8/18/2019 Tarea Análisis Numérico II

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓNFACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

TAREA 1 ANÁLISIS NUMÉRICO II 525441

1. Sean  A, B  ∈ Kn×n. Muestre que  AB  y  BA  tienen el mismo polinomio caracteŕıstico.

2. Sea  A ∈ Cn×n.

(a) Demostrar (Teorema de Gerschgorin-Hadamark)

σ(A) ⊆n

i=1

z  ∈ C   :   |z − aii| ≤

 j=i

|aij |

n

 j=1

z ∈ C   :   |z − a jj | ≤

i= j

|aij|

.

(b) Demuestre que, si  A  es estrictamente diagonal dominante, i.e.

 j=i

|aij|  <  |aii| ∀ i ∈ {1,...,n} ,

entonces A es no singular.

(c) Demuestre que, si  A   es estrictamente diagonal dominante, entonces

|det(A)| ≥n

i=1

|aii| −

 j=i

|aij |

.

3. Sea   A   =   A11   A12A21   A22   una matriz cuadrada definida por bloques, siendo   A11   y   A22

submatrices cuadradas, con  A11  no singular.

(a) Deduzca la siguiente descomposición de matrices cuadradas

  B   Θ

C I 

  I D

Θ   E 

  =   A ,

idéntificando los bloques matriciales   B,   C ,   D   y   E , sabiendo además que   B   y   Dtienen el mismo orden que  A11  y  A22, respectivamente.

(b) Concluya, justificadamente, que

det(A) = det(A11)det(A22 − A21A−111

A12) .

4. Sea  A  matriz cuadrada no singular, y sea  || · ||  una norma matricial inducida cualquiera.Demuestre que

1

||A−1||  = min

w=θ

||Aw||

||w||  .

5. Sea   b   := (bi)   ∈   Rn no nulo. Determine los autovalores y espacios propios de la matriz

simétrica  bbt := (bib j).

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6. Sea  A ∈  Rn×n una matriz simétrica con autovalores  λi   y autovectores asociados  pi   (1  ≤i ≤  n), los cuales forman una base ortonormal de  Rn. Demuestre que

A =n

 j=1

λ j p j pt j .

7. Sea   B   ∈  Cn×n tal que   ρ(B)  <   1. Pruebe que  I  − B  es no singular y todos los valorespropios de  I  + 2(B − I )−1 tienen parte real negativa.

8. Sea  A matriz diagonal. Demuestre que  ||A|| p  =  ρ(A), 1 ≤  p  ≤  +∞.

9. Dada una matriz diagonalizable  A, ¿existirá (al menos) una norma matricial  || · ||  en lacual ||A|| =  ρ(A)?

10. Demostrar, para cualquier A ∈ Cn×n, y  p  ∈  [1,+∞[

(a)   n−1/p ||A||∞   ≤ ||A|| p   ≤   n1/p||A||∞ ,

(b)   n−1/2 ||A||2   ≤ ||A||1   ≤   n1/2 ||A||2 .

11. a) Pruebe que  ||uv∗||2  =  ||u||2 ||v||2   ∀ u, v ∈ Cn.

b) En lo que sigue, consideraremos A ∈  Cn×n matriz no singular. Sean  u, v ∈  Cn\{0},

con los cuales se construye la matriz  E  = E (u, v) := − vu∗

||u||22

.

b.1) Dado   v  ∈  Cn\{0}, determine   u  ∈  Cn\{0}  con el cual es posible construir unamatriz  E  =  E (u, v) como se describe en b), tal que   ||A−1E ||2  = 1 y  A + E   essingular.

b.2) Demuestre que

min ||F ||2   :   F   ∈ Cn×n ,  A + F    es singular =

  1

||A−1||2.

Fecha de entrega:   Lunes 11.04.2016.

Respecto a la redacción de las tareas, se recomienda hacerlo utilizando LATEX.

RBP/rbp 04.04.2016

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