Universidad Piloto de ColombiaCálculo Multivariado

Tarea 3

Bogotá, D.C., Vienes 4 de Septiembre de 2015.

Responda de forma clara y ordenada en el cuaderno de tareas, señalando sus respuestas. Deldesarrollo a conciencia de la tarea depende en gran medida su aprendizaje, es un buen ejercicio parapreparar los quices y los parciales por ende presente buenos argumentos.

Ejercicio .1 (Repaso) Funciones de varias variablesa) Encuentre e interprete el vector gradiente de

g(x; y) = ln(xy2 � y) +p3x� y en el punto (1;�1).

b) Determinar la razón de cambio de la función

f(x; y; z) = 2xy3 + 2yz2 � z2

en dirección al vector!v = 6i+ 2j � 3k; apartir del punto (1;�1; 2) :

�527

�Ejercicio .2 Determine todos los máximos locales, mínimos locales y los puntos de silla de las siguientesfunciones:

(a) f (x; y) = x3 � 6xy + y3 (b) g(x; y) = 4xy � x2 � y2 � 14x+ 4y + 10[silla (0; 0) ;mín (2; 2)] [silla (1; 4)]

(c) f(x; y) = x3 + y3 � 3x2 � 3y2 � 9x (d) g(x; y) = 4xy � x4 � y4[máx (�1; 0) ; mín (3; 2) ; silla (3; 0) (�1; 2)] [silla (0; 0) ;máx (1; 1) ; (�1;�1)]

Ejercicio .3 Encuentre los valores extremos de la función

(a) f(x; y; z) = 3x+ 2y + z + 5 (b) f(x; y) = x+ y, x; y � 0st 9x2 + 4y2 � z = 0 sujeto a:x2 + y2 = 1��1

6 ;�14 ;

12

�� hx� = y� =

p22

i(c) f (x; y) = xy (d) f(x; y) = xy

st x+ 4y = 16 st x2 + y2 = 2

[m�ax (8; 2)] [máx (1; 1) (�1;�1) ; mín (1;�1) (�1; 1)]

Ejercicio .4 Calcular las siguientes derivadas parciales a través de la regla de la cadena

(a)

8>>><>>>:w (x; y) = xy;

x (t) = cost; y (t) = sent@w@t

��2

�[�1]

9>>>=>>>; (b)

8>>><>>>:z (x; y) = x2y;

x (s; t) = 2t+ s; y (s; t) = 1� st2@z@t (1;�2)[72]

9>>>=>>>;(c)

8>>><>>>:z (x; y) = 3x2 � y2

x (s; t) = 2s+ 7t; y (s; t) = 5st@z@t (1; 2)

[572]

9>>>=>>>; (d)

8>>><>>>:u (x; y) =

�2x3 + y2

�2;

x (r; s) = res; y (r; s) = r2

@u@s�

12r5e2s�r + 2e3s

��9>>>=>>>;

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Ejercicio .5 La temperatura en un punto (x,y) sobre una placa metálica es:

T (x; y) = 4x2 � 4xy + y2

Una hormiga camina sobre la placa alrededor del círculo de radio 5 con centro en el origen. Encuentrela temperatura máxima y mínima que la hormiga percibe de la placa.

�1250 y 00

�Ejercicio .6 (Consulta) Se desea construir una caja sin tapa de forma rectangular que contenga unvolumen de 12 metros cúbicos. El costo por metro cuadrado de material para la base es 4 mil, el que seusara para dos de los lados opuestos 3 mil y el que se usara para los otros dos lados 2 mil. ¿Cuál es elcosto mínimo para construir esta caja? [72 mil]

Ejercicio .7 (Sugeridos) Thomas, F. (2010) Cálculo en varias variables Vol. II , 12a Ed, México.Pearson. Consultar en Biblioteca.

Correo de contacto: jairo-cifuentes@unipiloto.edu.co

Entrega y Quiz: Segunda clase de la semana del 14 al 18 de Septiembre.

�Somos lo que hacemos para cambiar lo que somos�

Eduardo Galeano

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