Dada la transformación de coordenadas

x=12(u2−v2)

y=uv

z=z

a) Hallar los vectores tangentes

Para construir los vectores tangentes se tiene que construir el vector r

r=x i+ y j+z k

Substituyendo se tiene

r=12(u2−v2) i+uv j+ z k

Los vectores tangentes son

∂ r∂u

;∂ r∂ v

;∂ r∂ z

Obteniendo la parcial de cada término se tiene lo siguiente:

∂ r∂u

=12

(2u ) dudu

i+v j=u i+v j

∂ r∂ v

=−12

(2v ) dvdv

i+v j=−v i+u j

∂ r∂ z

= k

b) Construir los factores de escala

Los factores de escala se construyen como sigue:

|∂r∂u|=√u2+v2

h1=√u2+v2

|∂r∂ v |=√v2+u2

h2=√v2+u2

|∂ r∂ z|=√1

h3=1

c) Los vectores unitarios y mostrar que son normales

e1=1h1

∂ r∂u

= 1

√u2+v2(u i+v j)

e2=1h2

∂ r∂ v

= 1

√v2+u2(−v i+u j)

e3=1h3

∂ r∂ z

=1 k

Demostrar que son normales

Se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

e1∙ e2=0

e1∙ e2=

u i

√u2+v2∗−v i

√v2+u2+

v j

√u2+v2∗u j

√v2+u2

e1∙ e2=−uv

√u2+v2+ uv

√u2+v2=0

e1∙ e3=0

e1 ∙ e3=u i

√u2+v2∗0+ v j

√u2+v2∗0+ k∗0=0

e2∙ e3=0

e2∙ e3=−v i

√v2+u2∗0+ u j

√v2+u2∗0+ k∗0=0

Por lo tanto ya que todos los productos escalares son cero el sistema es normal.

d) Construir el d s2

d s2=h12du12+h22du22+h32d u32

d s2=√u2+v22du2+√v2+u22dv2+12dz2

d s2=(u¿¿2+v2)du2+(v2+u2 )dv2+dz2 ¿

e

e) Construir gij

gij=[u2+v2 0 00 v2+u2 00 0 1]

f) Construir el cuadrado de la velocidad

dsdt

2

=(u¿¿2+v2) dudt

2

+(v2+u2 ) dvdt

2

+ dzdt

2

¿

v2=(u¿¿2+v2) u2+(v2+u2 ) v2+ z2 ¿

Dado el sistema de cizalladura mostrado obtener:

1) Encontrar la transformación de coordenadas

Existen las siguientes relaciones:

OC=X

OD=Y

OA=BP=U

OB=AP=V

Consideremos el triangulo formado por OEC

Se tienen de aquí las siguientes relaciones geométricas

cos α=OCOE

OE= OCcos α

OE=OA+AE

OA=OE−AE

Obtengamos AE por medio del siguiente triangulo formado por PAE

Por la ley de senos se tiene:

AEsen β

= APsen (90+α )

sen (90+α )=cosα

AEsen β

= APcosα

AE= sen β∗APcos α

Substituyendo el valor de AE y OE

OA= OCcos α

− sen β∗APcos α

De acuerdo a las relaciones que establecimos en un principio se tiene:

U= Xcos α

−V∗sen βcosα

Ahora partiremos del triángulo formado por ODF

Se tienen de aquí las siguientes relaciones geométricas

cos β=ODOF

OF= ODcos β

OF=OB+BF

OB=OF−BF

Obtengamos BF por medio del siguiente triangulo formado por BFP

BFsen α

= BPsen 90+β

Donde sen90+β=cos β

BFsen α

= BPCOSβ

BF=BPsenαCOSβ

Substituyendo los valores de BF y OF se tiene lo siguiente

OB= ODcos β

−BPsenαCOSβ

Por las relaciones establecidas al principio se tiene que:

V= Ycos β

−U∗sen αCOSβ

La transformación de coordenadas para el sistema queda como sigue:

U= Xcos α

−V∗sen βcosα

V= Ycos β

−U∗sen αCOSβ

Ahora substituyendo U en V y viceversa se tiene:

U= Xcos α(1−tanα∗tan β)

− Y∗tan βcos α(1−tanα∗tan β )

V= Ycos β (1−tanα∗tan β)

− X∗tanαcos β (1−tanα∗tan β )

La transformación de coordenadas inversa es

X=U∗cosα+V∗sen β

Y=V∗cos β+U∗senα

a) Hallar los vectores tangentes

El vector r es

r=x i+ y j

r=(U∗cosα+V∗sen β ) i+(V∗cos β+U∗senα ) j

Los vectores tangentes son:

∂ r∂u

;∂ r∂ v

∂ r∂u

=cosα i+senα j

∂ r∂ v

=sen β i+cos β j

b) Hallar los factores de escala

h1=|∂ r∂u|=√(cos α )2+( senα )2=1

h2=|∂ r∂ v|=√ (sen β )2+(cos β )2=1

e1=1h1

∂ r∂u

=cosα i+senα j

e2=1h2

∂ r∂ v

=sen β i+cos β j

El producto ortogonal de e1⋅ e2

e1⋅ e2= (cosα∗sen β ) i+(senα∗cos β) j ≠0

d) Obtener d s2

d s2=h12du12+h22du22

d s2=du2+dv2

e) Construir gij

gij=[1 0

0 1]gij

f) Construir el cuadrado de la velocidad

dsdt

2

=dudt

2

+ dvdt

2

v2=u2+v2

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

ESIME Zacatenco

MATEMATICAS

Profesor:

Dr. Alcantara Montes Samuel

Alumno:

Piña Romero Adrián Renato

Tarea No. 1