UNIVERSIDAD TECNOLGICA EQUINOCCIAL

CIENCIAS DE LA INGENIERA

TAREA INTEGRADORA ING. ANSHELO CHAVEZ

Aplicacin de las ecuaciones diferenciales.

Por: ALEJANDRO ESPNDOLA LUCO

DICIEMBRE 2014

El cable colgante. Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B , no necesariamente al mismo nivel. Suponiendo que el cable es flexible de modo que debido a su carga ( la cual puede ser debida a su peso, o a fuerzas externas actuantes, o a una combinacin de estas) toma la forma como en la figura. Siendo C la posicin mas baja del cable, escogiendo los ejes x e y como en la figura, donde el eje y pasa por C.

Considere aquella parte del cable entre el punto ms bajo y cualquier punto P en el cable con coordenadas (x, y). Esta parte estar en equilibrio debido a la tensin T en P (segn la figura siguiente), la fuerza horizontal H en C, y la carga vertical total en el segmento CP del cable denotada por W(x), la cual asumimos que acta en algn punto Q, no necesariamente en el centro del arco CP. Para el equilibrio, la suma algebraica de las fuerzas en la direccin x (u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica de fuerzas en el eje y (o vertical) debe ser igual a cero. Otra forma de indicar lo mismo es que la suma de fuerzas hacia la derecha debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de fuerzas hacia abajo.

Descomponemos la tensin T en dos componentes (lneas punteadas en la figura), la componente horizontal con magnitud Tcos, y la componente vertical con magnitud Tsen.

Las fuerzas en la direccin x son H hacia la izquierda y Tcos hacia la derecha, mientras que las fuerzas en la direccin y son W hacia abajo y Tsen hacia arriba. De donde, haciendo equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los ejes tenemos:

Tsen = W, Tcos = H

Dividiendo, y usando el hecho de que la tangente = dy/dx = pendiente en P, tenemos

dydx =

WH

En esta ecuacin, H es una constante, puesto que es la tensin en el punto

ms bajo, pero W puede depender de x. Derivando esta ltima ecuacin con respecto a x, tenemos:

d 2ydx2 =

1HdWdx

Ahora dWdx representa el incremento en W por unidad de incremento en x; esto es, la carga por unidad de distancia en la direccin horizontal. La ecuacin diferencial anterior es fundamental.

Ejemplo 1;

Un cable flexible de poco peso (despreciable) soporta un puente uniforme. Determine la forma del cable. (Este es el problema de determinar la forma del cable en un puente colgante, el cual es de gran uso en la construccin de puentes).

Formulacin matemtica:

La ecuacin d2ydx2 =

1HdWdx se cumple aqu y nos resta determinar

dWdx , la carga

por unidad de incremento en la direccin horizontal. En este caso dWdx es una constante, llamada el peso por unidad de longitud del puente. Llamando a esta constante W, tenemos;

d 2ydx2 =

WH

Denotando por b la distancia del punto ms bajo del cable desde el puente,

tenemos y = bdonde x = 0 ; dydx = 0 donde x = 0 , la segunda condicin debido a que el punto donde x = 0 es un punto mnimo.

Integrando dos veces la ecuacin d2ydx2 =

WH y haciendo uso de las condiciones

dadas,

encontramos que y =Wx2

2H + b , siendo esta la ecuacin de una parbola.

EJEMPLO 2;

Un cable de un puente colgante tiene sus soportes en el mismo nivel, separados a una distancia de L pies. Los soportes estn a a pies por encima del punto mnimo del cable. Si el peso del cable es despreciable pero el puente tiene un peso uniforme de w libras por pies muestre que:

a) La tensin en el cable en el punto ms bajo es wL28a lb.

b) La tensin en los soportes es wL8a L2 +16a2 lb.

Solucin: Colocamos el eje X coincidiendo con el tablero del puente y el eje Y pasando por el punto ms bajo del cable.

Cable flexible de peso despreciable, soporta un puente uniforme, su forma es

parablica w = dWdx Peso por unidad de longitud del puente es constante (en la direccin al eje x).

W(x): Funcin del peso del puente, w: peso por unidad de longitud del puente

d 2ydx2 =

1T1dWdx =

wT1

Es una ecuacin diferencial de 2 orden, la cual resolvemos por sustitucin:

Sea P = dydx ;dPdx =

d 2ydx2

Entonces dPdx =wT1donde;P = wT1

x + c1

Condiciones iniciales:

Y(0)=b, Y(0)=P(0)=0 (m de la tangente al cable en x=0)

P(0)=0=c1 entonces dydx = P =

wT1x

Luego la solucin general ser: y = w2T1x2 + c2; y(0) = b = c2

La forma del cable est dada por la parbola:

y x( ) = w2T1x2 + b

a) Para calcular la tensin en el punto ms bajo (T1) hacemos un diagrama de fuerzas para un segmento de cable.

W=wx, el peso en funcin de la distancia.

Equilibrio de fuerzas:

Fx = 0 T1 = T2 cosFy = 0W = T2 sin

dydx = tan =

WT1=wxT1

Haciendo un traslado de eje X al punto ms bajo de la curva descrita por el cable, la ecuacin queda:

y x( ) = w2T1x2

En el punto B de coordenadas L2 ,a!

"#

$

%& , se tiene:

a = w2T1l24 , de donde T1 =

wL28a

b) La tensin en los soporte A y B, de las torres segn el esquema plantado, sera:

TA=TB

Como, tan = wT1=wxT1

En el extremo B tenemos x = L2 , y,B , luego

tanB = tanwT1=

wL2wL28a

=4aL ,

Entonces,

cosB =L

16a2 + L2

De Donde,

TB =T1

cosB=wL8a * 16a

2 + L2

Entonces,

TB =wL8a * 16a

2 + L2