Tarea 1

MATEMÁTICAS APLICADAS

2016-1

Grupo: 01

“Solución numérica de ecuaciones,

Método de Von Mises y método de Newton-Raphson de segundo orden”

Por

Damián Vital Villaseñor

27 de septiembre del 2015

Matemáticas AplicadasGrupo 03

Tarea 1

Tarea:

Calcular la raíz cuadrada de 0.5 empleando: a) el método de Newton Raphson de segundo orden y b) el método de Von Mises.

a) Método de Newton-Raphson de segundo orden

Para resolver la ecuación x=√0.5, la cual puede escribirse como x2=0.5, aplicando el método de newton-Raphson es necesario obtener la función f ( x ) y su correspondiente derivada f ' ( x ) y segunda derivada f ' ' ( x ), por tanto:

f ( x )=x2−0.5

f ' ( x )=2x

f ' ' (x )=2

Sustituyendo f ( x ), f ' ( x ) y f ' ' (x )en la siguiente ecuación:

xn+1=xn+Δ xn

donde

1Δ xn

=−f ' ( xn )f (xn )

+ 12

f ' ' (xn )f ' (xn )

Se obtiene:1Δ xn

= −2x

x2−0.5+ 1

22

2x

Por tanto, para x0=0.6

1Δ xn

=2(0.6)

(0.6 )2−0.5+0.5

22(0.6)

=−7.738

x1=0.6−(−7.738)=8.338

Para realizar el resto de las iteraciones para encontrar la raíces de la ecuación se programó la solución en FORTRAN. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 2.

1

Matemáticas AplicadasGrupo 03

Tarea 1

Figura 2 Resultados obtenidos del programa desarrollado en FORTRAN (Método Newton-Raphson)

Conclusión

La determinación de las raíces de una ecuación, o de un sistema de ecuaciones, es uno de los problemas más antiguos de las matemáticas que se presenta con frecuencia en la solución de una gran variedad de problemas reales. Para resolver ecuaciones, o sistemas de ecuaciones, existe una gran cantidad de métodos la larga historia en el análisis de este problema y de su importancia hasta nuestros días. En particular en esta tarea se presentan dos de estos métodos para la solución de una ecuación de segundo grado ( i.e Método de aproximaciones sucesivas y Método Newton Raphson). La única diferencia entre las dos metodologías estudiadas es la expresión que define la fórmula de recurrencia. Las raíces de la ecuación x=√0.5 resultan x1=0.7071 y x2=−0.7071. Es importante mencionar que el método Newton-Raphson requiere de menos iteraciones en comparación con el método de aproximaciones sucesivas. El entendimiento de la técnica para encontrar la solución de ecuaciones resulta muy importante para poder implementar programas iterativos que permitan desarrollar un gran número de ecuaciones en poco tiempo.

2