Tarea 5

Nombres y Apellidos: Laura L. Arbulú Baquedano

Ejercicio 1.-

Mostrar que gpp = 2n−1 para A =

1 0 0 · · · 0 1−1 1 0 · · · 0 1−1 −1 1 · · · 0 1...

......

. . ....

...

−1 −1 −1 · · · −1 1

Solución. Sea gpp =

max |ûij |max |aij |

para pivoteo parcial y siendo [ûij ] = Û, la cual es una matriz superior

que cumple  = �LÛ.Realizamos la descomposición LU de

A =

1 0 0 . . . 0 1−1 1 0 . . . 0 1−1 −1 1 . . . 0 1...

......

. . ....

...−1 −1 −1 · · · −1 1

Sea U0 = A y L0 = I

1. Si aplicamos sobre U0 las operaciones R2 → R2 + R1, R3 → R3 + R1, . . . , Rn → Rn + R1 seobtiene la matriz U1

U1 =

1 0 0 0 · · · 10 1 0 0 · · · 20 −1 1 0 · · · 2...

......

.... . .

...0 −1 −1 −1 · · · 2

n×n

y L1 seria

L1 =

1 0 0 · · · 0−1 1 0 · · · 0−1 0 1 · · · 0...

......

. . ....

−1 0 0 · · · 1

n×n

2. Si aplicamos sobre U1 las operaciones de eliminación R3 → R3 + R2, R4 → R4 + R2, . . . ,Rn → Rn + R2 se obtiene la matriz U2

U2 =

1 0 0 0 · · · 10 1 0 0 · · · 20 0 1 0 · · · 40 0 −1 1 · · · 4...

......

.... . .

...0 0 −1 −1 · · · 4

y la matriz L2 seria

L2 =

1 0 0 · · · 0−1 1 0 · · · 0−1 −1 1 · · · 0...

......

. . ....

−1 −1 0 · · · 1

n×n

1

3. Si aplicamos sobre U2 las operaciones de eliminacion R4 → R4 + R3, R5 → R5 + R3, . . . ,Rn → Rn + R3 y se obtiene la matriz U3

U3 =

1 0 0 0 · · · 10 1 0 0 · · · 20 0 1 0 · · · 40 0 0 1 · · · 8...

......

.... . .

...0 0 0 −1 · · · 8

y la matriz L3 seria

L3 =

1 0 0 · · · 0−1 1 0 · · · 0−1 −1 1 · · · 0...

......

. . ....

−1 −1 −1 · · · 1

n×n

4. Si aplicamos sobre U3 las operaciones de eliminación R5 → R5 + R4, R6 → R6 + R4, . . . ,Rn → Rn + R4 y se obtiene la matriz U4

U4 =

1 0 0 0 0 · · · 10 1 0 0 0 · · · 20 0 1 0 0 · · · 40 0 0 1 0 · · · 80 0 0 0 1 · · · 16...

......

......

. . ....

0 0 0 0 −1 · · · 16

y la matriz L4 seria

L4 =

1 0 0 0 · · · 0−1 1 0 0 · · · 0−1 −1 1 0 · · · 0−1 −1 −1 1 · · · 0...

......

.... . .

...−1 −1 −1 −1 · · · 1

5. Si aplicamos la eliminación gaussiana hasta obtener U una matriz triangular superior obtendre-

mos

L4 =

1 0 0 · · · 0−1 1 0 · · · 0−1 −1 1 · · · 0...

......

. . ....

−1 −1 −1 · · · 1

U4 =

1 0 0 · · · 10 1 0 · · · 20 0 1 · · · 22

......

.... . .

...0 0 0 · · · 2n−1

Tenemos que

max |ûij | = 2n−1

ymax |aij | = 1

Por lo tanto el gpp = 2n−1.

• El gpp, mide el crecimiento de los elementos durante el proceso de eliminación, el objetivo es mantener

este factor de crecimiento lo más pequeño, para que el procedimiento sea estable. En este ejercicio,

el factor de crecimiento es grande hasta para valores relativamente pequeños de n, por lo cual el

procedimiento seria inestable.

Podemos observar que para este tipo de matrices el factor de crecimiento alcanza su cota superior.

2

Clase 4

Ejercicio 2

Demostrar las desigualdades:

K2(A) ≤ X(A) ≤ mın{K2(U),K2(L)} ·K2(A)

donde X(A) =∥∥L−1

∥∥2

∥∥U−1∥∥2‖A‖2

Demostración. TenemosK2(A) = ‖A‖2

∥∥A−1∥∥2

K2(U) = ‖U‖2∥∥U−1

∥∥2

K2(L) = ‖L‖2∥∥L−1

∥∥2

1. K2(A) ≤ X(A)K2(A) = ‖A‖2

∥∥A−1∥∥2, sabemos que A = LU

K2(A) = ‖A‖2∥∥A−1

∥∥2

= ‖A‖2∥∥U−1L−1

∥∥2≤ ‖A‖2

∥∥U−1∥∥2

∥∥L−1∥∥2

donde ‖A‖2∥∥U−1

∥∥2

∥∥L−1∥∥2

= X(A)

K2(A) ≤ X(A)

2. X(A) = ‖A‖2∥∥U−1

∥∥2

∥∥L−1∥∥2

Tenemos A = LU =⇒ A−1 = (LU)−1 = U−1L−1

L−1 = UA−1 U−1 = A−1L

Reemplazamos L−1 = UA−1 en X(A)

X(A) = ‖A‖2∥∥U−1

∥∥2

∥∥UA−1∥∥2

≤ ‖A‖2∥∥U−1

∥∥2‖U‖2

∥∥A−1∥∥2

= ‖A‖2∥∥A−1

∥∥2

∥∥U−1∥∥2‖U‖2 = K2(A)K2(U)

X(A) ≤ K2(A)K2(U) (i)

Reemplazamos U−1 = A−1L en X(A)

X(A) = ‖A‖2∥∥A−1L

∥∥2

∥∥L−1∥∥2

≤ ‖A‖2∥∥A−1

∥∥2‖L‖2

∥∥L−1∥∥2

= K2(A)K2(L)

X(A) ≤ K2(A)K2(L) (ii)

Concluimos de (i) y (ii) que

X(A) ≤ mın{K2(U),K2(L)} ·K2(A)

Se ha probado queK2(A) ≤ X(A) ≤ mın{K2(U),K2(L)} ·K2(A)

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