Tarea II Algebra Lineal I Javier Elizondo Justifica y da pruebas de todas tus respuestas. La tarea hay que entregarla el 4 de Noviembre. Ese da es el examen que corresponde a esta tarea. I. Determine cual de las siguientes transformaciones es lineal 1. F : R 4 R 4 definida por F(X) = X. 2. F : R 3 R 3 definida por F(X) = X + (0, 1, 0). 3. F : R 2 R 2 definida por F(x, y) = (2x, x y). 4. F : R 2 R definida por F(x, y) = xy. II. Considere el espacio vectorial K3 , donde K es un campo. Sea {e1, e2, e3} una base ortogonal y cuyos vectores son de longitud uno. 1. Demuestre que el mapeo lineal 1 que resulta de proyectar un vector en el eje generado por e1 tiene como matriz 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2. Tambien muestre que la matriz que representa a la transformacion lineal que consiste en proyectar a un vector en el plano generado por e1 y e2 esta dada por 1 0 0 0 1 0 0 0 0 . III. Como cambia la matriz de una aplicacion lineal si en el sistema de coordenadas e1, e2, . . . , en se cambian entre s dos vectores cualesquiera, por ejemplo e1 y e2? IV. Sea M el espacio vectorial de las matrices de dos por dos. i. Demuestre que la aplicacion L consistente en la multiplicacion a la derecha de todas las matrices de M por la matriz 1 2 3 1 ! es lineal.Demuestre que la aplicacion 1 L consistente en la multiplicacion a la derecha de todas las matrices de M por la matriz 1 2 3 1 ! es lineal. ii. Encuentre la matriz de la aplicacion lineal L en la base 1 0 0 0! , 0 1 0 0! , 0 0 1 0! , 0 0 0 1! . V. Una aplicacion lineal de un espacio vectorial V de dimension cuatro, en la base e1, e2, e3, e4, tiene la matriz 1 2 3 2 1 0 3 1 2 1 5 1 1 1 2 2 Cual sera la matriz de esta aplicacion en la base e1, e1+e2, e1+e2 +e3, e1+e2 +e3+e4. VI. Sea S el espacio de las matrices reales de n n. Demuestre que S es un espacio vectorial.Cual es la dimension de S?. De una base para los casos n = 2 y n = 3. VII. Demuestre que si A es una matriz simetrica de n n entonces tr(AA) 0, y si A 6= 0 entonces tr(AA) > 0. VIII. Sea L : V W un mapeo lineal, y dim V = dim W. Demuestre que si el kernel de L es {0} entonces L tiene inversa. Sea L y G mapeos lineales invertibles de un espacio vectorial V en s mismo. Demuestre que (G F) 1 = F 1 G 1 . IX. Sea L : R 3 R 3 . Demuestre que en cada caso el mapeo es invertible: 1. L(x, y, z) = (x y, x + z, x + y + 2z). 2. L(x, y, z) = (2x y + z, x + y, 3x + y + z). X. Demuestre que cualesquiera dos espacios vectoriales de la misma dimension son isomorfos. XI. Construya dos transformaciones lineales distintas de Pn , el espacio de polinomios de grado menor o igual a n, en s mismo tales que tengan la misma imagen y el mismo nucleo. Esto les indica que la imagen y el nucleo no caracterizan a una transformacion lineal. 2 XII. Sea V n un espacio vectorial sobre el un campo K de dimension n. Consideremos una funcional lineal F sobre V n , es decir, una transformacion lineal de V n a el campo K. Encuentre la dimension del nucleo de F. XIII. Sea V un espacio vectorial de dimension n. Consideremos la transformacion lineal, sobre V , definida como FAB(X) := 2 1 1 0 ! X + X 3 1 4 1! . 1. Encuentre la dimension de la imagen de FAB. 2. Encuentre el entero mas pequeno q tal que F q AB = 0. Decimos que la transformacion FAB es nilpotente. XIV. Sea A 1 una transformacion lineal definida por una matriz cuadrada A1 de n n, con respecto a una base {e1, . . . , en}. Sea A 2 la transformacion definida por la misma matriz pero en la base {f1, . . . , fn}. Probar que A 2 = PA 1P 1 . donde P es la transformacion lineal que manda la base {e1, . . . , en} a la base {f1, . . . , fn}.