Derivacion numericaIntegracion: Formulas de cuadratura

Metodo de Diferencias finitas

Formulas para calcular primeras derivadas

Formulas de orden superior

f ′(x) =f(x+ h)− f(x)

h+O(h).

f ′(x) =f(x)− f(x− h)

h+O(h).

f ′(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h+O(h2).

f ′(x) =−3f(x) + 4f(x+ h)− f(x+ 2h)

2h+O(h2).

f ′(x) =3f(x)− 4f(x− h) + f(x− 2h)

2h+O(h2).

f ′(x) =f(x− 2h)− 8f(x− h) + 8f(x+ h)− f(x+ 2h)

12h+O(h4).

f ′(x) =−25f(x) + 48f(x+ h)− 36f(x+ 2h) + 16f(x+ 3h)− 3f(x+ 4h)

12h+O(h4).

Lic. Marlon Josue Recarte MDF

Derivacion numericaIntegracion: Formulas de cuadratura

Metodo de Diferencias finitas

Formulas para calcular segundas derivadas

Formulas de orden superior

f ′′(x) =f(x+ 2h)− 2f(x+ h) + f(x)

h2+O(h).

f ′′(x) =f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2+O(h2).

f ′′(x) =−f(x+ 3h) + 4f(x+ 2h)− 5f(x+ h) + 2f(x)

h2+O(h2).

f ′′(x) =−f(x+ 2h) + 16f(x+ h)− 30f(x) + 16f(x− h)− f(x− 2h)

12h2+O(h4).

Lic. Marlon Josue Recarte MDF

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

En el Valle de Sula

UNAH-VS

Departamento de Física

1. Consideremos el siguiente problema con condiciones de contorno de tipo Dirichlet:

−u′′ + 4x2u = 2e−x2

, 0 < x < 1 (1)

u(0) = 1, u(1) =1

e

(a) Aproximar la solución del problema anterior mediante un programa en MATLAB que im-plemente el método de diferencias �nitas (utilizando diferencias centradas para la derivadasegunda).

(b) La solución exacta del problema de contorno es u(x) = e−x2

.

Para diversos valores del número de puntos de la partición,

(c) comparar los valores obtenidos con el valor de la solución exacta en los nodos de la partición.

(d) hallar el error cometido en norma in�nito.

(e) dibujar la solución exacta y los valores aproximados obtenidos.

2. Consideremos el siguiente problema con condiciones de contorno de tipo Dirichlet:

−u′′ = sinπx

10, 0 < x < 10 (2)

u(0) = 0, u(10) = 0

(a) Aproximar la solución del problema anterior mediante un programa en MATLAB que im-plemente el método de diferencias �nitas (utilizando diferencias centradas para la derivadasegunda).

(b) La solución exacta del problema de contorno es u(x) =100

π2sin

πx

10.

Para diversos valores del número de puntos de la partición,

(c) comparar los valores obtenidos con el valor de la solución exacta en los nodos de la partición.

(d) hallar el error cometido en norma in�nito.

(e) dibujar la solución exacta y los valores aproximados obtenidos.

3. Consideremos el siguiente problema con condiciones de contorno de tipo Dirichlet:

−u′′ + 4x2u = 2e−x2

, 0 < x < 1 (3)

u(0) = 1, u(1) =1

e

1