tarea marcos
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Universidad Tecnológica De Campeche
Alumno:
Ramón de la Cruz Cesar de Jesús
Ingeniería en Mantenimiento Petrolero
8° Cuatrimestre
Ecuaciones Diferenciales aplicadas
Profesor: Ing. Marco Antonio Acosta Peralta
Reporte de Investigación:
Definiciones y terminología
Teorema de existencia y unicidad
Enero – Abril de 2014
San Antonio Cárdenas, Ciudad del Carmen, Campeche a 27 de enero de 2014.
Índice
INTRODUCCION ............................................................................................................... 3
OBJETIVO ........................................................................................................................ 4
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA ................................................................................ 5
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD ...................................................................... 9
CONCLUSIÓN ................................................................................................................. 16
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................. 17
INTRODUCCIÓN
El propósito de esta investigación es introducir a los alumnos en la terminología
básica de las Ecuaciones Diferenciales y examinar brevemente como se deducen
las ecuaciones diferenciales al tratar de formular o describir fenómenos físicos o
geométricos en términos matemáticos.
En el primer tema, Definiciones y Termología, se introduce la definición de
ecuación diferencial, se clasifican las ecuaciones diferenciales en ecuación
diferencial ordinaria y ecuación diferencial parcial y se establecen criterios para
determinar el orden, el grado y la linealidad de una ecuación diferencial ya que
uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones Diferenciales es resolver
ecuaciones diferenciales, es decir, encontrar sus soluciones.
En el segundo tema, Teorema de Existencia y Unicidad y se enunciaran los
teoremas de existencia y unicidad de soluciones y su prolongación analítica y,
finalmente, se comentaran los primeros métodos numéricos de resolución.
Objetivo
General:
Describir los criterios de clasificación de las ecuaciones diferenciales, comenzando
con introducir el concepto de ecuación diferencial, su clasificación según tipo,
orden y linealidad y enunciar el teorema de existencia y unicidad.
Específicos:
Clasificar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones diferenciales
ordinarias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Determinar el orden de una ecuación diferencial
Determinar el grado de una ecuación diferencial
Establecer cuando una ecuación diferencial es lineal y cuando no lo es
1.1. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
Una ecuación es una igualdad que se satisface para uno o más valores de la (s)
incógnita (s) que interviene (n) en ella.
Una ecuación diferencial es una ecuación donde la incógnita es una función de
una o más variables independientes y en dicha ecuación aparecen derivadas de la
función incógnita.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relación
entre una o más variables independientes y una función incógnita y sus derivadas
Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cual aparecen
derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto de una sola variable
independiente.
Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: es una ecuación diferencial en la
cual aparecen derivadas parciales de una sola variable dependiente respecto de
dos o más variables independientes.
Orden de una ecuación diferencial
El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación diferencial.
Ecuación diferencial lineal
Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial en la cual se
satisfacen simultáneamente las condiciones:
a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado (esto es,
están elevadas a la potencia uno).
b) Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen solo
de la variable independiente.
1.2 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Existencia y unicidad
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física,
la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con
seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe
suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el
experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados,
siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un
problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?
2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?
3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?
En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y
unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.
El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
Teorema
El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al
topólogo finés Ernst Leonard Lindelöf.
Enunciado general
"Sea , donde Ω es abierto, una función continua
y localmente Lipschitz respecto de x (interprétese f(t,x) como la forma estándar de
una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado , podemos
encontrar un intervalo cerrado donde existe
solución única del siguiente problema de Cauchy:
que cumple que los pares "
De hecho, este α puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración
se dan detalles de ello.
Un enunciado más restrictivo
El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si
queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original,
podemos dar este otro más sencillo: "Sea una función
Lipschitz. Entonces, dados " existe una única solución x(t)
del problema de valor inicial
definida ".
Observación
Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y
unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo
proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no
podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema
de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un
intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse
que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no
puede aplicarse.
Demostración
Sea el cilindro compacto donde f está definida, esto es
y . Sea
, es decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente
sea L la constante de Lipschtitz de f respecto la segunda variable.
Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard,
como sigue:
definido como:
.
Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función
que tome valores en Bb(x0), es decir, que la norma de Γφ(t) − x0 sea menor que b.
El último paso es imposición, por lo que deberá ser que α < b / M.
Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis
sobre α que más adelante podrán ser omitidas.
Dadas dos funciones queremos:
. Pero como f es Lipschtitz respecto la segunda variable tenemos que:
.
Esto es contractivo si α < 1 / L o equivalentemente para tener igualdad si
.
Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach
(en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el
teorema del punto fijo de Banach, existe una única función
tal que Γφ = φ es decir, solución del problema de valor
inicial definida en Iα donde α debe satisfacer las condiciones dadas, es decir, α =
min{a,b / M,1 / (2L)}.
Optimización del intervalo de la solución
Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice
que si un operador Tn es contractivo para alguna potencia entonces T tiene
un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero
antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior
corolario.
Lema:
Lo demostraremos por inducción:
Para m = 1 ya lo hemos visto, suponemos cierto para m − 1 y probemos para m:
.
Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para m
suficientemente grande, la cantidad y por lo tanto Γm será contractivo
y por el corolario anterior Γ tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente,
hemos podido optimizar el intervalo a tomar α = min{a,b / M}.
Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de
la constante de Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de
definición del campo y la máxima pendiente del mismo.
CONCLUSIÓN
En el presente trabajo abordamos los temas de clasificación de las ecuaciones
con esto sabremos si la ecuación son ordinarias lineales o no ordinarios, no
lineales y de qué grado es la ecuación de primer grado segundo grado y tercer
grado esto nos ayudara para resolverla con más facilidad el saber cómo
desarrollar el proceso para llegar a una solución así como las gráficas para
comprobar dicha solución de la ecuación propuesta ante el docente. Al igual que
los temas como los diferentes teoremas existencial y unicidad en soluciones de
ecuaciones.
BIBLIOGRAFÍA
http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.wordpress.com/2013/07/22/que-
significa-el-teorema-de-existencia-y-unicidad-para-una-ed-ordinaria-de-primer-
orden/
http://web.cua.uam.mx/files/Notas-Ecuaciones_Diferenciales_Parciales.pdf
http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Tema4/Valores_en_la_frontera.pdf
Universidad Tecnológica De Campeche
Alumno:
Ramón de la Cruz Cesar de Jesús
Ingeniería en Mantenimiento Petrolero
8° Cuatrimestre
Ecuaciones Diferenciales aplicadas
Profesor: Ing. Marco Antonio Acosta Peralta
Reporte de Práctica:
Problemas de valor inicial y condiciones de frontera
Enero – Abril de 2014
San Antonio Cárdenas, Ciudad del Carmen, Campeche a 27 de enero de 2014.
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se estudia lo que significa que una función sea solución de una
ecuación diferencial y se analizan los tipos de soluciones que puede tener una
ecuación diferencial. Se plantean algunos problemas físicos y geométricos cuya
formulación matemática conduce al planteamiento de ecuaciones diferenciales las
cuales al ser resueltas y estar sujetas a condiciones sobre la función desconocida
y/o sus derivadas nos llevan a la obtención de soluciones particulares. Este tipo de
problemas se conocen como problemas de valor inicial y problemas de valor de
frontera.
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general
de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas
condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.
En el siguiente reporte de Práctica se explicará la metodología para resolver un
Problema de Valor Inicial. Dejando así claro el procedimiento que debe de realizar.
OBJETIVO
Identificar condiciones iniciales y de frontera y Emplearlas en soluciones de
ecuaciones.
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA Definición (Problema de valor inicial) Un problema de valor inicial o de Cauchy
consta de una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales
impuestas a la función desconocida y a sus (n-1) primeras derivadas en un valor
de la variable independiente. Es decir:
Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación
diferencial ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas sobre la
función desconocida en valores de la variable independiente. Es decir
CONCLUSIÓN
Se pudo resolver un problema de valor inicial y condiciones de frontera
satisfactoriamente de acuerdo a lo estudiado en el salón de clases así como con
lo investigado autónomamente. Estos criterios pudieron emplearse en la solución
de ecuaciones diferenciales.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node11.html