos de entrada, que permita calcular la solucion numerica del

sistema lineal utilizando metodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Utilice tolerencias maximas de 0.1 y

0.0001.

Haga una tabla comparativa entre los metodos, considerando, solucion, tiempo de procesamiento y residuos.

Comente al respecto

Anexo.

Hint: Revisar las sesiones realizadas.

Calculo de la matriz inversa.

Dado el sistema

AX= I

con A matriz den n, X solucion del sistema e I matriz de identidad.

La solucion X del sistema se conoce y es simple:

AX = I

A1AX = A1I

X = A1

Entonces se puede considerar aplicar el metodo LUcon pivote parcial para encontrar la matriz inversa de A, cuyo

sistema a resolver es

Axi= bi i= 1,...,n

donde bi es la columna i de la matriz I.

Al aplicar la matriz de permutacion P, se obtiene que el sistema es

PAxi= Pbi

Realizando la descomposicionLU, se tiene que resolver los sistemas

Lyi = Pbi

Uxi = yi

Donde se tiene que

PA= LU

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