Ecuaciones Diferenciales M. C. Jesús Nicómedes Leal León

TAREA 2. APLICACIONES DE LAS ECS. DIF. DE PRIMER OR DEN I. Ley de Crecimiento o Decaimiento.

1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gr y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a) La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t. b) La cantidad de uranio después de 5 horas.

2. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad

presente. Si después de 1 hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material.

3. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad

existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento?

4. La población de cierta cuidad aumenta proporcionalmente al número de habitantes

que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años la población se ha triplicado y después de 8 años la población es de 45 000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en la cuidad.

5. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta

proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el número de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día de la inauguración del zoológico.

II. Ley de Enfriamiento de Newton.

1. Una sustancia se enfría desde 100º hasta 70º en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire 20º), hallar la temperatura después de 30 minutos.

2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay

una temperatura constante de 18º. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8º y después de 25 minutos es de 12º, hallar la temperatura inicial del cuerpo.

3. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una

temperatura constante de 5º. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8º y después de 40 minutos está a 6º. Hallar la temperatura inicial de la sustancia.

4. Un cuerpo a una temperatura de 30º está inmerso en un baño cuya temperatura se

mantiene en 50º. Después de 1 hora la temperatura del cuerpo es de 40º. Hallar: a) La temperatura del cuerpo después de 2 horas a partir de la inmersión. b) El tiempo que se necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48º.

Ecuaciones Diferenciales M. C. Jesús Nicómedes Leal León

5. La temperatura del aire es de 40º. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120º a otra de 100º en 20 minutos. Encontrar: a) La temperatura del cuerpo después de 50 minutos. b) El tiempo necesario para que la temperatura del objeto sea de 70º.

III. Segunda Ley de Newton.

1. Un cuerpo de masa 14.7 Kg se suelta con velocidad inicial de 0.5 m/s y encuentra una fuerza debida a la resistencia del aire dada por –8v2. Hallar la velocidad para el momento t = 2 s.

2. Un cuerpo con una masa de 9.7 Kg se suelta de una altura de 300 m sin velocidad

inicial. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser 95 m/s, encontrar: a) La velocidad del cuerpo en un tiempo t. b) La posición del cuerpo en un tiempo t. c) El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar una velocidad de 50 m/s.

3. Se deja caer un objeto que pesa 98 Kg desde una altura de 50 m con un a velocidad

inicial igual a cero. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, hallar: a) La velocidad cuando t = 0.25 minutos. b) La posición del objeto cuando t = 3 s. c) El tiempo invertido desde que se soltó el objeto hasta que tocó tierra.

IV. Circuitos en Serie.

1. Un circuito RL tiene una fem de 9 V, una resistencia de 30 Ω, una inductancia de 1 H y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente en el circuito para un tiempo t = 1/5 s.

2. Un circuito RL tiene una fem de 8 sen(2t) V, una resistencia de 10 Ω, una inductancia

de 2 H y una corriente inicial de 5 A. Hallar la corriente en el circuito para un tiempo t = π/2 s.

3. Un circuito RC tiene una fem de 300 cos(2t) V, una resistencia de 200 Ω y una

capacitancia de 10–2 F. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t = 4π s.

4. Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, R = 40 Ω y L = 8 H. Para t = 0, los valores de V e I son 0 V y 10 A, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I = 5 A.